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漫談高中數學中的數線
張海潮
1朱啟台
2* 1國立臺灣大學數學系 2普通高級中學課程數學學科中心壹、遇見無理數
關 於 數 線 的 起 源 ， 與 其 說 我 們 想 替 抽 象 的 數 字 找 一 個 具 體 的 象 徵 ， 倒 不 如 說 我 們 想 把 長 度 的 概 念 加 以 「 量 化 」 或 「 數 位 化 」，這 就 像 測 量，也 像 工 程 師 把 連 續 的 類 比 訊 號 轉 化 為 離 散 的 電 子 訊 號 。 談 到 測 量 長 度 ， 就 要 先 定 出 基 本 單 位 長 ， 然 後 觀 察 被 測 物 的 長 度 是 基 本 單 位 長 的 多 少 倍 。 關 於 這 個 倍 數 ， 我 們 通 常 採 用 十 進 位 數 字 系 統 來 描 述，例 如，19 英 寸 的 液 晶 螢 幕 指 的 是 螢 幕 的 對 角 線 長 度 為 「 1 英 寸 」 的 19 倍 （ 1 英 寸 大 約 等 於 2.54 公 分 ）。 按 照 一 般 正 常 人 的 直 覺 ， 任 何 線 段 的 長 度 都 應 該 可 以 用 十 進 位 數 字 系 統 很 精 確 地 描 述 吧 ？ 好 比 我 們 拿 一 把 直 尺 量 測 一 支 鉛 筆 的 長 度 ， 將 鉛 筆 一 端 對 正 刻 度 ０ 的 位 置 ， 或 許 鉛 筆 的 另 一 端 並 不 剛 好 落 在 某 個 刻 度 上 ， 而 是 落 在 兩 個 刻 度 線 的 中 間 ， 這 會 不 會 是 因 為 直 尺 不 夠 精 密 呢 ？ 想 像 我 們 能 夠 應 用 奈 米 技 術 ， 將 直 尺 的 刻 度 不 斷 細 分 、 不 斷 細 分 ， 只 要 切 得 夠 細 ， 鉛 筆 的 另 一 端 總 會 和 某 一 個 刻 度 切 齊 吧 ？ * 為 本 文 通 訊 作 者 如 果 你 的 直 覺 不 同 意 上 面 的 看 法 ， 要 嘛 你 是 個 懷 疑 論 者 ， 不 然 你 一 定 非 常 有 潛 力 成 為 優 秀 的 數 學 家 。 事 實 上 ， 這 個 問 題 困 擾 了 古 希 臘 人 很 長 的 一 段 時 間 ， 難 道 真 的 會 有 某 個 線 段 ， 它 的 長 度 竟 然 無 法 用 十 進 位 數 字 精 確 描 述 嗎 ？ 也 許 你 會 說 當 然 有，1/3=0.3333...，1/3 就 無 法 用 有 限 的 數 字 來 精 確 描 述 ， 但 這 只 是 因 為 我 們 選 了 一 個 不 恰 當 的 測 量 系 統 ， 如 果 改 用 三 進 位 ， 則 1/3=0.1。 因 此 ， 真 正 的 麻 煩 在 於 ： 會 不 會 存 在 某 個 線 段 ， 它 的 長 度 無 法 用 有 限 個 數 字 來 描 述 呢 ？ 我 們 的 意 思 是 ， 不 論 嘗 試 哪 一 種 進 位 系 統 都 辦 不 到 。 這 個 問 題 的 答 案 實 在 太 讓 人 難 以 置 信 了 ， 這 種 「 無 法 以 常 理 看 待 」 的 線 段 不 但 存 在 ， 而 且 其 族 群 比 「 有 理 可 循 」 的 族 群 大 得 多 ， 而 且 這 個 大 是 超 乎 想 像 的 大 ， 不 成 比 例 的 大 ！ 希 臘 人 錯 誤 的 直 覺 是 被 正 方 形 給 糾 正 的 。 注 意 邊 長 為 １ 的 正 方 形 的 對 角 線 ， 請 問 它 的 長 度 可 以 用 十 進 位 制 的 直 尺 精 確 地 量 出 來 嗎 ？ 萬 一 不 行 ， 我 們 就 換 別 的 進 位 系 統 試 試 看 ， 有 沒 有 機 會 找 到 某 個 進 位 系科學教育月刊 第 294 期 中華民國九十五年十一月 -48- 統 ， 可 以 讓 我 們 用 有 限 個 數 字 精 確 地 描 述 這 個 量 呢 ？ 這 個 問 題 的 另 一 種 版 本 就 是 大 家 比 較 常 聽 到 的 ： 請 問 根 號 2 是 有 理 數 嗎 ？
貳、遇見根號 2
給 定 邊 長 為 1 的 正 方 形 ， 其 對 角 線 長 為 根 號 2， 要 了 解 這 件 事 不 一 定 非 要 借 助 畢 氏 定 理 。 拿 出 4 個 邊 長 為 1 的 小 正 方 形 ， 把 他 們 拼 成 邊 長 為 2 的 大 正 方 形 ， 小 正 方 形 的 對 角 線 剛 好 構 成 一 個 中 的 正 方 形 ， 而 且 面 積 等 於 2， 也 就 是 說 ， 這 個 正 方 形 的 邊 長 為 根 號 2。 從 這 個 觀 點 來 看 根 號 2 並 不 只 是 為 了 突 顯 他 的 原 始 人 氣 息 而 已 。 面 積 等 於 2 的 正 方 形 ， 其 邊 長 碰 觸 到 有 理 數 的 疆 界 ； 那 麼 ， 體 積 等 於 2 的 正 立 方 體 呢 ？ 其 邊 長 碰 觸 到 尺 規 作 圖 的 疆 界 ， 這 才 是 真 正 難 倒 希 臘 人 的 大 問 題 。參、質數
質 數 的 英 文 是 prime ， 是 最 原 始 的 數 ， 或 者 說 ， 它 就 像 化 學 上 的 元 素 ， 能 組 合 成 各 種 化 合 物 ， 所 以 中 國 大 陸 將 prime 翻 譯 成 「 素 數 」。 化 合 物 靠 化 學 鍵 將 元 素 結 合 在 一 起 ， 我 們 如 何 將 質 數 結 合 成 新 的 數 呢 ？ 我 們 的 「 膠 水 」 或 「 水 泥 」 是 乘 法 。 （ 如 果 用 加 法 來 構 造 自 然 數 的 話 ， 元 素 只 有 一 個，那 就 是 1 ，任 何 一 個 自 然 數 n 只 要 將 1 累 加 n 次 即 可 得 到 ） 整 數 論 有 個 著 名 的 定 理（ fundamental theorem of arithmetics）， 這 個 定 理 說 ： 每 個 數 都 可 分 解 成 質 數 的 乘 積 ， 而 且 ， 分 解 法 是 唯 一 的 。 所 謂 分 解 法 唯 一 ， 是 說 它 的 成 分 是 固 定 的，例 如，24=23×3，是 由 3 個 2 和 1 個 3 所 組 成 的，也 許 有 些 人 把 24 寫 成 3 ×23，另 一 些 人 則 寫 成 2×2×2×3，但 各 種 寫 法 都 指 向 相 同 的 成 分 ， 也 就 是 說 ， 各 個 質 數 所 占 的 比 例 是 固 定 的 ， 並 不 因 寫 法 不 同 而 有 差 異 。 質 數 既 然 是 元 素，任 何 一 個 數（ 除 了 1 以 外 ） 要 嘛 是 元 素 ， 不 然 就 是 由 元 素 結 合 而 成 的 化 合 物，換 句 話 說，大 於 1 的 整 數 可 以 分 成 2 類 ： 質 數 與 合 數 （ 合 成 數 ）。 講 到 這 裡 ， 我 們 還 沒 替 質 數 下 個 嚴 謹 的 定 義 。漫談高中數學中的數線 -49- 要 了 解 一 個 人 ， 有 兩 種 常 見 的 觀 察 方 向 ， 一 種 是 向 內 作 分 析 ， 一 種 是 向 外 找 關 係 ， 什 麼 意 思 呢 ？ 看 看 一 個 人 的 五 臟 六 腑 ， 是 不 是 每 個 器 官 都 能 正 常 運 轉 ？ 這 是 從 內 部 了 解 一 個 人 。 看 看 一 個 人 的 父 母 是 誰 ？ 死 黨 是 誰 ？ 同 學 是 誰 ？ 這 是 從 外 部 了 解 一 個 人 。 認 識 質 數 ， 正 好 可 以 採 用 這 兩 種 切 入 方 式 ： 1. 沒 有 辦 法 再 分 離 出 更 小 的 成 分 了，用 數 學 的 講 法 就 是 ： 除 了 1 和 自 己 之 外 ， 沒 有 別 的 因 數 。 2. 天 底 下 的 任 一 個 數，要 嘛 是 這 個 質 數 的 倍 數，不 然 就 和 它 互 質（ 質 數 要 嘛 全 部 融 於 它，不 然 就 跟 它 完 全 不 相 干 － － 沒 有 共 同 的 成 分 ）。 這 兩 個 定 義 的 風 味 雖 然 大 異 其 趣 ， 但 本 質 是 等 價 的 ， 一 般 在 高 中 階 段 只 會 接 觸 第 1 種 定 義，但 在 大 學 的 整 數 論 課 程 裡 ， 第 2 種 定 義 反 而 比 較 常 用 。
肆、根號 2 是無理數
如 果 沒 有 被 太 多 數 學 知 識 污 染 ， 我 們 應 該 很 難 想 像 ， 竟 然 會 有 一 枝 鉛 筆 的 長 度 沒 有 辦 法 被 精 確 地 數 位 化 ， 會 不 會 只 是 因 為 我 們 的 測 量 技 術 不 夠 精 密 呢 ？ 1<2
<2 1.4<2
<1.5 1.41<2
<1.42 1.414<2
<1.415 1.4142<2
<1.4143 1.41421<2
<1.41422 …. 想 像 有 個 像 夸 父 一 樣 的 頑 固 分 子 ， 一 開 始 他 相 信 根 號 2 可 以 被 精 確 地 數 位 化 ， 或 者 說 ， 可 以 寫 成 分 數 ， 很 不 幸 地 ， 日 復 一 日 年 復 一 年，他 還 是 無 法 將 根 號 2 定 位。 當 一 個 人 愛 上 一 個 永 遠 不 可 能 愛 他 的 人 ， 有 修 養 的 人 可 能 選 擇 祝 福 對 方 ， 然 後 靜 靜 地 走 開 ， 但 報 復 心 理 比 較 強 烈 的 人 可 能 會 說 ：「 我 得 不 到 的 ， 別 人 也 休 想 得 到 」。 這 樣 的 人 ， 當 他 滿 懷 希 望 要 用 有 限 個 數 字 將 根 號 2 定 位 而 終 不 可 得 的 時 候 ， 他 竟 然 選 擇 了 一 條 完 全 相 反 的 路 ， 企 圖 證 明 根 號 2 不 可 能 被 精 確 地 數 位 化 ， 而 他 用 的 方 法 也 是 充 滿 轉 折 的 ： 假 設 根 號 2 可 以 寫 成 分 數，就 寫 成 p/q 好 了 ， 我 們 總 是 可 以 把 p 和 q 的 共 同 成 分 約 掉，得 到 一 個 最 簡 分 數，也 就 是 說，p,q 互 質 ， p,q 之 間 沒 有 相 同 的 成 分 。 現 在 將2
p
q
=
的 兩 邊 平 方 ， 得 到 2 2 2 22
p
, 2
q
p
q
=
=
因 此 ， p2含 有 2 的 成 分 ， 於 是 p 必 須 要 有 2 的 成 分 ， 於 是 p2會 有 2×2=4 的 成 分 ， 這 樣 一 來 ， q2也 必 然 會 有 2 的 成 分 ， 於 是 q 也 必 須 有 2 的 成 分 。 推 論 到 此 ， 我 們 發 現 p,q 都 有 2 的 成 分 ， 怎 麼 會 一 開 始 說 p,q 沒 有 相 同 的 成 分 ， 走 到 後 來 又 說 p,q 有 相 同 的 成 分 呢 ？ 化 解 矛 盾 的 唯 一 方 法 是 ， 一 開 始 的 假 設 就 出 問 題 了 ， 也 就 是 說 ， 根 號 2 不 可 能 寫 成 分 數 的 型 式 。科學教育月刊 第 294 期 中華民國九十五年十一月 -50- 上 述 證 法 是 所 有 教 科 書 的 標 準 作 法 ， 不 曉 得 已 經 風 行 了 幾 個 世 紀 。 幾 乎 每 個 初 學 者 都 曾 經 被 這 個 兜 圈 子 的 證 明 搞 得 暈 頭 轉 向 。 最 近 和 張 海 潮 老 師 通 電 話 ， 他 提 到 了 一 個 證 明 方 法 ， 頗 能 治 療 初 學 者 的 頭 暈 問 題 。 這 個 新 方 法 的 開 頭 和 舊 方 法 是 一 樣 的 ， 假 設 根 號 2 可 以 寫 成 分 數 ， 也 就 是
2
p
q
=
，其 中 p,q 沒 有 相 同 的 成 分。第 二 步 也 相 同，將 式 子 兩 邊 平 方， 2 22
p
q
=
。精 彩 的 是 接 下 來 的 直 觀 ： 如 果 p/q 不 是 整 數 ， p2 /q2更 不 可 能 是 整 數 。 這 是 因 為 ， 如 果 p,q 沒 有 相 同 的 成 分，p2和 q2自 然 也 不 會 有 相 同 的 成 分；如 果 p/q 都 無 法 化 簡 成 整 數 ， p2 /q2更 沒 有 機 會 了 。 因 此， 2 22
p
q
=
這 個 式 子 是 個 明 顯 可 笑 的 矛 盾：等 號 左 邊 是 整 數，右 邊 不 是 整 數。 兩 者 怎 麼 可 能 相 等 ？ 我 們 將 上 述 證 明 的 關 鍵 再 寫 一 次 ： 如 果 p/q 不 是 整 數 ， p2 /q2更 不 可 能 是 整 數 。 從 這 個 直 觀 出 發 ， 我 們 可 以 得 到 一 群 和 根 號 2 類 似 的 無 理 數 ： 一 個 自 然 數 n， 除 非 他 是 完 全 平 方 數 （ 意 即，n 可 以 寫 成 m2，m 也 是 自 然 數 ）， 否 則 根 號 n 都 是 無 理 數 ， 例 如 3, 5, 6, 7 , 8,...。伍、數系
曾 經 聽 人 說 過 ， 數 學 就 是 在 研 究 集 合 ， 以 及 建 立 在 集 合 上 的 函 數 。 這 雖 然 是 一 種 過 度 簡 化 的 講 法 ， 但 如 果 只 能 用 一 句 話 來 描 述 數 學 ， 這 句 話 還 不 算 太 差 勁 （ 註 ）。 高 中 數 學 最 關 心 的 集 合 就 是 實 數 R， 最 關 心 的 函 數 就 是 從 R 到 R。這 就 是 為 什 麼 實 數 系 那 麼 重 要 ， 直 角 坐 標 系 那 麼 重 要 。 這 就 是 為 什 麼 在 高 中 階 段 談 數 與 坐 標 系 時 ， 不 需 要 在 整 數 論 上 著 墨 太 多 。 整 數 是 為 實 數 系 服 務 的 ， 不 是 為 抽 象 代 數 服 務 的 ， 這 樣 的 定 位 應 該 比 較 適 合 高 中 數 學 吧 。 註 ： 事 實 上 ， 目 前 只 能 想 到 另 一 種 更 高 竿 的 講 法 ， 是 Henri Poincaré 講 的 ：z Mathematics is the art of giving the same name to different things.
把 不 同 的 事 情 看 成 同 一 件 ─ ─ 這 門 藝 術 叫 數 學 。
z Poetry is the art of giving different names to the same thing.
把 同 一 件 事 情 說 得 不 一 樣 ─ ─ 這 門 藝 術 叫 文 學 。
