第二章 理論基礎簡介
2.3 多變量蒙地卡羅模擬法
一般而言，影響河防構造物之風險因子眾多，且各因子彼此之間有著 相當程度的相關性，例如降雨量通常隨著延時增加而增加，且在雨季時降 雨事件多且密集，相對地各事件間隔時間縮短。相反地，在旱季時，降雨 事件少連帶著間隔時間增長。因此各風險因子彼此之間存在著某種程度上 的相關性，且具有不同的統計特性(包括機率分佈函數種類)，更詳細來說各 風險因子為非常態(Non-normal)且具有相關性之變數。由於此類隨機變數不 易建立聯合機率分佈函數，使得模擬其值相當困難，因此 Chang 等(1994) 發表了多變量蒙地卡羅模擬法 (Multivariate Monte Carlo Simulation, MMCS, Method)。此外若風險因子間有一限制式，例如雨型為降雨在時間上之分佈 情形主要由每小時之降雨比率所組成，故有無因次降雨比率其總和需為 1 之限制。因此本研究另採用Wu 等(2006)所發展之具有限制式之多變量蒙地 卡 羅 模 擬 法(Constrained Multivariate Monte Carlo Simulation, CMMCS, Method)針對具有限制條件之風險因子，進行其衍生工作。茲將具有限制式
與否之兩種多變量蒙地卡羅模擬方法說明如下：
( 一 ) 多 變 量 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 (Non-normal Multivariate Monte Carlo Simulation, MMCS, Method)
MMCS 法除了傳統蒙地卡羅法模擬變量外，包含以下三個步驟(如圖 2-1 所示)：
1. 標準常態轉換(Normal Transformation)
第一步驟先利用 Nataf 二變量分佈(如 2.32 式)將相關性變量由原先 式中
T
ij為轉換因子(Transformation Factor)，其型式隨著不同邊際機 率分佈函數種類與隨機變數特性而異。2. 正交轉換(Orthogonal transform)
常態多變量分析(Multivariate normal analysis)中處理具有相關性的 隨機變量時，正交轉換為一相當重要的步驟。此步驟主要係將由步驟(1) 所得相關性多變量經過常態轉換成具有相關性的標準常態變量後，再利 用正交轉換成獨立的常態變量。最後再藉由蒙地卡羅法模擬獨立常態變
量，並將獨立常態變量模擬值再經由正交轉換成具有相關性的標準常態 變量。
3. 逆轉換(Inverse Transform)
由步驟(2)模擬標準常態變量後，可藉由下式將具有相關性之常態變 量模擬值各別轉換成原空間變量。
[ ( ) ]
1 i i
i
F z
x =
−Φ
(2.34) 式中F
i( ) •
為變量x
i之邊際機率分佈函數。(二) 具有約制條件之多變量蒙地卡羅模擬(Constrained Multivariate Monte Carlo Simulation, CMMCS, Method)
在模擬風險因子，若風險因子具有限制式則上述多變量蒙地卡羅模擬 法(MMCS)則無法適用，例如雨型具有無因次降雨比率其總和需為 1 之限 制，因此本研究以衍生雨型為例，說明具有約制條件之多變量蒙地卡羅模 擬(CMMCS)法之理論。
雨型具有二種重要性質：(1)無因次降雨量
P
τ為非負變量且局限於 0 跟 1 之間(0 ≤ P
τ≤ 1
)；及(2)不同的無因次時間τ
的P
τ彼此間存在著相關性，也就 是P
τ屬於具有相關性之非常態多變量。根據上述雨型的性質可知在模擬雨 型需考量以下限制式，(1) 總合為 1： /
1
/ 1
∑ =
= M M
M
P
τ τ (2.35a) (2) 非負變量：
P
τ≥ 0 , τ = 1 / M , 2 / M , K , M / M
(2.35b) 式中M 為無因次降雨時間點之數目。由於無因次降雨量
P
τ屬於多變量非常態隨機變數，理論上可使用 MMCS 蒙地卡羅法模擬雨型，但因具有(2.35)式限制式存在，使得 MMCS 在模擬無因次降雨量P
τ時，除了非常態多變量模擬步驟外，仍需以下二種 程序將具有約制條件之多變量轉變無限制式之多變量。1. 對數比率轉換(Log-ratio Transformation method)
目前已有相當多方法被提出以解決具有約制條件之多數量相關問 題。例如 Aitchison(1986)曾針對具有約制條件的模擬技術詳細的探討，
其研究成果建議可採用 Log-ratio 處理方法。Borgman 及 Faucette(1993) 發展一實用的方法可將具有線性限制之多變量高斯模擬轉換成一條件多 變量高斯模擬(Conditional multivariate Gaussian simulation)。Zhao(1992) 提出一方法來模擬同樣具有總合需為 1 限制的單位歷線，且用在評估水 工結構物因單位歷線不確定性所承受設計失敗的風險。其中亦有文獻針 對雨型提出解決方法，例如Lambert 及 Kuczera(1996)認為可將無因次降 雨量
P
τ轉換成一對數常態隨機變數(Log-normal Random Variables)，藉以 消 除(2.35) 式 之 限 制 。 Fang 及 Tung(1996) 採 用 接 受 - 拒 絕 方 法 (Acceptance-rejection Method)、累積機率曲線法(Cumulated Probability Curve Method)及 log-ratio 法去模擬無因次降雨量P
τ，發現 log-ratio 法具 有較佳的適用性及較穩定的計算結果(Computational Robust)。Log-ratio 轉換法應用於雨型之模擬主要採用下式，
( ) , 1 / , 2 / , , / ;
*log
τ τ*τ τ τ
τ
= P P = M M M M ≠
R K
(2.36) 式中為τ
∗為無因次時間指標。無因次降雨量P
τ介於0 跟 1 之間，所 以其對數比率R
τ則介於− ∞
及∞
。在模擬過程中，須注意的是P
τ 及P
τ*皆 不可為0 以避免在取對數之計算上的錯誤。當無因次降雨量
P
τ經由 log-ratio 法轉換成R
τ，則原本屬於具有約制 條件之非常態多變量模擬轉變成如同模擬降雨延時、雨量及間隔時間一 樣的非常態多變量，可直接用MMCS 蒙地卡羅法模擬對數比率R
τ，當求 得對數比率模擬值R
τ後，可由(2.36)式求得P
τ= P
τ*exp ( ) R
τ ，將其代回(2.35) 式求得P
τ*(如下式)，∑ ( )
Johnson( 1949)提出一個四參數之機率分佈函數
( ) ⎟
(Scale parameter)。Johnson 分佈主要有以下三種型式 (1) 對數常態系(Lognormal System, SL)
( ξ ) ξ
(2) 無界限系(Unbounded System, SU)( )
λ
(Response Variable) 與自變數(Independent Variable) 或稱控制變數(Control Variable)間關係的統計模型，俾能藉由所選取的適當自變數以預測依變數，在所有統計分析工具中是經常被使用的方式。而當一個依變數對一個或多 個自變數進行迴歸分析時，稱為單變數(Univariate)迴歸；而當多個依變數對 一個或多個自變數進行迴歸分析時，則稱為多變數(Multivariate)迴歸。而迴 歸的模型一般又可概分成三種型態：
(一) 線性迴歸(Linear Regression)
線性迴歸分成簡單(Simple)線性迴歸與多元(Multiple)線性迴歸兩種。簡