统计的简单应用——知识讲解
【学习目标】 1.了解普查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量等相关概念，并能选择合适的调查 方法，解决有关现实问题； 2.会设计简单的调查问卷，并从调查问卷中获得所需要的信息； 3.在具体的问题情境中，领会抽样调查的优缺点； 4.能把收集到的样本数据进行合理的分组整理，并能绘制有关统计表，根据统计表，估计 总体的相关特性； 5.了解简单随机抽样的概念，并会用抽签法进行简单随机抽样. 【要点梳理】 要点一、统计调查 1.调查的相关概念 总体：调查时，所要考察对象的全体叫做总体. 个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体. 样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本. 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量（不带单位）. 要点诠释： (1)“调查对象的全体”一般是指调查对象的某种数量指标的全体，如对于一个班级，如 果考察的是这个班学生的身高，那么总体是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为 学生的全体是总体． (2)样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本在一定程度上能够反映总 体，为了使样本能较好地反映总体情况，在选取样本时要注意使其具有一定的代表性和广 泛性． (3)样本容量是一个数字，没有单位．一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计 越准确，在实际研究中，要根据具体情况确定样本容量的大小．例如：“从 5 万名考生的数 学成绩中抽取 2000 名考生的数学成绩进行分析”，样本是“2000 名考生的数学成绩”，而 样本容量是“2000”，不能将其误解为“2000 名考生”或“2000 名”． 2.普查和抽样调查 （1）普查 为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查． 要点诠释： ① 普查又叫“全面调查”，它是指在统计的过程中，为了某种特定的目的而对所有考察 的对象一一做出的调查. ②一般来说，普查能够得到全体被调查对象的全面、准确的信息，但有时总体中的个体 的数目非常大，普查的工作量太大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查； 有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行普 查． （2）抽样调查 从总体中抽取样本进行调查，然后根据样本来估计总体的相应特性，这种调查方式称 为抽样调查． 为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性. 要点诠释：①抽样调查的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力，但调查的结果往往 不如普查得到的结果准确． ②抽样调查的注意点：1.随机取样；2.取样具有代表性；3.若样本由具有明显不同特 征的部分组成，应按比例从各部分抽样. 要点二、调查方法 1.调查方法的选择 普查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准 确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况. 在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑 实现的可能性和所付出代价的大小. 2.调查问卷 调查、收集数据，应先设计调查问卷. 调查问卷通常包括调查目的、调查对象、调查 内容和问题. 一般地，设计问题应简单明确，提出的问题不能带有个人观点，供选择的答案应尽可 能全面. 要点诠释： 调查问卷的设计原则： 1.有明确的主题.根据主题，从实际出发拟题，问题目的明确，重点突出，没有可有可 无的问题. 2.结构合理、逻辑性强.问题的排列应有一定的逻辑顺序，符合应答者的思维程序.一 般是先易后难、先简后繁、先具体后抽象. 3.通俗易懂.问卷应使应答者一目了然，并愿意如实回答.问卷中语气要亲切，符合应 答者的理解能力和认识能力，避免使用专业术语.对敏感性问题采取一定的技巧调查，使问 卷具有合理性和可答性，避免主观性和暗示性，以免答案失真. 4.控制问卷的长度.回答问卷的时间控制在 20 分钟左右，问卷中既不浪费一个问句， 也不遗漏一个问句. 5.便于资料的校验、整理和统计. 3.简单随机抽样 一般地，从个体总数为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本（n＜N），且每一次抽取样本 时总体中的各个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样. 抽签法简便易行，当总体的个数不多时，宜采用这种方法进行简单随机抽样. 当总体容量很大时，我们可以采用科学计算器（或计算机）产生随机数的方法进行简 单随机抽样.通常，科学计算器都有随机函数 RAND 功能，它可以产生 0—1 之间的随机数； 有些科学计算器还提供了随机函数 RANDI 功能，它可以产生任意两个整数之间的随机整数. 要点诠释： 简单随机抽样必须具备下列特点： （1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的； （2）简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N； （3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的； （4）简单随机抽样是一种不放回的抽样； （5）简单随机抽样的每个个体被抽中的可能性均为
n
N
. 要点三、数据的收集和整理统计表和统计图： 统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据； 统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的 数据所呈现出来的信息直观化． 要点诠释： （1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条， 然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能 清楚地反映各部分占总体的百分比． （2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇 形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据． （3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后 把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出 数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况． 【典型例题】 类型一、统计调查 1.下列调查，适合用普查方式的是( ). A．检查一批零件的合格率 B．了解全校七年级学生平均每周上网的次数 C．了解某旅游景点“十·一”黄金周期间进入该景点的人数 D．了解我校某班学生的视力情况 【思路点拨】普查一般适用于小规模调查. 【答案】D. 【解析】解：显然，选项 A、B、C 的调查范围非常广，而且要求调查的准确程度也不是非 常高，所以不宜采用普查的方式．而选项 D，了解我校某班学生的视力情况，调查对象的 数目不多，适合用普查方式．故选 D． 【总结升华】普查得到的信息较为全面、可靠，一般在调查对象较少时采用，当个体数目 多，或受客观条件限制，或调查具有破坏性时不允许普查． 举一反三： 【变式】下列统计中，能用普查方式的是（ ） A、某厂生产的电灯使用寿命 B、全国初中生的视力情况 C、某校七年级学生的身高情况 D、“娃哈哈”产品的合格率 【答案】C. 2.下列调查适合做抽样调查的是( ). A．了解电视台某栏目的收视率 B．了解某甲型 H1N1 确诊病人同机乘客的健康状况 C．了解某班每个学生家庭电脑的数量 D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查 【答案】A. 【解析】解：要了解电视台某栏目的收视率，显然应采用抽样调查的方式．而对于 B、D 选项，因为漏掉每一个个体携带 H1N1 病毒者或者“神七”载人飞船有一个小零件不合格，
都会出现意想不到的后果，因此需要采用全面调查的方式．C 选项了解某班每个学生家庭 电脑的数量，范围小，工作量小，一般也采用普查的方式．故选 A. 【总结升华】在具体的问题情境中，要根据需要选择用普查还是抽样调查的方式进行调查 抽样调查得到的信息的准确度受调查对象(即样本)的数量和特点影响，故抽样时必须注意 调查对象是否具有代表性和广泛性． 举一反三： 【变式】下列调查中，哪些是普查的方式，哪些是用抽样调查方式来收集数据的？ （1）为了了解你所在的班级的每个同学的身高，向全班同学做调查. （2）为了了解你所在的班级的同学每天的学习时间，选取班级中学号为单号数的所有同 学做调查. （3）为了了解某奶牛场中 500 头奶牛的产奶量，从中抽取出 50 头进行分析测量. 【答案】（1）采用的是普查方式收集数据的；（2）、（3）是采用抽样调查方式收集数 据的. 3.某次考试有 3000 名学生参加，为了了解 3000 名学生的数学成绩，从中抽取了 1000名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中，有下述 3 种说法：① 1000 名考生是总体的一个样本；② 3000 名考生是总体；③ 1000 名考生数学平均成绩可估计 总体数学平均成绩；④每个考生的数学成绩是个体．其中正确的说法有( ). A．0 种 B．1 种 C．2 种 D．3 种 【思路点拨】总体是 3000 名学生的数学成绩，个体是这次考试中每名学生的数学成绩， 样本是抽取的 1000 名学生的数学成绩，样本容量是 1000. 【答案】C. 【解析】 解：①、②两个说法指的是考生而不是考生的成绩，故①、②两个说法不对，④ 指的是考生的成绩，故④对．③用样本的特征估计总体的特征，是抽样调查的核心，故③ 对． 【总结升华】总体、样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、 样本都是指考生的成绩，而不是考生． 举一反三： 【变式】为了了解某市 2 万名学生参加中考的情况，教育部门从中抽取了 600 名考生的成 绩进行分析，这个问题中（ ）. A.2万考生是总体； B.每名考生是个体； C.个体是每名考生的成绩； D.600 名考生是总体的一个样本. 【答案】C. 类型二、调查方法 4. 设计问卷调查时，下列说法不合理的是（ ） A．提问不能涉及提问者的个人观点 B．问卷应简短 C．问卷越多越好 D．提问的答案要尽可能全面 【答案】C. 【解析】解：设计问卷调查时，提问不能涉及提问者的个人观点，否则影响被调查对象的 正常回答；问卷应简短，便于被调查对象进行回答；被调查的对象要用代表性，所以问卷 并不是越多越好；提问的答案要尽可能全面，能让要尽可能多的人有选择的机会．故选
C． 【总结升华】本题考查了调查收集数据的过程与方法：设计调查问卷分以下三步：①确定 调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题． 5.下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A.在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确 定号码的后四位为 2709 的为三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重 量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改 革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 【思路点拨】严格按照简单随机抽样的定义和特点去判断. 【答案】D. 【解析】解：A、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的； C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次； D是简单随机抽样． 故选 D． 【总结升华】本题考查简单随机抽样，注意简单随机抽样的特点. 类型三、数据的收集与整理 6.（2015•嘉兴）嘉兴市 2010～2014 年社会消费品零售总额及增速统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求嘉兴市 2010～2014 年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数． （2）求嘉兴市近三年（2012～2014 年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数． （3）用适当的方法预测嘉兴市 2015 年社会消费品零售总额（只要求列出算式，不必计算 出结果）． 【思路点拨】（1）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出 答案； （2）根据平均数的定义，求解即可； （3）根据增长率的中位数，可得 2015 年的销售额． 【答案与解析】 解：（1）数据从小到大排列 10.4%，12.5%，14.2%，15.1%，18.7%，
则嘉兴市 2010～2014 年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数 14.2%； （2）嘉兴市近三年（2012～2014 年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数是： （1083.7+1196.9+1347.0）÷3=1209.2（亿元）； （3）从增速中位数分析，嘉兴市 2015 年社会消费品零售总额为 1347×（1+14.2%）=1538.274（亿元）． 【总结升华】本题考查了折线统计图，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据 的个数．中位数是一组由小到大排列的数据中间的一个或中间两个数的平均数．平均数是 表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的 关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数． 举一反三： 【变式】（2015•桂林）某市团委在 2015 年 3 月初组成了 300 个学雷锋小组，现从中随机抽 取 6 个小组在 3 月份做好事件数的统计情况如图所示： （1）这 6 个学雷锋小组在 2015 年 3 月份共做好事多少件？ （2）补全条形统计图； （3）请估计该市 300 个学雷锋小组在 2015 年 3 月份共做好事多少件？ 【答案】 解：（1）13+16+25+22+20+18=114（件）， 这 6 个学雷锋小组在 2015 年 3 月份共做好事 114 件； （2）如图所示： （3）300× =5700（件）． 估计该市 300 个学雷锋小组在 2015 年 3 月份共做好事 5700 件． 类型四、统计的应用 7.玉树地震后，全国人民慷慨解囊，积极支援玉树人民的抗震救灾，他们有的直接捐 款，有的捐物，国家民政部、中国红十字会、中华慈善总会及其他基金会分别接收了捐赠
青海省也直接接收了部分捐赠截至 5 月 14 日 12 时，他们分别接收捐赠(含直接捐款数和 捐赠物折款数)的比例见扇形统计图(如图①所示)，其中，中华慈善总会和中国红十字会共 接收捐赠约合人民币 15.6 亿元．请你根据相关信息解决下列问题： (1)其他基金会接收捐赠约占捐赠总数的百分比是________； (2)全国接收直接捐款数和捐赠物折款数共计约________亿元； (3)请你补全图②中的条形统计图； (4)据统计，直接捐款数比捐赠物折款数的 6 倍还多 3 亿元，那么直接捐款数和捐赠 物折款数各多少亿元? 【思路点拨】本题是一道统计与方程的综合题．从扇形统计图中，可以获取各部门获得捐 赠的百分数．从条形统计图中可以获取其他基金会获得的捐赠为 2 亿元根据这两点，问题 便迎刃而解． 【答案与解析】 解：(1)1－33％－33％－13％－17％＝4％； (2)
