103 學科能力測驗試題

(1)

大

學

入

學

考

試

中

心

1

0

3

3 學

學

年

度

學

科

能

力

測

驗

試

題

數

學

考

科

第一部分：選擇題(占 60 分)

一、單選題(占 30 分)

1. 請問下列哪一個選項等於 (3 )5 log(2 ) ？

(1) 5log(2 ) ，(2) 33 5log 2，(3) 5log2log3，(4) 5(log2＋log3)，(5) 35_log2。

Ans：(5) 【詳解】對數律：logam  m loga. 5 (3 ) log(2 ) ＝(35)log2. 2. 令 A(5，0，12)，B(5，0，12)為坐標平面上之兩點，且令 P 為 xy 平面上 滿足PAPB13的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 P？ (1) (5，0，0)，(2) (5，5，0)，(3) (0，12，0)，(4) (0，0，0)，(5) (0，0，24)。 Ans：(4) 【詳解】選項(5)不在 xy 平面上，先去除。因 52_＋122_＝132_，故選(4) 【另解】設P x y



, ,0



﹒因為PAPB13﹐所以





2 ₂





2 ₂ 5 144 5 144 13 x y   x y   ﹐ 即









2 ₂ 2 2 5 25 5 25 x y x y           ﹒ 兩式相減﹐得



 

2



2 2 2 5 5 10 25 10 25 0 x  x x  x x  x  x ﹐

(2)

代入原式得y0﹐即P



0,0,0



﹒ 故選(4)﹒ 3. 在坐標平面上，以(1，1)，(1，1)，(1，1)及(1，1)等四個點為頂點的 正方形，與圓 x2_＋y2_{＋2x＋2y＋1＝0 有幾個交點？} (1) 1 個，(2) 2 個，(3) 3 個，(4) 4 個，(5) 0 個。 Ans：(2) 【詳解】 x2＋y2_{＋2x＋2y＋1＝0}  (x＋1)2＋(y＋1)2＝1  圓心 Q(1，1)，半徑 r＝1. 如下圖，交點有(0，1)，(1，0)兩點。 4. 請問滿足絕對值不等式4x－122x 的實數 x 所形成的區間， 其長度為下列哪一個選項？ (1) 1，(2) 2，(3) 3，(4) 4，(5) 6。 Ans：(4) 【詳解】 x3  4x－122x  2x12  x6  3x6 x＜3  12－4x2x  6x12  x2  2x＜3 由上取聯集得 2x6，其長度為 4. 【另解】 4x－122x  (2x－6)2_x2  3x2_－24x＋36₀  x2_－8x＋12₀  (x－2)(x－6)0  2x6 其長度為 6－2＝4. -2

(3)

5. 設 6 (1 2)  a b 2，其中 a，b 為整數。請問 b 等於下列哪一個選項？ (1) C₀62C₂6+22C₄623C₆6 (2) C₁62C₃6+22C₅6 (3) C₀62C₁6+22C₂623C₃624C₄625C6₅26C₆6 (4) 2C₁6+22C₃623C₅6 (5) C₀622C₂6+24C₄626C₆6 Ans：(2) 【詳解】 6 6 6 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 0 1 2 3 4 5 6 (1 2) C C ( 2)C ( 2) C ( 2) C ( 2) C ( 2) C ( 2) 無理數部分 b＝ 6 6 2 6 1( 2) 2 3 2 5 C  C  C . 6. 某疾病可分為兩種類型：第一類占 70％，可藉由藥物 A 治療，其每一次療程的成功率為 70％，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物 A 治療方式完全無效。 在不知患者所患此疾病的類型，且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下，進行第二次療程 成功的條件機率最接近下列哪一個選項？ (1) 0.25，(2) 0.3，(3) 0.35，(4) 0.4，(5) 0.45。 Ans：(2) 【詳解】依題意得下圖﹕ 2 1 -1 2 4 6 8

f x

  = 4x-12 -2x

(4)

根據條件機率的定義﹐得



|



P 第二次成功第一次失敗









P P   第一次失敗第二次成功第一次失敗＝ 0.7 0.3 0.7 7 3 7 49 0.288 0.7 0.3 0.3 1 210 300 170   _   _ _     ﹒ 故選(2)﹒

二、多選題(占 30 分)

7. 在坐標平面上，x 座標與 y 座標皆為整數的點稱為格子點。 請選出圖形上有格子點的選項。

(1) y＝x2_{，(2) 3y＝9x＋1，(3) y}2_＝_{x－2，(4) x}2_＋y2_{＝3，(5) y＝}

9 1 log 2 x 。 Ans：(1)(3)(5) 【詳解】 (1) (1，1)，(1，1)，…… (2) 當 x 為整數時，9x＋1 不可能為 3 的倍數 (3) (3，1)，(3，1)，…… (4) (0，0)，(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)， (1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)均不在圓上，其餘的格子點都在圓外。 (5) (3，1)，(27，2)，…… 故選(1)(3)(5)﹒ 8. 關於下列不等式，請選出正確的選項。 (1) 13 ＞3.5，(2) 13 ＜3.6，(3) 13 3＞ 10 ， (4) 13 3＞ 16 ，(5) 1 13 3＞0.6。

(5)

Ans：(1)(4) 【詳解】 13 ＝3.605， 3＝1.732，直接計算知(1)(4)正確【另解】 (1) 3.52_{＝12.25，故 13 ＞3.5.} (2) 3.62_{＝12.96，故 13 ＞3.6.} (3) 2 ( 13 3) 13 3 2 39  ＜4＜10. (4) 2 ( 13 3) 13 3 2 39  ＞ 16 . (5) 1 13 3 13 3 2 39 13 3 10 13 3        ＜ 16 14 10  ＜0.6. 9. 一物體由坐標平面中的點(3，6)出發，沿著向量v所指的方向持續前進， 可以進入第一象限。請選出正確的選項。 (1) v＝(1，2)，(2) v＝(1，1)，(3) v＝(0.001，0)，(4) v＝(0.001，1)， (5) v＝(0.001，1)。 Ans：(2)(3)(4) 【詳解】作圖即知(2)(3)(4)正確 10. 設 f(x)為實係數二次多項式，且已知 f(1)＞0，f(2)＜0，f(3)＞0。令 g(x)＝f(x)＋(x－2)(x－3)，請選出正確選項。 (1) y＝f(x)的圖形是開口向下的拋物線 (2) y＝g(x) 的圖形是開口向下的拋物線 (3) g(1)＞f(1) (4) g(x)＝0 在 1 與 2 之間恰有一個實根 (5) 若為 f(x)＝0 的最大實根，則 g()＞0 Ans：(3)(4) 【詳解】

(6)

(1) y＝f(x)開口向上 (2) g(1)＝f(1)＋(1－2)(1－3)＞0，g(2)＝f(2)＜0，g(3)＝f(3)＞0 故 y＝g(x)開口向上 (3) g(1)＝f(1)＋(1－2)(1－3)＝f(1)＋2＞f(1) (4) 因 g(1)＞0，g(2)＜0，故 g(x)＝0 在區間(1，2)中有實根，而 y＝g(x)最多為二次多項式， g(x)＝0 在 1 與 2 之間恰有一個實根。 (5) 因 f(2)＜0，f(3)＞0，故 2＜＜3， g()＝f()＋(－2)(－3)＝0＋(－2)(－3)＜0. 選(3)(4) 【另解】依題意可得y f x

 

的略圖如下﹕ (1) 由上圖得知﹐y f x

 

是開口向上的拋物線﹒ (2) 由(1)知 f x

 

是二次項係數為正的二次多項式﹐ 因此g x

 

也是二次項係數為正的二次多項式﹐ 即yg x

 

的圖形是開口向上的拋物線﹒ (3) g

 

1  f

  

1  1 2 1 3



 



f

 

1  2 f

 

1 ﹒ (4) g

 

1 ﹐g

 

2 ﹐g

 

3 的正負情形如下﹕

 

1 1 2 0 2 2 0 0 3 3 0 0 g f g f g f           _ _{ }  ﹐ 利用勘根定理推得﹐二次方程式g x

 

0在區間

 

1, 2 及

 

2,3 各恰有一實根﹒ (5) 由y f x

 

的略圖得知2  3﹒又因為 f

 

 0﹐所以

 

  

2



3

 

2



3



0 g   f         ﹒ 故選(3)(4)﹒ 11. 設 a1＝1 且 a1，a2，a3，……為等差數列。請選出正確選項。 (1) 若 a100＞0，則 a1000＞0 (2) 若 a100＜0，則 a1000＜0 (3) 若 a1000＞0，則 a100＞0 (4) 若 a1000＜0，則 a100＜0

(7)

Ans：(2)(3)(5) 【詳解】 (1) a100＞0  公差 d 可能為負  a1000＞0 不一定成立. (2) a100＜0  公差 d＜0  a1000＜0. (3) a1000＞0  公差可正可負  a100更靠近 a1＝1  a100＞0. (4) 不一定 (5) a1000－a10＝990d＝1099d. 選(2)(3)(5) 【另解】設公差為d﹒利用公式an  a₁



n1



d﹐得 100 1 99 a   d﹐a₁₀₀₀  1 999d﹒ (1) 反例﹕當d 0.01時﹐a₁₀₀  1 0.990.01 0 ﹐ 但a₁₀₀₀  1 9.99 8.990﹒ (2) 若a₁₀₀  1 99d0﹐即 1 99 d  ﹐ 所以 ₁₀₀₀ 1 999 1 999 0 99 a   d   ﹒ (3) 若a₁₀₀₀  1 999d0﹐即 1 999 d  ﹐ 所以 ₁₀₀ 1 99 1 99 0 999 a   d   ﹒ (4) 反例﹕當d 0.01時﹐則a₁₀₀₀  1 9.99 8.990﹐ 但a₁₀₀  1 0.990.01 0 ﹒ (5) 因為 a1000a10 



1 999d

 

 1 9d



990d﹐



100 1







10 a a 10 1 99 d 1 990d ﹐ 所以a₁₀₀₀a₁₀10



a₁₀₀a₁



﹒ 故選(2)(3)(5)﹒

(8)

12. 所謂某個年齡的失業率，是指該年齡範圍的失業人口數與勞動力人數之比， 以百分數表達(進行統計分析時，所有年齡以整數表示)。下表為去年某國 四個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。 請根據上表選出正確選項。 (1) 在上面四個年齡範圍中，以 40～44 歲的失業率為最高 (2) 40～44 歲勞動力人數多於 45～49 歲勞動力人數 (3) 40～49 歲的失業率等於13.17 7.08 2  ％ (4) 35～39 歲勞動力人數少於 40～44 歲勞動力人數 (5) 如果 40～44 歲的失業率降低，則 45～49 歲的失業率會增高 Ans：(1)(4) 【詳解】假設每個年齡層的勞動人口數如下表，則年齡範圍 35-44 35-39 40-44 45-49 勞動人口 x+y x y z 失業率 0.1266 0.098 0.1317 0.0708 0.098x＋0.1317y＝0.1266(x＋y)  1168x＝51y (1) 正確 (2) 不一定 (3) 勞動人口不相同 (4) 因 1168x＝51y，故 x＜y (5) 不影響。選(1)(4) 【另解】設各範圍的勞動人數如下﹕ 年齡範圍（歲） 35～39 40～44 45～49 勞動人數（人） a b c (1) 在失業率中﹐以 13.17%最大﹒ (2) 僅由題意﹐不能確定bc﹒

(9)

(3) 40～49 歲的失業率為b 13.17% c 7.08% b c     ﹐ 不一定等於 13.17 7.08 % 2        ﹒ (4) 因為a 9.80% b 13.17% 12.66% a b    _  ﹐即





9.80a13.17b12.66 a b 2.86a0.51b﹐ 所以ab﹒ (5) 僅由題意﹐不能推得此結論﹒ 故選(1)(4)﹒

第二部分：選填題(占 40 分)

A. 設圓 O 之半徑為 24，OC26，OC交圓 O 於 A 點，CD切圓 O 於 D 點， B 為 A 點到OD的垂足，如下邊的示意圖。則AB＝__________。(化為最簡分數) Ans：120 13 【詳解】 24 OAOD ，OC 26，故 cos∠ AOB＝24 12 2613  sin∠ AOB＝ 5 13  sin 24 5 120 13 13 ABOA AOB   。【另解】因為兩直角三角形OAB與OCD相似﹐ 且 2 2 26 24 10 CD   ﹐所以 26 24 240 120 10 26 13 OC OA AB CD  AB  AB   

(10)

B. 坐標平面上，若直線 y＝ax＋b(其中 a，b 為實數)與二次函數 y＝x2_{的圖形恰交於一點，} 亦與二次函數 y＝(x－2)2_{＋12 的圖形恰交於一點，則 a＝________，b＝________。} Ans：a＝6，b＝9 【詳解】 y＝ax＋b 代入 y＝x2  x2－ax－b＝0  判別式 D＝a2＋4b＝0………(1) y＝ax＋b 代入 y＝(x－2)2＋12  ax＋b＝x2－4x＋16  x2－(a＋4)x＋16－b＝0  判別式 D＝(a＋4)2－4(16－b)＝0……(2) (1)代入(2)  (a＋4)2－64－a2＝0  8a＝48  a＝6  b＝9。【另解】由聯立方程式 y ax b₂ y x     _  ﹐得 2 ₀ x ax b  ﹐ 其判別式為

 

2

 

2 4 1 4 a b a b        ﹒ 因為兩圖形恰交於一點﹐所以判別式為0﹐即_a2₄_b₀_﹒ 再由聯立方程式





2 2 12 y ax b y x     _ _ _  ﹐得





2 2



 



2 12 0 4 16 0 x  ax b  x   a x b  ﹐ 其判別式為





2





2 4 a 4 1 16 b a 8a 4b 48           ﹒ 因為兩圖形亦恰交於一點﹐所以判別式為0﹐ 即_a2₈_a₄_b₄₈₀_﹒ 解 2 2 4 0 8 4 48 0 a b a a b           ﹐得a6﹐b 9﹒

(11)

C. 小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里，並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里。 今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 A，B 等距，則此超級市場與 A 的距離須為__________公里。(化為最簡根式) Ans： 4 3 【詳解】如右圖，座標化得 O(0，0)，A(0，6)， 2 2 12 6 6 3 OB   ，故 B(6 3，0)，設 C(x，0)，因 CA＝CB，故 x2＋36＝(x－6 3)2  12 3x＝72  x＝ 72 6 2 3 12 3 3   CA＝ (2 3)262  484 3。 D. 座標空間中有四點 A(2，0，0)，B(3，4，2)，C(2，4，0)與 D(1，3，1)。 若點 P 在直線 CD 上變動，則內積PA PB 之最小可能值為______。(化為最簡分式) Ans：5 4 【詳解】 CD＝(1，1，1)，設 P(2＋t，4－t，t)， PA PB ＝(4－t，4＋t，t)(5－t，t，2－t) ＝(4－t)(5－t)＋t(4＋t)－t(2－t) ＝3t2_－15t＋20 ＝3(t－5 2) 2_＋5 4 故最小值為5 4。 Show Axes C B A(0,6) O

(12)

E. 設u，v為兩個長度皆為 1 的向量。若u＋v與u的夾角為 75∘ 。則 u與v的內積為__________。(化為最簡根式) Ans： 3 2  【詳解】如上圖， uv＝uvcos150∘ ＝11( 3) 2  ＝ 3 2  。 F. 一個房間的地面是由 12 個正方形所組成，如下圖。今想用長方形磁磚鋪滿地面， 已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即。 則用 6 塊磁磚鋪房間地面的方法有___________種。 Ans：11 【詳解】 1 -1 75 75 O U V

(13)

左側與中間搭配有 33＝9 種，右側有 2 種搭配，故共有 9＋2＝11 種。 【備註】圖中顏色只代表整塊磁磚。【另解】原圖形是由兩個2 3 矩形所組成﹐分兩類討論﹕  排出兩個2 3 矩形﹕ 排出一個2 3 矩形有底下3種方法﹒ 利用乘法原理得﹐排出兩個2 3 矩形有3 3 9種方法﹒  沒有排出2 3 矩形﹕ 排法有底下2種﹒ 故共9 2 11  種方法﹒ G. 已知 a b c d      是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為 5 8。則 a＋d＝__________。(化為最簡分式) Ans：13 8 【詳解】 a b c d      是一個轉移矩陣，故 a＋c＝1，b＋d＝1，

(14)

0≦ a，b，c，d≦ 1。其行列式(值)為 ad－bc＝5 8  ad－(1－d)(1－a)＝5 8  a＋d＝13 8 。 H. 如圖，正三角形 ABC 的邊長為 1，並且∠1＝∠2＝∠3＝15∘ 。 已知 sin15∘ ＝ 6 2 4  ，則正三角形 DEF 的邊長為_______。(化為最簡根式) Ans： 6 2 2  2 【詳解】 ABE 中，由正弦定理得

sin15 sin 45 sin120

BE _ AE _ AB   ，得 BE＝ 6 2 sin15 ₄ 6 2 2 6 sin120 3 2 3 2 6 2 AB    _ _  _ _  ， AE＝ 2 sin 45 ₂ 2 6 sin120 3 3 3 2 AB _ _ _  ，正三角形 DEF 的邊長為AEBE ＝ 6 2 6 3  2  6 ＝ 6 2 2  。

(15)

(16)