國立交通大學
土木工程學系
碩士論文
河防構造物功能風險分析架構之研究
Study on Risk Analysis Framework of
Flood Control Structures in Fluvial System
研 究 生 ： 賴鏡如
指導教授 ： 楊錦釧 博士
吳祥禎 博士
河防構造物功能風險分析架構之研究
Study on Risk Analysis Framework of
Flood Control Structures in Fluvial System
研
究
生 ：賴鏡如 Student : Jing-Ru Lai
指導教授 ：楊錦釧 Advisor : Jinn-Chuang Yang
吳祥禎 Shiang-Jen Wu
國 立 交 通 大 學
土 木 工 程 研 究 所
碩 士 論 文
A Thesis Submitted to Civil Engineering
College of Engineering
Nation Chiao Tung University
in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Civil Engineering
July 2008
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
誌 謝
在交大土木所兩年的學習過程，隨著論文的付梓，即將劃上句點，這 段時間以來的點滴，將成為畢生寶貴的回憶。本拙作得以順利完成，承蒙 恩師楊錦釧教授的悉心指導與諄諄教誨，吳祥禎博士對於觀念的啟迪、架 構的匡正與求學的態度逐一斧正，在此獻上最誠摯的感謝與敬意。於研究 期間，湯有光教授的啟發與教導，給予諸多寶貴之意見，也使學生獲益匪 淺。於論文審定期間，感謝口試委員虞國興教授、黃文政教授、張胤隆博 士的悉心指正與寶貴意見，使本論文更臻完善，在此深致謝忱。 在學期間，感謝東霖學長、德勇學長、夢祺學長、胤隆學長、世偉學 長、昇學學長、曉萍學姊、秀容學姊、浩榮學長、弘恩學長、欣瑜學姐、 仲達學長、建華學長、歆婷學姐、柏宏學長、宗明學長、偉國學長、雅婷 學姐…等學長姐對於專業學術上不吝指點迷津與生活上的照顧，亦感謝同 窗好友仙蕓、冠顯、俊哲、思廷、誠達、仁凱、佑民兩年來在課業上與精 神上的勉勵與支持，以及學弟妹歆淳、俊宏、全謚、振家的諸多幫忙協助。 此外特別感謝摯友名儀、幀禎、明哲，因為有你們一直在我身邊給我鼓勵， 才賦予我無盡的動力與勇氣去克服壓力與挫折。 此刻心中的感激之情無法道盡，期能藉此謝誌稍表內心之意，並與所 有關心我的人共享這份喜悅。最後僅以此論文獻給我最親愛的家人，感謝 你們在多年求學過程中，始終給予我最大的支持與愛護，讓我心無旁鶩完 成至今的一切，在此致上由衷之感謝。河防構造物功能風險分析架構之研究
研究生：賴鏡如 指導教授：楊錦釧 吳祥禎 國立交通大學土木工程研究所碩士班摘 要
本研究目的主要為建置一個評估河防構造物防洪功能失效之風險分析 架構。因河防構造物包括堤防、護岸、丁壩等，其中堤防廣泛用於城市或 流域之防災減洪工作，故本研究主要著重於評估評估流域在水文、水理及 地文條件皆改變之情況下，依據保護標準之降雨量或洪水位所設計之堤防 可能承受防洪功能失效之風險，也就是最高洪水位超越堤防高程之發生機 率(失敗機率)。此一風險分析架構主要可區分為四部份：(1)風險因子之辨識 與衍生：採用故障樹分析方法，界定出河川治理規劃之水文水理分析過程 中，會造成河防構造物無法達到預期防洪功能之風險因子，可區分為水文、 水理及地文因子，並採用拉丁高次取樣法衍生各風險因子；(2) 推估最高洪 水位：將風險因子衍生值輸入降雨-逕流與水理模式中推估其最高洪水位； (3) 最高洪水位與風險因子關係式之建立：使用多變量迴歸分析法建立最高 洪水位與風險因子之關係式；(4)風險計算：採用不確定性分析方法計算溢 堤之失敗機率。 本研究以基隆河為應用案例，分別探討風險分析方法之適用性、各風 險因子對堤防防洪能力之影響程度；堤防不同出水高及員山子分洪道設置 對堤防溢堤風險之比較。依據分析結果可知，高等一階二矩法(AFOSM)較 其他兩種方法適用於評估河防構造物之風險分析，其所需最高洪水位與風險因子關係式以非線性型態較能夠適當反應最高洪水位與風險因子之變化 趨勢。各風險因子以最大無因次降雨比率(NRP)與 200 年之降雨量(D)為影響 風險分析結果之重要因子，且堤防出水高及員山子分洪道皆可有效達成降 低防洪功能失效風險之功能。綜合上述結果可知，本研究所建置之河防構 造物風險分析架構可適用於河川堤防防洪功能之評估，期使未來其分析結 果可作為制定河川治理規劃之參考。
關鍵詞：不確定性及風險分析，河防構造物，基隆河，溢堤
Study on Risk Analysis Framework of
Flood Control Structures in Fluvial System
Student：Jing-Ru Lai Advisor：Jinn-Chuang Yang
Shiang-Jen
Wu
Department of Civil Engineering
National Chiao-Tung University
ABSTRACT
The purpose of this study is to develop the flood risk assessment framework for flood control structures in fluvial system, including the embankment, dike, groyne and so on. Since the embankments are wildly used to prevent the urban and watershed from flooding, this study focuses on the risk analysis for the flood-control ability of the embankments, which mainly calculates the failure probability of the water level greater than the embankment. The failure probability probably results from the uncertainties of the rainfall depth or flood of specific protection criterions for the design of hydraulic structures, caused by the variation of hydrological, hydraulic and geometrical conditions in the catchments. The proposed risk analysis framework is grouped into four parts, (1) identification and generation of risk factors: using the fault-tree-analysis, the risk factors in the hydrologic and hydraulic routing can be identified, that is hydrological, hydraulic, and geometric factors. The risk factors are generated by Latin hypercubic sampling (LHS) method; (2) estimation of the maximum water levels: the maximum water levels are estimated by the hydrologic and hydraulic analysis with the generated risk factors; (3) establishment of the relationship between the maximum water levels and risk factors: the maximum water levels relationship with risk factors is established
by the multi-variates regression analysis; and (4) calculation of the failure probability: the failure probability of the maximum water level greater than embankment is calculated by the risk and uncertainty methods.
In this study, the proposed risk analysis framework is applied in the study area, Keelung river watershed, to evaluate the adequacy of uncertainty methods, the sensitivity of risk factors to the flood control capacity of embankment, and the effect of different freeboards and Yuan-Shan-Zi flood-diversion channel. In view of the results of numerical experiments, the advanced first-order-second-moment (AFOSM) method is more adequate to the risk analysis for the flood control capacity of hydraulic structures in fluvial system, of which the nonlinear relationship between the maximum water levels and risk factors can describe the behavior of the maximum water levels varied with the risk factors. The 200-yr rainfall depth and the maximum dimensionless rainfall ratio are more sensible than remaining risk factors on the flood control ability. Additionally, the freeboards of embankments and Yuan-Shan-Zi flood-diversion channel are able to effectively reduce the failure probability. In summary, the proposed risk analysis framework is demonstrated to be able to be used in the risk analysis for the prevention flood ability of flood-control structures in the river systems. Hence, it is expected the results from the proposed risk analysis framework would be referred in the river treatment and planning.
目 錄
誌謝... I 中文摘要...II Abstract ... IV 目錄... VI 表目錄... VIII 圖目錄... X 符號表...XII 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機與目的 ... 1 1.2 文獻回顧 ... 2 1.3 論文架構 ... 5 第二章 理論基礎簡介... 6 2.1 風險分析 ... 6 2.1.1 風險之定義 ... 6 2.1.1 風險分析方法之簡介 ... 7 2.2 不確定性分析 ... 10 2.3 多變量蒙地卡羅模擬法... 17 2.4 多變量迴歸分析方法... 22 第三章 風險分析架構之建置... 29 3.1 風險辨識 ... 29 3.2 風險分析架構 ... 35 3.2.1 風險因子之衍生 ... 35 3.2.2 推估最高洪水位 ... 38 3.2.3 最高洪水位與風險因子關係式之建立... 383.2.4 風險計算 ... 39 第四章 應用案例探討分析... 44 4.1 基隆河流域概況 ... 44 4.2 風險分析架構之應用... 48 4.2.1 風險因子之衍生 ... 48 4.2.2 推估最高洪水位 ... 53 4.2.3 風險因子逐步迴歸分析 ... 55 4.2.4 最高洪水位與風險因子關係式之建立... 57 4.3 風險計算結果分析探討... 58 4.3.1 不確定性分析方法之比較 ... 58 4.3.2 堤防溢堤之風險分析 ... 59 4.3.2.1 各風險因子對堤防防洪能力之影響程度... 60 4.3.2.2 堤防不同出水高之比較 ... 61 4.3.2.3 員山子分洪道設置對堤防溢堤風險之比較... 62 第五章 結論與建議... 107 5.1 結論 ... 107 5.2 建議 ... 108 參考文獻... 109
表 目 錄
表2-1 風險之定義... 25 表2-2 風險分析方法之優缺點 ... 26 表2-3 不確定性分析方法之優缺點 ... 27 表3-1 風險因子彙整表 ... 41 表4-1 基隆河流域橋樑相關資訊一覽表 ... 63 表4-2 基隆河流域各控制點歷年最大三日降雨量 ... 65 表4-3 基隆河流域各場颱風暴雨時雨量位序百分比(1/3) ... 66 表4-3 基隆河流域各場颱風暴雨時雨量位序百分比(2/3) ... 67 表4-3 基隆河流域各場颱風暴雨時雨量位序百分比(3/3) ... 68 表4-4 基隆河流域各控制點地文特性與稽延時間值 ... 69 表4-5 稽延時間統計特性比較表 ... 69 表4-6 稽延時間誤差項衍生值統計特性 ... 70 表4-7 衍生起算水位之樣本資料 ... 70 表4-8 起算水位之統計特性 ... 70 表4-9 橋墩束縮係衍生值統計特性 ... 70 表4-10 分洪堰流量統計特性比較表 ... 70 表4-11 分洪道堰流公式誤差項衍生值統計特性 ... 73 表4-12 基隆河流域各斷面河道糙度係數表 ... 73 表4-13 河道糙度係數之統計特性 ... 73 表4-14 逕流曲線係數 CN 值表... 74 表4-15 基隆河流域各支流 CN 值... 74 表4-16 CN 衍生值統計特性... 75 表4-17 基隆河流域各支流地文特性表 ... 75 表4-18 風險因子代號表 ... 76 表4-19 逐步迴歸分析選取斷面 ... 76表4-20 風險因子逐步迴歸分析結果 ... 77 表4-21 風險因子逐步迴歸分析排序表 ... 79 表4-22 各斷面最高洪水位與風險因子關係式係數值及 R2(線性型態) ... 80 表4-23 各斷面最高洪水位與風險因子關係式係數值及 R2(非線性型態) .. 83 表4-24 風險因子之統計特性 ... 86 表4-25 不同變異程度之風險因子統計特性 ... 87 表4-26 風險因子變異程度對溢堤風險變化 ... 88 表4-27 風險因子排序表 ... 90 表4-28 基隆河流域各斷面左右岸堤防高程 ... 90 表4-29 不同出水高之溢堤風險 ... 91
圖 目 錄
圖2-1 多變量蒙地卡羅 MMCS 方法之模擬程序 ... 28 圖3-1 河川治理規劃之水文水理分析流程圖 ... 41 圖3-2 溢堤之風險來源 ... 42 圖3-3 風險分析架構之流程圖 ... 42 圖3-4 三日暴雨設計雨型 ... 43 圖3-5 降雨組體圖模擬過程 ... 43 圖4-1 基隆河流域概況 ... 92 圖4-2 基隆河流域土地利用狀況 ... 92 圖4-3 風險分析架構之應用流程圖 ... 93 圖4-4 基隆河流域各控制點 200 年三日降雨量統計分析結果 ... 93 圖4-5 基隆河流域三日雨型比較圖 ... 94 圖4-6 稽延時間統計特性(標準偏差為 0.05)... 94 圖4-7 稽延時間統計特性(標準偏差為 0.15)... 95 圖4-8 稽延時間統計特性(標準偏差為 1)... 95 圖4-9 淡水河口與關渡水位關係圖 ... 96 圖4-10 改變橋墩束縮係數之最高洪水位圖 ... 96 圖4-11 員山子分洪堰水位流量率定曲線圖 ... 97 圖4-12 分洪堰流量統計特性(標準偏差為 0.05)... 97 圖4-13 分洪堰流量統計特性(標準偏差為 0.15)... 98 圖4-14 分洪堰流量統計特性(標準偏差為 1)... 98 圖4-15 基隆河流域無因次單位歷線 ... 99 圖4-16 基隆河流域各控制點 200 年洪峰流量統計分析結果 ... 99 圖4-17 逐步迴歸分析選取斷面 ... 100 圖4-18 不同型態之各斷面最高洪水位與風險因子關係式 R2值... 100 圖4-19 不同不確定性分析方法對左岸堤防之 Pf... 101圖4-20 不同不確定性分析方法對右岸堤防之 Pf... 101 圖4-21 風險因子變異程度對溢堤風險變化 ... 102 圖4-22 不同出水高對左岸堤防溢堤機率之比較 ... 103 圖4-23 不同出水高對右岸堤防溢堤機率之比較 ... 103 圖4-24 四個控制點不同出水高對左岸堤防溢堤機率之比較 ... 104 圖4-25 四個控制點不同出水高對右岸堤防溢堤機率之比較 ... 104 圖4-26 四個控制點之洪水位累積分佈函數圖 ... 105 圖4-27 有無考量員山子分洪道對左岸堤防之 Pf... 106 圖4-28 有無考量員山子分洪道對右岸堤防之 Pf... 106
符 號 表
lag T =稽延時間(降雨中心至逕流一半之時間)； L =為水文站至集水區最遠點之主流河川距離； ca L =為水文站至最接近集水區重心之主流河川距離； S =為主流河川平均坡度； lag T ε =為稽延時間誤差項； * lag T ε =為稽延公式係數值； Q ε =為堰流公式誤差項； * Q ε =為堰流公式係數值； Q =為分洪堰流量(cms)； L =為攔河堰堰體總長，80(m)； H =為水位高程(m)； 0 H =為分洪堰啟動之高程，63(m)； KD D _ =關渡控制點重現期距 200 年三日降雨量(mm)； CS D _ =中山橋控制點重現期距 200 年三日降雨量(mm) ； WD D _ =五堵控制點重現期距 200 年三日降雨量(mm) ； YS D _ =員山子控制點重現期距 200 年三日降雨量(mm) ； P R N =最大無因次降雨比率； TD =關渡潮位(m) ； K =橋墩束縮係數； c n =主深槽之河道糙度係數； f n =洪水平原之河道糙度係數第一章 緒論
1.1 研究動機與目的
近年來隨經濟發展快速，都市化現象更趨明顯，在土地空間加速開發 利用下，居民對河川沿岸地區土地利用之需求激增，一旦發生水患將會造 成重大之損失，因此就水患風險管理而言，工程上之風險處置為興建防洪 設備，來維護河川附近居民免於受到洪水的威脅。 在河防構造物的規劃與設計過程中，常常會面臨到資料不足的情形， 再加上變數之隨機性及經濟與工程技術上的限制，決策往往必須在不確定 的條件下完成。此外近年來水文氣象與流域地文環境已與過去有很大的變 異，連帶水文、水理及地文特性亦產生變化而具有相當程度的不確定性， 進而在規劃設計過程中亦存在不確定性。而傳統防洪設施的規劃乃以特定 重現期距下推算計劃洪水位，再加上出水高來作為設計堤防高程，然而此 出水高則涵蓋各種不確定性，可能已承受相當大的防洪功能失效之風險。 風險與不確定性分析在於應用數學與統計方法以評估系統可能發生之 失敗風險機率，讓工程師能依此分析結果做出更佳之決策與設計。近年來 常 被 使 用 評 估 風 險 之 不 確 定 性 分 析 方 法 ， 不 外 乎 為 高 等 一 階 二 矩 法 (AFOSM)、均值一階二矩法(MFOSM)、以及拉丁高次取樣法(LHS)等，但 並未有研究評估在考量河防構造物各種不確定性因子下，較適合之不確定 分析方法。此外，在使用一階二矩法時需要一模式輸出值與輸入值因子之 關係式，而影響河防構造物之風險因子眾多且其與水文水理模式輸出結果 並無明確之關係式，故本研究採用多變量迴歸分析方法推估其關係式，而 關係式之型態主要可分為線性與非線性型態，選擇適合的關係式型態將能 夠適當反應合乎輸出值與輸入值之變化趨勢。 綜上所述，本研究之目的為建立一套評估在水文、水理、地文因子不 確定下，河防構造物的防洪功能之風險分析方法。首先將經由河川治理規劃之水文水理分析過程中，考慮其可能造成河防構造物防洪功能失效之風 險因子，並決定適合應用於河防構造物之不確定性分析方法，以及風險因 子關係式型態，最後以基隆河流域為應用案例，探討其河防構造物在各風 險因子影響程度不同下所承受之風險。
1.2 文獻回顧
(一) 國內部份 顏本琦與洪華生（1971），以雨水排水系統為例，首先介紹風險與可 靠度分析在水利工程上之可行性後，此新學科在水利工程之應用即漸推廣。 陳榮松（1985）引用洪水過程模式，以貝氏分析（Baresian Analysis） 消減參數不確定性，探討堤防於各種設計洪水量下所發生之危險性，此法 能使潛在之不確定性因子之影響減至最小，以獲取較可靠之設計。 黃 志 元 （ 1990 ） 利 用 高 等 一 階 二 矩 法 （ Advance First-Order Second-Moment Method ，簡稱 AFOSM）分析壩堤溢流之風險；吳國儒 （1991）也利用高等一階二矩法評估堤防之安全性；林景義（1992）亦利 用該方法計算石門水庫之溢流風險並配合可用性模式計算水壩安全評估之 最佳週期。田振宏（1993）以蒙地卡羅模擬法（Monte Calro Simulation， 簡稱 MCS ） 與 均 值 一 階 二 矩 法 （ Mean-value First-Order Second-Moment Method ，簡稱 MFOSM）分別作風險計算之方法，探討明德水庫因洪水及 風浪引起之溢頂潰壩的實際風險值。 張哲豪（1994）以一階變異數估計法、蒙地卡羅模擬法以及兩種點估 計法應用於橋基刷深模式之不確定性分析。 黃翰林（1996）採用一階二矩法，考量各水文量不確定性，建立河堤 溢流風險模式，並比較由均值一階二矩法 （MFOSM）及高等一階二矩法 （AFOSM）兩者所求得結果，再以蒙地卡羅模擬法（MCS）及拉丁超立方
取樣法（Latin HypercubeSampling，簡稱 LHS）兩法作驗證，以期求得正確 之河堤溢流風險值。 杜俊明(1998)採用一階二矩法，考量水文與地文因子之不確定性，進行 堤防溢流風險的演算，並配合不同推估洪峰流量的方法，比較對溢流風險 值的差異及保守度。 楊錦釧等（1999）藉由研究水庫 PMP 設計降雨強度與重現期距之關 係，進而利用Harr 點估計法進行水庫設計重現期距之不確定性分析。 許永佳(2001)以翡翠水庫為應用案例，利用系統分析策略評估水庫溢流 之重要因子，計算水庫在洪水期間之最高洪水位，再利用羅森布魯斯點估 計法（Rosenblueth Point Estimate Method，簡稱 Rosenblueth PEM）、哈爾 點估計法（Harr’s Point EstimatesMethod，簡稱 Harr’s PEM）、蒙地卡羅模 擬法(MCS)以及拉丁超立方取樣法（LHS）等四種不確定性分析進行溢流風 險分析之探討。 康富智(2007)以 Hasofer-Lind 二次矩可靠度指標分析方法為基礎，應用 EXCEL 規劃求解工具，建立可考量暴雨量、集水區面積、粗糙係數、水利 坡降四個變數不確定性之溢堤風險分析模式。 (二) 國外部份 水利工程在二十世紀初，即已考慮洪水發生頻率之問題，以重現期距 法（Return Period）為計算風險之代表，但此法忽略變數的不確定性，且僅 能考慮少數的水文因子；雖然有上述的缺點，此法在目前仍廣泛應用於水 工結構物的風險計算（Borgman,1963），其後 Wood（1977）以直接積分法 評估堤防的溢流與結構風險，Duckstein and Borgardi（1981）考慮各種可能 因素，直接積分阻抗（Resistance）與荷重（Loading）之聯合機率密度函數， 計算堤防系統的風險值。
Conell（1967）將此法用到工程系統上； Tung and Mays（1981）以一階近 似理論來估計靜態（static）與時變（time-dependent）性之情形而發展出風 險與可靠度之模型並於河堤防洪設計上。 由於均值一階二矩法對於極端值與非線性問題的處理能力差，故 Rackwitz（1978）提出將執行變數於破壞點上以 Taylor 級數展開，發展出 高等一階二矩法（AFOSM），至今廣為應用水利建造物風險分析。
Warner and Kabaila（1968）利用蒙地卡羅模擬法（MCS）模擬阻抗 （Resistance）與荷重（Loading）之分佈情形，並計算結構物之安全性。
Melching（1992）針對 HEC-1 和 Runoff Routing Program（RORB）兩 個 水 文 模 式 應 用 於 美 國 一 農 業 集 水 區 之 實 例 ， 以 均 值 一 階 二 矩 法 (MFOSM)、高等一階二矩法(AFOSM)與蒙地卡羅法(MCS)等三種統計分析 方法，評估模式模擬之尖峰流量與超越機率之關係，並判定高等一階二矩 法較能替代計算次數繁多之蒙地卡羅模擬法。
另外，Yeh and Tung（1993）應用不確定性分析和參數敏感度分析探討
採砂坑模式（Pit-Migration Model）中控制方程式係數及參數之不確定性， 分別採用一階變異數估計法（First-Order Variance Estimation， FOVE）， 點估計法及拉丁超立方取樣法等三種統計分析方法分析，比較各個係數、 參數間的相關性、敏感度及不確定性，並列出係數及參數之重要性。
Apel et al (2004)曾發展一套採用蒙地卡羅方法，並結合水文水理模式、 水利建造物及人民財產災損曲線之風險模式。
1.3 論文架構
本研究共分五章，其各章節內容如下： 第一章為緒論，說明本研究之動機與目的，並回顧國內外河防構造物 風險分析之相關研究。 第二章為理論基礎簡介，首先介紹風險分析架構之理論概念和方法， 以及不確定性之分析方法，爾後介紹衍生風險因子所需採用之多變量蒙地 卡羅模擬法以及建立風險因子關係式之多變量迴歸分析方法。 第三章為風險分析架構之建置，藉由探討河川治理規劃分析過程中， 可能具有不確定性之風險因子，並說明其衍生之方法，及詳述風險分析架 構建立之步驟。 第四章為應用案例探討分析，實際以基隆河流域為應用案例，並探討 其分析結果。 第五章為結論及建議，針對本研究之成果提出綜合性之結論，並對未 來可持續研究的項目提出建議，期使本研究所建立之河防構造物之風險分 析架構更趨完整。第二章 理論基礎簡介
本章將針對風險分析及不確定性分析理論與方法做介紹，並簡介衍生 風險因子所需採用之多變量蒙地卡羅模擬法，以及建立風險因子關係式所 使用之多變量迴歸分析方法。2.1 風險分析
2.1.1 風險之定義
風險是一種不確定性之表現，不確定性是指一個事件或一個數據可能 有許多不同的結果。因此當事件或數據重覆發生時，其前後結果並不一致， 其存在對於未來的結果可能有利，亦可能造成某種損害。此外風險之存在 係因為人們對任何未來的結果不可能完全預料，實際結果與主觀預料之間 的差異即構成了風險。 由以上可知風險不僅涉及不確定性之機率觀念，亦涉及因此而引發之 損益利弊的產出(鄧家駒，1998) 。另外有相當多的學者專家針對「風險」 一辭定義，如表2-1 所列。 一般而言，工程系統的失敗(failure)可定義為對系統的載重(loading) L 超過系統抗阻(resistance) R。在工程上風險(risk)可定義為當載重(L)大於抗 阻(R)發生之機率，如下式所示：[
L R]
P P Risk = f = r > (2.1) 上式中機率Pr[
L>R]
，通常寫成Pr[
Z <0]
，其中Pf 為失敗機率； Z 為作業函數（performance function）， Z 可定義為安全邊際 SM(Safety Margin) 或是安全係數SF(Safety Factor)，可表示為， L R SM = − (2.2) 或 L R SF = (2.3) 如果Z 為常態分佈（normal distribution）則失敗機率(Pf)可由下式求得：
[
0]
( ) ( β) 1 (β) σ ⎥⎦=Φ − = −Φ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− Φ = < = Z r f Z E Z P P (2.4)其中 E(Z)為 Z 之平均值(mean)，σZ為 Z 之標準偏差(standard deviation)，
Z Z E σ β = ( )為可靠度指標(reliability index)，也是 Z 之變異係數之倒數；Φ(β)代 表相對應於β值之累積標準常態分佈值。
在本研究中，風險的定義採用Yen and Tang(1976) 以失敗事件發生之 機率，最後風險值以失敗機率(Failure probability)來呈現。
2.1.1 風險分析方法之簡介
風險分析方法依據風險因子屬性 (Attribute) 的性質可區分成定量
(Quantitative)與定性(Qualitative)兩種風險分析方法。國內外常用之定性及定 量風險方法有以下八種：(一) 查核表法（Checklist）；(二) 層級分析法 （AHP）；(三) 模糊理論法（Fuzzy Sets）；(四) 統計法（Statistics）；(五) 敏感度分析法（Sensitivity Analysis）；(六) 蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation）；(七) 影響圖（Influence Diagram)；(八) 決策樹分析法 (Decision Trees)。 各方法之其理論說明如下： (一) 查核表法（Checklist） 查核表法是工程中最常用的分析方法，其優點在於方法簡單、易於應 用、節約時間。它的應用由兩步驟組成： 1. 辨識出計畫週期可能遇到的所有風險，列出風險調查表。 2. 利用專家經驗，對可能風險因素之重要性進行評估，綜合成整個計畫風 險。 (二) 層級分析法（AHP） AHP 方法首先係將所欲評估之複雜問題，分解成各個決策要素，予以 層級化及結構化，並規劃成簡明之層級架構圖；然後再透過專家的評比，
訂出各層級因素之相對權重，以協助決策者在複雜之變數中，歸納出各因 子整體性之相對重要度。層級分析法之假設如下： 1. 一分析系統可構成許多要素，並形成層級結構。 2. 每一層級內的各要素，均假設彼此具獨立性，是互斥的集合關係。 3. 每一層級內的各要素，可以用上一層級內某些或所有要素作為評準，進 行評估。 4. 兩兩成對比較後，不僅優劣關係滿足遞移性，（A 優於 B，且 B 優於 C， 則A 優於 C）同時強度關係也滿足遞移性。 (若 A 優於 B 二倍，且 B 優 於C 三倍，則 A 優於 C 六倍)。 5. 容許要素不具遞移性的存在。 6. 要素的優勢程度，經由加權方法計算求得。 7. 任何要素只要出現在階層結構中，不論其優勢程度如何，均視為與整個 評估結構有關。 (三) 模糊理論法（Fuzzy Sets） 在計畫風險評估程序中，有很多影響因素的性質和活動無法用數字來 定量化描述，它們的結果也是含糊不定的，無法用單一的準則來評判。工 程中也潛含各種風險因素，大部分均難以用數字來準確地加以定量描述， 大多以利用歷史經驗或專家知識，用語言描述其性質及變化，而且有些風 險因素的結構也是模糊的、沒有統一的準則來評判。在此，模糊數學法即 針對此一問題判斷工程的風險度。 (四) 統計法（Statistics） 統計和機率方法分析工程風險是比較傳統的做法，是利用統計的方法 估計變數之平均值與標準差，經計算以求得風險事件損失與程度的平均值 與標準差。
(五) 敏感度分析法（Sensitivity Analysis） 敏感度分析是一種最簡單的量化分析方法。其分析方式乃針對工程方 案所面臨眾多的影響因素(或風險因子)，每次只變化一個或數個影響參數的 數值，其他參數皆維持其固定值，來檢測此參數對整個目標價值的影響(敏 感)程度。藉由敏感度分析，可以找出較敏感變數而加以處理。其優點為： 1. 敏感度分析在於其方法簡單且可快速的比較各風險相對的影響程度 (或 謂測試出各風險的敏感程度)。 2. 可依據分析結果將眾多的風險先作篩選，以集中精力處理較敏感者。 3. 同時也可瞭解工程的成本或利潤可能分佈的範圍，而採取必要的對策。 其缺點為由於敏感度分析中每次只變化其中的一個或幾個風險因子， 無法測試眾多風險同時變化時可能產生之綜合影響狀況。
(六) 蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation）
蒙地卡羅方法是估計經濟風險和工程風險常用的一種方法。在一般研 究不確定因素問題的決策中，通常只考慮最好、最壞和最可能三種估計。 而蒙地卡羅方法的應用是一種多元變化方法，能直接處理所有的不確定因 素，並用機率分佈來表示每個不確定性，同時可透過電腦使時間縮短，以 便在工程性質複雜的情況下能快速又準確的下達決策。 (七) 影響圖（Influence Diagram) 影響圖是由多方向圖構成的網路。它用直觀圖形表示出問題中主要變 量間的相互關係，並可以清楚地表示出變數間存在的相互獨立性及進行決 策所需的資訊。它既可以作為一般直觀的定性分析工具，又可以成為由電 腦數量化分析。 (八) 決策樹分析法 (Decision Trees) 決策樹名稱係來自其分析問題的樹狀圖形；對某一決策而言，其各個 可行方案皆如樹枝般表現於圖上，而各方案所產生之可能結果則如樹枝般
接於可行方案之後。基本上，決策樹分析為一種利用圖形分析的工具，可 將其中因果關係抽象思考予以形體化。製作決策樹重點不在最後分析成 果，而是建立系統的組織，若將各方案有關機率、成本等資料亦顯示在樹 狀圖上，則可使決策樹製定過程簡單明瞭，有利於個案的溝通討論。 茲將各風險分析方法之優缺點列如表2-2 所示。
2.2 不確定性分析
工程系統之不確定性來源很多，從自然到人為因素，從技術性因素到 非技術性因素，其可概分為： (一) 模式之不確定性：由於模式無法有效模擬實際之物理現象，因而將其 理想化和簡單化，使得模式產生不確定性。 (二) 參數之不確定性：由於模式參數無法精確估算所致。 (三) 自然環境之不確定性：自然現象或過程中所潛藏之隨機變化。 (四) 資料之不確定性：資料之量測誤差、資料之不一致與不均勻性以及資 料處理及紀錄誤差等人為因子。 以上各不確定性之來源，可大略歸納為天然因素與人為因素，前者為 無法控制之因素，故其風險無法避免，而後者可藉由科技進步及操作改良 而降低其風險。而不確定性分析之目的在於推求系統或模式輸出結果之統 計特性(例如平均值，及標準偏差)以作為風險分析架構之基礎。 河防構造物系統之防洪功能失效風險可能來自於規劃治理過程存在水 文與水理分析之各種水文、水理與地文風險因子本身之不確定性，而各風 險因子之不確定性計算方法隨因子本身特性及其是否可予以量化而有所不 同。目前常用於水文及水理分析之不確定性分析方法主要有以下六種： (一 ) 均值一階二矩法（ mean-value first-order second-moment method，MFOSM）
( 三 ) 羅 森 布 魯 斯 點 估 計 法 （ Rosenblueth′s point estimation method ， Rosenblueth′s PEM）
(四) 哈爾點估計法（Harr′s point estimation method，Harr′s PEM） (五) 蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo simulation，MCS）
(六) 拉丁高次取樣法（Latin hypercube sampling，LHS） 茲將各不確定性分析之步驟詳述如下：
(一) 均值一階二矩法（MFOSM）：
在實際應用時，各個影響因子的機率分佈(Probability Distributions)常不 易取得，為了避免此項限制，均值一階二矩法假設各個影響因子之機率分 佈可以實際數據或假設的統計平均值(Mean Value)及變異係數(Coefficient of Variation，cov)來代表。此法之理論根據泰勒級數 (Taylor Series)展開並 忽略高次項，均值一階二矩法之計算流程如下： 1. 將系統的作業函數(Performance Function)Z以各個影響因子表示如下： ) X ,...., X , X ( 1 2 n g Z = (2.5) 2. 以泰勒展開式將作業函數Z對平均值點x=(x1,x2,...,xn)展開 . . . ) ( ) ( x 1 T O H X g x X x g Z i n i i i + ∂ ∂ − + =
∑
= (2.6) 其中 i X g ∂ ∂ 為對各項影響因子的一階導數， . . . TO H 代表高次項之展開(忽略 不計)。 3. 對(2.6)式求作業函數Z的平均值及變異數，其中： 平均值： E(Z)≈Z = g(x) (2.7) 變異數：∑
= ≈ m i i i Var x C Z Var 1 2 ( ) ) ( (2.8) 其中 x i i X g C ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = (2.9) 註:(2.8)式的基本假設為各影響因子為統計上互相獨立之隨機變數。4. 系統作業函數Z的標準偏差σz亦可由各影響因子之標準偏差σi依下式求 得：
(
)
12 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =∑
= n i i i Z Cσ σ (2.10) 均值一階二矩近似法(MFOSM)為工程風險分析一種簡便的近似 法。當各項影響子因素呈常態分佈或是系統作業函數Z可表示為各項影 響子因素的線性組合 (linear combination) 時，均值一階二矩近似法可得 相當準確的結果。 (二) 高等一階二矩法(AFOSM) 當系統的表現呈非線性(non-linear behavior)或潰敗(failure)發生時，一些 影響因素可能發生於極端值，此時如以均值一階二矩法估計風險，將產生 可觀的誤差。高等一階二矩法(AFOSM)可改進風險分析的準確度(Yen et al., 1986)，其計算流程如下： 1. 將系統作業函數Z與各個影響因子如(2.11)式表示: ) X ,..., X , X ( 1 2 n g Z = (2.11) 2. 將系統作業函數Z對破壞面(failure surface) g(xp)=0,上之xp作泰勒展開 (Taylor's Expansion) ： ( ) . . . 1 T O H X g x X Z p x m i i p i i ∂ + ∂ − =∑
= (2.12) 其中 p x i X g ∂ ∂ 為各項影響子因素在xp破壞面g(xp)=0之一階導數。然而破壞 面xp的落點無法事先預知，必須以試誤(trial-and-error)法疊代求出。其疊 代過程如下： (1) 對各項影響因子Xi假設其相應之初始試誤點(trial value) (2) 根據每一變數之平均值及標準偏差，對每一變數，計算於初始試誤 點上相對應之一階導數Cipp x i ip X g C ∂ ∂ = (2.13) 計算每一變數之相對應之敏感度因子(sensitivity factors)。 ) ( 2 1 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =
∑
= n j j jp i ip i C C σ σ α i=1,2,...,n (2.14) (3) 由下式計算可靠度指標∑
∑
= = − = n i i ip i n i ip i ip C x x C 1 1 ) ( σ α β (2.15) (4) 如果此試誤點xip落在破壞面(failure surface)上，則 g(xip)=0 (2.16) 否則，調整失敗點 i i i ip x x = −αβσ , i=1,2,...,n (2.17) (5) 重複步驟(2)~(4)直到疊代出正確的失敗點位置。 3. 求取作業函數Z之平均值、變異數及標準差平均值。在假設各項影響子因 素為統計上互相獨立(statistically independent)之變數。 平均值：∑
= = n 1 ) x -( C ) ( i ip i ip Z E μ (2.18) 變異數：∑
( )
= ≈ n i i x ip Var X Z Var p 1 2 ( ) C ) ( (2.19) 標準偏差： 2 1 1 2 ) ( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =∑
= n i i z C σ σ ip (2.20) (三) 羅森布魯斯點估算法(Rosenblueth’s PEM)Rosenblueth 於 1975 年首先提出點估計法(point estimation method)，但 其僅考慮對稱的隨機參數；而後於1981 年，Rosenblueth 又將其點估計法改
（first and second moment）來估計系統輸出(model output)對原點(origin)的第 k 階動差；此法假設每一隨機參數以集中於距平均值正負一個標準偏差 （standard deviation）的二個點來估計對每一隨機參數Xi總體機率質量（total
probability mass）；此外，每一隨機參數可視為統計相關或不相關之變數。 一般而言，羅森布魯斯點估計法，當模式具有p個隨機參數時，則有2p組 之參數組合；因此當模式之參數個數過多時，則使用羅森布魯斯點估計法 於不確定性分析所需之計算量將相當可觀。 就點估計法而言，當模式具有p個隨機參數時，作業函數Z對原點之N 次動差(Nth moment)期望值，泰勒展開式之點機率估算近似如下式：
( )
[ ]
[
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
N]
Kp Kp N Kp Kp N Kp Kp N Z P Z P Z p Z E ≈ +++ +++ + −+++ −++ +K+ −−− −−− (2.21) 其中Z+++Kp =P(xm1+σ1,xm2 +σ2,xm3 +σ3,K,xmp +σp) Z−−−Kp =P(xm1−σ1,xm2 −σ2,xm3−σ3,K,xmp −σp) Z之下標+、－號分別代表隨機參數之平均值加或減一個標準 偏差；( )
P ：代表所使用之模式； 1 m x 、xm2、xm3、...、xmp：代表隨機參數之平均值； 1 σ 、σ2、σ3、...、σp：代表隨機參數之標準偏差； 函數P之定義如下： p p g p h h g h g p K j i g h P 1 ' ' 2 1 1 , , , , , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =∑∑
= = ρ δ (2.22) 其中 ⎩ ⎨ ⎧ = 1 0 ,h g δ if if h g h g < ≥ 1 1 ' 'h=− or + g ，係根據函數P下標之符號； h g , ρ 表示第 g 個和第 h 個隨機參數之相關係數。 舉一例子如下：=(1−ρ12 +ρ13 −ρ23)8 + − + p (2.23) 當N=1 時，Z 之期望值，而E
[ ]
Z =Z之變異數可由下式求得：[ ]
2(
[ ]
)
2 2 Z E Z E sz = − (2.24) (四) 哈爾點估算法（Harr’s PEM） Harr 改進羅森布魯斯點估計法因模式參數個數增多而使計算量大增之 缺點，於1989 年提出另一種方法，將羅森布魯斯點估計法計算次數由 p 2 次 減少至2p次。哈爾點估計法利用正交轉換（principal axis transform）將 p個相關之隨機參數轉成p個不相關之隨機參數。根據模式中隨機參數之相關矩 陣(correlation matrix)，找出p個特徵相量與特徵值。然後找出特徵向量與以 參數平均值為圓心，以p12為半徑之圓的2p個交點，一旦求得2p個交點後 模式輸出之N 階動差便可求出。 至於哈爾點估計法步驟如下所示： 1. 分解隨機變數之相關係數矩陣ρ為特徵向量矩陣V 和特徵值矩陣L所組 成之關係式。 T VLV = ρ (2.25) 其中： V =eigenvector matrix = (v1,v2,…,vp) L = diag(λ1,λ2,…,λp) 2. 以下式求出特徵向量和以參數平均值為圓心，以 p 為半徑之圓的交點 p 2 個。 i p i X p v X ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ± = ± σ σ σ . . . . . . . 0 . . . . 0 . . . . . . . 2 1 2 1 i =1,2,3,p (2.26) i v ：為特徵向量的行矩陣
3. 計算和Zi± = g(Xi±)和Zi±2 =g2(Xi±)之值，其中i=1,2,3,...,p。 4. 計算每一特徵向量之模式輸出值平均，如下所示： 2 / ) ( + + − = Zi Zi Z (2.27) 和Z2 =(Zi+2 +Zi−2)/2 (2.28) 5. 計算模式輸出之平均值和變異數
[ ]
Z Z p E p i i / 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =∑
= λ (2.29)[ ]
Z Z p E p i i / 1 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =∑
= λ (2.30)[ ]
Z E[ ]
Z E Z Var( )= 2 − 2 (2.31) (五) 蒙地卡羅模擬法（MCS） 蒙地卡羅模擬法為一傳統的技術，從參數定義域之機率分佈中隨機取 樣。今日的蒙地卡羅模擬法應用於模擬牽涉隨機過程的複雜問題。蒙地卡 羅模擬法是一個完全隨機的取樣法；換言之，任何一次取樣將有可能取到 參數定義域中的任何位置，因此此法是相當無效率的，一般而言，樣本愈 大則所得的解愈正確。因此此法相當費時，且輸入之隨機變數之額外變化 將直接影響模式輸出之統計動差。 (六) 拉丁超立方取樣法（LHS） 拉丁超立方取樣法和蒙地卡羅模擬法皆是一種統計上的取樣方式，並 在參數定義域中取出適當組數之模式輸入參數，但 LHS 和 MCS 不同之處 在於LHS 法一定要在參數定義域內均勻地取出參數樣本。經由 LHS 取出之 樣本組，分別經過模式計算，然後得到相對應於各組數之模式輸出計算值， 進而可統計出模式輸出之平均值以及標準偏差，LHS 取樣作業程序如下： 1. 首先定義於求解空間中，欲取出參數群之組數K。 2. 對於每一個參數X，分別指定其隨機型態或上下限，並決定其機率密度 函數。3. 將每一參數X之可能區間劃分為K組，並使得每一組被取得的機率均為 1/K。 4. 於每個細分區間中，以任意亂數之方式取樣。 5. 重覆步驟1~4直到各參數皆完成取樣。 6. 將各參數X任意混合，得到K組輸入參數群X，均勻分佈於求解空間全域。 由以上步驟所得到之 K 組輸入參數，再將其個別代入模式計算，作為 不確定性分析之用。 不確定性分析方法在實際應用時各有其優缺點，原則上可應用於各種 問題，但實際應用上應根據蒐集之資料不同、問題性質及分析者程度等而 使用不同之不確定性分析方法。茲將各不確定性方法之優缺點列如表 2-3 所示。
2.3 多變量蒙地卡羅模擬法
一般而言，影響河防構造物之風險因子眾多，且各因子彼此之間有著 相當程度的相關性，例如降雨量通常隨著延時增加而增加，且在雨季時降 雨事件多且密集，相對地各事件間隔時間縮短。相反地，在旱季時，降雨 事件少連帶著間隔時間增長。因此各風險因子彼此之間存在著某種程度上 的相關性，且具有不同的統計特性(包括機率分佈函數種類)，更詳細來說各 風險因子為非常態(Non-normal)且具有相關性之變數。由於此類隨機變數不 易建立聯合機率分佈函數，使得模擬其值相當困難，因此 Chang 等(1994)發表了多變量蒙地卡羅模擬法 (Multivariate Monte Carlo Simulation, MMCS, Method)。此外若風險因子間有一限制式，例如雨型為降雨在時間上之分佈
情形主要由每小時之降雨比率所組成，故有無因次降雨比率其總和需為 1
之限制。因此本研究另採用Wu 等(2006)所發展之具有限制式之多變量蒙地
卡 羅 模 擬 法(Constrained Multivariate Monte Carlo Simulation, CMMCS, Method)針對具有限制條件之風險因子，進行其衍生工作。茲將具有限制式
與否之兩種多變量蒙地卡羅模擬方法說明如下：
( 一 ) 多 變 量 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 (Non-normal Multivariate Monte Carlo Simulation, MMCS, Method) MMCS 法除了傳統蒙地卡羅法模擬變量外，包含以下三個步驟(如圖 2-1 所示)： 1. 標準常態轉換(Normal Transformation) 第一步驟先利用 Nataf 二變量分佈(如 2.32 式)將相關性變量由原先 空間轉換至標準常態空間，也就是將非常態相關變量轉換成常態相關變 量。
(
i j ij)
i j j j j i i i ij z z dzdz x x * , ρ φ σ μ σ μ ρ∫ ∫
∞ ∞ − ∞ ∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = (2.32) 式中 Xi及 Xj為具有相關係數ρij之隨機變數；μi及μj分別為隨機變 數 Xi及 Xj之平均值；σi及σj分別為隨機變數 Xi及 Xj之標準偏差；Zi 及 Zj為具有相關係數ρij*標準常態變數；φ( )
z 為標準常態分佈。其中將已 知變量Xi及Xj之邊際機率分佈函數及相關係數ρij代入解(2.32)式，可求 得所對應在常態變量空間之相關係數 * ij ρ ，若(2.32)式無解析解則以數值方 法求其解。Liu 及 Der Kiureghian (1986)將(2.32)式簡化為下式，ij ij ij T ρ ρ* = × (2.33) 式中Tij為轉換因子(Transformation Factor)，其型式隨著不同邊際機 率分佈函數種類與隨機變數特性而異。 2. 正交轉換(Orthogonal transform)
常態多變量分析(Multivariate normal analysis)中處理具有相關性的 隨機變量時，正交轉換為一相當重要的步驟。此步驟主要係將由步驟(1) 所得相關性多變量經過常態轉換成具有相關性的標準常態變量後，再利 用正交轉換成獨立的常態變量。最後再藉由蒙地卡羅法模擬獨立常態變
量，並將獨立常態變量模擬值再經由正交轉換成具有相關性的標準常態 變量。 3. 逆轉換(Inverse Transform) 由步驟(2)模擬標準常態變量後，可藉由下式將具有相關性之常態變 量模擬值各別轉換成原空間變量。
[
( )]
1 i i i F z x = − Φ (2.34) 式中Fi( )
• 為變量xi之邊際機率分佈函數。(二) 具有約制條件之多變量蒙地卡羅模擬(Constrained Multivariate Monte Carlo Simulation, CMMCS, Method)
在模擬風險因子，若風險因子具有限制式則上述多變量蒙地卡羅模擬 法(MMCS)則無法適用，例如雨型具有無因次降雨比率其總和需為 1 之限 制，因此本研究以衍生雨型為例，說明具有約制條件之多變量蒙地卡羅模 擬(CMMCS)法之理論。 雨型具有二種重要性質：(1)無因次降雨量Pτ為非負變量且局限於 0 跟 1 之間(0≤Pτ ≤1)；及(2)不同的無因次時間τ 的Pτ彼此間存在著相關性，也就 是Pτ屬於具有相關性之非常態多變量。根據上述雨型的性質可知在模擬雨 型需考量以下限制式， (1) 總合為 1： / 1 / 1 =
∑
= M M M P τ τ (2.35a) (2) 非負變量：Pτ ≥0, τ =1/M,2/M,K,M /M (2.35b) 式中M 為無因次降雨時間點之數目。 由於無因次降雨量Pτ屬於多變量非常態隨機變數，理論上可使用 MMCS 蒙地卡羅法模擬雨型，但因具有(2.35)式限制式存在，使得 MMCS 在模擬無因次降雨量Pτ時，除了非常態多變量模擬步驟外，仍需以下二種 程序將具有約制條件之多變量轉變無限制式之多變量。1. 對數比率轉換(Log-ratio Transformation method)
目前已有相當多方法被提出以解決具有約制條件之多數量相關問
題。例如 Aitchison(1986)曾針對具有約制條件的模擬技術詳細的探討，
其研究成果建議可採用 Log-ratio 處理方法。Borgman 及 Faucette(1993) 發展一實用的方法可將具有線性限制之多變量高斯模擬轉換成一條件多 變量高斯模擬(Conditional multivariate Gaussian simulation)。Zhao(1992)
提出一方法來模擬同樣具有總合需為 1 限制的單位歷線，且用在評估水
工結構物因單位歷線不確定性所承受設計失敗的風險。其中亦有文獻針 對雨型提出解決方法，例如Lambert 及 Kuczera(1996)認為可將無因次降 雨量Pτ轉換成一對數常態隨機變數(Log-normal Random Variables)，藉以
消 除(2.35) 式 之 限 制 。 Fang 及 Tung(1996) 採 用 接 受 - 拒 絕 方 法 (Acceptance-rejection Method)、累積機率曲線法(Cumulated Probability Curve Method)及 log-ratio 法去模擬無因次降雨量Pτ，發現 log-ratio 法具
有較佳的適用性及較穩定的計算結果(Computational Robust)。 Log-ratio 轉換法應用於雨型之模擬主要採用下式，
(
)
, 1/ ,2/ , , / ; * log τ τ* τ τ τ τ = P P = M M M M ≠ R K (2.36) 式中為τ∗為無因次時間指標。無因次降雨量 τ P 介於0 跟 1 之間，所 以其對數比率Rτ則介於−∞及∞。在模擬過程中，須注意的是Pτ 及Pτ*皆 不可為0 以避免在取對數之計算上的錯誤。 當無因次降雨量Pτ經由 log-ratio 法轉換成Rτ，則原本屬於具有約制 條件之非常態多變量模擬轉變成如同模擬降雨延時、雨量及間隔時間一 樣的非常態多變量，可直接用MMCS 蒙地卡羅法模擬對數比率Rτ，當求 得對數比率模擬值Rτ後，可由(2.36)式求得Pτ =Pτ* exp( )
Rτ ，將其代回(2.35) 式求得Pτ*(如下式)，( )
∑
≠ = + = M M M R P / / 1 * * exp 1 1 τ τ τ τ τ (2.37) 再將(2.37)式代回(2.35)式，則可求得Pτ( )
( )
* / / 1 ; 1 0 , exp 1 exp * τ τ τ τ τ τ τ τ τ < ≤ ≠ + =∑
≠ = M M M R R P (2.38) 2. 多變量 Johnson 分佈函數之模擬 經由 log-ratio 轉換分法，可將具有約制條件之非常態多變量模擬問 題轉變為無約制條件非常態多變量模擬，也就是說可應用MMCS 法模擬 對數比率Rτ值。然而，若需使用 MMCS 法，則先要檢定變量之合適機率 分佈，由於雨型具有M 個Rτ變量需檢定其合適分佈，無形中增加了檢定 上的因難及模擬之繁雜度，為此具有較廣泛適用性的 Johnson 分佈函數 組群可適用於描述Rτ之統計性質。 Johnson( 1949)提出一個四參數之機率分佈函數(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − × + = = λ ξ δ γ λ ξ δ γ f X X g Z , , , (2.39) 式中Z 為標準常態變量；X 為原隨機空間之非常態變量； γ,δ,ξ,λ為 機率函數參數其中ξ 為位置因子(Location Parameter)及λ 為尺度因子 (Scale parameter)。 Johnson 分佈主要有以下三種型式 (1) 對數常態系(Lognormal System, SL)(
ξ)
ξ δ γ + − < = X X Z SL : ln , (2.40)(2) 無界限系(Unbounded System, SU)
(
)
[
ξ λ]
δ γ sinh / : = + −1 − X Z SU (2.41) (3) 有界限系(Bounded System, SB)λ ξ ξ λ ξ ξ δ γ ⎟⎟ < < + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + = X X X Z SB : ln , (2.42) Hill 等(1976)發展了一套演算法，利用變量 X 的前四階動差來率定 數γ,δ,ξ,λ值並決定Johnson 分佈之型式。
2.4 多變量迴歸分析方法
由於在使用一階二矩法時需要一模式輸出值與輸入值因子之關係式， 而影響河防構造物之風險因子眾多且其與水文水理模式輸出結果並無明確 之關係式，故本研究採用多變量迴歸分析方法推估其關係式，茲將多變量 迴歸分析方法介紹如下。 迴歸分析可以幫助我們建立依變數(Dependent Variable)或稱反應變數 (Response Variable) 與自變數(Independent Variable) 或稱控制變數(Control Variable)間關係的統計模型，俾能藉由所選取的適當自變數以預測依變數， 在所有統計分析工具中是經常被使用的方式。而當一個依變數對一個或多 個自變數進行迴歸分析時，稱為單變數(Univariate)迴歸；而當多個依變數對 一個或多個自變數進行迴歸分析時，則稱為多變數(Multivariate)迴歸。而迴 歸的模型一般又可概分成三種型態： (一) 線性迴歸(Linear Regression) 線性迴歸分成簡單(Simple)線性迴歸與多元(Multiple)線性迴歸兩種。簡 單線性迴歸的自變數僅有一個，而多元線性迴歸的自變數則為兩個以上。 兩者的迴歸模型均為線性關係，最簡單的模型乃依變數Y與自變數X 間為直 線方程式。 線性迴歸是在自變數X 已知下，求解依變數Y的條件期望值模型。我們 可將條件期望值E(Y X = x)稱為Y對X 的線性母體迴歸方程式，並表示為 x x X Y E( = )=β0 +β1 (2.43) 如果自變數有P個，則可表示為 p p p p x x x X x X Y E( 1 = 1,K, = )=β0 +β1 1+K+β (2.44)若有N 筆母體觀測值(x1,y1),K,(xN,yN)，則簡單線性母體迴歸模型可定 義如下 N i x yi =β0 +β1 i +εi, =1,K, (2.45) 或是 yi =E(Y X = xi)+εi,i=1,K,N (2.46) 其中E(Y X =x)=β0+β1x稱為Y對X 的線性母體迴歸方程式； Cov(yi,yj)=0,對所有i≠ j；i, j=1,KN； σ2( = )= =σ2( = )=σ2 N i Y X x x X Y L (未知常數值)； 誤差項εi為yi −E(Y X = xi),i=1,K,N，亦即實際觀測值yi對Y對X = xi 時的 i ~ Normal(0, ),i 1, ,N 2 K = σ ε 。 (二) 非線性迴歸(Nonlinear Regression) 迴歸模型無法呈現線性關係，亦即依變數Y與自變數X 間無法表示為線 性方程式，需以另一種函數關係呈現。 其模型型態如： N i x f yi = ( i,θ)+εi, =1,K (2.47) 或表示為 Y = f(X,θ)+ε (2.48) 其中Y、X 與ε的定義如同線性迴歸模型，而 f 乃X 與未知母數θ的非 線性函數。 一般來說，非線性迴歸模型(2.47)中的迴歸母數θ，無法像線性迴歸利 用 最 小 平 方 法 求 得 估 計 量θˆ ， 所 以 常 需 藉 由 數 值 最 優 化(Numerical Optimization)的計算來配適所需母數θ ，而相關計算的母數起始值θ0的選 取，更攸關估計量θˆ是否為區域(Local)最大點或全域(Global)最大點。有些 非線性迴歸的問題可使用線性化，例如 yi e 1xi i,i 1,KN 0 + = =β β ε (2.49) 可兩邊取對數得 N i x Ln y Ln( i)= (β0)+β1 i +εi', =1,K, (2.50)
其中 ' i ε 為Ln(εi)，仍為一誤差項。經過線性化的非線性迴歸模型(2.50)，其實 已與線性迴歸模型(2.45)雷同，所以可逕行使用線性迴歸的方法分析。 (三) 其他類型迴歸 線性迴歸模型與非線性迴歸模型雖為最常用的迴歸模型，但有些情況 下則需另採其他迴歸模型。例如依變數Y 若為二擇一的屬質變數時，則需 以羅吉斯迴歸(LogisticRegression)模型來處理。 羅吉斯迴歸模型在社會科學及生物醫學領域上，羅吉斯迴歸是經常被 採用的迴歸分析工具。羅吉斯迴歸模型的依變數Y為二擇一的屬質變數，或 稱為貝努利(Bernoulli)變數，其出現的變數值只有成功與失敗(包括生存與死 亡、男與女、勝與敗等)的二擇一可能事件。 若令出現成功的事件為Yi =1，而出現失敗的事件為Yi =0，則羅吉斯迴 歸模型為 N i x x p p Ln i p ip i i i , 1, , 1 ⎟⎟⎠= 0 + 1 1 +L+ + = K ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − β β β ε (2.51) 其中pi =P(Yi =1),i=1,K,N，另有將 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − i i p p Ln 1 定義為Logit(pi)。 其實成功事件Yi =1的機率pi，i=1 K, ,N，還可利用羅吉斯迴歸模型(2.51) 式，表示成下列條件機率 ip p i ip p i x x x x p p i i e e x X x X Y P p β β β β β β + + + + + + + = = = = = K LL 1 1 0 1 1 0 1 ) , , 1 ( 1 1 (2.52) 模式中的母數β0,β1,K,βp，一般是使用最大概似法估計求得。 另外，可將羅吉斯迴歸模型擴展到順序(Ordinal)羅吉斯迴歸模型或多項 Logit 模型，俾進行順序依變數或多類別(Multi-category)依變數的迴歸分 析，以解決不同層面的問題。
表2-1 風險之定義 年代 主張者 定義 1921 Knight 謂可測定之不確定性。 1951 Willett 謂不幸事件發生與否的不確定性。 1963 Borgman 以失敗事件之重現期距的倒數為其風險 1964 Denenberg 謂損失的不確定性。
1970 Young et al., 以失敗事件的期望成本稱之(expected cost) 1976 Yen and Tang 以失敗事件發生之機率為其風險
1979 Bras 以失敗事件的真實成本稱之(actual cost) 1981 C.Arthur Williams,Jr. & Richard M. Heins 在特定情況及時間之下，對可能發生結果的變
異情形。 1984 Nielsen 任何活動或事件會對計劃的目標、品質、績效 或執行的時間、成本造成負面的影響者。 1985 Shrader-Frechette 事件之主觀機率與不利影響程度的綜合衡量。 1990 Belve 是造成傷害，破壞或損失的機率。 1991 Chapman 發生經濟或財務上損失或獲利，物質的損失、 損壞或延遲之可能性。 1994 Raftery 謂某一特定事件或活動有可能與原估計或預 測值偏差之可能性,其帶來或許是有利或不利 的。 1999 雷勝強 在給定的情況下和特定的時間內，可能發生的 結果之間的差異 2006 Tung 工程系統中之風險結合系統中基本風險(如結 構物本身之風險)及外在的不確定性(主要來自 於大自然的變化及未知的知識)之結果 參考資料：杜俊明(1998)，「河堤溢流風險之解析」；黃承傑(2002)，「專案進度風險分析模式－ 考慮不確性作業之影響」，本研究彙整。
表 2-2 風險分析方法之優缺點 風險分析方法 說 明 優 缺 點 查核表法 (Checklist) 列風險調查表，給予權重與 等級，兩者相乘之評分，分 數越高風險越大。 優點：簡單、易用，對於缺乏計劃具體資料 時，尤以適用於決策前期。 缺點：只是一大概程度值，較不精確且取決 專家或決策者之個人意向。 層級分析法 (AHP) 構造因素因子與危害程度 判斷矩陣，利用專家評判求 出重要性權重值與危害程 度值。 優點：以科學化方式，定量又定性分析。處 理問題的程式與管理者的思維程序 、分析解決問題相一致，並利用系統 分析方法逐解各層次的風險程度。 缺點：變數增多，會造成填入矩陣複雜度。 模糊理論法 (Fuzzy Sets) 處理因風險無法用數字來 定量地描述，提供合理數學 規則去解決變數問題，相應 得出數學結果又能通過一 定的方法轉為語言描述。 優點：對於模擬、不清晰問題提供一種充份 的概念化結構，並以數學的語言去分 析和解決。 缺點：理論性高，較不易在實務上應用。 統計法 (Statistics) 將工程中每一不確定因素 或風險因素的分佈曲線先 估計之，再檢討所有風險對 整體目標價值之組合效應。 優點：因將工程中每一風險因素的分佈曲線 先行求出，故可檢討風險對整個工程 目標價值之組合效應。 缺點：因每個專案工程的客觀條件差異頗 大，因此決定每一因素之機率分佈曲 線爭議性較大。 敏感度分析法 (Sensitivity Analysis) 每次變化工程影響因素或 風險中之一個因素，檢視對 整個工程之影響程度。 優點：該方法簡單且可快速比較各風險相 對之重要性。 缺點：由於每次僅變化其中的一個或兩個因 素，對於眾多風險因素同時變化時可 能產生之綜合影響狀況無法顯示。 蒙地卡羅 模擬法 (Monte Carlo Simulation) 依據選擇之隨機程序和統 計的方法，並利用三種估計 模擬估計風險值。 優點：改善原單一值估計，若利用電腦軟體 來對模擬程序進行處理，可節省許多 時間。 缺點：若選擇不適當的模式來描述，會造成 模式風險(model risk)之錯誤。 決策樹分析法 (Decision Tree) 延續機率分析法之精神，再 利用圖行之分析工具，應用 邏輯順序建立決策樹圖。 優點：於樹狀圖中可清晰看出每一決策點可 能影響之風險因素與機率。 缺點：此法應用機率進行分析，故有機率分 析法之問題存在，且工程風險因素多 時，決策樹可能會變得複雜不易瞭解。 參考資料：黃承傑(2002)，「專案進度風險分析模式－考慮不確性作業之影響」
表 2-3 不確定性分析方法之優缺點 基 本 假 設 優 點 缺 點 均 值 一 階 二 矩 法 1. 假 設 各 項 影 響 因 子 呈 現 常 態 分 佈 或 系 統 表 現 函 數 呈 線 性 。 1.較 簡 便 分 析，當 各 項 影 響 因 子 呈 現 常 態 分 佈 可 得 相 當 準 確 結 果 。 1. 當 影 響 因 子 呈 現 極 值 分 佈 時，利 用 一 階 二 矩 法 所 估 計 的 風 險 可 能 產 生 可 觀 的 誤 差 。 2. 不 考 慮 各 影 響 因 子 間 的 相 關 性 。 高 等 一 階 二 矩 法 1. 假 設 各 項 影 響 因 子 呈 現 極 端 值 分 佈 或 系 統 表 現 函 數 呈 現 非 線 性 。 1.工 程 危 險 時，一 些 影 響 因 子 常 呈 極 端 值 分 佈，利 用 高 等 一 階 二 矩 法 較 均 值 一 階 二 矩 法 可 得 較 準 確 結 果。 1. 計 算 較 均 值 一 階 二 矩 法 複 雜 。 2. 較 適 合 極 端 事 件 之 計 算 。 羅 森 布 魯 斯 點 估 計 法 1. 假 設 每 一 變 數 之 機 率 質 量 可 以 集 中 於 距 平 均 值 正 負 一 個 標 準 偏 差 的 二 個 點 。 2. 影 響 因 子 可 為 統 計 上 相 關 或 不 相 關 的 變 數 。 1. 影 響 因 子 可 為 統 計 上 相 關 或 不 相 關 的 變 數 。 1. 當 不 確 定 性 變 數 增 多 時 ， 計 算 量 會 大 增 。 哈 爾 點 估 計 法 1. 假 設 每 一 變 數 之 機 率 可 以 集 中 於 距 平 均 值 正 負 一 個 標 準 偏 差 的 二 個 點 。 2. 影 響 因 子 可 為 統 計 上 相 關 或 不 相 關 的 隨 機 變 數 。 1. 利 用 主 軸 轉 換 的 方 法，大 大 減 少 了 羅 森 布 魯 斯 點 估 計 法 所 需 計 算 量。 1. 主 軸 轉 換 會 將 相 關 性 忽 略，而 造 成 與 羅 森 布 魯 斯 點 估 計 法 些 微 之 差 異 。 2. 程 式 撰 寫 較 羅 森 布 魯 斯 點 估 計 法 複 雜 。 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 1. 假 設 相 關 或 不 相 關 隨 機 變 數 的 統 計 性 質，計 算 過 程 中，系 統 的 輸 入 參 數 係 根 據 其 統 計 分 佈 特 性 產 生，當 足 夠 的 模 擬 數 組 產 生 後，便 可 計 算 相 對 應 的 系 統 輸 出 函 數 的 統 計 特 性 。 1.最 基 本、最 簡 單 的 不 確 定 性 分 析 方 法 。 1.取 樣 效 率 較 差 。 2.計 算 量 過 大 ， 所 需 模 擬 數 組 的 數 目 又 無 法 準 確 估 計，以 致 無 法 確 知 所 得 之 輸 出 函 數 是 否 具 有 足 夠 的 代 表 性 及 準 確 性 。 拉 丁 高 次 取 樣 法 1. 依 隨 機 變 數 的 統 計 性 質 作 均 勻 分 層 取 樣，改 進 蒙 地 卡 羅 法 取 樣 不 均 勻 之 情 況 。 1.取 樣 效 率 佳，採 樣 均 勻，因 此 可 將 模 擬 組 數 減 少，節 省 時 間 。 1. 與 蒙 地 卡 羅 法 同 屬 於 取 樣 法，因 此 模 擬 次 數 關 係 輸 出 函 數 的 代 表 性，因 此 也 需 要 大 量 計 算 。 參考資料：經濟部水利署(2002），「水壩安全檢查最佳次序及週期之建立(1/2)」
