第十四章 函數及其圖形

全文

(1)

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14.1 πࢬۡ֎ळᇾր

我們知道,在直線上規定了原點、正方向與單位長度,就構 成了數軸。在數軸上,每一個點都能用一個實數來表示,這個實 數叫做這個點在數軸上的座標。那麼,用什麼方法表示平面內點 的位置呢? 要在一塊矩形板上鑽一個孔,只要給出孔的中心到板之左邊 的距離 30 mm 與到下邊的距離 20 mm (圖 14-1),孔心 M 的位置 就確定了。可見,用兩個實數就可以表示平面內點的位置。 在平面內畫兩條互相垂直而且有公共原點 O 的數軸 xx′ 與 yy′ (圖 14-2)。 xx′ 通常畫成水平的,叫做 x 軸或橫軸,取向右的 方向為正方向; yy′ 通常畫成鉛直的,叫做 y 軸或縱軸,取向上 的方向為正方向。兩條數軸上的單位長度一般取相同的。x 軸與 M 30 20 圖 14-1 O y x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − x′ y′ 圖 14-2 第一象限 第四象限 第三象限 第二象限

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y 軸統稱座標軸,O 叫做座標原點。這樣,在平面內有公共原點 而且互相垂直的兩條數軸,就構成了平面直角座標系,在本書中 簡稱座標系。建立了座標系的平面,叫做座標平面。 x 軸與 y 軸把座標平面分成四個部分 xOy、 yOx′ 、 x Oy′ ′ 、 y Ox′ ,依次叫做第一象限、第二象限、第三象限與第四象限。象 限以兩軸為界線,x 軸、y 軸上的點不在任一象限內。 在平面內建立了直角座標系以後,對於平面內的任意一點, 都有一對有序實數與它對應。例如,對於點 M (圖 14-3),經過點 M 畫 x 軸的垂線,垂足為M ,點1 M 在 x 軸上的座標是 3;再經1 過點 M 畫 y 軸的垂線,垂足為M ,點2 M 在 y 軸上的座標是 2。2 這樣,點 M 就有一對座標 3、2 與它對應。我們把 3 叫做點 M 的 橫座標、2 叫做點 M 的縱座標, 合起來叫做點 M 在平面內的座 標,記作 M(3, 2),其中橫座標 規定寫在縱座標的前面,中間 用逗號隔開。這就是說,點 M 在平面內的座標是一對有序實 數(叫做一個有序實數對)。在圖 14-3 中,點 N 的座標是(2, 3), 記作 N(2, 3)。從圖中我們可以 看到,M 與 N 是座標平面內不 同的兩個點,與它們對應的(3, 2) 與(2, 3)是兩對不同的有序實 數,因此它們具有不同的座標。 想一想,在圖 14-3 裡點 P 與點 Q 的座標各是什麼。 反過來,對於任意一對有序實數,在座標平面內都有一個確 定的點與它對應,這個點在平面內的座標就是這一對有序實數。 例如,給出有序實數對( 3− , 2− ),我們就可以經過 x 軸上座標為 3 − 的點畫 x 軸之垂線,經過 y 軸上座標為 2− 的點畫 y 軸之垂線, 這兩條線的交點 A 就是與有序實數對( 3− , 2− )對應的點(圖 圖 14-3 O y x 1 2 3 1 2 3 M 1 − 1 − Q P N

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14-4),同樣,與有序實 數對(3, 2)、(2.5, 1− )、 ( 2− , 0)、(0, 0)對應的點 分別是 B、C、D、O。 從上面我們看到:對 於座標平面內任意一點 M,都有一對有序實數 (x, y) 與 它 對 應 ; 反 過 來,對於任意一對有序實 數(x, y),在座標平面內 部都有一點 M 與它對 應。因此座標平面內所有 的點與所有有序實數對 之間是一一對應的。 圖 14-4 O (0, 0) y x 1 2 3 B (3, 2) 1 − D (−2, 0) C (2.5, 1− ) A ( 3− ,−2) 2 − 3 − 1 − 2 − 1 2

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1. 寫出圖中 A、B、C、 D、E、F、G、H、 O 各點的座標。 2. 在直角座標系中描出 下列各點: A(3, 6)、B(−1.5, 3.5)、 C(− , 14 − )、D(2, 3− )、 E(3, 0)、F( 2− , 0)、 G(0, 5)、H(0, 4− )。 O y x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − (第 1 題) 6 6 − 6 − 6 7 8 7 − A E D C B H G F

(5)

【ּ 1】 在座標平面內, (1) x 軸上的點之縱座標有什麼特點? (2) y 軸上的點之橫座標有什麼特點?

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ྋ !! (1) 如圖 14-5,在 x 軸上任取一點 P。經過點 P 畫 y 軸 的垂線,垂足是原點 O(0, 0)。點 O 在 y 軸上的座標 都是 0,所以點 P 的縱座標是 0。這就是說,x 軸上 的點之縱座標都是 0。 (2) 同理可知,y 軸上的點之橫座標都是 0。 【ּ 2】 如圖 14-6,已知正方形 ABCD 的邊長等於 4,求四個頂 點的座標。

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ྋ !! 四個頂點的座標分別為 圖 14-5 O y x P 圖 14-6 O y x A D C B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

(6)

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1. 寫出例 2 正方形各邊中點的座標。 2. 已知正方形的邊長等於 4,對角線的交點在原點,邊與座標 軸平行,求它的各頂點之座標。 3. 已知點 P 的座標是(5, 3− ),分別寫出點 P 關於 x 軸、y 軸與 原點對稱的點之座標。 4. 以點(3, 0)為圓心,以 5 為半徑畫一圓,寫出圓與座標軸交點 的座標。

14.2 ׌ᕇม۞෼ᗓ

在座標平面內,我們用點的座標表示點之位置。現在來研究 怎樣用兩點的座標來表示這兩點間的距離。 1. 同一數軸上兩點間的距離 圖 14-7 是一條數軸,數軸上的點 A、B、C、D 的座標分別 是 7、2、 3− 、 7− 。我們來看一看數軸上任意兩點間的距離(也就 是連結這兩點的線段之長度)能不能用這兩點的座標來表示。 由圖 14-7 可以看出,線段 BA、OA、OB 之間有 BA=OA OB的關係。因為 OA=7、OB=2,所以BA= − 。但 7、2 分別是點7 2 A、B 在數軸上的座標,這就是說,線段 BA 的長度等於點 A 的座 標減去點 B 的座標。我們知道, 7 2 | 7 2 | | 2 7 |− = − = − ,所以利用 絕對值符號,我們可以說,線段 AB 的長度(也就是點 A 與 B 之間 的距離)等於 A、B 兩點的座標之差的絕對值。類似地, 2 3 | 2 ( 3) | | ( 3) 2 | 7 3 | ( 7) ( 3) | | ( 3) ( 7) | CB OB CO DC DO CO = + = + = − − = − − = − = − = − − − = − − − 圖 14-7 O 1 − 2 − 3 − 4 − 6 − 6 7 8 7 − A D C B 1 2 3 4 5 0 5 − 8 −

(7)

一般地,數軸上任意兩點間的距離,等於這兩點的座標之差 的絕對值。也就是說,如果數軸上 A、B 兩點的座標分別為x 、A B x ,那麼 A、B 兩點間的距離公式為 | | = BA AB x x 2. 平面內任意兩點間的距離 設P (1 x ,1 y )、1 P (2 x ,2 y )是座標平面內的任意兩點(圖 14-8),2 從點P 、P 分別畫 x 軸的垂線PM 、P M ,與 x 軸分別交於點

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1. 在(1)到(6)各圖(數軸上每一格等於一個單位長度)中,就線段 AB 填寫下表: 圖號 x A x B xBx A AB 的長度 (1) (2) (3) (4) (5) 2 − 5 − 7 7 (6) 2. 已知數軸上的點 A、B、C、D 的座標分別是 5− 、7、 2− 、3, 求點 A 與 B、B 與 C、C 與 D、C 與 A 之間的距離? O (1) A B O (2) A B A (3) B O O (4) B A B (5) O A A (6) B O (第 1 題)

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1 M ( x , 0)、1 M (2 x , 0)。再從點2 P 、1 2 P 分別畫 y 軸的垂線P N 、1 1 P N ,2 2 與 y 軸 分 別 交 於 點 N (0,1 y ) 、1 2 N (0, y )。直線2 P N 與1 1 P M 相交2 2 於點 Q。 因為△ PQP 是直角三角形,1 2 根據勾股定理,得 P P1 22 = PQ1 2 +QP 22 ∵ PQ1 = M M1 2 =| x2x 1 | QP2 = N N1 2 =| y2y 1 | ∴ P P1 22 =| x2x1 |2 +| y2y1 |2= (x2x1)2 +(y2y1)2 由此得到 P1( x1, y1)、 P2( x2 , y2)兩點間的距離公式: ( ) ( ) P P1 2 = x2x1 2 + y2y1 2 【ּ 1】 求兩點P ( 31 − , 5)、P (1, 2)間的距離。 2

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ྋ !! x1 = −3、 y1 = 5; x2 =1、 y2 = 2。 代入兩點間的距離公式,得 2 2 2 2 1 2 = [1 ( 3)]− − + −(2 5) = 4 + −( 3) =5 P P 【ּ 2】 在圖 14-9 給出的零件圖上(如果沒有特別註明,本書中 零件圖上的尺寸都是 mm),選擇如圖 14-10 所示的座標 系,分別求孔心 A、B 及 B、C 間的距離(精確到 0.01 mm)。 ! ! ! ! ! ! 圖 14-8 O y x Q 2 P 1 P 2 N 1 N 2 M 1 M y x A B C A B C 26 15 28 20

(9)

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ྋ !! 孔心的座標是 A(0, 0)、B(28, 26)、C(48, 15− )。 將點的座標代入兩點間之距離公式,得 2 2 2 2 (28 0) (26 0) 1460 38.21 (48 28) ( 15 26) 2081 45.62 = − + − = ≈ = − + − − = ≈ AB BC 即孔心 A、B 間的距離約是 38.21 mm,B、C 間的距離 約是 45.62 mm。

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! 1. 描出橫座標 x 分別等於− 、 34 − 、 2− 、 1− 、0、1、2、3、4, 縱座標 y 由方程 = 2 y x 決定的各點,並且用光滑曲線把各點依 序連結起來。

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1. 求下列兩點間的距離: (1) P ( 11 − , 0)、P (2, 0); (2) 2 P (0, 6)、1 P (0, 22 − ); (3) A( 2− , 0)、B( 4− , 3); (4) A(2, 5− )、C(2, 3); (5) M( 3− , 8)、N( 1− , 2− ); (6) O(0, 0)、P(2, 3− )。 2. 如圖,已知零件圖上孔心的座標為 A( 20− , 50)、B(40, 0)、C( 40− , 0), 求每兩孔中心間的距離 (精確到 0.01 mm)。 3. 甲船在某港口東 50 km、北 30 km 處,乙船在同一港口東 17 km、 南 26 km 處。選擇座標系求甲、 乙兩船間的距離。 y x B A C (第 2 題)

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2. 如圖,OA=8、OB =6,求點 A、 B 的座標。 3. (1) 點 P(x, y)在第一象限內,x、 y 應取什麼符號? (2) 點 Q(x, y)在第三象限內,x、 y 應取什麼符號? 4. 在第一象限內兩條座標軸夾角平分線上的點,它們的橫座標 與縱座標之間有什麼關係?在第二象限內呢? 5. 一個菱形每邊的長是 5,一條對角線的長是 6,取兩條對角線 所在的直線作為座標軸,求四個頂點的座標(有兩種情況)。 6. 寫出點 P(a, b)關於座標軸及原點的對稱點之座標。 7. 已知數軸上兩點 A、B 的座標x 、A x 取下列各值,求 A、B 間B 的距離。 (1) xA =8、xB = 6; (2) xA = 2、 xB = −1; (3) xA = −3、 xB = 0; (4) xA = 0、 xB = −8。 8. 在下列各題中,分別以 A、B、C 三點為頂點畫三角形,求三 角形各邊的長,並判別所畫出的三角形中哪些是等腰三角 形,那些是等邊三角形,哪些是直角三角形。 (1) A( 3− , 0)、B(3, 0)、C(0, 3 3 ); (2) A(− , 3)、B(2, 54 − )、C(0, 6); (3) A(5, 1)、B(2,− )、C(2.5, 0.5); 2 (4) A(3, 0)、B(6, 4)、C(− , 3)。 1 9. 在製造如圖所示的零件時,需要知 道三個孔心間的距離。現已知三個 孔心座標為 A( 10− , 30)、B(30, 0)、 C( 40− , 0),求孔心間的距離。 x C B A y (第 9 題) x A y O B 45° 120° (第 2 題)

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14.3 בᇴ

1. 常量與變量 看下面的例子: (1) 火車以 60 km/小時的速度行駛,它走過的路程 s (km)與 時間 t (小時)之間的關係是s =60t 。 (2) 一個圓的面積 A (cm2)與它的半徑 r (cm)之間的關係是 2 π = A r 。 可以看出:在例(1)中,利用公式s = 60t 計算火車在不同的時 間內所走過之路程時,t、s 可以取不同的數值,而速度的數值保 持不變;在例(2)中,利用公式 =π 2 A r 計算不同半徑的圓之面積 時,r、A 可以取不同的數值,而π 的數值保持不變。 在某一過程中可以取不同數值的量,叫做變量,如上面例子 中的 t 小時、s 公里、r cm、A cm2。在過程中保持同一數值的量 或數,叫做常量或常數,如上例中的 60 km/小時是常量,π 是常 數。常量與變量是對某一過程來說的,是相對的。在例(1)中速度 是常量,路程與時間都是變量;如果在同一時間內,研究路程與 速度之間的對應關係,那麼時間是常量,路程與速度是變量。 2. 函數 在上面的例(1)中,時間 t 的值可以在非負實數(即正實數與零) 的範圍內任意選取,對於 t 的每一個確定之值,路程 s 都有唯一 確定的值與它對應,如: t (小時) 1 1.5 2 2.5 3 … s (km) 60 90 120 150 180 … 同樣,在例(2)中,半徑 r 的值可以在正實數範圍內任意選取,

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對於半徑 r 的每一個確定之值,圓面積 A 都有唯一確定的值與它 對應。 這種變量之間的對應關係,在工農業生產與科學實驗中大量 存在。除了例(1)、例(2)以外,又如: (3) 某水庫的存水量 Q 與水深 h (指最深處的水深)之間的對 應關係,經過測量如下表所示: 水深 h (m) 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量 Q (萬 m3) 0 20 40 90 160 275 437.5 650 有了這張表後,水深 h 的值可以在表內第一行各值中任意選 取,對於 h 的每一個確定之值,存水量 Q 都有唯一確定的值與它 對應。例如: h = 20 (m)時,Q =160 (萬 m3) ; h=30 (m)時, 437.5 Q = (萬 m3)。 (4) 圖 14-11 是某氣象站用自動溫度記錄儀描下的表示某一 天氣溫變化情況的曲線。 圖 14-11 形象地反映了變量 T 與 t 之間的對應關係。有了這 幅圖後,時間 t 的值可以在 0 到 24 之範圍內任意選取,對於時間 t 的每一個確定之值,氣溫 T 都有唯一確定的值與它對應。例如: 4 t = (時)時,T =1.8( C° );t =14(時)時,T =11.8( C° )。 設在某變化過程中有兩個變量 x、y,如果對於 x 在某一範圍 內的每一個確定之值,y 都有唯一確定的值與它對應,那麼就說 y 是 x 的函數,x 叫做自變量。例如,路程 s 是時間 t 的函數,圓 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2022 24 2 4 6 8 10 12 14 圖 14-11 t(時) T ( C° )

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面積 A 是半徑 r 的函數,存水量 Q 是水深 h 的函數,氣溫 T 是時 間 t 的函數。 我們看到,60t 與πr2 都是含一個字母的代數式。一般地說, 含一個字母的代數式之值,是由這個字母所取的值確定的;這個 字母的值,只要不使代數式與實際問題失去意義,可以任意選 取。對於這個字母的每一個確定之值,代數式都有唯一確定的值 與它對應。因此,每一個含一個字母的代數式都是這個字母的函 數。例如,x− 是 x 的函數,2 1 2 1 u是 u 的函數, 2 1 5 t是 t 的 函數,等等。 【ּ 1】 求下列函數中自變量 x 的取值範圍: (1) y = 2x+ ; 3 (2) y = −3x2; (3) 1 1 y x = − ; (4) y = x− 。 2

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ྋ ! (1) x 取任意實數,2x+ 都有意義。因此 x 的取值範圍3 是全體實數。 (2) x 取任意實數,3x2都有意義。因此 x 的取值範圍 是全體實數。 (3) x = 時,1 1 1 x− 沒有意義;x ≠ 時,1 1 1 x− 都有意義。 因此 x 的取值範圍是所有不等於 1 的實數。 (4) x < 時,2 x− 沒有意義;2 x ≥ 時,2 x− 都有2 意義。因此 x 的取值範圍是所有大於或等於 2 的實 數,即 x ≥ 。 2 注意:在函數 2 Ar 中,如果僅從代數式考慮,πr2 中字母 r 的 取值範圍可以是全體實數,但從實際問題考慮, 2 r π 中的 r 表示圓的半徑,那麼它的取值範圍就只能是大於零的實 數,即r > 。所以遇到實際問題時,確定函數的自變量取0 值範圍,必須使實際問題也有意義。

(14)

【ּ 2】 在例 1 中,求當x = 時函數 y 的對應值。 2 分析: 例 1 中的函數當 x = 時都有意義,只要用 2 代替式中的2 x,就可得到 y 的對應值。

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ྋ !! (1) 2 2 3 7y = × + = ; (2) y = − ×3 22 = − ; 12 (3) 1 1 2 1 y = = − ; (4) y = 2 2− = 。 0 對於自變量在取值範圍內的一個確定之值,例如 x = ,函數a 有唯一確定的對應值。這個對應值,我們叫做當 x = 時的函數之a 值,簡稱函數值。如例 2,就是求當x = 時的函數值。 2

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1. (口答) 在下面的等式裡,有哪些變量、常量或常數? (1) 等速運動公式s = ,這裡 v 表示速度、t 表示時間、s vt 表示在時間 t 內所走的路程; (2) 球體積公式 4 3 3 V = πr ,這裡 r 表示球的半徑、V 表示半 徑是 r 的球之體積; (3) 正 n 邊形的內角α 與邊數 n 之間的對應關係: (n 2)180 n α = − ° 。 2. 求下列函數中自變量 x 的取值範圍: (1) 1 2 x y = − ; (2) 3 4 y x = − ; (3) y = − x− ; 5 (4) 2 1 2 y x x = − − 。 3. 在第 2 題中求當x = 、9 x = 30的函數值。

(15)

14.4 בᇴ۞ܑϯڱ

表示函數的方法,最常用的有以下三種。 1. 解析法 就是用等式來表達一個變量是另一個變量的 函數。這個等式叫做函數的解析表達式(或函數關係式),簡稱解 析式,例如s = 60tA=

π

r2、y = x− 、2 4 3 3 V = πr 、 1 2 1 s u = − 、 2 1 5 z t = − 等等。 2. 列表法 就是列出表格來表示一個變量是另一個變量 的函數。如第 14.3 節例(3)中的水庫存水量與水深的對照表,以 及平方表、平方根表、對數表等數學用表,都是用列表法來表示 函數的。 3. 圖形法 把自變量 x 的一個值與函數 y 之對應值分別作 為點的橫座標與縱座標,可以在直角座標系內描出一個點,所有 這些點的集合,叫做這個函數的圖形。圖形法就是用圖形來表示 一個變量是另一個變量的函數。如第 14.3 節例(4)中的氣溫隨時 間之變化圖。 知道函數的解析式,要畫函數的圖形,一般分為列表、描點、 連線三個步驟,即先列出自變量與函數的一些對應值,用這些對 應值為座標,描出圖形上的一些點,然後用一條或幾條平滑曲線 (包括直線),按照自變量由小到大的順序,把所描的點連結起來。 這種畫函數圖形的方法叫做描點法。顯然,用描點法所畫的圖形 一般是近似的、部分的,要使畫出的圖形更精確,需要描出圖形 上更多的點。 【ּ 1】 畫出函數 1 3 8 y = x 的圖形。

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ྋ !! 1. 列表。在 x 的取值範圍內取一些值,算出 y 的對應 值,列成下表:

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x … − 4 − 3 −2 − 1 0 1 2 3 4 … 3 1 8 y = x … − 3.388 − −1 −0.13 0 0.13 1 3.38 8 … 2. 描點。根據表裡這些對應值, 在座標系內描點。 3. 連線。用平滑曲線,按自變量 由小到大的順序,把所描的點連結 起來,就是函數 1 3 8 y = x 的圖形(圖 14-12)。 x 圖 14-12 O y

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1. 用解析式表示下列函數: (1) 如果每升高 100 m,氣溫就下降 0.6 C° ,求氣溫降低數 T ( C° )與高度增加數 h (km)之間的函數關係式; (2) 某工廠現有煤 1500 T,求這些煤能用的天數 y 與這家工 廠每天平均用煤的 T 數 x 之間的函數關係式。 2. 根據某水庫的水深-庫容曲線圖,填寫下表: 水深(m) 5 10 15 20 25 庫容(萬 m3) 3. 畫出下列函數的圖形: (1) y = ; (2) x y = + 。 x 1 0 5 10 15 20 25 30 100 200 300 400 500 600 (第 2 題) 水深 (m) 庫容 (萬 m3 )

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! 1. 按照下列程序寫出 y 與 x 之間的函數關係式: (1) (2) 2. 求下列函數中自變量 x 的取值範圍: (1) y =3x2 −5x+ 3; (2) 2 1 2 x y x + = − ; (3) 2 1 6 x y x x + = − − ; (4) 2 3 4 9 x y x = − ; (5) y = 2x− ; 5 (6) y = +x x+ ; 2 (7) 2 2 5 6 x y x x + = + + 。 3. 已知函數 y = x2 −3x+ ,填表: 4 x − 2 − 1 0 1 11 2 2 3 4 y 4. 已知函數 2 1 2 x y x + = − ,求當x = 、 43 − 、0、 1 2 − 、 2 時的函數 值。當 2 3 x = a + 時,y 等於多少? 5. 已知函數 y = 2x2 −5x+ ,求當3 x = 、2 時的函數值。x 取什0 麼值時函數值為 0? 6. 一個銅球在 0 C° 時的體積是 1000 cm3,加熱後溫度每增加 1 C° ,體積增加 0.051 cm3。用解析式表示體積 V 是溫度 T 的 函數,並根據列出的解析式計算銅球加熱到 200 C° 時的體積。 輸入 x ×31 輸出 y 輸入 x 2 ×3 +1 輸出 y

(18)

7. 用解析式將等腰三角形頂角的度數 y,表示為底角的度數 x 之 函數,並求自變量 x 的取值範圍。 8. 已知 x、y 滿足下列等式,用 x 的代數式表示 y: (1) 2x+4y =12; (2) xy =15; (3) (x−2)(y + = − ; (4) 3) 6 3 2 4 3 y x y + = − ; (5) y2 =4x ( y ≥ ); 0 (6) 2 0 3 yx = 。 9. 已知函數 y = ax b+ (a、b 都是常數),並且當 x = 時1 y = ,當7 2 x = 時 y =16。確定 a、b 的值: 10. 測得某一彈簧的長度 y 與懸掛的重量 x 有下面的一組對應值: x (kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y (cm) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 假定 y 與 x 之間的函數關係式是 y = ax b+ (a、b 都是常數), 利用表中任意兩對對應值來確定 a、b 的值,再用表中其它數 據來進行檢驗。 11. 下表示某天一晝夜間溫度變化的紀錄: 時間 (時) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 溫度 ( C° ) −2 − 43 − 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 −1 根據這個表,畫出反應這一晝夜間溫度變化情況的曲線。 12. 下圖是某個地區某月中的日平均溫度變化之圖形,根據這個 圖形說明: (1) 這個月中最高與最低的日平均溫度各是多少; (2) 這個月中日平均溫度變化的幅度是多大。

(19)

13. 畫出下列函數的圖形: (1) y = 4x; (2) y =3x+ ; 1 (3) y = −2x2 ; (4) y = 2x2 − 。 1

ˬăϒּͧבᇴᄃּͧͅבᇴ!

14.5 ϒּͧבᇴ̈́׎ဦԛ

1. 正比例函數 看下面的例子: (1) 在一塊地裡施用肥料,每公畝用肥料 1.5 kg。那麼所需 這種肥料的總量 y (kg)與這塊地的面積 x (公畝)之間的函數關係 式是 1.5 y = x 。 (2) 銅的比重是 8.9 g/cm3,銅的重量 W (g)與體積 V (cm3)之 間的函數關係式是 8.9 W = V 。 (第 12 題) 10 14 18 0 2 4 6 8 12 16 20 22 24 2 4 6 8 10 12 14 時間 (日) 溫度( C° ) 16 18 20 26 28 30

(20)

例(1)中的變量 y 與變量 x 的相應值之比例 y x 是一個常數(等 於 1.5)。同樣,例(2)中的 W 與 V 之間也有這種性質。在算術中, 我們把具有這種性質的兩個量叫做正比例。在這裡,我們把 1.5 y = xW =8.9V 這樣的函數都叫做正比例函數。 一般地,函數 y = kx (k 是一個不等於零的常數,無論正或負) 叫做正比例函數(這時我們說 y 與 x 成正比例),常數 k 叫做變量 y 與 x 之間的比例係數。在算術中,k 只能取正數,現在我們把它 推廣到也可以取負數。確定了比例係數 k,就可以確定一個正比 例函數。 【ּ 1】 圓的周長 C 與圓的半徑 r 之間成正比例。已知r = (單2 位:cm。下同)時,C =12.56。 (1) 求周長 C 與半徑 r 之間的函數關係式; (2) 求半徑為 3.5 的圓之周長。

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ྋ ! (1) 因為 C 與 r 成正比例,所以 C = kr 。 把r = 、2 C =12.56代入,得 12.56 2 6.28 k k = = ∴ C =6.28r (2) r =3.5時, 6.28 3.5 21.98 C = × = 。 2. 正比例函數的圖形 我們來畫函數 y =2x的圖形。 在 x 的取值範圍內取一些值,算出 y 的對應值,列表如下: x … − 2 − 1 0 1 2 … y … − 4 − 2 0 2 4 …

(21)

用表裡各組對應值作為點的座標,描出各個點,並且把它們 依序連結起來。可以看到函數 y = 2x的圖形是經過 O(0, 0)、A(1, 2) 這兩點的一條直線(圖 14-13)。 同樣可以知道, y = − 的圖形是經過 O(0, 0)、B(1, 33x − )這兩 點的一條直線(圖 14-14)。 一般地,正比例函數 y = kx 的圖形是經過 O(0, 0)、A(1, k)這 兩點的一條直線。我們以後把正比例函數 y = kx 的圖形叫做直線 y = kx 。 由於直線的位置可以由直線上之任意兩點唯一確定,我們在 以後畫正比例函數 y = kx的圖形時,可以不用描點法,只要選取 兩點連成直線就行了。我們通常取 O(0, 0)、A(1, k)這兩點。 【ּ 2】 在同一平面直角座標系內,分別畫出下列函數的圖形: 2 y = x、 y = 、x 1 2 y = x

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ྋ ! 因 O(0, 0)、A(1, 2)是直線 y = 2x上的點,故過這兩點畫 一條直線,即得函數 y =2x的圖形。同理,過 O(0, 0)、 B(1, 1)的直線是函數 y = 的圖形;過 O(0, 0)、C(1,x 1 2 ) 1 O y x 2 1 2 3 4 1 − 2 − 3 − 4 − 1 − 2 − 圖 14-13 2 y = x 1 O y x 2 1 2 3 4 1 − 2 − 3 − 4 − 1 − 2 − 圖 14-14 3 y = − x

(22)

的直線是函數 1 2 y = x的圖形(圖 14-15)。 【ּ 3】 在同一平面直角座標系內,分別畫出下列函數的圖形: 3 y = − 、 yx = − 、x 1 4 y = − x

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ྋ !! !過 O(0, 0)、A(1, 3− )兩點畫一條直線,即得函數 y = − 3x 的圖形。過 O(0, 0)、B(2, 2− ) 兩點畫一條直線,即得函 數 y = − 的圖形。同理,過 O(0, 0)、C(4, 1x − )的直線是 函數 1 4 y = − x的圖形(圖 14-16)。 由圖 14-15 與圖 14-16,我們可以看出,正比例函數 y =kx 有 下列性質: 當k > 0時,它的圖形在第一、三象限內,y 隨著 x 的增大而 增大;當k < 0時,它的圖形在第二、四象限內,y 隨著 x 的增大 而減小。

ቚ ௫!

1. (口答) 下列函數(其中 x 是自變量)中,哪些是正比例函數? 哪些不是?為什麼? (1) y = − ; (2) 8x y 8 x − = ; (3) 2 8 y = x ; (4) y =8x+ 。1 圖 14-15 O y x B C A 2 y = x y = x 1 2 y = x 圖 14-16 O y x B C A 3 y = − x y = −x 1 4 y = − x

(23)

ቚ ௫!

2. 圓的面積 A 是不是半徑 r 的正比例函數? 3. 已知變量 y 與 x 成正比例,並且x = 時,2 y =15,求 y 與 x 之間的比例係數,並寫出 y 與 x 之間的函數關係式。 4. 在同一座標系內,畫出下列函數的圖形: 2 3 y = x、 2 3 y = − x、 3 2 y = x、 3 2 y = − x

14.6 ּͧͅבᇴ̈́׎ဦԛ

看下面的例子: (1) 矩形的面積是 12 cm2,這時底 y (cm)與高 x (cm)之間的 函數關係式是 12 y x = 。 (2) 走 25 km 的路程,所需時間 t (小時)與平均速度 v (km/ 小時)之間的函數關係式是 25 t v = 。 例(1)中的兩個變量 y 與 x 之積是一個常數(等於 12)。同樣, 例(2)中的兩個變量 t 與 v 之間也有這種性質。在算術中,我們說 具有這種性質的兩個量成反比例。在這裡,我們把 y 12 x = 、t 25 v = 這樣的函數都叫做反比例函數。 一般地,函數 y k x = (k 是一個不等於零的常數,無論正或負) 叫做反比例函數(這時我們說 y 與 x 成反比例)。在算術中,k 只能 取正數,現在我們把它推廣到也可以取負數。確定了 k 的值,就 可以確定一個反比例函數。

(24)

【ּ 1】 已知圓柱體積不變,且當它的高h=12.5cm 時,底面積 20 S = cm2。 (1) 求 S 與 h 的函數關係式; (2) 求當高h= cm 時的底面積 S。 5

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ྋ ! (1) 圓柱體積不變時,它的底面積 S 與高 h 成反比例, 所以 k S h = 。 把h=12.5、S = 20代入,得 20 12.5 250 k k = = 答:所求的函數關係式是S 250 h = (2) 當h= cm 時, 5 250 250 50 5 S h = = = (cm2) 答:高是 5 cm 時,底面積是 50 cm2 2. 反比例函數的圖形 【ּ 2】 畫出反比例函數 y 6 x = 與 y 6 x = − 的圖形。

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ྋ ! 第一個函數的自變量 x 之取值範圍是所有非零實數。在 這個範圍內選取 x 的一些值,算出 y 的對應值,列表如 下: x … 6− 5− −4 −3 −2 − 1 2 3 4 5 6 …1 y … − 1.21 − 1.5− −2 −3 − 6 3 2 1.5 1.2 1 …6 用表裡各組對應值作為點的座標,描出各個點。依序連 結第一象限內的各點並延長,得到圖形的一個分支;接 著順次連結第三象限內的各點並延長,得到圖形的另一

(25)

個分支。將這兩個分支合起來,就是函數 y 6 x = 的圖形 (圖 14-17)。 用同樣的方法,可以畫出 y 6 x = − 的圖形(圖 14-18)。 反比例函數 y k x = (k ≠ )的圖形叫做雙曲線。 0 由圖 14-17 與圖 14-18,我們可以看出,反比例函數 y = k x 有 下列性質: (1) 當k > 0時,函數圖形的兩個分支分別位於第一、三象限 內,在每一個象限內,y 隨著 x 的增大而減小;當k < 0 時,兩個分支分別位在第二、四象限內,在每一個象限 內,y 隨著 x 的增大而增大。 (2) 兩個分支都無限接近但永遠不能達到 x 軸與 y 軸。

ቚ ௫!

1. (口答) 下列各小題中的兩個變量是否成反比例?為什麼? (1) 時間不變時,勻速運動所走的路程與運動的速度; (2) 路程不變時,勻速運動所需的時間與運動的速度。 6 y x = x y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 圖 14-17 6 y x = − x y O 1 2 3 4 5 6 圖 14-18 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 −

(26)

ቚ ௫!

2. 已知變量 y 與 x 成反比例,並且當x = 時,3 y = 。求: 7 (1) y 與 x 之間的函數關係式; (2) 當 21 3 x = 時 y 的值; (3) 當 y = 時 x 的值。 3 3. 在同一座標系內,畫出下列函數的圖形: 5 y x = 、 y 5 x − = 。

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! 1. 下列各小題中的兩個變量哪些成正比例?哪些成反比例?哪 些既不成正比例也不成反比例? (1) 三角形的底邊不變時,它的面積與這個底邊上的高; (2) 三角形的面積不變時,它的底邊與這個底邊上的高; (3) 重量不變時,物體的體積與密度; (4) 體積不變時,物體的重量與密度; (5) 某人的年齡與體重; (6) 除數不變時,被除數與商; (7) 被除數不變時,除數與商; (8) 3x+ 與 x; (9) xy =18中的 y 與 x; (10) x÷ =y 18中的 y 與 x。 2. 已知 y 與 x 成正比例,且x = 時8 y = 。分別求6 x = 與3 x = −9 時 y 的值。 3. 已知 y 與x 成正比例,且2 x = 時2 y =16。求: (1) x = − 時 y 的值; 4 (2) y =64時 x 的值。

(27)

4. 在同一座標系內,畫出下列函數的圖形: 3 4 y = x、 5 2 y = − xy = 2.5xy = −0.6x5. 已知 a 與b 成反比例,且2 b = 時4 a = 。求5 4 5 b = 時 a 的值。 6. 設矩形的面積是 24 cm2,長是 x cm。 (1) 求它的寬 y; (2) 把這個矩形的寬表示為長的函數,寫出自變量的取值範 圍,並畫出它的圖形。 7. 在同一座標系內,畫出下列函數的圖形: 1 xy = 、 xy = − 、1 xy− = 、2 0 xy + = 。 2 0 8. 已知 y = y1 + ,y2 y 與 x 成正比例,1 y 與2 x 成反比例,並且2 x = 2 與x = 時,y 的值都等於 19。求 y 與 x 之間的函數關係式。 3 9. 已知 y = + ,y1 y2 y 與 x 成正比例,1 y 與 x 成反比例,並且2 x =1 時 y = ,4 x = 時2 y = 。求5 x = 時 y 的值。 4

αă˘Ѩבᇴ۞ဦԛᄃّኳ!

14.7 ˘Ѩבᇴ

看下面的例子: (1) 汽車離開 A 站 4 km 後,以 40 km/小時的平均速度前進 了 t 小時,那麼汽車離開 A 站的距離 s (km)與時間 t (小時)之間的 函數關係式是 40 4 s = t + 。 (2) 挖土機開始工作時,油箱中有油 40 kg。如果每小時耗 油 6 kg,那麼油箱中的餘油量 Q (kg)與它工作的時間 t (小時)之間 的函數關係式是 = − = − + 。

(28)

這些函數關係式都具有 y = kx b+ (k ≠ )的形式。 0 函數 y = kx b+ 叫做 x 的一次函數,這裡 x 是自變量,k、b 都 是常數,且k ≠ 。 0 如果b= ,一次函數 y kx b0 = + 就成為 y kx= ,這就是正比例 函數。所以正比例函數是一次函數的特殊情形。 【ּ】 汽車從 A 站經 B 站以勻速v km/分鐘開往 C 站。已知離0 開 B 站 9 分鐘時,汽車離 A 站 10 km,又行駛一刻鐘, 離 A 站 20 km。如果再行駛半小時,汽車離 A 站多少 km?

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ྋ ! 設 A、B 兩站之間的距離為s km。離開 B 站 t 分鐘時,0 汽車離 A 站 s 公里。於是由物理學可知 0 0 s = v t+ 。 st = 、9 s =10及t = 24、s =20分別代入上式,得 0 0 0 0 10 9 20 24 v s v s = + ⎧ ⎨ = + ⎩ 這是一個以v 、0 s 為未知數的二元一次方程組。解這個0 方程組,得 0 2 3 v = 、s0 = 。 4 ∴ 2 4 3 s = t + 當t = 54時, 2 54 4 40 3 s = × + = (km)。 答:離開 B 站 54 分鐘時,汽車離 A 站 40 km。 在上例中,我們先確定 s 與 t 的函數關係式為s = v t0 + 的形s0 式,其中v 、0 s 是未知的係數,然後根據條件0t = 時9 s = 、 2410 t = 時s = 20」,求出未知係數 0 2 3 v = 、s0 = 。像這樣,先設某些未4 知的係數,然後根據所給的條件來確定這些未知係數之方法是待 定係數法。待定係數法是數學中常用的一種方法,我們在以前曾 經多次用到。

(29)

ቚ ௫!

已知 y− 與 x 成正比例,且3 x = 時2 y = 。 7 (1) 寫出 y 與 x 之間的函數關係式; (2) 計算x = 時 y 的值; 4 (3) 計算 y = 時 x 的值。 4

14.8 ˘Ѩבᇴ۞ဦԛᄃّኳ

我們來畫函數 2 4 3 y = x+ 的圖形,並且把它同直線 2 3 y = x相 比較。 在 x 的取值範圍內列出這兩個函數的對應值表: x … − 2 − 1 0 1 2 … 2 3 y = x … 4 3 − 2 3 − 0 2 3 4 3 … 2 4 3 y = x+ … 4 4 3 − + 2 4 3 − + 4 2 4 3+ 4 4 3+ … 它們的圖形如圖 14-19 所示。 O y x 3 2 1 2 − 1 − 2 3 y = x 2 4 3 y = x+ 4 − 3 − 2 − −1 4 − −3 6 − −5 4 5 3 2 1 4 5 4 4 4 4

(30)

可以看出,對於 x 的每一個值,函數 2 4 3 y = x+ 的值都比函 數 2 3 y = x的值多 4 個單位,因此,把直線 2 3 y = x向上平行移動 4 個單位,就可以得到函數 2 4 3 y = x+ 的圖形。由此可見,一次函 數 2 4 3 y = x+ 的圖形是經過點(0, 4)且平行於直線 2 3 y = x的一條 直線。 一般地,一次函數 y = kx b+ 的圖形是經過點(0, b)且平行於直 線 y = kx 的一條直線。因此,我們以後把一次函數 y = kx b+ 的圖 形叫做直線 y = kx b+ 。 直線 y = kx b+ 與 y 軸相交於點 B(0, b),b 叫做直線 y kx b= + 在 y 軸上的截距,簡稱截距。 一次函數 y = kx+b 有下列性質: k > 0時,y 隨 x 的增大而增大;當k < 0時,y 隨 x 的增大 而減小。 由於直線的位置可以由直線上的任意兩點唯一確定,所以要 畫 y = kx b+ 的圖形,只要先確定這條直線上的任意兩點,然後過 這兩點畫一條直線就行了。 【ּ 1】 畫出直線 1 2 2 y = x+ 。

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ྋ !x = ,得0 y = ; 2 取 y = ,得0 x = − 。 4 經 過 點 A(0, 2) 與 點 B(− , 0)畫直線,它就4 是 所 求 的 直 線 ( 圖 14-20)。 圖 14-20 O y x 1 2 2 y = x+ A B

(31)

【ּ 2】 一根彈簧的原長是 12 cm,它掛的重量不能超過 15 kg, 且每掛重 1 kg 就伸長1 2 cm。寫出掛重後彈簧長度 y (cm) 與掛重 x (kg)之間的函數關係式,並畫出它的圖形。 分析: 因為彈簧每掛重 1 kg 就伸長 1 2 cm,所以掛重 x kg 就伸 長 1 2 x cm。又因為彈簧的原長是 12 cm,所以掛重 x kg 後的長是 1 12 2 x+ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠cm。

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ྋ ! y 與 x 之間的函數關係式為 1 12 2 y = x+ ( 0≤ ≤x 15)。 (括號中的不等式 0≤ ≤x 15表示 x 的取值範圍。) 下面畫 1 12 2 y = x+ ( 0 ≤ ≤x 15)的圖形。 取x = ,得0 y =12;取x =15,得 19 1 2 y = 。 描出點 A(0, 12)與點 B(15,191 2 ),然後連成線段 AB(想一 想 為 什 麼 不 畫 直 線 ) ,這條線段就是所求的圖形( 圖 14-21)。 y x (kg) (cm) 5 10 15 20 5 10 15 20 圖 14-21 O A B

(32)

ቚ ௫

1. 在同一座標系內,畫出下列函數的圖形,並且把它們與直線 1 3 y = x相比較。 (1) 1 4 3 y = x+ ; (2) 1 2 3 y = x− 。 2. (1) 已知一次函數 y = kx+ 在2 x = 時的值為 4,求 k; 5 (2) 已知直線 y = kx+ 經過點 P(5, 4),畫出這條直線。 2

௫ ᗟ ̱

! 1. 已知當壓力不變時,氣體的體積與溫度之間的函數關係式是 0 0.0037 0 t V =V + V t ,其中V 是氣體在t t ° 時的體積,C V 是在0 0 C° 時的體積。現在有一定量的氣體,壓力不變,在 0 C° 時 的體積是 100 L。求: (1) 溫度是30 C° 時氣體的體積; (2) 溫度是多少時氣體的體積是 101 L。 2. 已知 y = + ,這裡 P 是一個常數,z 與 x 成正比例,且P z x = 2 時 y = 、1 x = 時3 y = − 。 1 (1) 寫出 y 與 x 之間的函數關係式; (2) 計算x = 時 y 的值; 0 (3) 計算 y = 時 x 的值。 0 3. 已知 y+ 與 x ab + (其中 a、b 是常數)成正比例,求證 y 是 x 的 一次函數。如果x = 時3 y = 、5 x = 時2 y = ,把 y 表示成 x2 的函數。 4. 根據實驗知道,酒精的體積與溫度之間的關係在一定範圍內 接近於一次函數。現在測得一定量的酒精在 0 C° 時的體積是 5.250 L,在 40 C° 時的體積是 5.481 L。計算這些酒精在10 C° 與 30 C° 時的體積。

(33)

5. 聲音在空氣裡的傳播速度 v (m/秒)與溫度 t ( C° )的函數關係式 是v =331 0.6+ t。畫出函數的圖形,並根據圖形求當t = − °5 C 與t =15 C° 時的聲音的傳播速度。 6. (1) 已知一次函數 y = kx b+ 在 x = − 時的值為 9,在4 x = 時6 的值為 3,求 k 與 b; (2) 已知直線 y =kx b+ 經過點( 4− , 9)與點(6, 3),求 k 與 b, 並畫出這條直線。 7. (1) 在同一座標系內,畫出下列直線: 2 3 y = x+ 、 y = 2x− 、3 y = − + 、x 3 y = − − 。 x 3 (2) 這四條直線是不是圍成一個平行四邊形,為什麼? 8. (1) 在同一座標系內,畫出函數 y =3x− 與2 y = 2x+ 的圖 3 形; (2) 根據這兩個圖形,求 x 等於什麼值時,函數 y =3x− 與2 2 3 y = x+ 有相同的值; (3) 用圖形法求方程 6x+ =3 4x− 的解。 7 9. 已知 y = kx b+ 的圖形上之點在下列範圍內,分別畫出它的圖 形之大致位置,並指出 k 與 b 的符號。 (1) 在第一、二、三象限內; (2) 在第一、二、四象限內; (3) 在第一、三、四象限內; (4) 在第二、三、四象限內。 10. 畫出函數 y =3x+12的圖形。利用圖形: (1) 求當x = − 、 12 − 、 1 2 時 y 的值; (2) 求當 y = 、9、 33 − 時對應的 x 值; (3) 求圖形與座標軸的兩個交點之座標及交點間的距離; (4) 求方程 3x+12 = 的解; 0 (5) 求不等式 3x+12 > 的解集; 0 (6) 如果 y 的取值範圍為− ≤ ≤ ,求 x 的取值範圍。 6 y 6

(34)

̣ă˟Ѩבᇴ۞ဦԛᄃّኳ!

14.9 ˟Ѩבᇴ

看下面的例子: (1) 正方形的邊長是 x (cm),則它的面積 y 與邊長 x 之間的 函數關係式是 2 y = x (cm2)。 (2) 工廠第一個月電視機的產量為 50 (台),第三個月的產量 y (台)與月平均增長率 x 之間的函數關係式是 2 50(1 ) y = + x , 即 2 50 100 50 y = x + x+ 。 上面兩個函數關係式中,自變量 x 的最高次數是 2。我們把 形如 2 y = ax +bx+ (其中 a、b、c 是常數,且c a ≠ )的函數叫做二0 次函數。

ቚ ௫

1. 矩形木板長 a cm、寬 b cm。如果長、寬各鋸去 x cm,求加 工後木板的面積 y (cm2)與 x (cm)之間的函數關係式。 2. 設圓柱的高 h (cm)是常量,寫出圓柱的體積 V (cm3)與底面積 周長 C (cm)之間的函數關係式。

14.10 ˟Ѩבᇴ

y

=

ax ۞ဦԛᄃّኳ

2 我們先研究特殊的二次函數之圖形與性質,然後再研究一般 的二次函數之圖形與性質。 【ּ 1】 畫出函數 2 y = xy = − 的圖形。 x2

(35)

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ྋ ! 在 x 的取值範圍內列出函數之對應值表: x … −2 11 2 − 1 1 2 − 0 1 2 1 1 1 2 2 … 2 y = x … 4 21 4 1 1 4 0 1 4 1 1 2 4 4 … 用表裡各組對應值作為點的座標,進行描點,然後用平 滑曲線把它們依序連結起來,就得到函數 2 y = x 的圖形 (圖 14-22)。 用同樣方法,可以畫出函數 y = − 的圖形(圖 14-23)。 x2 【ּ 2】 畫出函數 1 2 2 y = xy = 2x2的圖形。

ś

ྋ ! 先畫函數 1 2 2 y = x 的圖形。在 x 的取值範圍內列出函數 之對應值表: x … −4 − 3 −2 −1 0 1 2 3 4 … 2 y = x … 8 41 2 2 1 2 0 1 2 2 1 4 2 8 … 圖 14-22 O y x 2 y = x 圖 14-23 O y x 2 y = −x

(36)

用表裡各組對應值作為點 的座標,進行描點,然後用 平滑曲線把它們依序連結 起來,就得到函數 1 2 2 y = x 的圖形(圖 14-24)。 用同樣的方法,可以畫出函 數 2 2 y = x 的圖形。我們把 它畫在圖 14-24 所示的座標 系內。 函數 y = ax2的圖形形如物體拋射時所經過的路線,我們把它 叫做拋物線。這條拋物線關於 y 軸對稱,y 軸叫做拋物線的對稱 軸。對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點,這條拋物線的頂 點是原點。 從圖 14-22、14-23、14-24 可以看出,二次函數 y =ax 有下2 列性質: (1) 拋物線 y = ax 的頂點是原點,對稱軸是 y 軸。 2 (2) a > 0時,拋物線 y =ax 在 x 軸的上方(頂點在 x 軸 2 上),它的開口向上,並且向上無限延伸; a < 0時,拋物線 y =ax 在 x 軸的下方(頂點在 x 軸 2 上),它的開口向下,並且向下無限延伸。 (3) a > 0時,在對稱軸的左側,y 隨著 x 的增大而減小; 在對稱軸的右側,y 隨著 x 的增大而增大;函數 y 當 x = 0 時的值最小。 a < 0時,在對稱軸的左側,y 隨著 x 的增大而增大; 在對稱軸的右側,y 隨著 x 的增大而減小;函數 y 當 x = 0 時的值最大。 圖 14-24 O y x 2 2 y = x 2 1 2 y = x

(37)

ቚ ௫

1. 在同一座標系內,畫出下列函數的圖形,並比較它們的位置 關係: (1) 2 2 3 y = x ; (2) 2 2 3 y = − x 。 2. 圓面積公式為 A=

π

r2 ,其中 r 為圓的半徑,A 為圓的面積, π 取 3.14。 (1) 求r = 、5、2.5 (cm)時圓的面積; 3 (2) 畫出函數 Ar2( 0< ≤ )的圖形; r 8 (3) 根據圖形,求面積 A =20、40、60 (cm2)時圓的半徑。

14.11 ˟Ѩבᇴ

y

=

ax

2

+

bx

+

c ۞ဦԛᄃّኳ

【ּ 1】 在同一座標系內,畫出函數 2 2 2 1 2 1 ( 3) 2 1 ( 3) 2 2 y x y x y x = = + = + − 的圖形。

ś

ྋ ! 在 x 的取值範圍內列出這幾個函數之對應值表: x … 6− 5− −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 … 2 1 2 y = x … 41 2 2 1 2 0 1 2 2 1 4 2 … 2 1 ( 3) 2 y = x+ 41 2 2 1 2 0 1 2 2 1 4 2 … 2 1 ( 3) 2 2 y = x+ − … 21 2 0 1 1 2 − 2 11 2 − 0 21 2 …

(38)

用描點法畫出它們的圖形(圖 14-25)。 從圖中可以看出,把函數 1 2 2 y = x 的圖形向左平移 3 個單位 後,就得到函數 1 2 ( 3) 2 y = x+ 的圖形;再把函數 1( 3)2 2 y = x+ 的圖 形向下平移 2 個單位,就得到函數 1 2 ( 3) 2 2 y = x+ − 的圖形。由於 2 2 1 1 5 ( 3) 2 3 2 x+ − = 2 x + x+ ,這也就是2 2 1 5 3 2 2 y = x + x+ 的圖形。 由此可知,函數 1 2 3 5 2 2 y = x + x+ 的圖形與函數 1 2 2 y = x 的圖 形形狀是一樣的,只是位置不同。容易知道,函數 1 2 5 3 2 2 y = x + x+ 2 1 ( 3) 2 2 x = + − 當 x = − 時的值最小,最小值是 23 − ,因此拋物線 2 1 5 3 2 2 y = x + x+ 的頂點是( 3− , 2− ),對稱軸是經過點( 3− , 2− )且與 y 軸平行的直線x = − 。3 2 2 「直線x = − 」的意思是:這條直線是由橫座標為 33 − 的一切點所構成的。 它平行於 y 軸。「直線 x= 」的意思也是這樣。 h 圖 14-25 O y x 2 1 2 y = x 2 1 ( 3) 2 y = x+ 2 1 ( 3) 2 2 y = x+ −

(39)

一般地,函數 y = ax2 +bx c+ 的圖形與函數 y = ax2的圖形之 形狀是一樣的,只是位置不同。由於 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 y ax bx c b c a x x a a b b b c a x x a a a a ac b b a x a a = + + ⎛ ⎞ = + + ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = + + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ − ⎛ ⎞ = + + ⎝ ⎠ i 所以它的圖形可以通過平行移動 2 y = ax 的圖形:當 0 2 b a > 時,向 左移動 2 b a 個單位;當 2 0 b a < 時,向右移動 2 b a 個單位;而當 2 4 0 4 ac b a> 時,向上移動 2 4 4 ac b a − 個單位;當 2 4 0 4 ac b a< 時,向 下移動 2 4 4 ac b a個單位。因此,函數 2 y = ax +bx+ 的圖形是一c 條拋物線,它的頂點是 2 4 , 2 4 b ac b a a − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠,對稱軸是平行於 y 軸的 直線 2 b x a = − 。當a > 時,拋物線0 y = ax2 +bx+ 的開口向上,c 它的頂點是最低點。因此,當a > 且0 2 b x a = − 時,函數 y 有最小 值,即 2 4 4 ac b y a − = 最小值 ; 當a < 時,拋物線0 y = ax2 +bx+ 的開口向下,它的頂點是最高c 點。因此,當a < 且0 2 b x a = − 時,函數 y 有最大值,即

(40)

2 4 4 ac b y a − = 最大值 。 綜上所述,二次函數 y =ax2 +bx +c 有下列性質: (1) 拋物線 y = ax2 +bx +c 的頂點是, − ⎞ ⎝ ⎠ 2 4 2 4 b ac b a a ,對稱 軸是直線 = − 2 b x a (2) a > 0時,拋物線的開口向上,並且向上無限延伸; a < 0時,拋物線的開口向下,並且向下無限延伸。 (3) a > 0時,在對稱軸的左側,y 隨著 x 的增大而減小; 在對稱軸的右側,y 隨著 x 的增大而增大;函數 y 當 = − 2 b x a 時有最小值 − 2 4 4 ac b a a < 0時,在對稱軸的左側,y 隨著 x 的增大而增大; 在對稱軸的右側,y 隨著 x 的增大而減小;函數 y 當 = − 2 b x a 時有最大值 − 2 4 4 ac b a【ּ 2】 求拋物線 1 2 5 3 2 2 y = − xx− 的對稱軸與頂點座標,並畫 圖。

ś

ྋ ! 在函數 1 2 5 3 2 2 y = − xx− 中, 1 2 a = − 、b = − 、3 5 2 c = − , 所以! 3 2 b a= − ă 4 2 2 4 ac b a= Ą! ! 也可以將 1 2 5 3 2 x x 2 − − − 配方,得 2 2 2 1 1 1 ( 6 5) [( 3) 4] ( 3) 2 2 2 2 y = − x + x+ = − x+ − = − x+ + 。

(41)

因此,拋物線 1 2 5 3 2 2 y = − xx− 的對稱軸是 x = − ,頂3 點座標是( 3− , 2)。 ! 在 x 的取值範圍內,根據函數的對稱性,列出函數的對 應值表: x … − 6 −5 −4 −3 −2 − 1 0 … y … 21 2 − 0 11 2 2 1 1 2 0 1 2 2 − … 用描點法畫出它的圖形(圖 14-26)。 【ּ 3】 求二次函數 2 2 8 1 y = xx+ 的最大值或最小值。

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ྋ ! 2 2 2 2 8 1 2( 4 4) 8 1 2( 2) 7 y = xx+ = xx+ − + = x− − , 因為a = > ,所以 y 有最小值。當2 0 x = 時,!2 7 y最小值 = − Ą!

ቚ ௫

1. 用配方法把下列函數化成 y = a x( +h)2 + 的形式,並指出它k 們的圖形之開口方向、頂點與對稱軸(不用畫圖): (1) y = x2 −2x− ; (2) 3 y = x2 +6x+ ; 10 (3) y =2x2 −3x+ ; (4) 4 y = −2x2 −5x+ ; 7 (5) y =3x2 +2x; (6) y = 5 x− −2 3x2。 圖 14-26 O y x 2 1 5 3 2 2 y = − xx− 3 x = − 2 3 − −1 5 −

(42)

ቚ ௫

2. 畫出下列函數的圖形: (1) y = − −x2 2x; (2) y = −1 3x2 ; (3) y = −2x2 +8x− ; 8 (4) 1 2 3 5 2 2 y = x + x+ 。 3. (1) 求函數 y = 2(x−3)2在 x = 、2、2.5、2.9、3、3.1、3.5、1 4、5 時的值。這些值中哪一個最小?函數的最小值是什 麼? (2) 求函數 y = − +4 (x 2)2在x = − 、 45 − 、 3− 、 2− 、 1− 、0、 1 時的值。這些值中哪一個最大?函數的最大值是什麼? 4. 求下列函數的最大值或最小值: (1) y = x2 −2x+ ; (2) 4 y = − +x2 3x; (3) S = − − ; (4) 1 2t t2 u = 2V2 +4V − ; 5 (5) V = −3t2 + ; 4t (6) y = x(8− ; x) (7) h =100 5− t2; (8) y = (x−2)(2x+ 。 1)

௫ ᗟ ˛

! 1. (1) 設流速是 a m/分,求每小時流過水管的水量 V (m3)與水 管直徑 D (m)之間的函數關係式; (2) 正方形的邊長是 3,若邊長增加 x,則面積增加 y,求 y 與 x 之間的函數關係式。 2. 畫出函數 y = x2 的圖形,並根據圖形求: (1) x = 、2.4、 1.72 − 時 y 的值(精確到 0.1); (2) x =1.22、( 2.3)− 2時 y 的值(精確到 0.1); (3) 2y = 、5.8 時 x 的值(精確到 0.1); (4) y = 3、 8 時 x 的值(精確到 0.1)。 3. 已知 x 的一個二次函數在 x = 時的值是 4,在0 x = 時的值是1 3,在x = 時的值是 6。求這個二次函數。 2

(43)

4. 已知拋物線 y = ax2 +bx+ 經過 A(0, 1)、B(1, 3)、C( 1c − , 1)三 點,確定 a、b、c 的值並畫出這條拋物線。 5. 已知函數 1 2 4 y = x 、 3 2 2 2 y = − x + 、 2 1 2 y = x + xy =3x2 −4x+ 1 (1) 分別畫出每個函數的圖形。 (2) 分別指出每個圖形的對稱軸、頂點的座標以及開口方 向。 (3) 從圖形上觀察 x 取哪些值時,函數值

(i) 大於零; (ii) 小於零; (iii) 等於零。

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14.12 ˘̮˘Ѩ̙ඈё௡̈́׎ྋڱ

我們已經學習了一元一次不等式,現在來學習一元一次不等 式組。 幾個一元一次不等式所組成的不等式組叫做一元一次不等 式組,所有這些一元一次不等式的解集之公共部分叫做這個一元 一次不等式組的解集。 【ּ 1】 解不等式組 2 1 1 8 4 1 x x x x − > + ⎧ ⎨ + < − ⎩

ś

ྋ ! 不等式 2x− > + 的解集是1 x 1 x > 。 2 不等式x+ <8 4x− 的解集是1 x > 。 3 所以這個不等式組的解集是x > 。 3 把這個不等式組的解集在數軸上表示出來,如圖 14-27 所示。

(44)

【ּ 2】 解不等式組 5 2 3( 1) 1 3 1 7 2 2 x x x x − > + ⎧ ⎪ ⎨ − ≤ − ⎪⎩

ś

ྋ ! 不等式 5x− >2 3(x+ 的解集是1) 21 2 x > 。 不等式1 1 7 3 2 x− ≤ − 2 x的解集是x ≤ 。 4 所以這個不等式組的解集是21 4 2 < ≤ 。 x 把這個不等式組的解集在數軸上表示出來,如圖 14-28 所示。 【ּ 3】 解不等式組 2 3 5 3 2 4 x x + < ⎧ ⎨ − > ⎩

ś

ྋ ! 不等式 2x+ < 的解集是3 5 x < 。 1 不等式 3x− > 的解集是2 4 x > 。 2 由此可知,兩個不等式的解集沒有公共部分,也就是 說,沒有一個數能夠使得兩個不等式同時成立。這時, 我們說不等式組的解集是空集。 從上面的例子可以看出,兩個一元一次不等式所組成的不等 式組之解集有以下四種情形。 x 2 3 圖 14-27 x 4 圖 14-28 1 2 2

(45)

設 a < ,那麼: b 1. 不等式組 x a x b > ⎧ ⎨ > ⎩ 的解集是 x b> (圖 14-29); 2. 不等式組 x a x b < ⎧ ⎨ < ⎩ 的解集是 x a< (圖 14-30); 3. 不等式組 x a x b > ⎧ ⎨ < ⎩ 的解集是 a < < (圖 14-31); x b 4. 不等式組 x a x b < ⎧ ⎨ > ⎩ 的解集是空集。 x a b 圖 14-31 x a b 圖 14-29 圖 14-30 x a b

(46)

ቚ ௫

解下列不等式組,並把不是空集的解集在數軸上表示出來: (1) 4 2 x x > − ⎧ ⎨ < ⎩ (2) 5 3 x x > − ⎧ ⎨ > − ⎩ (3) 7 1 x x < ⎧ ⎨ < − ⎩ (4) 0 3 x x < ⎧ ⎨ > ⎩ (5) 2 1 0 4 0 x x − > ⎧ ⎨ − > ⎩ (6) 3 0 4 7 0 x x − < ⎧ ⎨ + > ⎩

14.13 |

x

|

<

a ă|

x

|

>

a ( > 0

a

) ݭ۞̙ඈё̈́׎ྋڱ

我們來求| |x < 、| |a x > (a a > ) 型不等式的解集。 0 例如,解不等式| |x < 。 2 由絕對值的意義可知,| |x < 可化成下面兩個不等式組: 2 0 2 x x ≥ ⎧ ⎨ < ⎩ (1) 及 0 2 x x < ⎧ ⎨− < ⎩ (2) 不等式組(1)的解集是 0≤ < 。 x 2 不等式組(2)的解集是 2− < < 。 x 0 所以| |x < 的解集是 22 − < < (圖 14-32)。 x 2 從圖 14-32 可以看出,表示| |x < 的解集之線段(除去端點),2 就是數軸上與原點距離小於 2 的點之集合。 又如,解不等式| |x > 。 3 這個不等式可化成下面兩個不等式組: 0 3 x x ≥ ⎧ ⎨ > ⎩ (1) 圖 14-32 x 2 O 2 − 圖 14-33 x 3 O 3 −

(47)

或 0 3 x x < ⎧ ⎨− > ⎩ (2) 不等式組(1)的解集是x > 。 3 不等式組(2)的解集是x < − 。 3 因此,| |x > 的解集是3 x > 或3 x < − (圖 14-33)。 3 從圖 14-33 可以看出,表示| |x > 的解集之兩條射線(除去端3 點),就是數軸上與原點距離大於 3 的點之集合。 一般地來說,不等式| |x < (a a > )的解集是 a x a0 − < < (圖 14-34),不等式| |x > (a a > )的解集是 x a0 > 或 x < − (圖 14-35)。 a 【ּ 1】 解不等式| 3 | 8x < 。

ś

ྋ ! 由原不等式可得 8 3x 8 − < < 。 各除以 3,得 2 2 2 2 3 x 3 − < < 。 所以原不等式的解集是 22 22 3 x 3 − < < 。 【ּ 2】 解不等式| x− < 。 5 | 8

ś

ྋ ! 由原不等式可得 8 x 5 8 − < − < 。 各加上 3,得 3 x 13 − < < 。 所以原不等式的解集是 3− < <x 13。 圖 14-34 x a O a − 圖 14-35 x a a

(48)

【ּ 3】 解不等式| x+ ≤9 | 86。

ś

ྋ ! 由原不等式可得 86 x 9 86 − ≤ + ≤ 。 各減去 9,得 95 x 77 − ≤ ≤ 。 所以原不等式的解集是 95− ≤ ≤x 77。 【ּ 4】 解不等式| x− > 。 3 | 5

ś

ྋ ! 由原不等式可得 3 5 x− > 或x− < − 。 3 5 也就是 8 x > 或x < − 。 2 所以原不等式的解集是x > 或8 x < − 。 2 【ּ 5】 解不等式| x+ ≥6 | 53。

ś

ྋ ! 由原不等式可得 6 53 x+ ≥ 或x+ ≤ − 。 6 53 也就是 47 x ≥ 或x ≤ − 。 59 所以原不等式的解集是x ≥ 47或 x ≤ − 。 59

ቚ ௫

1. 解下列不等式,並把不是空集的解集在數軸上表示出來: (1) | |x < ; (2) 4 | |x > 。 4 2. 解下列不等式: (1) | x+ > ; 4 | 9 (2) 1 1 2 4 +x ≤ ; (3) | 2− ≥ ; x| 3 (4) 2 1 3 3 x− < 。

(49)

14.14 ˘̮˟Ѩ̙ඈё̈́׎ྋڱ

含有一個未知數並且未知數之最高次數是二次的不等式叫 做一元二次不等式,它的一般形式是 2 0 ax +bx+ > 或c ax2 +bx+ < (c 0 a ≠ )。 0 下面利用二次函數的圖形來討論一元二次不等式的解法。 例如,對於二次函數 y = x2 − − ,我們來求 x 6 (1) x 取哪些值時, y = ; 0 (2) x 取哪些值時, y > ; 0 (3) x 取哪些值時, y < 。 0 畫出拋物線 y = x2 − − 的圖形,如圖 14-36 所示,它與 xx 6 軸相交於兩點( 2− , 0)與(3, 0),這兩點將 x 軸分成三段。從圖 14-36 可以看出: (1) 當 x = − , 或2 x = 時 ,3 0 y = ; (2) 當 x < − , 或2 x > 時 ,3 0 y > ; (3) 當 2− < < 時,x 3 y < 。 0 這就是說,拋物線 y = x2 − −x 6 與 x 軸有兩個交點,即方程 2 xx 6 0 − = 有兩個不相等的實根(相異 實根)x1 = − 、2 x2 = 。在這個情況3 下,不等式 2 6 0 x − − > x 的解集是 2 x < − ,或x > ; 3 而不等式 2 6 0 x − − < x 的解集則是 2 x 3 − < < 。 6 − x y O 3 2 − 0 y> 0 y> 0 y< 2 6 y = x − −x 圖 14-36

(50)

一般地,對於二次函數 y =ax2 +bx c+ (a >0),設Δ =b2 −4ac。 1. 如果Δ > ,此時拋物線0 y = ax2 +bx+ 與 x 軸的兩個交c 點(圖 14-37),即方程 2 0 ax +bx c+ = 有兩個相異實根 1 x 、x (2 x1 < )。那麼,不等式x2 ax2 +bx c+ > 的解集是 0 1 x < ,或x x > ; x2 而不等式ax2 +bx c+ < 的解集是 0 1 2 x < < 。 x x 2. 如果Δ = ,此時拋物線0 y = ax2 +bx+ 與 x 軸只有一個c 交點(圖 14-38),即方程 2 0 ax +bx c+ = 有兩個相等的實 根 1 2 2 b x x a = = − 。那麼,不等式 2 0 ax +bx c+ > 的解集是 所有不等於 2 b a − 的實數,而不等式 2 0 ax +bx c+ < 的解 集則是空集。 3. 如 果 Δ < , 此 時 拋 物 線0 2 y = ax +bx c+ 與 x 軸沒有 交 點 ( 圖 14-39) , 即 方 程 2 0 ax +bx+ = 無實根。那c 麼,不等式 2 0 ax +bx c+ > 的 解集是全體實數,而不等式 2 0 ax +bx c+ < 的解集則是 空集。 2 x x y O 1 x 0 y> 0 y> 0 y< 圖 14-37 x y O x1 = x2 0 y> 0 y> 圖 14-38 x y O 0 y> 圖 14-39

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參考文獻

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