熱帶線性系統之研究 - 政大學術集成
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(2) Abstract The thesis mainly discusses the methods of finding solutions of tropical linear systems A
(3) x = b and two-sided homogeneous tropical linear systems A
(4) x = B
(5) y. We are able to give explicit descriptions of all solutions of any tropical linear systems A
(6) x = b and two-sided homogeneous tropical linear systems A
(7) x = B
(8) y.. ࢇ ݽσ. As the classical situations, when solving the linear systems of the form A
(9) x = b,. ҳ. we first find the solutions for the corresponding “homogeneous” case A
(10) x = 0. For. Ȇ . Ᏸ. two-sided homogeneous tropical linear systems A
(11) x = B
(12) y, we use the concept of win sequence to convert it into a finite number k of classical linear systems: either a. Ȇ. system S : C[xt − y t 1]t = 0 of equations or a system T : D[xt − y t 1]t ≤ 0 of inequalities. Moreover, we used so called “compatibility conditions” to reduce the number of k.. ź. ŏŢŵ. ŴŪŵ. The particular feature of both S and T is that each item (equation or inequality) is. Ŧų. ŪŰ. bivariate. It involves exactly two variables; one variable with coefficient 1, and the other. Ţŭ. Ūŷ ġ ů ń method similar to Gauss-Jordon elimination. this, we introduce the notion of ũ Ŧ ů ŨToŤachieve ũŪġŖ ů. one with −1. S is solved by Gauss-Jordon elimination. We explain how to solve T by a. sub–special matrix. The procedure applied to T is called sub–specialization.. Finally, we will use MATLAB to solve tropical linear systems of these two types.. i.
(13) 中文摘要 本篇論文主要在探討熱帶線性系統(tropical linear system) A
(14) x = b 與雙邊齊次熱 帶線性系統(two-sided homogeneous tropical linear system) A
(15) x = B
(16) y 的求解方法。. ݽ ࢇ σ 如同古典的論述, 當求解線性系統 A
(17) x = b 時, 我們首先會先找到對應的 “齊次” ҳ 系統 A
(18) x = 0 來求解。而對於雙邊齊次熱帶線性系統, 我們將利用勝序列的概念, 將. 我們將明確的描述任何熱帶線性系統與雙邊齊次熱帶線性系統的解。. Ȇ . Ᏸ. 雙邊齊次熱帶線性系統轉化為 k 組古典熱帶線性系統: 含等式系統 S : C[xt − y t 1]t = 0 與不等式系統 T : D[xt − y t 1]t ≤ 0 。除此之外, 利用相容性條件來減少 k 的數量。. Ȇ. 過程中我們處理的 S, T 均為雙變量的系統, 係數分別為 1 與 −1, 對於 S 我們以高. ź. ŏŢŵ. 斯-喬登消去法(Gauss–Jordan elimination)處理。對於 T 我們將以類似高斯-喬登消去. ŴŪŵ. 法的方式進行列運算, 因此我們定義次特殊矩陣(sub-special matrix ), 而進行的過程我們. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 稱之為次特殊化(sub–specialization)。. Ū Ŗů. ŷ. 最後將以 MATLAB 作為工具來求解出這兩類的熱帶線性系統。. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. ii.
(19) 目 錄 Abstract........................................................................................................................ i. 中文摘要....................................................................................................................... ii. 目錄 ............................................................................................................................. iii 第一章 緒論................................................................................................................ 第二章 第三章. 1 ݽ ࢇ 基本介紹 ........................................................................................................ 4 σ ҳb ................................................................................ 10 熱帶線性系統 A
(20) x =. Ȇ . Ᏸ. 第一節 問題求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第二節 演算法及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Ȇ. 第四章 雙邊齊次熱帶線性系統 A
(21) x = B
(22) y.......................................................... 15. ź. ŏŢŵ. 第一節 問題求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. ŴŪŵ. 第二節 演算法及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 第五章 結論................................................................................................................ 27. Ū Ŗů. ŷ. 附錄 ............................................................................................................................. 28. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. 參考文獻...................................................................................................................... 49. iii.
(23) 第一章. 緒論. 熱帶幾何是代數幾何的一個分支。“熱帶” 一詞的由來只是因最初從巴西數學家兼 計算機科學家 Imre Simon 發展而來, “熱帶” 一詞並沒有其他特別的意思, 只是源於巴 西。關於熱帶幾何有許多文獻都有詳細的介紹 [1, 2, 3, 4, 5]。 熱帶代數所考慮的空間為 T = R ∪ {−∞}, 在這個考慮的空間上賦予兩個運算 “⊕”. ࢇ ݽσ. 及 “
(24) ”, 分別稱之為熱帶加法與熱帶乘法。. ҳ. 定義 1.1:. Ȇ . Ᏸ. 在 T 上我們定義兩個運算 “⊕” 及 “
(25) ” 如下:. Ȇ. x ⊕ y := max{x, y} x
(26) y := x + y,. ź. ŏŢŵ. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 定義 1.2:. ŴŪŵ. (T, ⊕,
(27) ) 將會構成半環的代數結構。. ġń. Ū Ŗů. ŷ. 在這篇文章中, 我們將所有佈於 T 的 m × n 矩陣構成的集合記作 Mm×n (T)。. ũŦůŨŤũŪġ. 本文將要探討的是有關於熱帶代數運算下的線性系統, 稱為熱帶線性系統。關於熱 帶線性系統, 在很多的相關文章當中都有介紹 [1, 6, 7]。要探討熱帶線性系統, 我們需要 先定義矩陣的熱帶乘法與熱帶加法運算。. 定義 1.3: 若 A 為一個佈於 T 的 m×n 矩陣, B 為一個佈於 T 的 n×p 矩陣, 則 C = A
(28) B 為一個佈 n M 於 T 的 m×p 矩陣, 矩陣中每個位置 cij := aik
(29) bkj = max{aik +bkj : k = 1, 2, . . . , n}, k=1. 其中, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , p。而矩陣加法則是對應位置做熱帶加法。 假設 A, B 為佈於 T 的 m × n 矩陣, x 屬於 Tn , y, a, b 屬於 Tm , C 為佈於 T 的 s × n 矩陣, D 為佈於 T 的 s × m 矩陣。則以下列舉一些熱帶線性系統常見的形式: T1: A
(30) x = 0 1.
(31) T2: A
(32) x = b T3: A
(33) x ≤ b T4: A
(34) x = B
(35) x T5: A
(36) x ≤ B
(37) x T6: C
(38) x = D
(39) y T7: A
(40) x ⊕ a = B
(41) x ⊕ b 這些線性系統之間有些關聯, 解法不完全相同。. ݽ ࢇ σ 雙邊齊次熱帶線性系統 熱帶線性系統 ҳ T1 T4 T5 Ᏸ. T3. T2. T6. T7. Ȇ. Ȇ . 圖 1.1: 熱帶線性系統關係示意圖. ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 在求解 T1 與 T2 事實上是求解相同的問題。T1 中 0 表示每一個位置都是 0 的向. ů. 量, 而 T2 求解任何的熱帶線性系統 b ∈ Tm 。然而在求解 A
(42) x = b 時我們將會處理成. ġń. Ū Ŗů. ŷ. A
(43) x = 0 的形式, 所以可以說是在求解相同的問題, 詳細內容將在第三章說明。T2 與. ũŦůŨŤũŪġ. T3 之間的關係則是若 T2 有解則 T3 的最大解將是 T2 的一個解。 解 T4 與 T5 是相同的問題。因為 T5 的 A
(44) x ≤ B
(45) x 等價於 (A ⊕ B)
(46) x = B
(47) x 也就是T4 的形式。而 T4 也可看成是 A
(48) x ≤ B
(49) x 且 A
(50) x ≥ B
(51) x, 所以亦可從 T5 來求 T4。 T6 與 T4 可以透過變換化為相同的問題。若令 A
(52) x = B
(53) x = y 則 T4 可以寫成 A I
(54) x = T
(55) y, 其中 IT 是熱帶單位矩陣。 B IT 即可化成 T6 形式。而 T6 的 A
(56) x = B
(57) y 可以寫成 T4 的形式如下: h i h i x x A OT
(58) = OT B
(59) , 其中 OT 是熱帶零矩陣。 y y 2.
(60) 所以這兩個問題是等價的問題。 T4 與 T7 可以視為相同的問題。顯然 T4 只是 T7 在 a = −∞, b = −∞ 時的特 例。而 T7 也可以轉化問題成為 T4 的形式如下: h i h i x x A a
(61) = B b
(62) 。 z z 不同的是求得的解 z 分量可能不是 0, 所以求得的 x 不一定滿足 A
(63) x ⊕ a = B
(64) x ⊕ b, 但是, (−z)
(65) x 將會是 A
(66) x ⊕ a = B
(67) x ⊕ b 解。 以上提到的問題形式主要區分兩類, 一類是一般熱帶線性系統 A
(68) x = b, 另一類則 是雙邊齊次熱帶線性系統 A
(69) x = B
(70) y。 在文章 [7] 中, 主要在求解熱帶線性系統 A
(71) x = B
(72) x 這樣的線性系統, 對於其他. ݽ ࢇ σ 式來收斂到線性系統 A
(73) x = B
(74) y 的一組解, 而通解並無法用迭代的方式求得。 ҳ 本文在第二章將會對熱帶代數及運算做更詳細的介紹。而在第三章中將先由 線性系統則轉為 A
(75) x = B
(76) x 的形式來求解。在文章 [6] 中則是提供一個用迭代的方. Ȇ . Ᏸ. A
(77) x = b 的求解開始介紹, 如同古典的論述 [8], 當求解線性系統 A
(78) x = b 時, 我們將 會找到對應的 “齊次” 系統 A
(79) x = 0 來求解。. Ȇ. 在第四章我們探討 A
(80) x = B
(81) y 的求解, 對於雙邊齊次熱帶線性系統, 我們將利. ź. ŏŢŵ. 用勝序列(定義 4.14)的概念, 將雙邊齊次熱帶線性系統轉化為 k 組古典熱帶線性系統:. ŴŪŵ. 含等式系統 S : C[xt − y t 1]t = 0 與不等式系統 T : D[xt − y t 1]t ≤ 0 。除此之外, 利用. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 相容性條件來減少 k 的數量。. Ū Ŗů. ŷ. 過程中我們處理的 S, T 均為雙變量的系統, 係數分別為 1 與 −1, 對於 S 我們以高. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. 斯-喬登消去法(Gauss–Jordan elimination)處理。對於 T 我們將以類似高斯-喬登消去 法的方式進行列運算, 因此我們定義次特殊矩陣(sub-special matrix ), 而進行的過程我們 稱之為次特殊化(sub–specialization), 藉此求得 A
(82) x = B
(83) y 的通解。. 3.
(84) 第二章. 基本介紹. 在開始探討熱帶線性系統前, 我們先對熱帶代數所需要具備的知識做一些基本的介 紹。. 定義 2.1: 一個非空集合上若具有一個二元運算 “◦”, 且滿足結合律則稱為一個半群(semigroup)。. ࢇ ݽσ. 如果又存在一個元素 e, 使得對於每個 x ∈ S, e ◦ x = x ◦ e = x, 即存在單位元素, 則稱. ҳ. 此代數結構為具單位元半群(monoid )。. Ȇ . Ᏸ. 定義 2.2:. 如果集合 S 上具有兩個運算 “+” 和 “×”, 分別稱為“加法”和“乘法”。如果滿足以下條. Ȇ. 件, 則我們稱此代數結構為半環(semiring):. ŏŢŵ. (a) 對於任意 a, b, c ∈ S, (a + b) + c = a + (b + c). ů. Ţŭ. ġń. Ŧų. ŪŰ. ŴŪŵ. ź. 1. 對加法構成一個可交換具單位元半群, 以 0 代表加法單位元素。. Ū Ŗů. ŷ. (b) 存在 0 ∈ S, 使得對於任意 a ∈ S, a + 0 = 0 + a = a. ũŦůŨŤũŪġ. (c) 對於任意 a, b ∈ S, a + b = b + a. 2. 對乘法構成一個具單位元半群, 以 1 代表乘法單位元素。 (a) 對於任意 a, b, c ∈ S, (a × b) × c = a × (b × c) (b) 存在 1 ∈ S, 使得對於任意 a ∈ S, a × 1 = 1 × a = a 3. 加法與乘法之間具有分配律。 (a) 對於任意 a, b, c ∈ S, a × (b + c) = a × b + a × c (b) 對於任意 a, b, c ∈ S, (a + b) × c = a × c + b × c 4. 對於每一個元素 s ∈ S, s × 0 = 0 × s = 0。. 4.
(85) 在古典的數學裡, 有許多的例子都符合半環的條件, 例如 (R, +, ×), (N∪{0}, +.×)。 在熱帶幾何裡我們所要討論的集合為 R ∪ {−∞}, 我們將利用符號 T 表示這樣的集合。 在 T 上我們考慮兩種運算 “⊕” 和 “
(86) ”, 這兩個運算我們分別稱之為 “熱帶加法” 與 “熱 帶乘法”。其運算定義如下: x ⊕ y = max{x, y} x
(87) y =x+y. 備註 2.3: (T, ⊕,
(88) ) 構成一個半環。. 證明: 顯然對於任意給定的 x, y ∈ T, 都有 x⊕y = max{x, y} ∈ T 和 x
(89) y = x+y ∈ T, 即符合運算的封閉性。 對任意 x, y, z ∈ T, 則. ҳ. ࢇ ݽσ. 1. 對加法構成一個可交換具單位元半群。. Ȇ . Ᏸ. (a) (x ⊕ y) ⊕ z = max{max{x, y}, z} = max{x, max{y, z}} = x ⊕ (y ⊕ z). Ȇ. (b) 存在 0T = −∞ ∈ T, 使得 x ⊕ 0T = 0T ⊕ x = max{x, −∞} = x. ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ. (c) x ⊕ y = max{x, y} = max{y, x} = y ⊕ x. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 2. 對乘法構成一個具單位元半群。. ġń. Ū Ŗů. ŷ. (a) (x
(90) y)
(91) z = (x + y) + z = x + (y + z) = x
(92) (y
(93) z). ũŦůŨŤũŪġ. (b) 存在 1T = 0 ∈ T, 使得 x
(94) 1T = 1T
(95) x = x + 0 = x 3. 加法與乘法之間具有分配律。 (a) x
(96) (y ⊕ z) = x + max{y, z} = max{x + y, x + z} = x
(97) y ⊕ x
(98) z (b) (x ⊕ y)
(99) z = max{x, y} + z = max{x + z, y + z} = x
(100) z ⊕ y
(101) z 4. 對於任意元素 x ∈ T, x
(102) 0T = x + (−∞) = −∞ = (−∞) + x = 0T 。 因此, (T, ⊕,
(103) ) 構成一個半環。 我們稱 (T, ⊕,
(104) ) 為一個熱帶半環(tropical semiring), 並簡記為 T。. 備註 2.4: 熱帶半環是一個交換環(commutative ring), 即對於任意 a, b ∈ T, a
(105) b = b
(106) a。 5.
(107) 證明: a
(108) b = a + b = b + a = b
(109) a。 備註 2.5: 對於任意 a ∈ T, a ⊕ a = a, 即熱帶加法是冪等(idempotent)。. 證明: 對於任意給定的 a ∈ T, a ⊕ a = max{a, a} = a, 因此, 熱帶加法是冪等的。 值得一提的是, 在熱帶運算之下並沒有減法運算。事實上, 對大部分元素都不具有 加法反元素, 例如: 不存在 x 使得 x ⊕ 1 = 0T 。文章中, 為了方便起見, 對於熱帶加法 “⊕” 有時會使用 “max”, 而對於熱帶乘法 “
(110) ” 有時會使用 “+” 來表示。以 “古典” 表 示一般的加法、乘法運算, 用來區分與熱帶運算的差異。在其他熱帶幾何的文章中, 對 於熱帶加法的定義可能使用 “min” 來當 “⊕”, 在此我們將以符號 “⊕0 ” 表示。(T, ⊕0 ,
(111) ) 也會得到同構的代數結構, 因此我們將只考慮 (T, ⊕,
(112) )。. ࢇ ݽσ. 如同古典的線性系統, 在熱帶半環上, 我們仍然可以定義矩陣的熱帶乘法。若. ҳ. Ȇ . k=1. Ᏸ. A = (aij ) ∈ Mm×n (T), B = (bij ) ∈ Mn×p (T), C = (cij ) ∈ Mm×p (T), 則 C = A
(113) B n M aik
(114) bkj = max{aik + bkj : k = 1, 2, . . . , n}, 對於任意 i = 1, 2, . . . , m, 意思是 cij =. Ȇ. j = 1, 2, . . . , p。如同古典的線性代數, A
(115) x 除了以上的定義外, 也可以用 a a a 1n 12 11 a2n a22 a21 x1
(116) .. ⊕ x2
(117) .. ⊕ · · · ⊕ xn
(118) .. . . . amn am2 am1. ů. 來得到相同的結果。. 範例 2.6: . Ŧų. ŪŰ. ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ. Ţŭ. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. Ū Ŗů. ŷ. . 2 4 4 2
(119) 4⊕4
(120) 6 2 4 , x = , 則 A
(121) x = = 4
(122) ⊕6
(123) = 若 A = 1 5 6 1
(124) 4⊕5
(125) 6 1 5 max{2 + 4, 4 + 6} 10 = 。 max{1 + 4, 5 + 6} 11 在熱帶運算下, 一般矩陣應有的性質, 都與古典的矩陣運算幾乎一樣只是換成熱帶 運算。. 備註 2.7: 對於任意給定的矩陣 A ∈ Mp×q (T), B ∈ Mq×r (T), C ∈ Mr×s (T), 則 (A
(126) B)
(127) C = A
(128) (B
(129) C)。 6.
(130) 證明: 給定 i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {1, . . . , s}, 則 ((A
(131) B)
(132) C)ij =. r M. (A
(133) B)ik
(134) Ckj. k=1 q r M M = ( Ail
(135) Blk )
(136) Ckj. = =. k=1 l=1 q r M M. (Ail
(137) Blk
(138) Ckj ). k=1 l=1 q r M M. (Ail
(139) Blk
(140) Ckj ). l=1 k=1 q. =. M. Ail
(141) (. l=1. r M. Blk
(142) Ckj ). k=1. q M. = A
(143) (B
(144) C) ݽ ࢇ σ il. lj. l=1. ҳ. = (A
(145) (B
(146) C))ij 。. 對於任意給定的矩陣 A ∈ Mp×q (T), B, C ∈ Mq×r (T), 則. ŏŢŵ. Ŧų. ŪŰ. ŴŪŵ. A
(147) (B ⊕ C) = (A
(148) B) ⊕ (A
(149) C)。. ź. 備註 2.8:. Ȇ. Ȇ . Ᏸ. 因此, (A
(150) B)
(151) C = A
(152) (B
(153) C)。. 證明: 給定 i ∈ {1, . . . , p}, j Ţ∈ {1, . . . , r}, 則. ů. Ūŷ ŭġń M q ů ġ Ŗkj (A
(154) (B ⊕ C))ij = ũ ŦAů
(155) Ť (Bũ⊕Ū C) ik Ũ k=1 q. =. M. Aik
(156) (Bkj ⊕ Ckj ). k=1 q. =. M (Aik
(157) Bkj ) ⊕ (Aik
(158) Bkj ) k=1. =. q M. q M (Aik
(159) Bkj ) ⊕ (Aik
(160) Bkj ) i=1. k=1. = ((A
(161) B) ⊕ (A
(162) C))ij 。 因此, A
(163) (B ⊕ C) = (A
(164) B) ⊕ (A
(165) C)。. 定義 2.9: 若 A = (aij ) ∈ Mm×n (T), 則 A∗ := (−aji ) , 即 A∗ = −At 。在此稱 A∗ 為 A 的共軛矩 7.
(166) 陣。其中, T 表示 (R ∪ {+∞} ∪ {−∞}, ⊕,
(167) , ⊕0 ,
(168) 0 ),
(169) 與
(170) 0 差別在於 −∞
(171) ∞ = −∞ 而 −∞
(172) 0 ∞ = ∞。 在 T 上, 矩陣乘法符合底下的性質:. 性質 2.10: 對於給定的矩陣 U, V, W 佈於 T, 滿足 (U
(173) 0 V )
(174) W ≤ U
(175) 0 (V
(176) W ),. (2.1). U
(177) (U ∗
(178) 0 W ) ≤ W,. (2.2). U
(179) (U ∗
(180) 0 (U
(181) W )) = U
(182) W 。. (2.3). 證明: 對於 (2.1) 中, 左式中的每個位置. ࢇ ݽσ ҳ= max{min{U + V } + W. ((U
(183) 0 V )
(184) Wij = max{(U
(185) 0 V )ik + Wkj } k. k. il. l. lk. kj }. Ȇ . k. Ᏸ. = max{min{Uil + Vlk + Wkj }} l. := Uil∗ + Vl∗ k∗ + Wk∗ j. Ȇ. ≤ Uil + Vlk∗ + Wk∗ j , 對於任意給定的 l。. ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ. 同理右式中的每個位置. ů. Ţŭ. l. ġń. k. Ŧų. ŪŰ. (U
(186) 0 (V
(187) W ))ij = min{max{Uil + Vlk + Wkj }}. Ū Ŗů. ŷ. := Uil0 + Vl0 k0 + Wk0 j 。. ũŦůŨŤũŪġ. 因此, ((U
(188) 0 V )
(189) Wij ≤ Uil0 + Vl0 k∗ + Wk∗ j ≤ (U
(190) 0 (V
(191) W ))ij 。 在 (2.2) 中, (U
(192) (U ∗
(193) 0 W ))ij = max{min{Uil −Ukl +Wkj }} ≤ max{Uil −Uil +Wij } = l. k. l. Wij 。 在 (2.3) 中, 顯然 U
(194) (U ∗
(195) 0 (U
(196) W )) ≤ U
(197) W , 故只須證明 U
(198) (U ∗
(199) 0 (U
(200) W )) ≥ U
(201) W。 U
(202) (U ∗
(203) 0 (U
(204) W ))ij = max{min{max{Uil − Usl + Usk + Wkj }}} l. s. k. ≥ min{max{Uik − Usk + Usk + Wkj }} s. k. = min{max{Uik + Wkj }} s. k. = max{Uik + Wkj } k. = (U
(205) W )ij 。 8.
(206) 性質 2.11: 對於給定的矩陣 A, B 佈於 T, 滿足 (A
(207) B)∗ = B ∗
(208) 0 A∗ ,. (2.4). (A
(209) 0 B)∗ = B ∗
(210) A∗ 。. (2.5). 證明: 在等式 (2.4) 中, (A
(211) B)∗ij = −(A
(212) B)ji = − max{Ajk + Bki } k. = min{−A ݽ−B } ࢇ σ k. ki. = (B
(213) 0 A)ij 。. Ᏸ. Ȇ . ҳ. jk. 因此, (A
(214) B)∗ = B ∗
(215) 0 A∗ 。 由等式 (2.4), 可以得知. Ȇ. ŏŢŵ ů. Ţŭ. ŴŪŵ. = (B ∗
(216) A∗ )。. Ŧų. ŪŰ. 因此, 等式 (2.5) 成立。. ź. (A
(217) 0 B)∗ = ((B ∗
(218) A∗ )∗ )∗. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. 9. Ū Ŗů. ŷ.
(219) 第三章. 熱帶線性系統 A
(220) x = b. 給定矩陣 A ∈ Mm×n (T), b ∈ Tm , 我們目標將是希望求出所有的 x ∈ Tn , 滿足 A
(221) x = b, 即 max{aij + xj : j = 1, 2, . . . , n} = bi , i = 1, 2, 3, . . . , m。. ࢇ ݽσ. 從觀察我們可以知道, 在熱帶線性系統當中, 若 A
(222) x = b 要有解, 則對於每一個 i. ҳ. 列中, 必有某一個 j 使得 aij + xj 恰好是最大值並且等於 bi , 由 aij + xj = bi , 我們可以. Ȇ . Ᏸ. 求出 xj = bi − aij 。因此, 整個求解 x 的過程, 最主要是要確定哪些 A 矩陣的元素 aij 會使的 aij + xj 可能得到 bi 。所以, 以下將透過對 A 進行運算來求解線性系統。. Ȇ ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ. 第一節 問題求解. Ţŭ. ů. 首先我們定義一些記號: • [n] = 1, . . . , n, n ∈ N。. Ŧų. ŪŰ. 給定矩陣 A ∈ Mm×n (T), b ∈ Tm , 我們希望求出所有的 x ∈ Tn , 滿足 A
(223) x = b。. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. Ū Ŗů. ŷ. • 以符號 A(i) 表示矩陣 A 的第 i 列, i ∈ [m]。 • 以符號 A(j) 表示矩陣 A 的第 j 行, j ∈ [n]。 • ei = [0T , . . . , 1T , . . . , 0T ]t = [−∞, . . . , 0, . . . , −∞]t , 其中除了第 i 個分量為 1T , 其他 皆為 0T 。 • Ω = {j ∈ [n] : xj = −∞}。. 定理 3.1: 若存在 bi = 0T = −∞, 則對於 A(i) 中非 −∞ 所對應的行若為 A(j) , 其所對應的變量 xj 必須為 −∞。. 10.
(224) 證明: 因為 bi = −∞ 且 A
(225) x = b, 等式右邊同乘上 eti , 得到 eti
(226) (A
(227) x) = (eti
(228) A)
(229) x = eti
(230) b, 即 A(i)
(231) x = max{aij + xj : j ∈ [n]} = bi = −∞。因此, 對於任何的 aij 6= −∞, 由 aij + xj = −∞, 得到 xj = −∞。 • 從上述定理, 我們可以假設 b 向量中的每個元素都是有限。否則, 若 bi = −∞, 則我 們可以確定哪些變量 xj = −∞, 除此之外, 第 i 列將變為 −∞ = −∞, 因此, 可以直 接刪除 A(i) 及 bi , 此時 m 將降為 m − 1。且因為 xj = −∞, xj
(232) A(j) ≤ b, 因此, 可 以直接去掉 A(j) 及變數 xj , 此時 n 將降為 n − 1。 • 若 A(j) = −∞ 則對於任意的 xj ∈ T 都有 xj
(233) A(j) ≤ b, 即變數 xj 並不影響最後 的結果, 它可以是任意數。同理我們可以直接去除 A(j) 及變數 xj , 此時 n 將降為 n − 1。. ࢇ ݽσ. • 由於 b 的每個分量都假設為有限, 因此, 對於每一列 A(i)
(234) x = bi , 兩邊做熱帶乘法. ҳ. −1 −1 乘上 bi−1 . 得到, A(i)
(235) x
(236) b−1 i = (A(i)
(237) bi )
(238) x = bi
(239) bi = 0。所以, 我們之需要. Ȇ . Ᏸ. 考慮 A
(240) x = 1T = 0, 這樣的線性系統。. 進行求解。. Ȇ. 由以上幾點的討論, 我們將只針對 A
(241) x = 0 且 A(j) 6= −∞ 這樣的熱帶線性系統. a12 + x2 ,. a13 + x3 , . . . , a1n + xn } = 0. Ţa22ŭ + x2, a23 + x3, . . . , aŪ2nŷ + xn } ġń ů a32 + xũ 2 , Ŧa33 + x3 , Ū. ġ. .Ŗ , a3n + xn } ůŨŤũ. ů. max{ a21 + x1 ,. max{ a31 + x1 , .. .. ź. ŴŪŵ. ŪŰ. max{ a11 + x1 ,. Ŧų. ŏŢŵ. 首先觀察熱帶線性系統 A
(242) x = 0, 展開可以得到. .. .. .. .. ... .. .. .. = 0 = 0 .. .. max{am1 + x1 , am2 + x2 , am3 + x3 , . . . , amn + xn } = 0 由縱向觀察可以得知, 對於每個 j ∈ [n], max{aij + xj : i ∈ [m]} ≤ 0, 即若 x 是熱帶線性 方程 A
(243) x = 0 的解則 x − max{ai1 : i ∈ [m]} min{0 − ai1 : i ∈ [m]} 1 x2 − max{ai2 : i ∈ [m]} min{0 − ai2 : i ∈ [m]} x3 ≤ − max{ai3 : i ∈ [m]} = min{0 − ai3 : i ∈ [m]} = A∗
(244) 0 0 ∈ Rn 。 .. .. .. . . . xn − max{ain : i ∈ [m]} min{0 − ain : i ∈ [m]} 事實上, A∗
(245) 0 0 為 A
(246) x ≤ 0 的最大解, 即 x 為 A
(247) x ≤ 0 的解若且唯若 x ≤ A∗
(248) 0 0。 11.
(249) 定理 3.2: 熱帶線性系統 A
(250) x = 0 在 Tn 有解若且唯若 A∗
(251) 0 0 滿足 A
(252) x = 0。. 證明: 假設 s 為 A
(253) x = 0 的一個解則 s ≤ A∗
(254) 0 0, 所以可以得知 0 = A
(255) s ≤ A
(256) (A∗
(257) 0 0) ≤ 0。因此, A∗
(258) 0 0 滿足 A
(259) x = 0。. 定義 3.3: 對於給定的熱帶線性系統 A
(260) x = 0, 若 A 中每一行 A(j) 除了最大元素外均為 −∞, 則 我們稱之為標準型(standard form)。 由 於 A
(261) x = 0 的 解 xj 只 跟 max{aij : i ∈ [m]} 有 關, 故 對 於 每 一 個 A(j) 若 aij 6= max{aij : i ∈ [m]}, 我們可以令 aij = −∞ 並不會改變 A
(262) x = 0 的解。從此, A 可以考慮每一行除了最大元素外均為 −∞, 即對於給定的熱帶線性系統 A
(263) x = 0, 我. ࢇ ݽσ 由以上假設之下, 對於每一個 i ∈ [m], 令 I = {j ∈ [n] : a ҳ. 們將先進行標準化才開始求解。. i. ij. 6= −∞}。由於 A
(264) x = 0. Ȇ . Ᏸ. 有解意思是對於每一列均有某一個 aij + xj = 0, 因此有以下定理。. 定理 3.4:. Ȇ. 熱帶線性系統 A
(265) x = 0 在 Tn 有解若且唯若 I1 × I2 × I3 × · · · × Im 6= ∅。(即, A 的每 一列包含一個行最大的元素). ź. ŏŢŵ. ŴŪŵ. 對於每一個元素 (j1 , j2 , . . . , jm ) ∈ I1 × I2 × I3 × · · · × Im , 定義 |(j1 , j2 , . . . , jm )| =. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. {j1 , j2 , . . . , jm }, 而 |I1 × I2 × I3 × · · · × Im | = {|(j1 , j2 , . . . , jm )| : (j1 , j2 , . . . , jm ) ∈ I1 × I2 ×. Ū Ŗů. ŷ. I3 × · · · × Im }。其中我們稱每一個 (j1 , j2 , . . . , jm ) ∈ I1 × I2 × I3 × · · · × Im 為一個勝序 列(win sequence)。. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. 對於每一個元素 I ∈ I1 × I2 × I3 × · · · × Im , 都對應一組解。形式如下: xj = min{0 − aij : i ∈ [m]}, 對於任意 j ∈ |I| xj ≤ min{0 − aij : i ∈ [m]}, 對於任意 j ∈ [n] \ |I|。. 第二節 演算法及例子 我們用以下方式來求解幾個熱帶線性系統 A
(266) x = b 的例子。 • 步驟一: 給定 A ∈ Mm×n (T), b ∈ Tm , 若 b 中有 −∞ 元素, 則由 A 判斷哪些 x 的分 量為 −∞, 並將它的索引值加入 Ω, 並且記錄是否有無窮行, 即哪些 x 的分量不受限 制。 12.
(267) • 步驟二: 去除已知的變量, 將無效的方程去除。 • 步驟三: 將 b 的分量由 A 的列中扣除, 使 b 變為 0。 • 步驟四: 將 A 的每行最大元素保留, 其餘都改為 −∞。 • 步驟五: 求出勝序列並求出通解。. 範例 3.5: 求解 A
(268) x = b, 其中 3 7 −1 −∞ 15 A = 6 7 −∞ −∞ , b = 18 。 1 0 1 −∞ 13. ݽ ࢇ = −∞ 得知 x 可以為任意 T 中的元素，去除 σA ҳ . (4). ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. ŴŪŵ. ŏŢŵ. 再將等式右邊化為 0, 得到 0 x −12 −8 −16 1 −12 −11 −∞
(269) x2 = 0 。 0 x3 −12 −13 −12. Ȇ. 15 x 3 7 −1 1 6 7 −∞
(270) x2 = 18 。 13 x3 1 0 1. 及 x4 , 變成. Ᏸ. Ȇ . 4. ź. 由A. (4). ġń. ũŦůŨŤũŪġ. Ū Ŗů. ŷ. 找出每行的最大值, 其他改為 −∞, 得到熱帶線性系統 −12 −8 −∞ x 0 1 −12 −∞ −∞
(271) x2 = 0 。 −12 −∞ −12 x3 0 因此，得到熱帶線性系統的解為 12 x ≤8 2 x2 x= , 其中 x3 ≤ 12 。 x3 x ∈T 4 x4. 13.
(272) 範例 3.6: 求解 A
(273) x = b, 其中 −∞ 10 6 −∞ 1 0 10 5 10 −∞ 3 −∞ A= 10 −∞ −∞ −2 −7 −2 −∞ 3 10 −∞ 9 −∞. −10 −∞ −∞ −∞ −5 −∞ −∞ −∞ , −10 −10 0 −∞ −∞ −∞ −1 3 −∞ −∞ −∞ −7. −∞ 1 1 。 b= 1 1 1. 因此, x2 = x3 = x5 = x7 = −∞。所以可以先簡化為 −∞ −∞ 1 x1 −∞ −∞ 1 x 4 = 1 。 −10 −∞
(274) x 6 1 −∞ 3 x8 −∞ −7 1. ࢇ ݽσ. −∞. ź. −∞. 0 −∞ x1 −∞ 0 x 4 = 0 。 −∞
(275) x 6 0 2 x8 0 −8 . −11 −∞. ŴŪŵ. ŪŰ. Ţŭ. . Ŧų. ŏŢŵ. 將 b 化為 0, 得到以下系統 0 4 9 −∞ 9 −3 −8 2 9 −∞. −∞. Ȇ. Ȇ . ҳ. 6. Ᏸ. 在這個例子當中, b(1) = −∞, 1 5 10 −∞ 10 −2 −7 3 10 −∞. −∞. 4. ů. Ūŷ ġ ń−∞ ů ũ Ŧ ů Ũ得到以下熱帶線性系統 除了每行的最大元素以外, 均改為 −∞, ŤũŪġŖ −∞ 9 9 −∞ 9. 4. −∞. −∞ −∞ −∞ −11 −∞ −∞ −∞ −∞. . 0 −∞ x1 −∞ 0 x 4 = 0 。 −∞
(276) x 6 0 2 x8 −∞ 0. 因此，得到熱帶線性系統的解為 h it x = −9 −∞ −∞ −4 −∞ x6 −∞ −2 , 其中 x6 ≤ 11。 最大解為 h it x# = −9 −∞ −∞ −4 −∞ 11 −∞ −2 。. 14.
(277) 第四章. 雙邊齊次熱帶線性系統 A
(278) x = B
(279) y. 對於雙邊齊次熱帶線性系統 A
(280) x = B
(281) y, 其中, A ∈ Mm×p (T), B ∈ Mm×q (T), x ∈ Tp , y ∈ Tq , 顯然的 x = −∞, y = −∞ 是一個解, 稱為零解(triviall solution)。對於這類. ࢇ ݽσ. 熱帶線性系統, 我們主要目標是希望知道是否具有實數解, 即 x ∈ Rp , y ∈ Rq 。對於這樣. ҳ. 的線性系統求通解, 需要較繁雜的計算過程, 因此, 我們以 MATLAB 作為輔助。. Ȇ . Ᏸ. 第一節 問題求解. Ȇ. 為 了 簡 化 問 題, 我 們 可 以 假 設 A, B 不 具 有 無 窮 行 及 無 窮 列, 即 對 於 任 意 i =. ŏŢŵ. ŴŪŵ. ź. 1, . . . , m, A(i) 6= −∞, B(i) 6= −∞, 且對於任意 j = 1, . . . , p, k = 1, . . . , q, A(j) 6= −∞,. Ŧų. ŪŰ. B (k) 6= −∞。因為, 當 A 的第 j 行為 −∞ 則 xj 將是 T 中的任意數。而如果 A 的第 i. Ţŭ. 列為 −∞ 則當 Bik 6= −∞ 時 yk 將是 −∞。除了這些訊息之外, 對於其他 x, y 的分量. ů. Ūŷ ġ ů ń 求解將不賦與其他訊息, 也就是在這些情況下, ũ Ŧ ů Ũ Ť我們將可以簡化問題成我們預先假設的 ũŪġŖ 形式。 定義 4.1: 對於一個給定的矩陣 A, 若每一行與每一列都至少有一個有限元素, 則我們在此稱 A 為 N 類矩陣。. 性質 4.2: 給定任兩個 N 類矩陣 A, B,則 A
(282) B 依然是一個 N 類矩陣。. 證明: 欲證明這個性質, 首先我們考慮 A
(283) B 的第 i∗ 列是否有有限元素。因為 A 是 N 類矩陣, 所以必存在 k ∗ 使得 Ai∗ k∗ 6= −∞, 又因為 B 也是 N 類矩陣, 因此, 存 在 j ∗ 使得 Bk∗ j ∗ 6= −∞, 所以 A
(284) B 的第 i∗ 列中 (A
(285) B)i∗ j ∗ = max{Ai∗ k + Bkj ∗ } ≥ k. Ai∗ k∗ + Bk∗ j ∗ ∈ R。由於 i∗ 任意的且對於列也是同樣的情況, 因此得證 A
(286) B 是 N 類 15.
(287) 矩陣。. 備註 4.3: 一個向量 x ∈ Tn 是 N 類矩陣若且唯若 x ∈ Rn 。. 推論 4.4: A ∈ Mm×n (T) 是 N 類矩陣, x 屬於 Rn , 則 A
(288) x 屬於 Rn 。. 證明: 直接由備註 4.3 得證。 在 [6] 的文章中提到一個利用迭代方式來收斂到解的方法, 稱為交錯法(alternating method ), 以下先做簡要介紹: • 步驟一: 先給定一個實數向量 x(0) ∈ Rp 。. ࢇ ݽσ. • 步驟二: 求解 A
(289) x(0) ≥ B
(290) y 的最大解 y(0), 即 y(0) = B ∗
(291) 0 (A
(292) x(0))。. ҳ. • 步驟三: 求解 A
(293) x ≤ B
(294) y(0) 的最大解 x(1), 即 x(1) = A∗
(295) 0 (B
(296) y(0))。. Ȇ . Ᏸ. • 步驟四: 依此步驟 y(k) = B ∗
(297) 0 (A
(298) x(k)), x(k + 1) = A∗
(299) 0 (B
(300) y(k))。. Ȇ. • 步驟五: 若收斂, 則 (x(k), y(k)) 會收斂到 A
(301) x = B
(302) y 的一個解。. ŏŢŵ. Ţŭ. Ŧų. 定理 4.5:. ŪŰ. 單調性質, 除此之外在文章 [6] 中並證明有以下定理:. ŴŪŵ. ź. 由性質 2.11 與推論 4.4 可以得知, 上面過程中 x(k), y(k) 都是有限, 並能證明具有. ů. Ūŷ ů 對於任意給定的 x(0), 序列 (x(k), y(k)) A
(303) x = ũ Ŧ收斂若且唯若雙邊齊次熱帶線性系統 ůŨŤũŪġŖ ġń. B
(304) y 有解。[6]. 因此有關於雙邊齊次熱帶線性系統的解存在性問題, 大致已經有所了解。在此我們 的目標將是希望得到 A
(305) x = B
(306) y 的一般解。 要求解 A
(307) x = B
(308) y, 意思是對應每一個 i ∈ [m], 求 x, y 使得 max{aij + xj } = j. max{bik + yk }。 k. 我們先從一個簡單的例子開始。. 範例 4.6:. 1 2 x 5 6 y
(309) 1 =
(310) 1 。 求解雙邊齊次熱帶線性系統 3 4 x2 8 7 y2 在這個例子當中, 等式要成立必定每一列的左式與右式都會有一項達到最大值, 我 們將從這進行討論。 16.
(311) 由於可能的選擇有很多, 所以我們先就單一情況做討論如下: 1 + x1 = 6 + y 2 3 + x1 = 8 + y 1 2+x ≤ 1+x 2 1 5 + y1 ≤ 6 + y2 4 + x2 ≤ 3 + x1 7+y ≤ 8+y 2. 1. 可以發現我們要解的系統可以化為特殊形式古典等式系統 S 與不等式系統 T , 每一個 等式與不等式中只含有兩個變量。我們將等式與不等式分開處理。 1+x = 6+y 1 2 S: 3+x = 8+y. ࢇ ݽσ 1. ҳ 2 + x. ŪŰ. ů. Ţŭ. 代入 T 可以得到. ź. Ŧų. ŏŢŵ. 對於等式 S 的部份我們以高斯-喬登消去法處理, 可以得到 x −y2 −5 = 0 1 S: −y1 +y2 = 0. Ȇ. Ȇ . Ᏸ. 2 ≤ 1 + x1 5+y ≤ 6+y 1 2 T: 4 + x 2 ≤ 3 + x1 7+y ≤ 8+y 2 1. ŴŪŵ. 1. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. x2 −y2 −4 −1 T: x2 −y2 −4 −1. Ū Ŗů. ≤ 0 ≤ 0 ≤ 0 ≤ 0. 去除無作用的方程式並簡化可以得知 T : x2 −y2 −4 ≤ 0 即對應的解為 x = y2 + 5 1 。 y1 = y2 x ≤ y +4 2 2 17. ŷ.
(312) 這是解的一部分, 另外一組解為 x = y2 + 4 2 。 y1 = y2 x ≤ y +5 1 2 為了簡化符號, 我們將雙邊齊次熱帶線性系統寫成增廣矩陣的形式 M = [A|B], M ∈ Mm×n (T), n = p + q, 如同一般熱帶線性系統, 若解存在, 則每一列左式與右式都會有一項達到最大值並且相 等, 在 M 中分別對應到兩個位置, 這樣的序對在此我們稱為勝數對(winning pair )。. 定義 4.7:. ࢇ ݽσ 則我們稱 win(i) = W A(i) × Wҳ B(i) 中的元素每一個元素為勝數對。. 令 W A(i) = {j ∈ {1, . . . , p} : aij 6= −∞}, W B(i) = {p + j ∈ {p + 1, . . . , n} : bij 6= −∞},. ź. ŴŪŵ. ŏŢŵ. 考慮 i ∈ [m], 若 I = (j, k) ∈ win(i) 為一個勝數對, 令符號 l , 當 l ∈ {1, . . . , p} l := , l − p , 當 l ∈ {p + 1, . . . , n}. Ȇ. Ȇ . Ᏸ. 備註 4.8:. Ŧų. ŪŰ. 則 mij + xj = mik + yk , 即 aij + xj = bik + yk 。並且 mil + xl ≤ mij + xj , 對於任意 l ∈ {1, . . . , p} \ |I|, mil + yl ≤ mij + xj , 對於任意 l ∈ {p + 1, . . . , n} \ |I|。. Ţŭ. ů. Ūŷ ġ ů ń 定義 4.9 (熱帶行列式值(tropical determinant)): ũŦ ůŨŤũŪġŖ. 給定一個方陣 M ∈ Mn×n (T), 定義一個矩陣 M 的熱帶行列式值為 tropdet(M ) = |M |trop :=. M. m1σ(1)
(313) m2σ(2)
(314) · · ·
(315) mnσ(n) 。. σ∈Sn. 範例 4.10: 給定矩陣 5 7 M = 8 −4 則.
(316)
(317)
(318)
(319)
(320) 5 7
(321)
(322) tropdet(M ) =
(323)
(324)
(325)
(326) 8 −4
(327). = max{5 − 4, 7 + 8} = 15。 trop. 18.
(328) 定理 4.11: 令 M = [A|B], A ∈ Mm×p (T), B ∈ Mm×q (T), M 中的兩列 i1 , i2 ∈ [m], i1 < i2 , 對應 的勝數對為 I1 = (j1 , k1 ) ∈ win(i1 ), I2 = (j2 , k2 ) ∈ win(i2 )。若雙邊齊次熱帶線性系統 A
(329) x = B
(330) y 有解, 則 mi1 j1 + mi2 j2 ≥ mi1 j2 + mi2 j1 ,. (4.1). mi1 j1 + mi2 k2 ≥ mi1 k2 + mi2 j1 ,. (4.2). mi1 k1 + mi2 j2 ≥ mi1 j2 + mi2 k1 ,. (4.3). mi1 k1 + mi2 k2 ≥ mi1 k2 + mi2 k1 。. (4.4). 證明: 當 我 們 考 慮 M = [A|B] 中 的 兩 列 i1 , i2 ∈ [m], i1 < i2 , 對 應 的 勝 數 對 為 I1 = (j1 , k1 ) ∈ win(i1 ), I2 = (j2 , k2 ) ∈ win(i2 )。依據勝數對的意義, 必須滿足以下八個式. ࢇ ݽσ. 子:. ҳm. + xj1 ≥ mi1 j2 + xj2 ,. mi1 j1 + xj1 ≥ mi1 k2 + yk2 ,. (4.5). Ᏸ. Ȇ . i1 j1. mi1 k1 + yk1 ≥ mi1 j2 + xj2 ,. Ȇ. (4.8). ź. (4.9). ŴŪŵ. (4.7). (4.10). ŏŢŵ. ŪŰ. mi2 j2 + xj2 ≥ mi2 k1 + yk1 ,. Ŧų. mi1 k1 + yk1 ≥ mi1 k2 + yk2 , mi2 j2 + xj2 ≥ mi2 j1 + xj1 ,. ů. Ţmŭ i k + yk ≥ mi j + xj , Ū ŷ ġń ũ yŦk ů≥ŨmŤi kũ+Ū ġykŖ, ů mi k + 2 2. 2. 2 1. 1. 2 2. 2. 2 1. 1. (4.6). (4.11) (4.12). 因此, 可以得知: mi1 j1 + mi2 j2 ≥ mi1 j2 + mi2 j1 (由 (4.5),(4.9) 式), mi1 j1 + mi2 k2 ≥ mi1 k2 + mi2 j1 (由 (4.6),(4.11) 式), mi1 k1 + mi2 j2 ≥ mi1 j2 + mi2 k1 (由 (4.7),(4.10) 式), mi1 k1 + mi2 k2 ≥ mi1 k2 + mi2 k1 (由 (4.8),(4.12) 式)。. 定義 4.12 (相容性(compatibility)): 若 i1 , i2 ∈ [m], i1 < i2 , 且 I1 ∈ win(i1 ), I2 ∈ win(i2 ) 滿足 (4.1) ∼ (4.4), 則稱 I1 , I2 相 容(compatible)。 19.
(331) 備註 4.13: 假設 i1 , i2 ∈ [m], i1 < i2 , 且 I1 ∈ win(i1 ), I2 ∈ win(i2 ), 若 I1 , I2 相容, 則
(332)
(333)
(334)
(335)
(336) mi1 l1 mi1 l2
(337) mi1 l1 mi1 l2
(338)
(339) , 對於任意l1 ∈ |I1 |, l2 ∈ |I2 |。 = tr
(340)
(341)
(342) mi2 l1 mi2 l2
(343) mi2 l1 mi2 l2 trop. 在求解的過程中必須先知道每一列勝數對可能選取有哪些, 並且勝數對必須兩兩相 容, 這樣的勝數對序列, 我們稱之為勝序列。. 定義 4.14: 令 Υ = (I1 , . . . , Im ), 其中, Ih ∈ win(h), 對於任意 h ∈ [m]。若對於任意給定 i1 , i2 ∈ [m], Ii1 , Ii2 均相容, 則我們稱 Υ 為一個勝序列(win sequence)。. 範例 4.15: 我們使用範例 4.6 作為例子,. ݽ ࢇ 1 2 5 6 σ ҳM = 3 4 8 7 . Ȇ . Ᏸ. 對 應 的 W A(1) = W A(2) = {1, 2}, W B(1) = W B(2) = {3, 4}, win(1) = win(2) = {(1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4)}。. trop. ź.
(344)
(345)
(346)
(347)
(348) 1 5
(349)
(350) 6 5 + 3,
(351)
(352) =
(353)
(354) 3 8
(355). trop.
(356)
(357)
(358)
(359)
(360) 5 5
(361)
(362) = 1 + 8,
(363)
(364)
(365)
(366) 8 8
(367). trop.
(368)
(369) 5
(370)
(371) = 1 + 8,
(372)
(373)
(374) 7 8
(375). ŴŪŵ. ŪŰ. trop.
(376)
(377)
(378)
(379)
(380) 5 1
(381)
(382)
(383)
(384)
(385)
(386) 8 3
(387). Ŧų. ŏŢŵ. 不是一個勝序列。因為,
(388)
(389)
(390)
(391)
(392) 1 1
(393)
(394)
(395) = 1 + 3,
(396)
(397)
(398) 3 3
(399). Ȇ. 因此, 最多的會有 16 組勝序列, 但實際上並不是每一組都相容。如 ((1, 3), (1, 3)).
(400)
(401)
(402) 3 3
(403). trop. ů. Ţŭ Ūŷ
(404) 而 ((1, 4), (1, 3)) 則是一個勝序列, 因為, ů
(405)
(406)
(407)
(408) ġń
(409)
(410) ũ Ŧ ů
(411)
(412) 1Ũ Ť5
(413)
(414) ũ Ū ġ Ŗ
(415)
(416) 6
(417)
(418)
(419)
(420)
(421) 1 1
(422)
(423) 6 1
(424)
(425)
(426)
(427)
(428)
(429)
(430)
(431) = 1 + 3,
(432)
(433)
(434) 7 3
(435). trop. = 6 + 3,
(436)
(437)
(438) 3 8
(439). = 5 + 8。 trop. = 6 + 8。 trop. 依此步驟, 我們將得到全部共 4 組勝序列分別為 Υ1 = ((1, 4), (1, 3)), Υ2 = ((1, 4), (2, 3)), Υ3 = ((2, 4), (1, 3)), Υ4 = ((2, 4), (2, 3))。 當我們知道勝序列之後, 對應每一個勝序列求解, 我們將分為兩個部分等式系統 S 與不等式系統 T (忽視無效的方程與不等式, 例如: −∞ ≤ a 這種形式), 表示成矩陣形式 時我們以 C 與 D 分別表示。. 範例 4.16: 接續我們先前的例子, 對於勝序列 ((1, 4), (1, 3))。 對應可以得到等式系統 1+x = 6+y 1 2 S: 3+x = 8+y 1. 20. 1.
(440) 與不等式系統. 2 + x2 5+y 1 T: 4 + x2 7+y 2. ≤ 1 + x1 ≤ 1 + x1. 。. ≤ 3 + x1 ≤ 3 + x1. 對應的我們以矩陣 . 1 0. C= 以及. 1 0 −1. −1 −5 0. −5. −1 1 0 0 1. . −1 0 1 0 4 D= −1 1 0 0 1 −1 0 0 1 4. . . ҳ. 分別表示 S 與 T 。. 0. . ࢇ ݽσ. Ȇ . Ᏸ. 在求解雙邊齊次熱帶線性系統時, 我們希望求解 x, y 佈於 R, 滿足 A
(441) x = B
(442) y。 我們將它轉換為古典的線性系統與不等式系統。對於等式的部分我們可以使用高斯-喬. Ȇ. 登消去法(Gauss–Jordan elimination)來簡化為化簡列梯式(reduced row echelon form),. ź. ŏŢŵ. 代入不等式中, 我們將能夠減少不等式部分的變數個數。對於不等式的部分我們將進一. ŴŪŵ. 步使用類似高斯-喬登消去法的列運算來達成化簡的目的, 當然這樣的運算必須要能夠. ů. Ţŭ. Ŧų. ŪŰ. 保解才具有意義, 我們將會以次特殊化(sub-specialize)來稱呼這樣的過程, 而得到化簡後 的矩陣稱作次特殊矩陣(sub-special matrix )。. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. 在簡化 D 的過程我們允許的列運算如下:. Ū Ŗů. ŷ. 1. 任意交換兩列。 2. 若 D 的其中兩列, 為 r = (r1 , . . . , rn , a) 與 s = (r1 , . . . , rn , b), 且 a ≤ b 則可以移除 r。 3. 任意相加 D 中的任意兩列得到 s, 若 s 與其他 D 中某列 r 滿足 r = (r1 , . . . , rn , a), s = (r1 , . . . , rn , b) 且 a ≤ b, 則以 s 取代 r。 4. 若 D 中的任意兩列相差一個負號, 則將其中一列增加到 C 中, 並從 D 中移除此兩 列。 透過以上四種運算, 且 D 有解, 我們將能夠將 D 化為以下定義的矩陣, 稱之為次特殊矩 陣。 21.
(443) 定義 4.17: 令 G ∈ Mm×(n+1) (T), G0 為 G 刪去最後一行。若 G 滿足以下條件: 1. G0 的每一列為 (1, −1, 0, . . . , 0) 的一種排列。 2. G0 中的任兩列兩兩互異, 且 G 中任兩列不能相差一個負號。 3. 若存在 i1 < i2 使得 G0(i1 ) = −G0(i2 ) , 則 i2 = i1 + 1, gi1 (n+1) + gi2 (n+1) < 0, 且 G0(i1 ) 為 j−1. l−1. z }| { z }| { (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, −1, 0, . . . , 0), j, l ∈ [n] 這種形式。 4. 若存在 i ∈ [m] 使得 G0(i) 6= −G0(i+1) , 此兩列不為 0 元素所對應的行數數對分別為 (j11 , j12 ), (j21 , j22 ), 此兩數對滿足字母次序(數字小者優先)。(例如: 若 G0 中有兩列. ࢇ ݽσ. 分別為 (0, 0, 1, 0, −1) 與 (0, 0, 1, −1, 0), 則 (0, 0, 1, −1, 0) 在 G0 中的列數將較前。). ҳ. 則我們稱 G 是一個次特殊矩陣。. Ȇ . Ᏸ. 範例 4.18:. ů. Ţŭ. 0 1 0 −1 −4. ũŦůŨŤũŪġ. 而得到對應勝序列 ((1, 4), (1, 3)) 的解, x = y2 + 5 1 。 y1 = y2 x ≤ y +4 2 2 同理對應勝序列 ((1, 4), (1, 3)) 的解為 x = y2 + 5 1 x2 = y 2 + 4 , y = y 1 2 22. ŴŪŵ. Ū Ŗů. 0 0 0 0 −1 D= 0 1 0 −1 −4 0 0 0 0 −1 h i 次特殊化得到 D = 0 1 0 −1 −4 。. ġń. . Ŧų. ŪŰ. . ź. ŏŢŵ. 代入 D, 得. Ȇ. 我們一樣接續前例, 將 C 化為化簡列梯式 1 0 0 −1 −5 , C= 0 0 1 −1 0. , . ŷ.
(444) 對應勝序列 ((2, 4), (1, 3)) 的解為 x = y2 + 5 1 x2 = y 2 + 4 , y = y 1 2 對應勝序列 ((2, 4), (2, 3)) 的解為 x = y2 + 4 2 。 y1 = y2 x ≤ y +5 1 2. 第二節 演算法及例子. ࢇ ݽσ 我們以下描述整個求解的過程。 ҳ. Ȇ . Ᏸ. • 步驟一: 給定 A ∈ Mm×p (T), B ∈ Mm×q (T), 令 M = [A|B], 對於每一個 i ∈ [m] 計 算出勝數對存成三維陣列 W (r 列, 2 行, m 頁), 每一頁 i 儲存可能的勝數對, 不足. Ȇ. 的地方以 0 取代。. ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ. • 步驟二: 計算出所有勝序列存入三維陣列 W S(m 列, 2 行, p 頁, 其中 0 ≤ p ≤ rm ),. ŪŰ. 無實數解。. Ţŭ. Ūŷ ġ ů ń 對於每一個勝序列 Υ 執行步驟三∼步驟六: (以 solŖ C 與 solD h ũ Ŧ ů iŨt Ť ũ Ū ġ h it t t t t ů. •. Ŧų. 每一頁保留符合相容性條件的勝數對序列。若 W S 為空矩陣, 則跳過以下步驟 x, y. Υ. CΥ x. −y. 1. = 0 與 DΥ x. −y. Υ. 分別表示. ≤ 0 的解). 1. – 步驟三: 求出對應的 CΥ , DΥ 。 – 步驟四: 將 CΥ 化為化簡列梯式, 代入 DΥ 中。 – 步驟五: 對 DΥ 進行次特殊化若可化為次特殊矩陣, 則繼續進行步驟, 否則 solΥ = ∅。過程中若 CΥ 的列數有新增(第4種列運算), 則重新回到步驟四。 – 步驟六: 對應 Υ 的解為 solΥ = solCΥ ∩ solDΥ 。 • 步驟七: 雙邊齊次熱帶線性系統的解為. [ Υ∈W S. 最後我們以一個較繁雜的例子說明。. 23. solΥ 。.
(445) 範例 4.19: 設 A= . . −∞ 0. 3 1. 1. −∞. 1. . . 1 1. , B = 3 2 0 2 3 1. , . 求解雙邊齊次熱帶線性系統 A
(446) x = B
(447) y。 由 [6] 我們可以知道, 這樣的線性系統解存在, 即交錯法收斂。在此我們希望求出 通解。 寫成矩陣形式. M = . −∞ 0 1 1. 3 1. 1. . 0 3 2 2 3 1. ࢇ 1 ݽσ 對 應 的 勝 數 對 為 W A(1) = {1, 3}, W A(2) = {1, 2, 3}, W A(3) = {2, 3}, W B(1) = ҳ W B(2) = W B(3) = {4, 5}。 −∞. Ȇ . Ᏸ. 可能的勝序列有 Υ1 = ((1, 4), (2, 4), (2, 4)), Υ2 = ((1, 4), (2, 4), (3, 4)), Υ3 = ((3, 4), (2, 4), (2, 4)), Υ4 = ((3, 4), (2, 4), (3, 4)), Υ5 = ((1, 5), (2, 4), (2, 4)), Υ6 =. Ȇ. ((1, 5), (2, 4), (3, 4)), Υ7 = ((1, 5), (2, 5), (2, 4)), Υ8 = ((1, 5), (2, 5), (3, 4)),. ź. ŏŢŵ. Υ9 = ((3, 5), (2, 4), (2, 4)), Υ10 = ((3, 5), (2, 4), (3, 4)), Υ11 = ((3, 5), (2, 5), (2, 4)), Υ12 =. ŪŰ. ů. Ţŭ. 與不等式系統. Ŧų. 對勝序列 Υ1 = ((1, 4), (2, 4), (2, 4)), 可以得到等式系統 1 0 0 −1 0 2 C = 0 1 0 −1 0 −2 0 1 0 −1 0 −2. ŴŪŵ. ((3, 5), (2, 5), (3, 4)), 共 12 組。. ġń. D= . ũŦůŨŤũŪġ. −1. 0. −1. 0. 1. −1. 0. −1. 0. −1. 0. −1. 0. −1. Ū Ŗů. 1 0 0 −3. ŷ. . 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 0 0 −1 , 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0. 24.
(448) 將 C 化為化簡列梯式並帶入 D 得, C= D= 對 D 進行化簡成為次特殊矩陣得 . ҳ. 2. 0 1 0 −1 0 −2 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 −1 1 0 0 0. 0. 0. 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1. , . 0 −4 −3 , −1 −1 −2. ࢇ ݽσ 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 −1 1. 。. 0. Ᏸ. Ȇ . D=. 1 0 0 −1 0. . 因此對應勝序列 Υ1 的解為. ů. Ţŭ. 對應勝序列 Υ3 的解為. 對應勝序列 Υ5 的解為. ġń. = y1 − 2 = y1 + 2. ŴŪŵ. ≤ y1. ũŦůŨŤũŪġ. x2 x 3 solΥ3 : x1 y 2. x1 x2 x 3 solΥ5 : x3 y1 y. 2. Ū Ŗů. = y1 + 2 = y1 + 1. ,. ≤ y1 − 2 ≤ y1 = y2 − 2 = y1 + 2 ≤ y1 + 1 ≤ y2 + 1 ≤ y2 ≤ y1 + 1. 25. ź. 。. ≤ y1 + 1. Ŧų. ŪŰ 其餘不同的解列出如下:. Ȇ. ŏŢŵ. x1 x 2 solΥ1 : x3 y 2. ,. ŷ.
(449) 對應勝序列 Υ6 的解為. x1 x 2 solΥ6 : x3 y1 y 2. 對應勝序列 Υ7 的解為. x1 x 2 solΥ7 : y1 x 3. 對應勝序列 Υ8 的解為. ҳ. = y2 − 2 = y1 + 2 = y1 + 1 , ≤ y2 ≤ y1 + 1 = y2 − 2 = y2 + 1. ,. = y2 − 1 ≤ y2. ݽ ࢇ x = y −2σ 1. 2. ů. ġń. = y2 ≤ y2 − 2. ũŦůŨŤũŪġ. 26. ź. = y2 + 1. ŴŪŵ. ŪŰ. Ţŭ. = y2 + 2 。. Ŧų. Ȇ ŏŢŵ. x2 x 3 solΥ9 : y1 x 1. Ȇ. 對應勝序列 Υ9 的解為. Ᏸ. x = y +1 2 2 solΥ8 : , x3 = y 2 y = y −1 1 2. Ū Ŗů. ŷ.
(450) 第五章. 結論. 由前面各章節的討論, 我們對這兩大類型的熱帶線性系統的求解給出了相對應的算 法。對於熱帶線性系統 A
(451) x = b, 我們將 b 中出現 −∞ 元素的部分優先處理, 使得最 終只需要處理 A
(452) x = 0 這種形式的問題。接著化為標準型後, 利用勝序列的概念, 我 們容易的可以算出原先要求的熱帶線性系統 A
(453) x = b 的解。. ࢇ ݽσ. 對於雙邊齊次熱帶線性系統 A
(454) x = B
(455) y 這類的問題, 首先我們試著找出所有可. ҳ. 能的勝數對, 考慮由勝數對所構成的所有長度 m 的序列中, 用相容性條件我們可以得到. Ȇ . Ᏸ. 符合相容性條件的勝序列。對應每一個勝序列構造對應的等式系統 S : C[xt − y t 1]t = 0 與不等式系統 T : D[xt − y t 1]t ≤ 0, 對於等式系統 S 進行高斯-喬登消去法, 不等式系統 性系統的解。. Ȇ. T 進行次特殊化, 不斷交替進行運算直到不再變動, 最終我們將可以得到雙邊次熱帶線. ŏŢŵ. ŴŪŵ. ź. 由前述的過程, 我們已能透過勝序列的概念, 來求熱帶線性系統 A
(456) x = b 在 Tn 下. Ŧų. ŪŰ. 的解, 以及雙邊齊次熱帶線性系統 A
(457) x = B
(458) y 在 Rp , Rq 中的求解, 並且利用演算法. Ţŭ. 能夠清楚得到他們通解的形式, 而非只是求得特解。當然, 還有部分尚未被解決的問題,. ů. Ūŷ ġ ů p q ń 如雙邊齊次熱帶線性系統 A
(459) x = Bũ
(460) y 在 T , T 中的求解, 在我們前述的討論中, 我 ŦůŨŤũŪġŖ 們並沒有考慮解有部分 −∞ 的情形, 在此狀況下求解, 會添加很大的複雜程度, 對於此 問題還可以繼續深入的探討。 另外, 對於使用的程式方面, 我們使用的是 MATLAB(R2011b) 這一套軟體, 關於這 套軟體可以參考軟體網頁 [9] 或相關的書籍 [10]。它主要常被用來進行數值計算, 較不 善於用在代數計算上。在此我使用它來作為工具只是對於 MATLAB 較為熟悉, 以免造 成計算時程式設計上的疏忽。在這方面, 可以考慮使用其他用在代數運算的軟體來做為. 取代。對於演算法的部分, 未來相信可以尋求到更快速的演算法來求得通解, 是我們未 來可以繼續深入探討的方向。. 27.
(461) 附 錄 A1. 求解 熱帶 線性 系統 A
(462) x = b 的主 程式 碼 1. function [maxsol,UBD,ARB,remain,A1]=STLS(A,b). 2. % 求解熱帶線性系統 A x = b. 3. [m n]=size(A);. 4. UBD=[]; % 負無窮變數. 5. ARB=[]; % 不受限制的變數. 6. ridx=1:m;. 7. cidx=1:n;. 8. if m~=length(b). Ȇ . for i=ridx(b==-inf). ŪŰ. 13. else. ź. ŴŪŵ. ARB=’no solution’;. Ţŭ. ů. UBD=union(UBD,cidx(A(i,:)~=-inf));. 14. ġń. 15. end. 16. ARB=union(ARB,cidx(all(A==-inf,1)));. 17. remain=setdiff(setdiff(cidx,UBD),ARB);. 18. A=A(ridx(b~=-inf),remain);. 19. b=b(b~=-inf);. 20. for i=1:size(A,1). ũŦůŨŤũŪġ. A(i,:)=A(i,:)-b(i);. 21 22. end. 23. W=max(A,[],1);. 24. A(A~=ones(size(A,1),1)*W)=-inf;. 25. if any(all(A==-inf,2),1). 26. maxsol=’no solution’;. 27. UBD=’no solution’;. 28. ARB=’no solution’;. 29. Ŧų. 11. ŏŢŵ. UBD=’no solution’;. Ȇ. maxsol=’no solution’;. 10. 12. Ᏸ. 9. ҳ. ࢇ ݽσ. else. 28. Ū Ŗů. ŷ.
(463) maxsol=-max(A,[],1)’;. 30 31. end. 32. A1=A; end. ҳ. ࢇ ݽσ. Ᏸ Ȇ. Ȇ ŪŰ. ŴŪŵ. ź. ŏŢŵ ů. Ţŭ. Ŧų. 33. ġń. ũŦůŨŤũŪġ. 29. Ū Ŗů. ŷ.
(464) A2. 求解 雙邊 齊次 熱帶 線 性系 統 A
(465) x = B
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