2-3-1機率-樣本空間與事件

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(1)(99 課綱) 第二冊第三章機率 3-1 樣本空間與事件【目標】能了解某個隨機試驗的樣本空間與事件，以及事件的運算，並能以集合的運算表示，以便於用數學方法處理與討論。本章的重點在理解不確定性與隨機現象的意義。生活中經常要面臨許多不同的情況做選擇﹐如何做較明智的抉擇是大家努力的目標，機率就是隨機事件發生可能性的量化的指標，也可作為抉擇時評估風險的參考。例如：我們面臨必須在甲､乙兩種作法中做選擇時﹐經評估後選擇乙作法的勝算較大､風險較小，因此我們選擇乙，而得到的結果就算輸了，只得怪時運不濟；反之﹐若選擇甲而結果贏了，這只是偶然成功，不會每次都有好運氣。理解機率的概念，並能應用之，是本章的目的。【定義】 1. 隨機現象：在一定的條件下，有多種可能的結果發生，但事前不能預言將會出現哪一種結果，在大量重複試驗的結果卻呈現出某種規律性﹐這類的現象我們稱為隨機現象。機率就是要探索隨機現象的統計規律性。一個隨機現象的所有可能的結果形成一個樣本空間，為了便於數學處理，我們以一個集合來表示某個樣本空間，即樣本空間就是隨機現象（試驗）的所有可能的結果所成的集合，常以 S 表示。註：研究隨機現象時﹐首先要對研究的對象（如：擲硬幣､擲骰子）進行觀察或試驗﹐這些觀察或試驗﹐必須具備下列的特徵： (1) 每次試驗（含觀察）的可能結果不只一個，在進行一次試驗之前不能準確地預言哪一個結果會出現，但試驗的一切可能的結果是已知的。 (2) 試驗可以在相同的條件下重複進行。符合上面兩特徵的試驗就是隨機試驗。本文中我們重視的是隨機試驗結果的規律性，所以我們強調的是隨機現象，不特別提出隨機試驗的名詞。 2. 隨機試驗：一個試驗的結果若是隨機的，即試驗前不能確定會出現哪個結果，但知道有哪些個可能的結果，稱為隨機試驗. 例如： (1) 投擲一硬幣，所得朝上的面有且只有兩種可能，即 {正面, 反面} 。 (2) 甲乙兩人玩剪刀､石頭､布的猜拳遊戲，出拳一次，則勝負的可能有且只有三種，即 {甲勝 , 乙勝 , 平手} 。 (3) 在一個隨機現象（試驗），可能發生或可能不發生的事情稱為隨機事件，例如：擲兩個骰子試驗，「點數和為 3」就是此試驗的一個事件，「點數和為 3 且兩點數均為奇數」也是此試驗的一個事件，只是事件不可能發生。. 1.

(2) 3.. 樣本點：隨機試驗的一個結果稱為樣本點。 4. 樣本空間(sample space)：所有樣本點所成的集合稱為樣本空間，即一個隨機現象的所有可能結果所成的集合稱為樣本空間，常以 S 表示。註：樣本空間 S 內的元素（即樣本點）可以是有限多個，也可以是無限多個（如：測量某一機器製造出來的零件的長度，觀察其測量結果與標準長度的誤差），它們分別稱為有限樣本空間與無限樣本空間。本章機率的課程只討論有限樣本空間的情況，所以常需算出 S 中元素的個數 | S | 以便處理機率問題。例如： (1) 投擲一粒骰子，觀察朝上的點數，樣本空間 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, | S | = 6 。 (2) 擲骰子兩次的樣本空間，即擲一枚硬幣兩次的樣本空間可取為 S = {(i, j ) | i, j = 1,2,3,4,5,6} 。 (3) 擲硬幣時，可以 1 表正面， 0 表反面。擲一枚硬幣三次的樣本空間可表為 S = {(i, j , k ) | i, j , k = 1,0} = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)} (4) 擲骰子兩次的樣本空間與一次擲兩個骰子的樣本空間不同，表面上是同一個過程，其實是兩個試驗（即兩種不同的觀察），所以它們的樣本點不同，樣本空間不同，樣本空間的元素個數也不同。 (5) 從一副撲克牌中 ﹐ 任取一張，看其花色，樣本空間為 S = {紅心, 方塊, 黑桃, 梅花} 。 5. 隨機變數：設 S 為某隨機試驗的樣本空間，對每個 S 中的元素 a ，函數 X 賦予一個實數 X (a ) ，即函數 X 事由 S 映至實數集合 R 的函數，我們稱函數 X 為定義在 S 上的一個隨機變數。. 2.

(3) 【定義】 1. 事件(event)：一隨機試驗中若干樣本點所成集合稱為事件。註： (1) 事件是樣本空間 S 的部分集合。 (2) 最大的事件就是樣本空間 S ，又稱為全事件；最小的事件是空集合 φ ，又稱為空事件。 (3) 當樣本空間以集合表示時，事件也可以集合表示，事件中的元素都是樣本空間中的樣本點，所以，「事件」是樣本空間的部分集合。樣本空間本身就是一個事件，稱為全事件，它是試驗中，必然發生的事件。空集合就是試驗中，必然不會發生的事件，也稱為空事件。 2. 事件發生：若事件 A 以集合表示時，當試驗的結果是集合 A 的一元素時，稱事件 A 發生；否則稱事件 A 不發生。註：若我說「點數和為 3 」的事件，如果擲兩骰子的結果出現一個點數 1 ，一個點數 2 ，那麼我們就說「點數和為 3 」的事件發生了。但是如果擲骰子的結果，一個點數 2 ，一個點數 5 ，我們就說「點數和為 3 」的事件不發生。當然，我們可以確定兩點數均為奇數時﹐其和不可能是 3，所以「點數和為 3 且兩點數均為奇數」的事件是不可能發生的事件。 3. 和事件、積事件：設 A, B 是事件，則聯集 A ∪ B 及交集 A ∩ B 都是事件， (1) 兩事件 A, B 中，至少有一事件發生，也是一事件，我們稱為 A 與 B 的和事件,以 A ∪ B 表示，即聯集 A ∪ B 稱為 A 與 B 的和事件。 (2) 兩事件 A, B 都發生，也是一事件，我們稱為 A 與 B 的積事件，以 A ∩ B 表示，即交集 A ∩ B 稱為 A 與 B 的積事件。 (3) 兩事件 A, B ，事件 A 發生，但事件 B 不發生也是一事件，以 A − B 表示，當 S 為樣本空間時， S − B 也是一事件，以 B' 表示，稱為 B 的餘事件。在試驗中，事件 A 與 A' 必有一個事件發生，且不會同時發生，餘集 A' 稱為 A 的餘事件。註： (1) A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} ，所以事件 A 或事件 B 發生就是 A 與 B 的和事件 A ∪ B 發生。 (2) A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} ，所以事件 A 且事件 B 發生就是 A 與 B 的積事件 A ∩ B 發生。 (3) A′ = {x | x ∈ S , x ∈/ A} ，所以事件 A 不發生就是 A 的餘事件 A′ 發生。在試驗中，事件 A 與 A′ 必有一個事件發生，且不會同時發生。. 3.

(4) 4.. 和事件與積事件：設 A1 , A2 , L , An 是事件， (1) A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An 稱為 A1 , A2 ,L, An 的和事件，事件 A1 , A2 ,L, An 中至少有一發生就是和事件 A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An 發生。 (2) A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An 稱為 A1 , A2 ,L, An 的積事件，事件 A1 , A2 ,L, An 皆發生就是積事件 A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An 發生。 5. 設 A, B 為事件，則 (1) 全事件(必然事件)：樣本空間 S 本身也是事件，稱為全事件。 (2) 空事件(empty event)：空集合 φ 為不含任何元素的事件，稱為空事件。 (3) 互斥(disjoint)事件： A ∩ B = φ 時， A 與 B 為互斥事件。 (4) 差事件：事件 A 扣除事件 B 的事件以 A − B 表示，稱為差事件。註：本節主要以集合來表示事件，並用集合的運算處理各種事件的機率。. 4.

(5)