中學生通訊解題第三十二期題目參考解答與評析

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中學生通訊解題第三十二期

題目參考解答與評析

臺北市立建國高級中學數學科

問題編號 930201 (1)如圖一，有五個方格，其中四格按順序排上1,2,3,4 四個數字，請依照下列移動規則，在原來的四個格子，將順序變成 4,3,2,1，試問最少要移動幾個步驟？ 1 2 3 4 圖一 (2)如圖二，有七個方格，其中六格按順序排上1,2,3,4,5,6 六個數字，請依照下列移動規則，在原來的六個格子，將順序變成 6,5,4,3,2,1，試問最少要移動幾個步驟？ 1 2 3 4 5 6 圖二【移動規則】 1.每次可以向左或向右移動一格到空的格子處。 2.每次也可以向左或向右跳一格到空的格子處，注意只能跳一格。

參考解答：

(1) 5 (2) 21 0123456 1. 2103456 8. 4201635 15. 6402513 2. 2143056 9. 4261035 16. 6452013 3. 2143650 10. 4261530 17. 6452310 4. 2143605 11. 4261503 18. 6452301 5. 2140635 12. 4260513 19. 6450321 6. 2041635 13. 4062513 20. 6054321 7. 0241635 14. 0462513 21. 0654321

評析

這個題目是個實際操作的題目，希望能從數量少的操作過程找出其規律性，找出正確的步驟，將來到了高中更可利用數學歸納法證明。但有些同學在做此題時，只是把它完成而已，而沒有想到是否還有更少的步驟可以完成。不過也有很優秀的同學找出n 時所需最少的步驟。也提供此題的做法：（1）步驟 1 2 3 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 4 4 1 3 4 5 3 1 4 6 3 1 4 7 3 4 1 8 3 4 1 2 9 3 4 2

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中學生通訊解題第三十二期題目參考解答與評析 - 49 - （2）步驟 1 2 3 4 5 6 1 2 1 3 4 5 6 2 2 1 4 3 5 6 3 2 1 4 3 6 5 4 2 1 4 3 6 5 5 2 1 4 6 3 5 6 2 4 1 6 3 5 7 2 4 1 6 3 5 8 4 2 1 6 3 5 9 4 2 6 1 3 5 10 4 2 6 1 5 3 11 4 2 6 1 5 3 12 4 2 6 5 1 3 13 4 6 2 5 1 3 14 4 6 2 5 1 3 15 6 4 2 5 1 3 16 6 4 5 2 1 3 17 6 4 5 2 3 1 18 6 4 5 2 3 1 19 6 4 5 3 2 1 20 6 5 4 3 2 1 21 6 5 4 3 2 1 問題編號 930202 有一串數字，它的規則是這樣的：「由左至右，每一個位置的數字等於它前面兩個位置的數字和的末位數字」。例如： 134718976392…。試證明：無論第 1 位置和第 2 位置的數為任何數，第 1 位置和第 2 位置的數將同時與第121 位置和第 122 位置的數相同。

參考解答：

case1.第 1 位置和第 2 位置分別為 0,1，則 0112358314594370774156178538190 9987527965167303369549325729101 以上60 個一循環。 case2.第 1 位置和第 2 位置分別為 0,2，則 0224606628088640448202 以上20 個一循環。 case3.第 1 位置和第 2 位置分別為 0,5，則 05505 以上3 個一循環。 case4.第 1 位置和第 2 位置分別為 1,3，則 13471897639213 以上12 個一循環。 case5.第 1 位置和第 2 位置分別為 2,6，則 268426 以上4 個一循環。 case6.第 1 位置和第 2 位置分別為 0,0，則 00 以上1 個一循環。 60+20+3+12+4+1=100 全部的二位數都討論完畢。且120 為 60,20,3,12,4,1 之公倍數。故 121 和 122 位置的數將同時與 1 和 2 相同。

評析

此題之目的在於希望答題者能充分討論每個二位數當開頭時都有 60 個一循環之規則。答此題者共22 人，其中有 11 人答對，另外11 個人答題不完全。大部分答題不完全的人僅討論以1,1 開頭或以 1,3 開頭，而忽略了仍有部分兩位數沒討論到。有少數答對的同學以a,b 開頭，進而發現每 15 個數循環後的兩數為原兩數的7 倍，故 60 個數循環後的兩數與原兩數相同。這是很好的解法。問題編號 930203 圓板A 的半徑為 10cm。圓板 B 的半徑為20cm。若圓板 A 沿著圓板 B 之邊界逆時

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科學教育月刊第267 期中華民國九十三年四月 -50- 針滾動一圈，試分別劃上圓板 A 滾到右圖中 1,2,3,4 之位置時，臉譜的方向。（其中 1.在 8 1_{圓之位置）}

1

2

3

4 A

B

參考解答一：

1.先把圓周折成一直線，滾動的情形如圖一 1 3 4 1 2 1 4 1 8 0 圖一

參考解答二：

觀察圓心，可知整個 A 滾動的路徑為半徑20cm 之圓。即滾動了三圈（或利用相對運動也可知 2+1 圈）所以在各點所對應之角度如下： 1. ο ₁₃₅ο 8 1 3 360 × × = 2. ο ₂₇₀ο 4 1 3 360 × × = 3. ο ₅₄₀ο ₁₈₀ο 2 1 3 360 × × = → 4. ο ₈₁₀ο ₉₀ο 4 3 3 360 × × = → 即可畫圖如下。

解題重點：

1.化曲線為直線，較易掌握。 2.兩圓之關係，可由兩圓圓心出發，利用兩圓圓心的距離固定，較易尋找其相對關係。 3.利用相對運動來分析兩圓之相對關係。

評析：

本題徵答人數共 49 人，其中全對者有 12 人，平均得分.98。其中答題優良且解法富參考價值的有台北市福和國中林學庸同學、彰化縣陽明國中楊鎮宇同學、台北景興國中顏友理同學、台北縣江翠國中李鎬同學、吳商融同學、台南縣建興國中林映辰同學、林煜翔同學。值得一提的是，林學庸同學，雖然只有一年級，卻是唯一懂得利用解法一的同學，跳脫曲線的思維，實為難能可貴。問題編號 930204 (1)將一長為 22 公分之繩子圍成一矩形，試求此矩形面積之最大值？ (2)若此矩形的邊長皆為正整數，則最大面積為何？ (3)承上題。將「22」分成 n 個正整數的和，試求此 n 個正整數乘積的最大值是多少？

參考解答：

(1)設矩形長為 x，寬為 11-x

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中學生通訊解題第三十二期題目參考解答與評析 - 51 - 面積=x(11-x)= 4 121 ) 2 11 ( ₋ 2₊ − x 故長為 2 11_{公分，寬為} 2 11_{公分時，最大面} 積為 4 121_{平方公分。} (2) 長 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 寬 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 面積 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 由上表可知，長與寬最接近時(5,6)、(6,5)，可得最大面積30 平方公分。 (3)由上可知，約將兩數平分時，其乘積可得最大但若以8 而言 8=4+4=(2+2)+(2+2)， 2×2×2×2=16 可是8=3+3+2，3×3×2=18 18＞16 可見分成多個之和時，並非恰好平分時可得乘積最大因(2+2)+(2+2)=[(2+2+2)+2] ，前三個 2 可改成3+3 而3×3＞2×2×2 故雖越接近平分，但三個可改以二個 3 取代之，故應以3 的個數越多，且 2 的個數不要超過二個時可得最大乘積 22=11+11，11×11=121 11=5+6，即 22=(5+6)+(5+6)，則 5×6×5× 6=900＞121，因 5×6＞11 5=2+3 且 6=3+3，即 22=(2+3)+(3+3)+(2+3)+(3+3)，則2×3×3×3×2×3×3×3=2916 2=1+1，3=1+2，但 1×1＜2 且 1×2＜3，故不再細分所以此n 個數即為 2+3+3+3+2+3+3+3，其乘積2916 為最大（2 的個數恰二個，沒超過）

評析：

1.此題目不難，其目的在於希望答題者能在答題當中尋找出答題要點，而非僅只找出答案而已。 2.答此題者共 65 人，其中有 14 人回答較優異（佔21.5%），18 人答題佳（佔 27.7%）。 3.大部分的人在第三個問題上，僅回答出答案，而忽略了歸納出其要點「將4 或以上的數分成 2 或 3 的和，將使其乘積為最大」，與如何決定 2 的個數，「2 不會有 3 個或以上」。問題編號 930205 設四邊形 ABCD 的四邊等長且 ο 60 = ∠ABC ，直線l 通過點 D 且與四邊形 ABCD 不相交（除了 D 點之外）；並設直線 l 與直線 AB、BC 分別交於 E、F，且線段 CE 與 AF 交於 M。試證：CA2 =CM×CE M E F D B A _C L l （下轉第 46 頁）

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