第二章 理論基礎簡介
2.2 不確定性分析
工程系統之不確定性來源很多，從自然到人為因素，從技術性因素到 非技術性因素，其可概分為：
(一) 模式之不確定性：由於模式無法有效模擬實際之物理現象，因而將其 理想化和簡單化，使得模式產生不確定性。
(二) 參數之不確定性：由於模式參數無法精確估算所致。
(三) 自然環境之不確定性：自然現象或過程中所潛藏之隨機變化。
(四) 資料之不確定性：資料之量測誤差、資料之不一致與不均勻性以及資 料處理及紀錄誤差等人為因子。
以上各不確定性之來源，可大略歸納為天然因素與人為因素，前者為 無法控制之因素，故其風險無法避免，而後者可藉由科技進步及操作改良 而降低其風險。而不確定性分析之目的在於推求系統或模式輸出結果之統 計特性(例如平均值，及標準偏差)以作為風險分析架構之基礎。
河防構造物系統之防洪功能失效風險可能來自於規劃治理過程存在水 文與水理分析之各種水文、水理與地文風險因子本身之不確定性，而各風 險因子之不確定性計算方法隨因子本身特性及其是否可予以量化而有所不 同。目前常用於水文及水理分析之不確定性分析方法主要有以下六種：
(一 ) 均值一階二矩法（ mean-value first-order second-moment method，
MFOSM）
(二) 高等一階二矩法（advanced first-order second-moment method，AFOSM）
( 三 ) 羅 森 布 魯 斯 點 估 計 法 （ Rosenblueth′s point estimation method ， Rosenblueth′s PEM）
(四) 哈爾點估計法（Harr′s point estimation method，Harr′s PEM）
(五) 蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo simulation，MCS）
(六) 拉丁高次取樣法（Latin hypercube sampling，LHS）
茲將各不確定性分析之步驟詳述如下：
(一) 均值一階二矩法（MFOSM）：
在實際應用時，各個影響因子的機率分佈(Probability Distributions)常不 易取得，為了避免此項限制，均值一階二矩法假設各個影響因子之機率分 佈可以實際數據或假設的統計平均值(Mean Value)及變異係數(Coefficient of Variation，cov)來代表。此法之理論根據泰勒級數 (Taylor Series)展開並 忽略高次項，均值一階二矩法之計算流程如下：
1. 將系統的作業函數(Performance Function)Z以各個影響因子表示如下：
)
4. 系統作業函數Z的標準偏差
σ
z亦可由各影響因子之標準偏差σ
i依下式求 響子因素的線性組合 (linear combination) 時，均值一階二矩近似法可得 相當準確的結果。(二) 高等一階二矩法(AFOSM)
當系統的表現呈非線性(non-linear behavior)或潰敗(failure)發生時，一些 影響因素可能發生於極端值，此時如以均值一階二矩法估計風險，將產生 可觀的誤差。高等一階二矩法(AFOSM)可改進風險分析的準確度(Yen et al., 1986)，其計算流程如下：
(Taylor's Expansion) ：
( ) . . .
面
x
p的落點無法事先預知，必須以試誤(trial-and-error)法疊代求出。其疊 代過程如下：(1) 對各項影響因子
X
i假設其相應之初始試誤點(trial value)(2) 根據每一變數之平均值及標準偏差，對每一變數，計算於初始試誤 點上相對應之一階導數
C
ipxp
計算每一變數之相對應之敏感度因子(sensitivity factors)。
素為統計上互相獨立(statistically independent)之變數。
平均值：
∑
Rosenblueth 於 1975 年首先提出點估計法(point estimation method)，但 其僅考慮對稱的隨機參數；而後於1981 年，Rosenblueth 又將其點估計法改 進成可處理非對稱的隨機參數。此法由各項隨機參數
X
i之第一及第二動差（first and second moment）來估計系統輸出(model output)對原點(origin)的第 k 階動差；此法假設每一隨機參數以集中於距平均值正負一個標準偏差
（standard deviation）的二個點來估計對每一隨機參數
X
i總體機率質量（total probability mass）；此外，每一隨機參數可視為統計相關或不相關之變數。
p
+−+= ( 1 − ρ
12+ ρ
13− ρ
23) 8
(2.23) 減少至2 p
次。哈爾點估計法利用正交轉換（principal axis transform）將p
個 相關之隨機參數轉成p
個不相關之隨機參數。根據模式中隨機參數之相關矩 陣(correlation matrix)，找出p
個特徵相量與特徵值。然後找出特徵向量與以 參數平均值為圓心，以p
12為半徑之圓的2 p
個交點，一旦求得2 p
個交點後3. 計算和
Z
i±= g ( X
i±)
和Z
i±2= g
2( X
i±)
之值，其中i = 1 , 2 , 3 ,..., p
。3. 將每一參數X之可能區間劃分為K組，並使得每一組被取得的機率均為 1/K。
4. 於每個細分區間中，以任意亂數之方式取樣。
5. 重覆步驟1~4直到各參數皆完成取樣。
6. 將各參數X任意混合，得到K組輸入參數群X，均勻分佈於求解空間全域。
由以上步驟所得到之 K 組輸入參數，再將其個別代入模式計算，作為 不確定性分析之用。
不確定性分析方法在實際應用時各有其優缺點，原則上可應用於各種 問題，但實際應用上應根據蒐集之資料不同、問題性質及分析者程度等而 使用不同之不確定性分析方法。茲將各不確定性方法之優缺點列如表 2-3 所示。