纜線電阻對於TDR量測影響之理論模擬與應用

全文

(1)國立交通大學土木工程學系博士班博士論文. 纜線電阻對於 TDR 量測影響之理論模擬與應用 Effects of Cable Resistance on TDR Measurements — Theoretical Modeling & Applications. 研究生：湯士弘指導教授：林志平. 博士. 中華民國九十六年七月.

(2) 纜線電阻對於 TDR 量測影響之理論模擬與應用 Effects of Cable Resistance on TDR Measurements — Theoretical Modeling & Applications 研究生：湯士弘指導教授：林志平. Student: Shr-Hong Tang 博士. Advisor: Dr. Chih-Ping Lin. 國立交通大學土木工程學系博士班博士論文. A Thesis Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy in Civil Engineering. July 2007 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年七月.

(3) 纜線電阻對於 TDR 量測影響之理論模擬與應用研究生：湯士弘. 指導教授：林志平博士. 國立交通大學土木工程學系博士班. 中文摘要時域反射法（time domain reflectomery, TDR）屬於傳輸線式感測技術，具有上孔式、多功能及多工化特色，感測方式兼具機械式感測技術可靠耐久的優點及電子式可遠端自動化監測的能力，故逐漸被廣泛應用於大地工程監測，與諸如土壤科學、環境科學、農業工程等材料性質量測相關領域。上述大部份研究與應用目前多半忽略或不考慮傳輸線電阻影響，但現地監測實際上經常需要相當長度延長線，因此傳輸纜線中電阻影響不可忽略，需要進行相關修正，方能準確量測。本研究提出可正確描述傳輸纜線電阻影響的通用性波傳模型，藉此通用模型探討纜線電阻對於材料性質量測相關影響，並藉由本模型與室內試驗，進一步討論纜線電阻、材料互制、剪力帶寬度對於錯動變形監測之影響與改善建議。研究結果顯示本模型可靠精確，能有效考慮纜線電阻影響，不同應用領域範例皆證明本模型為一相對簡易、有效率、且具高解析度的工具，適合於探頭設計、參數研究、資料闡釋、與反算分析，能顯著改善監測應用與材料量測應用分析合理性與結果。. i.

(4) Effects of Cable Resistance on TDR Measurements — Theoretical Modeling & Applications Student: Shr-Hong Tang. Advisor: Dr. Chih-Ping Lin. Department of Civil Engineering National Chiao Tung University. Abstract Time domain reflectometry (TDR), which is based on the transmission line sensing technology, consists of an up-hole device that interrogates various mechanical transducers, providing the reliability, durability and capability of remote monitoring. As a result, it is increasingly used in geotechnical instrumentation and measurements of material properties related to soil science, environmental science, agriculture engineering, etc. Existing researches and current practice do not take into account the effect of cable resistance in the transmission line, which frequently becomes important when long lead cables are used in the field. This study developed a comprehensive TDR wave propagation model which can correctly describe and deal with the effect of cable resistance on TDR measurements. The effect of cable resistance on measurements of dielectric properties was investigated based on the comprehensive TDR model. In the application of shear displacement monitoring, effects of cable resistance, cable-grout-soil interaction, and shear band were properly discussed via model simulations and laboratory shear tests. Results show that the comprehensive TDR model is reliable, accurate, efficient, and capable of taking account of the effect of cable resistance. Examples of using the TDR model on various geotechnical applications demonstrate the model as a relatively simple, efficient, and high resolution tool for probe design, parametric studies, and data interpretation. Better data interpretations of TDR measurements are achieved with the assistance of the comprehensive TDR model introduced in this study.. ii.

(5) 誌謝本論文得以順利完成，首要感謝多年來吾師林志平博士悉心與耐心指導與教誨，學生無論在學業方面、研究態度及待人處事皆獲益匪淺，在此致上萬分敬意與謝意。研究期間，承蒙廖志中博士、潘以文博士、黃安斌博士、方永壽博士、單信瑜博士、及葉克家博士在課業與研究上提供指導與建議，讓學生獲益良多，在此亦致上萬分謝意。論文口試期間，承蒙成功大學土木工程學系李德河博士、中興大學土木工程學系蘇苗彬博士、中央大學應用地質研究所董家鈞博士、交通大學電信工程學系趙學永博士、以及廖志中博士、潘以文博士、黃安斌博士於百忙中撥空親臨指教，並給予詳實之指正與寶貴之建議，使本論文得以更趨於完整與嚴謹，在此亦致上最深之敬意與謝意。在學期間，感謝大地組與防災工程研究中心學長姊、同窗好友與學弟妹們在課業與研究方面不吝賜教，鼎力協助與支援試驗，並在各方面相互關懷與扶持，使本研究得以順利進行，在此由衷感謝。最後，僅將本論文獻給我親愛的父母親、弟弟、雯雯與所有關心我的親朋好友，感謝您們這些年來的鼓勵與支持，是我持續努力的最大動力，也因為您們的包容與信賴，我才能順利完成博士班的研究。 Dear dad, mom, brother, and Carol, I love you! Thank you! 民國九十六年七月于新竹. 交通大學. 老大、志忠…吾師麾下的各位師兄弟，meeting 時的酸甜苦辣…、研究室內的喜怒哀樂…、以及在各地敲的佈的量的挖的裝的儀器與試驗…，我會永遠記得。謝謝大家，也再次感謝慧眼齊聚千里馬，我們敬愛的林老師。. iii.

(6) 目錄中文摘要 ......................................................................................................i Abstract ...................................................................................................... ii 誌謝 ........................................................................................................... iii 目錄 ............................................................................................................iv 圖目錄 ........................................................................................................vi 表目錄 ...................................................................................................... vii 符號說明 ................................................................................................. viii 第一章緒論 ...............................................................................................1 1.1 前言 ........................................................................................1 1.2 研究動機 ................................................................................1 1.3 研究目標與方法 ....................................................................2 第二章文獻回顧.......................................................................................4 2.1 時域反射法基本原理 ............................................................4 2.2 時域反射法應用形式 ............................................................6 2.3 界面與壓痕形式─工程監測應用 ........................................8 2.3.1 界面形式─水位與地表位移監測 .................................8 2.3.2 壓痕形式─邊坡錯動變形監測 .....................................9 2.4 介電度形式─土壤特性量測 ..............................................12 2.4.1 視介電度量測─土壤含水量 .......................................13 2.4.2 導電度量測─土壤水質與鹽度 ...................................15 2.4.3 介電頻譜分析─土壤組構特性 ...................................15 第三章考慮電阻的波傳模型推導.........................................................26 3.1 通用時域反射波傳模型推導 ..............................................26 3.1.1 時域反射數學模型—集成電路模型 ...........................26 3.1.2 電阻修正因子與時域反射模型參數化 .......................28 3.2 時域反射波形模擬 ..............................................................30 3.3 時域反射波傳模型參數標定 ..............................................32 3.4 基於時域反射波傳模型之資料判釋 ..................................33 3.5 小結 ......................................................................................35 第四章材料性質量測之纜線電阻影響與改善.....................................39 4.1 時域反射波傳模型適用性驗證 ..........................................39 4.2 等值電阻概念—應用於材料量測 ......................................40 4.3 纜線電阻對波傳模型參數之影響 ......................................40 4.4 纜線電阻對波形所含訊息之影響 ......................................41 4.5 纜線電阻對介電頻譜分析之影響 ......................................43 iv.

(7) 4.6 小結 ......................................................................................46 第五章錯動變形量化分析與改善.........................................................56 5.1 幾何阻抗與變形唯一性驗證— 壓痕試驗 ........................56 5.2 多重壓痕影響探討 ..............................................................57 5.3 纜線電阻與剪動模式探討— 直剪試驗 ............................57 5.4 等值電阻概念—應用於變形監測 ......................................59 5.5 簡易纜線電阻修正法 ..........................................................59 5.6 材料互制與剪力帶寬影響— 剪力盒試驗 ........................60 5.7 小結 ......................................................................................62 第六章結論與建議.................................................................................75 6.1 結論 ......................................................................................75 6.2 建議 ......................................................................................76 參考文獻 ...................................................................................................77 簡歷 ...........................................................................................................88. v.

(8) 圖目錄圖 1-1 研究架構與流程圖 ....................................................................... 3 圖 2-1 時域反射量測系統 ..................................................................... 19 圖 2-2 不同阻抗界面所產生 TDR 波形反應 (資料來源：modified Andrews, 1994) ................................................................................. 19 圖 2-3 界面形式原理—人造界面所構成時域反射伸縮計 ................. 19 圖 2-4 壓痕形式原理.............................................................................. 20 圖 2-5 TDR 波形影響因子...................................................................... 20 圖 2-6 纜線電阻對於壓痕形式應用影響 ............................................. 21 圖 2-7 長距離纜線對 TDR 波形反射值影響關係 (資料來源：Pierce et al., 1994)............................................................................................ 21 圖 2-8 模擬波形與實際波形比較 (資料來源：Dowding et al., 2003)22 圖 2-9 纜線變形(cable deformity)複雜機制照片 ................................. 22 圖 2-10 典型材料性質量測波形 ........................................................... 23 圖 2-11 纜線電阻對於時域反射材料量測影響 ................................... 23 圖 2-12 典型室內材料電學性質量測探頭 ........................................... 24 圖 2-13 以頻率為函數溼潤土壤定性介電性質 (資料來源：Hilhorst and Dirksen, 1994) ............................................................................ 24 圖 2-14 散射函數實部(a)分層剝離運算前，(b)分層剝離運算後 (資料來源：Lin, 2003b) ............................................................................ 25 圖 3-1 (a)典型時域反射裝置配置，(b)無限小傳輸線段集成電路模型 ........................................................................................................... 36 圖 3-2 以串聯均勻分段表示一非均勻傳輸線 ..................................... 36 圖 3-3 時域反射模型系統參數對終端斷路時域反射波形影響模擬 (參考範例：L = 5 m, Zp = 75 Ω, εr* = 1.0, αR = 0 sec-1/2) ................ 37 圖 3-4 30 m RG-58A/U 纜線參數標定反算結果 .................................. 37 圖 3-5 水位監測室內實驗示意圖與對應多段傳輸線模型 ................. 38 圖 3-6 水位監測量測與模擬時域反射波形比較 ................................. 38 圖 4-1 改良式 TDR 量測探頭 ............................................................... 48 圖 4-2 模擬接續 10m 延長線自來水量測結果 .................................... 49 圖 4-3 等值電阻概念應用於材料量測 ................................................. 49 圖 4-4 電阻衰減因子對於波傳模型參數(a)纜線修正因子實部，(b)虛部，(c)波傳速度，(d)衰減係數的影響 (注意：皆假設纜線無介電頻散).................................................................................................. 50 圖 4-5 波形所受纜線段等值電阻效應影響(a)輸入電壓振幅，(b)輸入電壓波形，(c)上升時間與有效量測頻寬 ...................................... 51 圖 4-6 相對視介電度 Kr 受 (a)等值電阻，(b)樣本導電度，(c)樣本介 vi.

(9) 圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 電度差異之影響 (紅色粗實線為參考值 εdc = 10, ∆ε = 20, σ = 0 S/m, αR*L = 0 sec-1/2m)...................................................................... 52 4-7 長纜線下考慮或忽略 αR，反算不同 αR 模擬波形所得介電頻譜 ........................................................................................................... 53 4-8 長纜線下考慮或忽略 αR，反算自來水所得介電頻譜 ............ 53 4-9 長纜線下考慮或忽略 αR，反算粉質細沙所得介電頻譜 ........ 54 4-10 長纜線下考慮 αR，自來水與代表性土壤量測與反算波形 ... 54 4-11 直接頻譜分析法反算長纜線下不同土樣介電頻譜 ............... 55 4-12 以複數 Debye 模型反算長纜線下不同土樣介電頻譜........... 55 5-1 (a)受壓纜線模擬模型，(b)同壓痕寬度下時域反射波形 ......... 65 5-2 (a)壓痕試驗所得傳統 ρpeak - δ 關係， (b)以通用時域反射模型反算壓痕試驗所得 Zp - δ 關係 ............................................................ 66 5-3 前方壓痕(upstream crimp)所造成後方壓痕反射量估算誤差 . 67 5-4 局部剪力變形監測室內實驗設定與對應多段傳輸線模型 ..... 67 5-5 20 mm 剪力變形量測與模擬波形比較，延長段(a)10 m，(b)30 m ........................................................................................................... 68 5-6 (a)以傳統反射係數，(b)以特徵阻抗與剪力盒位移關係比較 . 69 5-7 接續 10 m RG-58A/U 延長線纜線影響驗證 ............................ 70 5-8 等值電阻概念—應用於變形監測 ............................................. 70 5-9 (a)簡易纜線電阻修正法所得影響曲線，(b)修正結果比較 ..... 71 5-10 土壤-灌漿-纜線組合物直剪試驗採用直剪盒......................... 72 5-11 應力-側向位移(γ - δ)曲線比較................................................. 72 5-12 (a)土壤-灌漿互制，(b)剪力帶對 ρpeak - δ 曲線影響 ................ 73 5-13 網狀編織外導體纜線 RG8 與 P3-500 比較 ............................ 74. 表目錄表 4-1 代表性土壤相關參數 .................................................................47 表 4-2 複數 Debye 模型相關參數設定與反算結果.............................47 表 5-1 應力-側向位移曲線相關參數 ....................................................64. vii.

(10) 符號說明 A. : 電阻修正因子(resistance correction factor) [-]. As. : 土壤比表面積(specific surface) [m2/g]. a, b. : 公式 2-10 標定參數 [-]. c. : 光速(2.998*108 m/sec). c. : 公式 3-1 單位長度電容(per-unit-length capacitance) [F/m]. f. : 頻率(frequency) [Hz]. frel. : 極化鬆弛頻率(relaxation frequency) [Hz]. g. : 單位長度電導(per-unit-length conductance) [S/m]. I. : 傳輸線內電流 [Am]. j. : √-1. Ka. : 視介電度(apparent dielectric constant) [-]. Kp. 探頭常數(probe constant) [m-1]. Kr. : 相對視介電度(relative apparent dielectric constant) [-]. l. : 單位長度電感(per-unit-length inductance) [H/m]. L. : 長度 [m]. p. : 方位指標(orientation index) [-]. r. : 單位長度電阻(per-unit-length resistance) [Ω/m]. Rcable. : 公式 2-11 標定纜線電阻修正因子. ri. : 同軸傳輸纜線內導線外徑 [mm]. RL. : 電阻(resistance) [Ω]. ro. : 同軸傳輸纜線外導線內徑 [mm]. rs. : 表面電阻(surface resistivity) [Ω]. S. : 靈敏度(sensitivity) [mm-1]. S11(f). : 散射函數(scattering function) [-]. TR. : 來回走時(round-trip travel time) [sec]. V. : 傳輸線導體間電壓 [volt]. V(0). : 時域反射波形的傅立葉轉換 [volt] viii.

(11) v, vTDR: 時域反射波形(TDR waveform) [volt] V+, V- : 公式 3-3 通解中兩未知數 [volt] v∞. : 波形穩態值(steady state) [volt]. Va. : 視速度(apparent velocity) [m/sec]. Vi(f), VS: 輸入訊號的傅立葉轉換 [volt] vi , v S. : 輸入方波(step pulse) [volt]. Vp(f). : 相位速度(phase velocity) [m/sec]. vr. : 反射訊號(reflection) [volt]. Vr(f). : 反射訊號的傅立葉轉換 [volt]. x. : 界面、錯動變形位置 [m]. z. : 為線段某位置 [m]. Zc. : 特徵阻抗(characteristic impedance) [Ω]. Zin. : 輸入阻抗(input impedance) [Ω]. ZL. : 終端阻抗(terminal impedance) [Ω]. Zp. : 介質為空氣時的幾何阻抗 [Ω]. ZS. : 時域反射儀特徵阻抗 [Ω]. α(f). : 傳遞常數實部項，衰減常數(attenuation constant) [m-1]. αR. : 電阻衰減因子(resistance loss factor) [sec-1/2]. αs. : 不同導體材料對應集膚效應特性 [Ω*sec1/2]. β(f). : 傳遞常數虛部 [m-1]. γ. : 傳遞常數(propagation constant) [m-1]. γp. : 為介質為空氣時的傳遞常數 [m-1]. δ. : 外在剪動量，滑動變形量 [mm]. δ0. : 初始啟動量(threshold displacement) [mm]. δbw. : 受束制水分子平均厚度(3*10-10 m). δcable. : 纜線變形性(cable deformity) [mm]. ε. : 介電度(dielectric permittivity) [F/m]. ε∞. : 液體材料頻率無限大時的相對介電度 [-]. εr. : 相對介電度(relative dielectric permittivity) [-] ix.

(12) εr*. : 等值相對介電度 [-]. εr’. : 相對介電度實部 [-]. εr”. : 相對介電度虛部 [-]. εrii. : 等值相對介電度虛部 [-]. εdc. : 液體材料穩態時的相對介電度 [-]. εs*. : 土壤顆粒(solid)的等值相對介電度 [-]. εfw*. : 自由水(free water)的等值相對介電度 [-]. εbw*. : 受束制水(bound water)的等值相對介電度 [-]. εa*. : 空氣(air)的等值相對介電度 [-]. ε0. : 空氣介電常數(8.854*10-12 F/m). η0. : 固有阻抗(intrinsic impedance, 120π Ω). θi. : 各相材料體積含量(volumetric content) [-]. Θ. : 電感、電導、電容的幾何特性 [-]. µ. : 導磁率(magnetic permeability) [H/m]. µ0. : 空氣磁導率(magnetic permeability, 4π*10-7 H/m). µr. : 相對導磁率 [-]. ξ. : 公式 2-16 纜線特徵阻抗與量測探頭幾何阻抗比值 [-]. ρ. : 反射係數 [-]. ρ*(f). : 頻率域中不同頻率域的反射係數 [-]. ρ∞. : 波形達到穩態(steady state)時的反射係數 [-]. ρd. : 土壤乾密度 [g/cm3]. ρpeak. : 反射尖峰強度(peak intensity of the reflection spike) [-]. ρs. : 土壤平均密度 [g/cm3]. ρw. : 水的密度 [g/cm3]. σ. : 導電度(conductivity) [S/m]. Ψ. : 電阻的幾何特性 [m]. ω. : 重量含水量 [-]. x.

(13) 1. 第一章緒論 1.1 前言時域反射法(time domain reflectometry, TDR)在 1950 年代被應用於電子工業與有線電視(cable TV)工業監測並定位纜線幾何斷面缺陷，甚至也可用於檢測電子工業中電路設計與主機板缺陷(leakage)。1980 年代後期，有學者開始將纜線當作感測器(sensor)預埋於岩體中，當岩體變形錯動，會使得預埋纜線的幾何斷面產生缺陷，藉由時域反射法即可定位該錯動面位置(Dowding et al.,1988)，時域反射法因而逐漸被應用在大地工程監測。另一方面，Topp et al. (1980)從時域反射波形定義代表材料電學性質的視介電度，並在研究視介電度與土壤含水量關係上獲得開創性成果，使得時域反射法逐漸被廣泛應用於土壤科學、環境科學、農業工程等領域。. 1.2 研究動機時域反射儀器採用上孔式設置(up-hole)，其感測器無須複雜昂貴電子零件，同時兼具機械式與電子式感測技術經濟、耐久、可靠與準確等優點，以及遠端、自動化監測能力。過去二十年間，利用分析時域反射波形發生時間、反射量、或波形穩態值，發展了許多大地工程領域新穎應用，例如土壤含水量量測與錯動變形監測。然而在時域反射法逐漸被廣泛應用的同時，不可忽略的課題逐漸浮現，例如前述大部份時域反射應用所依賴相對簡化分析方法多半忽略或不考慮傳輸線電阻(resistance)影響，然而現場應用時，待測材料或變形錯動監測地點與時域反射儀往往相隔相當長距離，必須以延長線(lead cable)連結，此時延長線內電阻影響將不可忽略。雖然藉由經驗方法可以修正延長線對於監測應用(Kim, 1989; Pierce et al., 1994; Dowding et al, 2002)或材料量測之影響 (Heimovaara, 1995; Reece, 1998)，但由於監測與量測的簡化分析方法不同，所需考量亦不同，故兩派學者探討延長線影響的思維與方法不僅相異且無法互為通用。近年來，時域反射法(TDR)在大地工程量測與監測的應用越來越廣，衍生對於精確時域反射波傳模型的需求。基於電磁波理論與頻譜分析的多段波傳模型(Feng et al., 1999; Lin, 2003a; 2003b)已能將監測應用或材料量測的多重反射(multiple reflections)與介電頻散(dielectric dispersion)行為考慮在內，相較於簡化分析方法具有通用性與正確性，具有極大的發展潛力。同樣地，目前的波傳模型亦無法考慮纜線電阻 1.

(14) 影響。若能可正確描述傳輸纜線電阻影響，可利用波傳模型更精準地闡釋量測波形所包含的訊息。. 1.3 研究目標與方法本研究的目標為推導可正確描述傳輸纜線電阻影響的通用性理論模型，能同時考慮多重反射、介電頻散、以及纜線電阻等因素，同時滿足監測與量測應用所需考量，並藉此模型深入分析探討傳輸纜線電阻對於時域反射法應用於監測與量測的相關影響。本研究方法主要分為考慮纜線電阻影響的通用時域反射波傳模型推導、模擬與驗證，纜線電阻相關影響參數分析(parametric study)、以及展示考慮纜線電阻影響後所帶來的材料介電性質量測以及錯動變形量化方法改善，詳細研究架構與流程如圖 1-1 所示，所得成果分別整理成本論文六個章節，茲簡單敘述如下： 1. 第一章為緒論，包含前言、研究動機、以及研究目標與方法。 2. 第二章為文獻回顧，包含時域反射法基本原理、應用形式與纜線電阻影響。 3. 第三章為考慮電阻的波傳模型推導、模擬，介紹如何標定模型參數標定並基於時域反射波傳模型進行資料判釋。 4. 第四章為材料介電性質量測改善，驗證波傳模型適用性，並參數分析電阻對於波形所含訊息以及基於波形的相關分析之影響。 5. 第五章為錯動變形量化方法改善，利用通用波傳模型提出一簡易纜線電阻修正法，並以室內試驗探討材料互制與剪力帶寬影響。 6. 第六章則是本論文結論與建議。. 2.

(15) ①. 研究方法. ②. 文獻回顧. 問題定義— 纜線電阻影響. 通用模型推導外顯式參數. ③. 模型驗證, 參數分析. ④. 材料量測影響與改善. 時間波形分析影響. 錯動變形量化與改善. 頻率域介電頻譜. 簡易電阻修正法. ⑥. 結論與建議圖 1-1 研究架構與流程圖. 3. 材料互制, 剪力帶寬. ⑤.

(16) 2. 第二章文獻回顧時域反射法為近年來嶄露頭角的新興技術，利用時域反射儀與不同感測導波器 (sensor waveguide)設計，可進行數種大地工程量測 (O’Connor and Dowding, 1999; Benson and Bosscher, 1999; Robinson et al., 2004)。與傳統電子傳感器不同，時域反射儀器採用上孔式設置 (up-hole)，其感測器無須複雜昂貴電子零件，同時兼具機械式與電子式感測技術經濟、耐久、可靠與準確等優點，以及遠端、自動化監測能力。過去二十年間，利用分析時域反射波形發生時間、反射量、或波形穩態值，發展了許多大地工程領域新穎應用，例如土壤含水量量測與錯動變形監測，然而所依賴相對簡化分析方法卻常受到不同影響因子導致量測錯誤。因此將從時域反射法基本原理開始，逐步介紹和深入探討。. 2.1 時域反射法基本時域反射法基本原理基本原理典型時域反射量測系統由時域反射儀與傳輸線系統(transmission line system)組成，如圖 2-1 所示。時域反射儀主要由電磁方波產生器 (step generator)、訊號取樣器(sampler)與示波器(oscilloscope)組成，電磁方波產生器發送電磁方波至傳輸線系統中，藉由示波器顯示訊號取樣器所擷取反射訊號。傳輸線系統通常由傳輸線(transmission line)與感測導波器組成，感測導波器又稱為感測器(sensor)，是針對不同量測目的所設計量測探頭(measurement probe)；在某些應用中，傳輸線本身即可為感測導波器，但一般是作為延長線之用。為了使訊號在此特殊封閉電磁場傳輸時不會被外界干擾，傳輸線通常是外導體以封閉且同軸形式包圍內導體的同軸纜線(coaxial cable)。傳輸線系統內電磁波傳遞行為由 Maxwell 方程式控制，因為同軸纜線具有特殊電磁場結構，電磁波在同軸纜線內的傳遞行為可用導線內電流與正負導線間電壓描述，因此 Maxwell 方程式可簡化為以電壓與電流為函數之波動方程，該波動方程解中兩個最重要的參數與本質特性為傳遞常數 (γ [m-1], propagation constant)及特徵阻抗 (Zc [Ω], characteristic impedance) (Ramo et al., 1994)。傳遞常數為傳輸線本質特性，受傳輸線內介質材料電學性質控制，傳遞常數實部控制電磁波相位速度(phase velocity)，虛部控制傳遞時衰減。非磁性材料電學性質，如水、酒精、鐵弗龍、土壤等，可用相對介電度 (relative dielectric permittivity, εr(f) [-]) 與導電度 (conductivity, σ [S/m])兩種參數描述。相對介電度為材料介電度與空氣 4.

(17) 的介電常數(ε0 = 8.854*10-12 F/m)的比值，故無因次[-](dimensionless)，為頻率函數且為複數，實部項(εr’(f))代表材料在不同頻率下儲存外在電場的能力；虛部項(εr”(f))則是材料在不同頻率下消耗外在電場能量的能力。對於導電度不高的材料(σ < 1 S/m)，導電度可視為非頻率的函數(Lin, 1999)，此時導電度(σ)相當於頻率為零的導電度。由於導電度亦是用以描述材料如何消耗能量，因此與同樣代表能量損耗的相對介電度虛部項合併，並加上相對介電度實部項成為等值相對介電度(equivalent relative dielectric permittivity, εr*(f) [-])：. ε r* ( f ) = ε r − j. σ σ = [ε r' − jε r" ] − j = ε r' − jε rii 2πfε 0 2πfε 0 (2-1). 其中 εrii 為等值相對介電度虛部項，包含相對介電度虛部 εr”與導電度 σ [S/m]，f [Hz]為頻率，j 為√-1。由上式可發現 εiir 因為導電度而變得與頻率非常相依(frequency-dependent)(Stogryn, 1971)。介電度隨頻率改變，相位速度(傳遞常數實部)亦隨之改變，稱為頻散現象，時域反射波形即是各頻率在時間域的整體反應。當材料為單相(one phase)，如液體，其等值相對介電度可以 Debye 模型(Debye, 1929; Hasted, 1973)描述：.  ε −ε  σ ε r* = ε ∞ + dc ∞  − j 1 + f f rel  2πfε 0 . (2-2a). 其中 εdc 為液體材料頻率為 0(穩態)時的相對介電度，ε∞為頻率無限大時的相對介電度， frel [Hz]) 則為極化鬆弛頻率 (relaxation frequency)。當材料為多相，如土壤，則可以利用複數 Debye 模型進行描述(Dobson et al., 1985; Heimovaara, 1994b; Lin, 2003b)：. ρ  p   p p p ρ * p ε r* =  d ε s* + (θ − δ bw ρ d As )ε *fw + (δ bw ρ d As )ε bw + 1 − d − θ ε a* ρs  ρs    (2-2b) 其中 εs*, εfw*, εbw*, εa*分別為土壤顆粒(solid)、自由水(free water)、受束制水(bound water)與空氣(air)的等值相對介電度，εs*, εa*通常與頻率無關，分別為常數 4.7, 1。ρd 與 ρs [g/cm3] 分別為土壤乾密度與平均密度，As [m2/g]為土壤比表面積(specific surface)，δbw = 3*10-10 [m]，為受束制水分子平均厚度，δbwρd As 相當於受束制水含量。p 稱為方位指標(orientation index)，描述顆粒方位與電磁場方向的相關性，為介於 -1 ~ 1 的回歸係數，對於均質等向性材料，p = 0.5。 5.

(18) 特徵阻抗是傳輸線另一項本質特性，是傳輸線介質材料等值介電度與傳輸線幾何形狀之函數。若傳輸線內存在特徵阻抗不連續，電磁波則會在該不連續界面處產生反射訊號(reflection)vr [volt]與輸入方波 (step pulse)vi [volt]，兩者疊加即為時域反射波形(TDR waveform) v [volt]。反射波與透射波的關係為 vr = ρvi，其中 ρ [-]為反射係數，為纜線間不同阻抗之函數(Dworak, 1977)：. ρ=. v r v − vi Z ' c − Z c = = vi vi Z 'c + Z c. (2-3). 典型纜線間不同阻抗界面產生 TDR 波形，反應如圖 2-2 所示，當 Z’c 等於 Zc，代表無阻抗不連續界面，即無反射發生，ρ 等於 0；當 Z’c 大於 Zc，則發生正反射，ρ 大於 0；當 Z’c 大於 Zc，為負反射，ρ 小於 0。Z’c 等於 0 時代表短路(shorted)，ρ 為-1；Z’c 等於∞時代表斷路 (open)，ρ 為+1，為反射行為兩個極端狀況。圖 2-2 中 TR [sec]為來回走時(round-trip travel time)，表示電磁波傳遞至阻抗不連續界面反射回傳儀器所需時間：. TR =. 2L Va. (2-4). 其中 L [m]為界面與時域反射儀距離，Va [m/sec]為視速度(apparent velocity)，代表電磁波傳速度在時間域整體反應。分析反射發生時間(與位置)的方法稱為走時分析法(travel-time analysis method)。藉由不同方法分析時域反射波形不同反應，可獲得代表不同意義的訊息，衍伸出時域反射法不同應用形式。. 2.2 時域反射法應用時域反射法應用形式應用形式已知傳遞常數(γ, propagation constant)為傳輸線介質材料電學性質函數，特徵阻抗(Zc, characteristic Impedance)為傳輸線介質材料電學性質與傳輸線幾何形狀之函數，依據固定感測器(sensor)材料電學性質或幾何形狀，分為下列應用形式： 1. 界面形式(interface type)：界面形式主要關心感測器內不同介質材料間阻抗不連續界面位置，例如空氣與地下水界面─地下水位監測(Fellner-Feldegg, 1969, Ross, 1974; Rose, 1976; Dowding et al., 1996)，或者是雨量計(Yang, 2003) ；河水與河床土壤界面 ─ 河床面沖蝕沈積變化監測 (Yankiekun et al., 1999)；以及能量測界面相對位移的伸縮計設計 (Lin and Tang, 2005)。亦有利用可讓特定液體滲入的纜線，測漏與 6.

(19) 定位外部入滲液體界面(PermAlert, 1995)。 2. 壓痕形式(crimp type)：壓痕形式使用介質材料固定的傳輸線，傳輸線本身即為感測器一部份。當外在環境剪動或伸張，將改變纜線幾何，引致時域反射波形變化，據此進行定位與量化，例如岩石或土壤相對變位造成預埋同軸纜線幾何形狀改變(Dowding et al., 1988; Aimone-Martin et al., 1994; Dowding and Pierce, 1994a; Dowding and Huang, 1994)；同理，亦有將同軸纜線埋設橋墩中之監測應用(Pierce and Dowding, 1993)。 3. 介電度形式(dielectric type)：介電度形式固定感測器幾何性質，感測器介質則為待測材料，分析反射波形最終穩態值 (steady-state)可估計材料導電度、鹽度 (Giese and Tiemann, 1975; Clarkson et al., 1977; Topp et al., 1988; Nadler et al., 1991)。另一方面，利用走時分析可獲得視介電度，與土壤含水量與密度存在交互關係(Topp et al. 1980; Lin et al., 2000; Siddiqui et al. 2000, ASTM, 2002; Yu and Drnevich 2004)。事實上，因為等值相對介電度為頻率的函數，若能將時域反射波全波形(full waveform)藉由頻譜轉換到頻率域(frequency domain)，並利用傳輸線理論進行系統分析，可獲得更多的訊息，如描述等值相對介電度不同頻率反應的介電頻譜(dielectric spectroscopy)，進一步從不同頻率的反應獲得材料電學性質與物理特性的對應關係 (Heimovaara, 1994, 1996; Feng et al., 1999; Lin, 2003b; Heimovaara et al. 2004)。相較於時間域僅能獲得單一視介電度或導電度，頻率域的介電頻譜分析具有更大的發展性與前瞻性。然而前述介電度形式應用往往僅於地表量測，Lin et al. (2006a; 2006b)發展了可進行地下視介電度與導電度量測時域反射圓錐貫入器，增加介電度形式應用範圍。上述應用形式或研究都是假設傳輸線短，或無耗損(lossless)，然而實際上傳輸線存在纜線電阻 (cable resistance) ，而是存在耗損 (lossy)；且由於現地應用時感測器埋設地點與時域反射儀常有段距離，此時兩者之間的延長線內纜線電阻影響將隨長度增加而變得非常顯著，強烈影響反射波形內相關訊息(Su, 1987; Kim 1989; Heimovaara, 1993; Pierce et al., 1994; Kroll, 1997; Chao, 2001; Dowding et al., 2003)。纜線電阻於時間域主要造成上升時間(rise time)增加，波形平滑化，空間解析度減少，以及反射係數非線性減少。傳輸纜線電阻對於頻率域分析材料性質量測影響，截至目前尚無專題研究，僅有一些由研究過程衍生的初步觀察，如 Heimovaara (1993)與 Kroll (1997)指出長 7.

(20) 纜線的影響相當於濾掉(fiter out)時域反射訊號高頻。本章後續將逐步探討不同應用形式與纜線電阻所造成影響。. 2.3 界面與壓痕形式─ 界面與壓痕形式─工程監測工程監測應用監測應用界面形式乃固定傳輸線幾何形狀，利用時域反射波形變化定義出傳輸線中內填兩相異介質材料界面位置。壓痕形式以利用介質材料固定的傳輸線為感測器，預埋在欲監測岩體或土體中，當發生變形錯動則改變傳輸線幾何形狀，產生對應時域反射波形，藉由分析波形定位甚至量化變形。. 2.3.1 界面形式─ 界面形式─水位與地表位移監測水位與地表位移監測界面形式所關心物理量為界面位置或其相對變位，因此僅與阻抗不連續界面所造成的反射來回走時(round-trip travel-time, TR)有關。通常界面形式所採用傳輸線反應在時間域的視速度(apparent velocity, Va) 為常數且已知，由走時與視速度可計算得界面位置 x：. x = Va. TR 2. (2-5). 利用適當地現地安裝配置，將地下水位(空氣與水界面)換算成地下水壓，則成為時域反射水壓計；若結合可自動蓄積與排出雨水設計，則可延伸成時域反射雨量計(Dowding et al., 1996; Yang, 2003)。同理， Yankiekun et al. (1999)與 Yang (2003)設計可監測河床面(水-土壤界面) 沖蝕沈積變化的儀器，但所得波形容易受到外在雜訊影響與水質導電度衰減而效果不佳。 PermAlert (1995)埋設特殊設計纜線於油槽四周，當油料漏出，將滲入並蓄積於該纜線內，形成阻抗不連續界面，據以施作測漏檢核與定位。Lin and Tang (2005)則利用適當設計，在感測器內製造一人造界面(圖 2-3)，令該界面與感測器外部待測變位連動，成為可量測兩點間相對位移的時域反射伸縮計。事實上，走時分析法正確性與波形品質相關，而纜線電阻平滑化波形，使走時不易正確估算。 Lin and Tang (2005)提出參考線法 (reference line method)，不但增加界面形式應用的分析精度，並可避免纜線電阻影響，相關細節請參考 Lin and Tang (2005)，然而由於應用原理不同，參考線法(reference line method)不適用於壓痕形式。. 8.

(21) 2.3.2 壓痕形式─ 壓痕形式─邊坡錯動變形監測邊坡錯動變形監測邊坡滑動為主要大地工程災害，通常需要監測系統進行測定與預警，其中以局部剪力變形(localized shear deformation)為最重要問題。以人工施作的測傾儀(inclinometer)為目前較廣為採用的裝置，可提供以 50 cm 儀測長度(gauge length)構成線性變形剖面，但測傾管(IP)與地層之互制行為降低測傾儀對於薄剪動的反應，無法真實反應薄滑動面變形。孔內測傾儀(In-Place Inclinometer)雖可自動化監測，但解析度受限於單孔能置入測傾儀個數。此外，上述儀器採用下孔式(down-hole) 電子感測器，先天上在諸如閃電、潮濕的嚴峻環境中缺乏長時耐久性。 1980 年代後期，已經有預埋同軸纜線於岩體，應用時域反射法監測岩體錯動變形的研究。當岩體產生錯動變形，則造成與岩體成為一體的纜線幾何斷面變化，連帶使產生如壓痕的負反射尖峰，故稱之為壓痕形式(crimp type)。數個時域反射法與鄰近測傾管變形量測的案例研究皆指出相較於測傾儀受限於儀測長度，時域反射法可在空間上連續性監測，對於局部剪動(localized shear)特別靈敏 (Anderson et al., 1996; Kane 1998; Dowding and O’Conner 2000)。但相對地，同軸纜線對於一般不會破壞回填材料與改變纜線斷面幾何的彈性撓曲變形類型不具辨識能力。同軸纜線安裝時不需特製套管，設備成本與施工性亦優於測傾管或孔內測傾儀，時域反射法逐漸成為監測位移與岩石(Dowding et al., 1988; Dowding et al., 1989; Dowding and Huang, 1994)以及某些土壤邊坡(Dowding and Pierce, 1994; O’Connor et al., 1995; Dowding et al. 2001) 局部剪動面的有效工具。如同界面形式，藉由分析反射波形所需走時可得知錯動變形位置 x (圖 2-4)。然而從反射波形中如何萃取出有關於錯動變形量大小卻是相對複雜。Su (1987)與 Dowding et al. (1989)利用不同外徑纜線進行剪力變形試驗，模擬纜線受到直剪(direct shear)行為，利用三塊分離塊體束制纜線，固定兩側邊塊體並施加力量於中間塊體造成位移，使得塊體間接觸面呈現直剪行為。雖然尚有其他學者探討室內試驗模擬纜線受張(Su, 1987; Aimone-Martin et al. 1994; Su and Chen, 1998)，或模擬剪力帶寬度對於纜線錯動變形影響(O’Connor, 1991; O’Connor et al., 1995; Lu, 2003, Tsui, 2004)，然而尚未具有足夠代表性可充分解釋室內試驗結果，僅能提供定性參考。傳統被廣為採用的錯動變形量化方法為 Su (1987)藉由直剪試驗，所定義反射係數(ρ)與變形(δ [mm])關係式： 9.

(22) δ = ( ρ peak /S ) + δ 0. (2-6). 其中 ρpeak 為反射尖峰強度(peak intensity of the reflection spike)，與外在剪動量(δ)成比例關係，S [mm-1]為反射尖峰強度相對於剪動量的靈敏度(sensitivity)，δ0 [mm]為初始啟動量(threshold displacement)，達到初始啟動量時，纜線幾何才足以變形並開始產生反射尖峰強度。Su and Chen (2000)曾提出利用反射訊號電壓降對時間積分，如圖 2-4 負反射尖峰內條紋面積，可以有效考慮剪力帶甚至纜線電阻影響，但事實上並不十分有效正確(Tsui, 2004)。 Dowding et al. (1989)指出不同纜線其靈敏度相異，外徑較小者初始啟動量較小，對於變位反應較快。除了纜線種類，S 與 δ0 亦受到纜線電阻(cable resistance)、材料互制(material interaction)與剪力帶(shear band)影響，如圖 2-5 所示。其中纜線變形性(cable deformity, δcable [mm]) 呈現纜線中幾何斷面變化範圍與大小。雖然吾人關心的是滑動變形量 (δ)本身，但實際上是纜線變形性(δcable)控制時域反射波形反應，該反應如前所述，可簡單地以反射尖峰強度(ρpeak)表示。實務上延長線與預埋入岩體的監測用纜線常達數十公尺長，此時反射尖峰所回傳資訊受到纜線電阻(cable resistance)影響甚劇，將不可忽略纜線電阻影響。文獻指出，纜線衰減(lossy)特性使得時域反射波形高頻訊息隨著傳遞長度減少(Heimovaara, 1993; Kroll, 1997)，導致波形反應所需走時變長(上升時間增加)，波形變寬且變得平緩(圖 2-6)，若纜線存在多重反射(multiple reflection)，該多重反射波形也將變得平滑不明顯，也不易在分離兩相鄰變形，亦即解析度(resolution)減少(Su, 1987; Taflove, 1995; Chao, 2001)。纜線長度對於時域反射波形另一個影響則是同樣變形條件下，纜線長度較長者其反應波形對應反射係數較小(Kim, 1989; Pierce et al., 1994)，然而反射係數與纜線長度並非線性關係(圖 2-7)，故傳統修正纜線電阻影響的方法乃在實驗室內以不同延長線長度施作數組直剪試驗，獲得不同延長線長度下變形量-反射係數標定曲線。然而此方法費時耗力，而且纜線種類一改變，就得重新標定(O’Connor and Dowding, 1999)。此外，研究者皆著眼於纜線長度所造成影響，若延長線與作為感測器的纜線為不同類型，單單就纜線長度進行探討將顯得不足且欠周全。事實上，纜線電阻為纜線本身電學性質，理論上也可利用傳輸線理論描述與量化，但目前利用傳輸線理論進行纜線電阻影響探討的文獻寥寥無幾。目前僅有 Dowding et al. (2003)曾利用電學模型探討模擬剪力(shear)或壓痕(crimp)造成纜線不連續(discontinuity)行為的可行性 10.

(23) 研究。然而該模型運算費時，針對已知長度(變形位置)與固定變形量所得纜線衰減特性，無法再套用於其他長度。此外亦無法探討纜線電阻對於頻率域中波形振幅(amplitude)與相位角(phase angle)等因子影響。另一方面，即使該模型採用纜線廠商所提供衰減因子計算纜線電阻影響，但由於該衰減因子僅能描述波形振幅(amplitude)所受影響，無法描述相位角的變化，使得模擬波形無法如實呈現實際波形般不對稱(圖 2-8，虛線為對稱軸)，波形下降時急促，上升時波形緩和且走時變長的特性，顯然該模型於纜線電阻影響的模擬仍未完備，單純以纜線廠商所提供衰減因子計算纜線電阻影響亦有所不足。雖然該研究無法深入頻率域探討各種參數(例如特徵阻抗 Zc、波傳速度 vp(f)等)所受纜線電阻影響，通用性相對不足，但已顯示以頻譜轉換全波形於頻率域，藉由傳輸線理論進行系統分析的潛力。因此推導考慮纜線電阻與長度影響的通用性系統模型將具有助於深入了解纜線電阻對於壓痕形式，甚至界面形式應用影響。除了纜線電阻問題，土壤 - 灌漿 - 纜線互制 (soil-grout-cable interaction)影響滑動變形量(δ)與纜線變形性(δcable)之間關係。為了使時域反射法能應用在軟弱土壤，部份學者提出灌漿-纜線強度相應概念 (compliance) (Pierce, 1998; Cole, 1999; Dowding et al., 2001)，建議在軟弱土壤中，灌漿勁度(stiffness)需夠低但又足夠強到能彎折(kink)纜線。 Blackburn and Dowding (2004)透過有限元素模擬進一步提出最佳灌漿強度(optimal grout strength)，指出與土壤強度的最佳比例為 1 至 5。然而該研究把焦點放在灌漿相對於周遭土壤的剪力強度與勁度上，忽略了灌漿為張力強度低的灌漿-纜線複合物結構行為。圖 2-9 為灌漿-纜線複合物經直剪試驗後所取出變形纜線，即使直剪盒之間間距極小，在灌漿內仍會變形及拉伸纜線，使得纜線在局部變形(localized deformity)兩側具有漸變段(transitional deformity)。當纜線周遭材料勁度降低，照片中纜線 S 形變形曲率將變得平緩。過於軟弱的灌漿容易碎裂，使灌漿與纜線分離，增加纜線漸變段長度，局部變形段纜線斷面變化量減少。反射尖峰大小不僅與纜線變形量有關，且與纜線變形段長度有關。當滑動變形量(δ)增加，纜線變形量與纜線變形段長度增加，兩者皆導致反射尖峰增加。同樣滑動變形量下，由於不同土壤-灌漿複合物將引致不同纜線變形量與纜線變形段長度組合，故需要適當物理模型以瞭解土壤-灌漿-纜線互制行為與時域反射波形關係。最後，剪力帶寬度進一步複雜化上述問題。O’Connor (1991)、 11.

(24) O’Connor et al.(1995)以及 Tsui (2004)以灌漿-纜線複合物某段存在無灌漿空氣間距(air gap)描述剪力帶，實驗結果顯示靈敏度(S)隨空氣間距增加而減少，當空氣間距過大則出現雙剪反射波形。事實上，良好灌漿不會存在空氣間距，以空氣間距代表剪力帶並不符合現地情況，剪力帶寬度如何影響以時域反射技術量化滑動變形仍需進一步討論。綜觀而言，使用時域反射法監測軟弱土壤內滑動變形與量化該變形量仍然是件具有挑戰性的工作，因為現地存在纜線電阻，材料互制與剪力帶三個不可避免的影響因子，限制目前時域反射技術應用於錯動變形量化發展。顯然有必要針對這些影響因子進行探討，例如以適當理論模型描述纜線電阻在電學上對時域反射波形影響並予以修正；設計貼近現實材料互制與剪力帶狀況的室內直剪試驗，觀察確認現地應用尚待釐清之處。本研究主要課題之一為探討纜線電阻如何在電學上衰減時域反射波形反應，嘗試提出一套簡易纜線電阻修正方法。並結合合理的室內直剪試驗，觀察材料互制與剪力帶在材料上的影響，探討與改良量化方法。. 2.4 介電度形式─ 介電度形式─土壤特性量測土壤特性量測時域反射法介電度形式應用已逐漸成為被廣泛應用於量測土壤電學反應。研究已經指出，外加電磁波所引致土壤電學反應與控制土壤工程行為的物理特性相關，在大地工程與環境工程中，時域反射法對於決定土壤中含水量、乾密度、孔隙水中化學成分(如鹽度)、以及土壤結構物理特性方面具有相當的應用潛力(Babb, 1951, Mitchell, and Arulanandan, 1968, Arulanadan and Smith, 1973, and Selig and Mansukhanhi,1975)。不同材料物理特性影響介電頻譜不同頻率，如導電度為材料在介電頻譜低頻的反應，介電頻散則為相對高頻的反應，分析時域反射波形可獲得與土壤孔隙水中化學成份(如鹽度)有關的導電度(Giese and Tiemann, 1975; Clarkson et al., 1977; Topp, 1988)，與土壤體積含水量以及乾密度(Topp et al., 1980; Ledieu et al., 1986; Roth et al., 1990; Dirksen and Dasberg, 1993; Lin et al., 2001, Yu and Drnevich 2004)相關的視介電度。介電頻譜(dielectric spectroscopy)則可進一步探討量測材料不同頻率反應，近年來，其優點與潛力逐漸被重視(Fellner-Feldegg 1969; Clarkson et al., 1977; Hilhorst and Dirkson, 1994, Heimovarra 1994, 1996; Lin 2003a; Heimovarra et al., 2004)。. 12.

(25) 2.4.1 視介電度量測─ 視介電度量測─土壤含水量土壤含水量已知描述時域反射法傳輸纜線系統兩個最重要參數分別為傳遞常數及特徵阻抗，與壓痕形式不同的是探頭斷面內材料通常具有介電頻散(dielectric dispersion)特性，亦即相位速度(phase velocity, Vp(f))為頻率的函數，因此在介電度形式中，傳遞常數及特徵阻抗皆為頻率的函數。傳遞常數虛部 β(f)控制電磁波在該傳輸纜線介質中相位速度 (von Hipple, 1954)：. Vp ( f ) =. 2πf = β(f ). c 2   ε r ii ( f )    1 + 1 +     ( ) ε ' f r    . εr '( f )  2. (2-7). 其中光速 c = 2.998*108 m/sec，εrii(f)為等值相對介電度虛部項，包含介電度虛部與導電度(σ)。雖然 Stogryn (1971)指出 εiir(f)因為導電度而變得非常頻率相依(frequency-dependent)，但 Davis and Annan (1977) 提出在 1 MHz ~ 1 GHz 的頻率範圍，介電度虛部項影響小於實部項影響。據此 Topp(1980)假設土壤材料在該範圍 εrii(f)/εr’(f)可忽略，公式(2-7) 變成時間域視波傳速度(Va)與一視介電度(Ka)存在下列關係：. Va =. c Ka. (2-8). 其中 c 為光速，Ka [-]為從時間域計算得材料視介電度，圖 2-10 為典型材料量測波形，此處 TR 指電磁波材料界面與量測探頭終端斷路 (open end)界面之間來回走時，L 為已知量測探頭探針長度，利用 TR 定義可得：.  cT  Ka =  R   2L . 2. (2-9). Topp et al (1980)進一步提出具有良好關係的視介電度與土壤體積含水量(θ)經驗公式，帶動視介電度與材料物理性質關係相關研究。然而許多研究指出當土壤種類，例如有機(organic)土壤(Herkelrath et al., 1991)或細組織(fine-textured)土壤(Desberg and Hopmans, 1992)，以及土壤密度不同，Topp et al. (1980)經驗公式參數將存在不同的標定參數值。當考慮土壤密度影響，視介電度與重量含水量(ω)關係可改為：. 13.

(26) Ka. ρd. ρ w = a + bω. (2-10). 其中 ρd [g/cm3]與 ρw [g/cm3]分別為土壤乾密度與水的密度，θ = ω*ρd/ρw，a 與 b 則為標定參數。上式的優點在於可同時求出現場土壤重量含水量與乾密度，進一步應用於現場土壤夯實品質管制(Siddiqui and Drnevich, 1995; Lin et al., 2000, Siddiqui et al., 2000, ASTM D6565, 2002; Yu and Drnevich, 2004)，然而含水量與視介電度之間的關係仍受到土壤種類些許的影響，例如必須為高塑性土壤特別標定。事實上，用來走時分析的 short-term 反射波形受到材料導電度、介電頻散、延長線電阻影響甚劇(圖 2-11)，甚至受到不同走時分析方法(Timlin, 1996; Klemunes, 1997)與探頭設計影響。圖 2-12 為 Lin (2003a)所採用室內材料電學性質量測探頭(measurement probe)，主要由探頭上蓋(probe head)、轉接環(ring)與同軸夯模(coaxial cell)所構成。探頭上蓋具有 50 Ω BNC 型同軸接頭，接續金屬內外導體，內填德爾林(Derlin®)絕緣材料，該探頭上蓋下方由同軸形式轉成三根外導體與一根內導體的多導體探頭形式(multi-rod probe, MRP)，再利用轉接環接續同軸夯模。夯模尺寸與傳統夯實模相同，除了可量得待測材料反射波形，也可獲得傳統夯模試驗含水量與乾密度(ASTM D6565, 2002)，提供量測結果標定或驗證。 Lin (2003a)針對 TDR 量測系統前端 TDR 儀器上升時間(rise time) 與終端探頭構造(探頭長度 L 與探頭特徵阻抗 Zc)、探頭內待測土壤本身電學上介電頻譜(ε(f))消散特性與導電度(σ)、待測土壤本身物理特性 (soil type/texture/比表面積與乾密度)對於視介電度的影響做了詳盡探討，指出若儀器上升時間(rise time)變長，將使得時域反射有效量測頻寬(effective bandwidth)變窄，影響視介電度坐落的頻率範圍與估算結果，但並未實際探討位處 TDR 儀器與探頭之間延長線所帶來纜線電阻影響。事實上，目前纜線電阻對於視介電度的影響也還是處於定性探討的階段(Logsdon, 2000, Robison, et al., 2003)。相較於不具實質物理意義的視介電度，材料介電頻譜可提供更多訊息，具有更大的研究價值 (Weers, 2001; Huisman, 2002)。因此，近年研究趨向利用傳輸線系統分析，獲得真正代表材料實質物理意義的介電頻譜(Heimovaara, 1994, 1996; Feng et al. 1999; Lin, 1999; Heimovaara et al. 2004)。介電頻譜分析方法將於下列導電度量測章節後介紹。. 14.

(27) 2.4.2 導電度量測─ 導電度量測─土壤水質與鹽度另一種常見時域反射波形分析為利用波形能量衰減程度估計材料導電度(σ)，導電度實際上為材料在頻率域介電頻譜相當低頻的反應，與土壤內水質或鹽度相關，對應在時域反射波形 long-term 穩態反應。無論是利用 dc 電阻(dc resistance)分析方法(Nadler et al., 1991)或利用單段探頭量測系統(Clarkson et al., 1977; Topp et al., 1988)，皆可得到相同的 Giese and Tiemann (1975)導電度公式。在實務應用上，量測系統延長線電阻抬升波形穩態值(圖 2-11)，造成導電度低估，但若利用串接電阻 (series resistor)RC 電路假設，可定量修正纜線電阻影響 (Heimovaara, 1995; Reece, 1998, Huisman, 1999)：. σ=. Kp. (2-11a). RL − Rcable. Kp =. ε 0 cZ p , probe. (2-11b). L. 1 + ρ ∞  RL = Z S   1 − ρ ∞ . (2-11c). v∞ −1 vi. (2-11d). ρ∞ =. 其中 Kp [m-1]為探頭常數(probe constant)，Zp,probe 為探頭內填材料為空氣時幾何阻抗，代表探頭幾何特性(Karuses, 1984)，特定斷面形式解析解則可參考 Ball (2002)。L 為探頭長度，RL [Ω]為待測材料的電阻，ZS 為時域反射儀特徵阻抗，通常為 50 Ω。當波形達到穩態(steady state, v∞ [volt])時，定義反射係數為 ρ∞。c 為光速，ε0 為自由空間介電常數，Rcable 為標定纜線電阻修正因子，如果忽略延長線纜線電阻，Rcable 則為 0，此時公式 2-11 與 Giese and Tiemann (1975)的導電度公式相同。. 2.4.3 介電頻譜分析介電頻譜分析─ 分析─土壤組構特性視介電度為等值相對介電度在時間域的綜合反應，而導電度理論為等值相對介電度在頻率等於零的能量消耗特性，因此若能直接探討材料頻譜反應可獲得更多的訊息。Fellner-Felldeg (1969)首先介紹利用時域反射法探討材料電學性質於不同頻率的反應，其後時域反射法開 15.

(28) 始被利用於量測與探討液體材料頻率域反應(van Gemert, 1973; Giese and Tieman, 1975; Clarkson et al., 1997)，然而如何正確描述材料等值相對介電度，特別是像土壤本質上組成成分與相互作用複雜的多相材料，是目前仍需深入研究的課題。多位學者利用不同方法量測並探討土壤材料介電性質與頻率關係 (Hallikainen et al., 1985; Dobson et al., 1985; Campbell, 1990)，亦有學者配合電磁學理論模型由單相推廣至多相(multi-phase)材料電學性質與物理性質關係量測(Heimovaara, 1994b; Heimovaara et al., 1996; Feng et al., 1999; Huisman et al., 2002; Lin, 2003b; Heimovaara et al. 2004)。 Lin (1999)根據 Hilhorst and Dirksen (1994)研究成果與自身研究結論指出，以時域反射法配合走時分析方法不僅可在時間域獲得與土壤含水量、密度、導電度等性質，應用頻譜分析(spectrum analysis)可在頻率域描述不同頻率下，因為土壤材料非均質性(heterogeneity)所造成受束制水極化現象(polarizatioin of bound water)、Maxwell-Wagner 效應、擴散雙層極化現象(polarization of double layer)(Hilorst, 1998; Chen and Or, 2006)，進而獲得更多與土壤組構、組成成分相關的訊息(圖 2-13)，顯示介電頻譜分析的潛力。已知傳遞常數及特徵阻抗描述時域反射法傳輸纜線系統反應，傳遞常數可表示為：. γ(f )=. j 2πf c. ε r* ( f ) = γ p ε r* ( f ) = α ( f ) + jβ ( f ). (2-12). 其中 c 為光速，α(f) [m-1]為傳遞常數實部項，反應電磁波在介質材料中傳遞時不同頻率衰減現象，稱為衰減常數 (attenuation constant)；β(f)則為傳遞常數虛部項，將時間頻率(2πf)除以 β(f)可得電磁波在介質材料中傳遞時不同頻率的相位速度(Vp(f)) (Remo et al., 1994)；而 γp [m-1]為介質為空氣時(σ = 0 且εr(f) = 1，相當於 εr*(f) = 1) 的傳遞常數，此時沒有衰減常數 α(f)，其對應相位速度 Vp 為常數，非頻率的函數。相對介電度隨不同頻率而改變，使得相位速度隨之改變，稱為頻散現象(dispersion)。以同軸傳輸纜線形式為例，其特徵阻抗為：.  ln (ro ri ) µ 0  1 Zp Zc =  =  ε 0  ε r* ( f ) ε r* ( f )  2π. (2-13). 其中 ri [mm]與 ro [mm]分別為同軸傳輸纜線內導線外徑與外導線內徑、µ0 為空氣磁導率(magnetic permeability, 4π*10-7 H/m)、ε0 為空氣 16.

(29) 介電度常數、Zp 為探頭內填材料為空氣時的幾何阻抗。 Heimovaara (1994a)使用傅立葉轉換(Fourier transformation)直接在頻率域中進行計算與分析，由疊積理論(convolution theorem)(Press et al., 1986)可知頻率域中反射訊號 Vr(f) [volt]為輸入訊號 Vi(f) [volt]與代表系統反應的散射函數(scattering function,S11(f) [-])乘積：. Vr ( f ) = S11 ( f )Vi ( f ). (2-14). 將時域反射儀本身所發出方波脈衝輸入訊號 vi，與量測經過某系統反應後的反射訊號 vr 轉換成頻率域 Vi(f)與 Vr(f)，可以計算得系統反應 S11(f)：. S11 ( f ) =. Vr ( f ) Vi ( f ). (2-15). 時域反射儀所使用傳輸線系統多為同軸形式，因為同軸特殊電磁場結構，可由傳遞常數 (γ, propagation constant) 及特徵阻抗 (Zc, characteristic impedance)描述某傳遞長度(L)系統電磁場傳遞情形與系統反應，而傳遞常數及特徵阻抗本身即為材料等值相對介電(εr*(f))的函數，顯示系統反應亦為材料介電頻譜的函數，顯然可以藉由分析系統反應獲得材料介電頻譜相關訊息。 Davidson (1978)以散射函數(scattering function, S11(f))描述終端為斷路(open end)單段同軸纜線傳輸系統的多重反射行為，定義散射函數 S11(f)與傳遞長度(L)、傳遞常數(γ(f))、特徵阻抗(Zc(f))、及材料等值介電頻譜(εr*(f))關係(Clarkson, 1977; Heimovaara, 1994a; Friel and Or, 1999; Huisman et al., 2002)：. ρ * ( f ) + e − 2 Lγ ( f ) S11 ( f ) = 1 + ρ * ( f )e − 2 Lγ ( f ) ρ (f )= *. ξ(f )=. (2-16a). 1 − ξ ( f ) ε r* ( f ) (2-16b). 1 + ξ ( f ) ε r* ( f ). Z c , cable ( f ) (2-16c). Z p , probe. 其中，ρ*(f)為頻率域中不同頻率域的反射係數，Zc,cable(f)為纜線特徵阻抗，Zp,probe 為量測探頭幾何阻抗，ξ 為兩者的比值，2L 在物理意義上為電磁波在傳輸系統中來回傳遞長度。前述 Heimovaara (1994a)或其後續研究(Huisman et al., 2002)所推 17.

(30) 導模型僅能模擬單段(single-section)材料反應，實驗上需配合與時域反射儀內部阻抗大小相同傳輸纜線以及量測探頭，使得電磁波進入量測材料時才發生反射，藉以獲得僅包含單段(single-section)材料反射行為量測波形。Huisman et al. (2002)建議若是要考慮多段系統，可以參考 Feng et al. (1999)或 Lin (2003b)的模型。由於多段系統包含多個界面，各個界面存在複數次反射(透射)，若直接逐次計算將非常困難。Feng et al. (1999)與 Lin (2003b)分別利用系統分析(system analysis)中方塊圖(block diagram)演算法與輸入阻抗 (input impedance)演算法，獲得足以代表整體系統反應的發散函數 (scattering function)，得以描述多段系統複雜反射行為。Feng et al.(1999) 或 Lin(2003b)的模型，在延長線極短(1m)，可忽略纜線電阻影響情況下，皆能有效模擬圖 2-12 所示多段量測系統的總體散射函數(圖 2-14 (a)) 。 Lin (2003b) 更進一步介紹分層剝離演算法 (layer-peeling algorithm)，把上述複雜多段系統簡化成如同時域反射儀直接接續同軸夯模，獲得反映夯模內材料電學性質的單純化散射函數(圖 2-14 (b))， Lin (2003b)指出藉由分層剝離運算(layer-peeling processing)有助於降低現實量測系統複雜度，並提昇反算材料參數時穩定度。雖然上述各種描述單段或多段系統模型推導過程與所採用理論方法不盡相同，但由於都是以相同傳遞常數(γ)及特徵阻抗(Zc)參數描述系統電磁波傳遞行為，因此不論是用哪一種模型，對於某一系統其模擬結果理論上必須也必然相同。前述所有學者皆利用已標定系統參數反算對應介電頻譜，最佳化使電磁波傳模型模擬波形反應與量測材料波形反應間誤差，視反算所得介電頻譜為材料真實介電頻譜。大部分研究者所使用電磁波傳模型皆未考慮也無法模擬纜線電阻影響，僅能假設纜線電阻可忽略，或採用長度極短的延長線進行實驗。如前所述，Dowding (2002)曾發表考量纜線電阻影響的模型，但該模型存在缺陷且不具通用性，無法應用於材料量測。Heimovaara et al. (2004)雖然保留 Feng, et al. (1999)多段式模型中集成電路(lumped circuit) (Ramo et al., 1994)纜線電阻參數，但該篇研究並未聚焦在探討纜線電阻參數所具意義與其影響。本研究目標即是推導考慮纜線電阻影響的通用性系統模型，並在應用上進行深入且全面性的探討。. 18.

(31) 圖 2-1 時域反射量測系統 Z′c = ∞ for ρ = +1. v. vr vi. Z ′c > Z c Z′c = Zc for ρ = 0 Z ′c < Z c. 0. Z′c = 0 for ρ = -1 TR. 2TR. t. 圖 2-2 不同阻抗界面所產生 TDR 波形反應 (資料來源：modified Andrews, 1994). 圖 2-3 界面形式原理—人造界面所構成時域反射伸縮計. 19.

(32) Sensor cable. δ x. ρpeak ρ. Reflection spike TR. Time. 圖 2-4 壓痕形式原理 TDR. ρ Cable resistance smeared TDR-recorded waveform. ρ. TR. δ. w Shear bandwidth. Material interaction 圖 2-5 TDR 波形影響因子. 20. δcable induced ρpeak. x. TR.

(33) 0.4. Reflection coefficient, ρ. L=1m L = 10 m 0.3. 0.2. 0.1. 0. -0.1 102. 104. 106. 108. 110. 112. Time, nsec 圖 2-6 纜線電阻對於壓痕形式應用影響. 圖 2-7 長距離纜線對 TDR 波形反射值影響關係 (資料來源：Pierce et al., 1994). 21. 114.

(34) 圖 2-8 模擬波形與實際波形比較 (資料來源：Dowding et al., 2003). Localized deformity. Transitional deformity. 圖 2-9 纜線變形(cable deformity)複雜機制照片. 22. δ.

(35) Probe head TDR device. Sample cell. Lead cable. 0.5. ρ∞ =. Interface. v∞ −1 vi. 0 vi. v∞. Open end. -0.5 TR. -1. 0. 20. 40 Time, nsec. 60. 80. 圖 2-10 典型材料性質量測波形 0.4 L= 1m L = 30 m. 0.3. Reflection coefficient, ρ. Reflection coefficient,ρ. 1. 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 260. 270. 280. 290. 300. 310. Time, nsec 圖 2-11 纜線電阻對於時域反射材料量測影響 23. 320.

(36) 圖 2-12 典型室內材料電學性質量測探頭. 圖 2-13 以頻率為函數溼潤土壤定性介電性質 (資料來源：Hilhorst and Dirksen, 1994). 24.

(37) 圖 2-14 散射函數實部(a)分層剝離運算前，(b)分層剝離運算後 (資料來源：Lin, 2003b). 25.

(38) 3. 第三章考慮電阻的波傳模型推導考慮電阻的波傳模型推導如前所述，現地應用接續長纜線時，若忽略纜線電阻將導致不合理資料判釋。若能模擬完整時域反射波形反應將可獲得額外資訊並更精準地闡釋量測波形所包含的訊息。在監測岩體變形應用上，Dowding et al. (2002)發展可考慮纜線電阻與多重反射波傳模型，在時間域利用有限差分運算模擬，僅在考量纜線衰減特性時轉換至頻率域進行處理，再反轉換回時間域進行下一步有限差分運算，但該模型相對耗時，且容易產生數值不穩定，亦無法探討纜線電阻對於頻率域相位角干擾(phase angle distortion)。此外，因為該研究僅著眼在纜線變形(壓痕形式)，該模型並沒有且不能考量介電度消散(dielectric dispersion)影響，使得模型不具通用性。另一方面，基礎於頻譜分析的多段波傳模型(Feng et al., 1999; Lin, 2003a; 2003b) 已能將多重反射 (multiple reflections) 與介電頻散 (dielectric dispersion)考慮在內，然而該模型仍無法考慮纜線電阻影響。Heimovaara et al. (2004)參考上述多段波傳模型，在計算同軸纜線時加入了代表纜線電阻的參數，但該篇研究並未聚焦在探討纜線電阻參數所具意義與其影響。本章將推導一個可同時考量多重反射、介電度消散、纜線電阻影響的通用時域反射波傳模型，運算有效率且通用於所有時域反射應用形式。此模型外顯式參數化(explicitly parameterize)特徵阻抗、傳遞常數與纜線電阻彼此間關係，易於全盤探討纜線電阻對於時域反射波形影響。. 3.1 通用時域反射波傳模型推導通用時域反射波傳模型推導 3.1.1 時域反射數學模型—集成電路模型時域反射數學模型集成電路模型數學上時域反射傳輸系統可由集成電路模型(lumped circuit model) 等效分佈參數 (equivalent distributed parameter) 描述 (Ramo et al., 1994)。考慮一無限小傳輸線段，如圖 3-1 所示，可由集成參數(lumped parameter)或稱單位長度(per-unit-length)電容 c [F/m] (capacitance)、電感 l [H/m] (inductance)、電導 g [S/m] (conductance)、以及電阻 r [Ω/m] (resistance)描述。由於傳輸系統具有特殊電磁場結構，可以傳輸線內電流 I [Am]與傳輸線導體間電壓 V [volt]描述時域反射傳輸系統電磁波傳行為，對應控制方程式若在頻率域表示，可寫作： 26.

(39) dV (z ) = −(r + j 2πfl )I (z ) dz. (3-1a). dI (z ) = −(g + j 2πfc )V (z ) dz. (3-1b). z [m]為線段上某位置，f 為頻率。單位長度(per-unit-length (lumped)) 電阻 r [Ω/m]代表纜線兩導體間引致能量消散，電感 l [H/m]為感應係數，控制電流流通導體所引致磁場強度，電導 g [S/m]為電導，為纜線介質材料所含有的導電度所造成能量消耗，電容 c [F/m]為兩導體間電容，反應纜線儲存能量能力，舉例來說，壓痕型式的負反射尖峰，相當於電學中纜線電容增加，而於現地常見正反射尖峰，往往是因為纜線外導體受腐蝕使得電感增加所致(Davidson, 1978; Dowding et al., 1989; O’Connor and Dowding, 1999)。電阻 r、電感 l、電導 g、以及電容 c 皆為傳輸纜線斷面幾何 (cross-sectional geometry)與導體間填充材料電磁特性函數，材料電磁特性可分別以介電度 ε [F/m]、導電度 σ [S/m]、導磁率 µ [H/m] (permeability)表示，一般而言，三者亦為頻率的函數。通常材料介電特性以相對介電度(relative dielectric permittivity, εr)表示，代表與空氣中介電度常數(ε0 = 8.854*10-12 F/m)的比值，因此介電度 ε(f) = ε0εr(f)。同樣地，導磁率可定義為 µ = µrµ0，µ0 為空氣導磁率(4π*10-7 H/m)，時域反射法所使用纜線介質與待測材料質，如土壤，通常為非強磁性材料，其相對導磁率 µr 為 1，此外，土壤材料導電度 σ 通常與頻率無關(亦即 σ < 1 S/m)。因此各單位長度參數通用式可進一步表示為：. r=. l=. rs ( f ) Ψ. µ Θ. +. (3-2a). r (3-2b). 2πf. g = Θσ. (3-2c). c = Θε ( f ). (3-2d). 其中 rs [Ω]為因高頻傳輸電磁波時電荷集中傳輸纜線導體表面所造成集膚效應(skin effect)引發的表面電阻(surface resistivity) (Davidson, 1978; Wadell, 1991)，Ψ [m]是電阻的幾何特性，Θ [-]則是電感、電導、電容的幾何特性。表面電阻 rs 為頻率的函數，rs = αs*10-7f1/2，其中 αs [Ω*sec1/2]為不同導體材料對應集膚效應特性，常見導體材料 αs 請參見 Ramo et al. (1994)。從公式(3-2)可發現參數間並非相互獨立，特別是電 27.

(40) 導會因為集膚效應而產生額外電導反應(r/2πf)。考慮時域反射傳輸系統電磁波傳行為控制方程式，可獲得一通解：. V (z ) = V + e −γz + V − e γz. (3-3a). V + e −γz V − eγz I (z ) = + Zc Zc. (3-3b). 其中 z [m]為線段上某位置，V+ [volt]與 V- [volt]為通解中兩未知數，γ 為傳遞常數，而 Zc 則為特徵阻抗，兩者若以各單位長度參數表示，則為：. γ= Zc =. (r + j 2π fl )(g + j 2π fc). (3-4a). r + j 2πfl g + j 2πfc. (3-4b). 上式可在許多電磁學教科書中發現，其中，若假設纜線為無耗損 (loseless)的理想纜線(ideal line)，電阻 r 與電導 g 為零，γ = j 2π f lc ，衰減常數 α 為 0(公式 2-12)，而 Z c = l c ，然而，現實中的纜線是有耗損(lossy)纜線，電阻 r 與電導 g 不可忽略。上式各單位長度參數僅能在傳輸線為特殊斷面幾何(如同軸纜線)時被定義，因此有必要進一步推廣。. 3.1.2 電阻修正因子與時域反射模型參數化為了增進通用性並推廣到不同斷面幾何，將公式(3-2)以及介電度與導磁率的定義代入公式(3-4)可獲得：  j 2πfµ 0  Θ. γ = .   j 2πfµ 0      σ Θ   (1 + j )rs  +  + ( j 2πfε 0 Θ)ε r     µ r  * ( j 2πfε 0 Θ) j 2πfε 0   j 2πfµ 0 Ψ     Θ   . (3-5a). Zc =.   j 2πfµ 0   Θ  j 2πfµ0   (1 + j )rs  +     µr Θ  Θ   j 2πfµ0 Ψ    . ( j 2πfε 0 Θ) σ. j 2πfε 0. + ( j 2πfε 0 Θ)ε r. (3-5b). 將公式(3-5)開根號內(j2πfµ0/Θ)與(j2πfε0Θ)提出，整理開根號內餘留項目，令 εr – jσ/2πfε0 = εr*可得： 28.

(41) (. γ = j 2πf µ 0ε 0. )ε. * r.  Θ  r  * 1 + (1 − j )   s   Ψ   2πfµ 0 .  1 µ0  1  Z c =   ε * * 1 + (1 − Θ ε 0   r.  Θ  r  j )   s   Ψ   2πfµ0 . (3-6a). (3-6b). 進一步整理後，傳遞常數與特徵阻抗可以如下表示：. γ=. j 2πf c. Zc =. Zp. εr. *. ε r* * A. (3-7a). *A. (3-7b). 其中 c 為光速，等值相對介電度 εr* = εr – jσ/2πfε0 為頻率函數且為複數，Zp 為幾何阻抗，定義為自由空間的特徵阻抗，而 A [-]為代表纜線電阻影響的電阻修正因子(resistance correction factor)。幾何阻抗 Zp 與電阻修正因子 A 可寫作：. Zp =. 1 Θ. µ0 ε0. (3-8a).  η0  α R  αs  Θ     ( ) A = 1 + (1 − j )  = 1 + 1 − j 7  Z  f (3-8b)  Ψ  2πµ 0 * 10 f   p 其中，幾何阻抗 Zp 僅為幾何因子(Θ)函數，特定斷面形式解析解則可參考 Ball (2002)，電阻修正因子 A 則為幾何因子與表面電阻的函數，η0 [Ω]為固有阻抗(intrinsic impedance)，約等於 120π。由於傳輸纜線幾何因子與導體材料表面電阻通常為固定，所以兩者的效應可以合成為單一電阻衰減因子 αR [sec-1/2] (resistance loss factor)。公式 3-7 為時域反射波傳模型中傳遞常數與特徵阻抗的外顯式表示式，如果忽略纜線電阻，如 αs = 0，αR = 0，A = 1，則公式 3-7 等於之前研究者的傳遞常數與特徵阻抗 (Clarkson et al. 1977; Heimovaara 1994; Feng et al. 1999, Lin 2003a)。公式 3-7 外顯式地分離幾何特性(如幾何阻抗 Zp)、材料性質(如等值相對介電度 εr*)、與纜線電阻(如電阻修正因子 A)對於傳遞常數與特徵阻抗的影響。由於電阻修正因子 A 與頻率相關，因此定義電阻衰減因子 αR 為纜線電阻的控制參數。幾何阻抗 Zp 與電阻衰減因子 αR 皆與傳輸線尺寸有關，雖然理論上可由其尺寸計算簡單構造傳輸線(例如同 29.