無字證明之教學動畫設計─以國中的勾股定理為例

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系(所) 數學教學碩士在職專班碩士論文. 無字證明之教學動畫設計 ─以國中的勾股定理為例. 研究生：陳俊儒撰. 指導教授：許志農博士. 中華民國一百零九年七月 July 2020.

(2) 謝辭看著論文完成的一刻，心中的激動難以言表，一路以來要感謝父母對我的支持，給我無憂慮的環境以能夠專心作研究，也感謝許志農教授在研究過程中給我的協助，不止協助我發現問題的盲點，也給了我許多彈性讓我自由發揮；感謝黃森山教授及夏良忠教授在口試過程中給我的回饋與建議，讓我發現未來還能努力的方向。最後，期許未來在教學上能夠應用研究所所學，使自己能力更加提升。. i.

(3) 摘要現行國中數學課程中雖有提及勾股定理，但主要在於勾股定理之應用，對於其證明卻著墨不多，為提升學生對於學習數學之興趣，本研究以尼爾森(Roger B. Nelson)所寫的著作《無字證明 I：視覺思考上的練習》(Proofs Without Words I:Excercises in Visual Thinking)、《無字證明 II：更多視覺思考上的練習》(Proofs Without Words II: More Excercises in Visual Thinking)、《無字證明 III：進階視覺思考上的練習》(Proofs Without Words III: Further Excercises in Visual Thinking)中選取十個勾股定理之無字證明，並利用 Flash 製作成動畫，希望將動畫融入於教學中，提升學生學習數學證明之興趣。. 關鍵字：無字證明、尼爾森（Nelsen）、勾股定理、Flash. ii.

(4) 目錄第一章. 緒論 ........................................................................................................................................................... 1. 第一節研究背景與動機 ................................................................................................................................................ 1 第二節研究目的 ............................................................................................................................................................ 3 第三節研究範圍與限制 ................................................................................................................................................ 4 第二章. 文獻探討 .................................................................................................................................................... 5. 第一節勾股定理 ............................................................................................................................................................ 5 第二節無字證明 ............................................................................................................................................................ 6 第三章. 研究工具 ...................................................................................................................................................14. 第一節 ADOBE FLASH CS6 ................................................................................................................................................ 14 第二節 FLASH 動畫設計理念 ......................................................................................................................................... 14 第三節 FLASH 動畫設計流程 ......................................................................................................................................... 15 第四章. 研究結果 .................................................................................................................................................17. 第一節 FLASH 動畫架構說明 ......................................................................................................................................... 17 第二節 FLASH 動畫介紹 ................................................................................................................................................. 18. 一、. 周髀算經 .................................................................................................................................................... 18. 二、. 婆什迦羅（Bhāskara, 1114－1185） ..................................................................................................... 22. 三、. 歐幾里得 .................................................................................................................................................... 26. 四、. 伽菲爾德（James Abram Garfield, 1831－1881） ............................................................................. 31. 五、. 李奧納多·達文西(Leonardo da Vinci, 1452－1519) ................................................................................ 34. 六、. Dobbs .......................................................................................................................................................... 38. 七、. Frank Burk ................................................................................................................................................ 42. 八、. 劉徽 ............................................................................................................................................................ 45. 九、. 杜德尼(H. E. Dudeney) .............................................................................................................................. 49. 十、. 帕普斯定理 ................................................................................................................................................ 53. 第三節問卷分析 .......................................................................................................................................................... 57 第五章. 結論與未來研究方向 ..............................................................................................................................76. 第一節結論 .................................................................................................................................................................. 76 第二節未來研究方向 .................................................................................................................................................. 77 參考文獻 .....................................................................................................................................................................78 一、. 中文部分 ......................................................................................................................................................... 78. 二、. 英文部分 ......................................................................................................................................................... 79. iii.

(5) 表目錄表 4表 4表 4表 4表 4表 4表 4-. 1................................................................................................................................. 58 2................................................................................................................................. 60 3................................................................................................................................. 62 4................................................................................................................................. 64 5................................................................................................................................. 66 6................................................................................................................................. 68 7................................................................................................................................. 70. 表 4- 8................................................................................................................................. 72 表 4- 9................................................................................................................................. 74. iv.

(6) 圖目錄圖 2-1-1 圖 2-1-2 圖 2-1-3 圖 2-1-4 圖 3-3-1. 勾股圓方圖........................................................................................................... 8 蘇格拉底所繪之圖示........................................................................................... 8 將一個角三等份之無字證明............................................................................... 9 勾股定理的一種證明方式................................................................................. 10 勾股定理製作腳本............................................................................................. 15. 圖 3-3-2 圖 3-3-3 圖 4-1-1 圖 4-1-3. 勾股定理製作腳本............................................................................................. 15 動畫製作流程圖................................................................................................. 16 Flash 動畫主頁面.............................................................................................. 17 歷史故事溯源與領域......................................................................................... 17. 圖 4-1-2 圖 4-2-1 圖 4-2-2 圖 4-2-3 圖 4-2-4. 引言..................................................................................................................... 17 動畫一溯源......................................................................................................... 19 動畫一 1.............................................................................................................. 20 動畫一 2.............................................................................................................. 20 動畫一 3.............................................................................................................. 20. 圖 4-2-5 動畫一 4.............................................................................................................. 20 圖 4-2-6 動畫一 5.............................................................................................................. 20 圖 4-2-7 動畫一 6.............................................................................................................. 20 圖 4-2-8 動畫一 7.............................................................................................................. 21 圖 4-2-9 動畫一 8.............................................................................................................. 21 圖 4-2-10 動畫一 9............................................................................................................ 21 圖 4-2-11 動畫一 10.......................................................................................................... 21 圖 4-2-12 動畫動畫二溯源............................................................................................... 23 圖 4-2-13 動畫二 1............................................................................................................ 24 圖 4-2-14 圖 4-2-15 圖 4-2-16 圖 4-2-17 圖 4-2-18 圖 4-2-19 圖 4-2-20 圖 4-2-21 圖 4-2-22. 動畫二 2............................................................................................................ 24 動畫二 3............................................................................................................ 24 動畫二 4............................................................................................................ 24 動畫二 5............................................................................................................ 25 動畫二 6............................................................................................................ 25 動畫二 7............................................................................................................ 25 動畫二 8............................................................................................................ 25 動畫二 9............................................................................................................ 25 動畫二 10.......................................................................................................... 25. 圖 4-2-23 動畫二 10.......................................................................................................... 25. v.

(7) 圖 4-2-24 圖 4-2-25 圖 4-2-26 圖 4-2-27 圖 4-2-28 圖 4-2-29 圖 4-2-30 圖 4-2-31 圖 4-2-32 圖 4-2-33. 動畫二 11.......................................................................................................... 25 動畫三溯源....................................................................................................... 26 動畫三 1............................................................................................................ 28 動畫三 2............................................................................................................ 28 動畫三 3............................................................................................................ 28 動畫三 4............................................................................................................ 28 動畫三 5............................................................................................................ 28 動畫三 6............................................................................................................ 28 動畫三 7............................................................................................................ 29 動畫三 8............................................................................................................ 29. 圖 4-2-34 圖 4-2-35 圖 4-2-36 圖 4-2-37. 動畫三 9............................................................................................................ 29 動畫三 10.......................................................................................................... 29 動畫三 11.......................................................................................................... 29 動畫三 12.......................................................................................................... 29. 圖 4-2-38 圖 4-2-39 圖 4-2-40 圖 4-2-41 圖 4-2-42. 動畫三 13.......................................................................................................... 30 動畫三 14.......................................................................................................... 30 動畫三 15.......................................................................................................... 30 動畫三 16.......................................................................................................... 30 動畫四溯源....................................................................................................... 31. 圖 4-2-43 圖 4-2-44 圖 4-2-45 圖 4-2-46 圖 4-2-47 圖 4-2-48 圖 4-2-49 圖 4-2-50 圖 4-2-51. 動畫四 1............................................................................................................ 32 動畫四 2............................................................................................................ 32 動畫四 3............................................................................................................ 32 動畫四 4............................................................................................................ 32 動畫四 5............................................................................................................ 33 動畫四 6............................................................................................................ 33 動畫四 7............................................................................................................ 33 動畫四 8............................................................................................................ 33 動畫四 9............................................................................................................ 33. 圖 4-2-52 圖 4-2-53 圖 4-2-54 圖 4-2-55 圖 4-2-56 圖 4-2-57 圖 4-2-58 圖 4-2-59 圖 4-2-60. 動畫四 10.......................................................................................................... 33 動畫五溯源....................................................................................................... 35 動畫五 1............................................................................................................ 36 動畫五 2............................................................................................................ 36 動畫五 3............................................................................................................ 36 動畫五 4............................................................................................................ 36 動畫五 5............................................................................................................ 36 動畫五 6............................................................................................................ 36 動畫五 7............................................................................................................ 37. 圖 4-2-61 動畫五 8............................................................................................................ 37. vi.

(8) 圖 4-2-62 圖 4-2-63 圖 4-2-64 圖 4-2-65 圖 4-2-66 圖 4-2-67 圖 4-2-68 圖 4-2-69 圖 4-2-70 圖 4-2-71. 動畫五 9............................................................................................................ 37 動畫五 10.......................................................................................................... 37 動畫五 11.......................................................................................................... 37 動畫五 12.......................................................................................................... 37 動畫六溯源....................................................................................................... 39 動畫六 1............................................................................................................ 40 動畫六 2............................................................................................................ 40 動畫六 3............................................................................................................ 40 動畫六 4............................................................................................................ 40 動畫六 5............................................................................................................ 40. 圖 4-2-72 圖 4-2-73 圖 4-2-74 圖 4-2-75. 動畫六 6............................................................................................................ 40 動畫六 7............................................................................................................ 41 動畫六 8............................................................................................................ 41 動畫六 9............................................................................................................ 41. 圖 4-2-76 圖 4-2-77 圖 4-2-78 圖 4-2-79 圖 4-2-80. 動畫六 10.......................................................................................................... 41 動畫七溯源....................................................................................................... 42 動畫七 1............................................................................................................ 43 動畫七 2............................................................................................................ 43 動畫七 3............................................................................................................ 43. 圖 4-2-81 圖 4-2-82 圖 4-2-83 圖 4-2-84 圖 4-2-85 圖 4-2-86 圖 4-2-87 圖 4-2-88 圖 4-2-89. 動畫七 4............................................................................................................ 43 動畫七 5............................................................................................................ 44 動畫七 6............................................................................................................ 44 動畫七 7............................................................................................................ 44 動畫七 8............................................................................................................ 44 動畫七 9............................................................................................................ 44 動畫七 10.......................................................................................................... 44 動畫七 11.......................................................................................................... 45 動畫七 12.......................................................................................................... 45. 圖 4-2-90 圖 4-2-91 圖 4-2-92 圖 4-2-93 圖 4-2-94 圖 4-2-95 圖 4-2-96 圖 4-2-97 圖 4-2-98. 動畫八溯源....................................................................................................... 46 動畫八 1............................................................................................................ 47 動畫八 2............................................................................................................ 47 動畫八 3............................................................................................................ 47 動畫八 4............................................................................................................ 47 動畫八 5............................................................................................................ 47 動畫八 6............................................................................................................ 47 動畫八 7............................................................................................................ 48 動畫八 8............................................................................................................ 48. 圖 4-2-99 動畫八 9............................................................................................................ 48. vii.

(9) 圖 4-2-100 圖 4-2-101 圖 4-2-102 圖 4-2-103 圖 4-2-104 圖 4-2-105 圖 4-2-106 圖 4-2-107 圖 4-2-108 圖 4-2-109. 動畫八 10........................................................................................................ 48 動畫八 11........................................................................................................ 48 動畫八 12........................................................................................................ 48 動畫八 13........................................................................................................ 49 動畫八 14........................................................................................................ 49 動畫八 15........................................................................................................ 49 動畫八 16........................................................................................................ 49 動畫九溯源..................................................................................................... 50 動畫九 1.......................................................................................................... 51 動畫九 2.......................................................................................................... 51. 圖 4-2-110 圖 4-2-111 圖 4-2-112 圖 4-2-113. 動畫九 3.......................................................................................................... 51 動畫九 4.......................................................................................................... 51 動畫九 5.......................................................................................................... 51 動畫九 6.......................................................................................................... 51. 圖 4-2-114 圖 4-2-115 圖 4-2-116 圖 4-2-117 圖 4-2-118. 動畫九 7.......................................................................................................... 52 動畫九 8.......................................................................................................... 52 動畫九 9.......................................................................................................... 52 動畫九 10........................................................................................................ 52 動畫九 11........................................................................................................ 52. 圖 4-2-119 圖 4-2-120 圖 4-2-121 圖 4-2-122 圖 4-2-123 圖 4-2-124 圖 4-2-125 圖 4-2-126 圖 4-2-127. 動畫九 12........................................................................................................ 52 動畫九 13........................................................................................................ 53 動畫九 14........................................................................................................ 53 動畫十溯源..................................................................................................... 54 動畫十 1.......................................................................................................... 55 動畫十 2.......................................................................................................... 55 動畫十 3.......................................................................................................... 55 動畫十 4.......................................................................................................... 55 動畫十 5.......................................................................................................... 55. 圖 4-2-128 動畫十 6.......................................................................................................... 55 圖 4-2-129 動畫十 7.......................................................................................................... 56 圖 4-2-130 動畫十 8.......................................................................................................... 56 圖 4-2-131 動畫十 9.......................................................................................................... 56 圖 4-2-132 動畫十 10........................................................................................................ 56 圖 4-2-133 動畫十 11........................................................................................................ 56 圖 4-2-134 動畫十 12 ....................................................................................................... 56 圖 4-3-1 課本證明 ............................................................................................................ 65. viii.

(10) 第一章. 緒論. 第一節研究背景與動機. 研究者在教育的現場發現學生對於數學的學習，有很大一部分是知其然而不知其所以然，對於數學公式的學習，常停留在只知道怎麼用而不知道其原理，而在現行考試至上的風氣之下，大部分學生對於學習數學證明的動機明顯低落，但在十二年國民教育課程基本綱要指出，數學教育應培養好奇心及觀察規律、演算、抽象、推論、溝通和數學表述等能力，而美國數學教育學會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)於 2000 年頒布的《學校數學的原則和標準》(Principles and Standards for School Mathematics)中，亦呼籲將學習推理與構建證明當成數學理解的一部份，其中之一強調讓學生能夠選擇和使用各種適當的推理形式和證明方法。由此可見，數學證明對於學生培養數學能力上是重要的因素。. 1.

(11) 隨著資訊科技的發展、學校設備的擴充，在教學上也不再侷限於黑板上的手繪的圖形，而能以更精確、更適合學生狀態調整的電腦輔助教學融入於課堂。在筆者的教學經驗中發現，學生對於課堂上影片的播放有著別於傳統黑板上的內容有著更高的專注力與好奇心，本研究透過尼爾森(Nelsen)出版的「無字證明」作品，從中找出勾股定理的相關證明製作成動畫，以期未來能夠使用於教學中。. 2.

(12) 第二節研究目的數學證明在數學學習中扮演重要的角色，Martin Aigner(2004)說：「數學是一門學科，建立在引理和定理的證明上」，透過證明能訓練學生的邏輯思考及培養推理能力，綜上所述，為了在學生學習數學論證實提升學習動機，研究者選擇國中數學階段，證明方式最多元的畢氏定理為主題，並參照尼爾森所寫的著作《無字證明 I：視覺思考上的練習》、《無字證明 II：更多視覺思考上的練習》、《無字證明 III：進階視覺思考上的練習》為素材，從中挑選出十個勾股定理之無字證明，製作成 Flash 動畫，提供給教學現場的教師作為補充教材，期許培養學生的幾何論證能力及增進學生對於學習數學之興趣。故本研究主要的研究目的有以下兩點：. 一、挑選 10 個與勾股定理相關的無字證明，利用 Flash CS6 軟體製作出動畫，盼能將紙本形式的無字證明以動態方式呈現並成為課堂中教師能使用的數位教材。二、將勾股定理無字證明的作者史料融入於動畫之中，提供教師利於在課堂教學中進行補充。. 3.

(13) 第三節研究範圍與限制本研究以尼爾森所寫的著作三本著作為題材，從中挑選出十個勾股定理相關之無字證明，並融入作者相關的歷史資料製作成 Flash 動畫，雖力求嚴謹，但仍有其限制，茲將說明如下： (1)無字證明僅只有一張圖，研究者雖力求嚴謹，但未必能完全反映作者對於原作品想表達的初衷。 (2)本研究因對於國中學生的先備知識為考量，且為了配合教學，因此並未將所有勾股定理的無字證明製作成動畫，其後續將由無字證明團隊陸續完成。. 4.

(14) 第二章. 文獻探討. 第一節勾股定理勾股定理是一個歷史悠久的幾何定理，幾乎所有文明古國對此定理都有所研究，在古巴比倫出土的許多泥板中，其中編號普林頓 322 號的石板紀錄了各種勾股數，顯示古巴比倫人已知道某些直角三角形三邊長具有勾股關係。勾股定理是中學階段應用最廣的幾何定理之一，其因發現者的不同，而有許多不同的名稱，在西方國家相信最早是由古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras,約西元前 580-490 年）證明此定理，因此又稱之為「畢氏定理」(Pythagorean theorem)，相傳畢達哥拉斯發現這個定理後，宰了 100 頭牛來慶祝，故又稱「百牛定理」。在西方國家最早出現關於勾股定理的證明紀載出現在約西元前三百年的歐幾里得《幾何原本》中第一冊第 47 個命題，並且他在命題 VI.31 再給了另一個不同的證明，而歐幾里得在幾何原本的註解中仍將最早的發現及證明歸功於畢達哥拉斯學派，至今為止，畢氏定理的證明已超過 600 多種，且還在持續增加當中。在中文文獻中，勾股定理最早可追溯到《周髀算經》及《九章算術》中，在《周髀算經》的第一章周公問商高：「天的高度和地面的一些測量的數字是怎麼樣得到的呢?」商高則回答：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股脩四，徑隅五。既方之外，半其一矩，環而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。」(黃清揚， 2001)商高以直角三角形的兩條直角邊分別為 3 和 4 時，弦則為 5 作回答，確立了直角三角形兩股長的平方和等於斜邊平方的判定原則，因此勾股定理也被稱為商高定理。而在《九章算術》中，在卷九「勾股章」所談的便是與勾. 5.

(15) 股形相關的問題。三國時期趙爽深入研究《周髀算經》，並寫了序言及詳細注釋解釋並附上「弦圖」證明了勾股定理。他寫道：「句股各自乘，併之為弦實，開方除之即弦。案弦圖又可以句股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以句股之差自相乘為中黃實，加差實亦成弦實。」趙爽以此方法證明了勾股定理，印度數學家 Bhaskara-Acharya 也給出相同證明方法，卻晚了趙爽數百年(楊惠后，2002)。魏晉時期劉徽為古籍《九章算術》作注釋時，劉徽採用「補割術」並作「青朱出入圖」，劉徽描述此圖：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」大意為任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。以此方法證明勾股定理。到目前為止，勾股定理的證明至少有六百個以上，其中魯米斯(Elisha S. Loomis)出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)這本書中即收錄了勾股定理的 371 個證明，他認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明。. 第二節無字證明一、無字證明的定義無字證明(proof without words)是指僅用圖像而無需文字解釋就能不證自明的數學命題(楊宗儒，2017)，綜合最近國內外學者對無字證明定義之整理，其概念性定義為「透過簡單明瞭且有創意的幾何圖象來呈現數學命題的一種方式，使得讀者只需藉由圖形的輔助就能接受該數學論證。」(李唐榮， 2018)。無字證明，而隨著電腦普及與科技的發展，我們能利用動態幾何軟體. 6.

(16) 製作具有操作性及互動效果的電腦版無字證明，我們將此稱為「無字證明 2.0」 (Proof Without Words 2.0)。無字證明 2.0 有明確的步驟順序，「圖說一體，不證自明」的效果會更加顯著。. 二、無字證明的簡史在知識的發展史中，人們常用圖片表達數學思想，哲學家將「圖片使用」 (the use of pictures)視為一種有效且便利的方法，以便關注在數學重點上。《周髀算經》內有勾股定理及《勾股圓方圖》，但沒有證明定理。而趙爽約在公元 222 年，深入研究《周髀算經》後寫了序言及詳細注釋，並證明了勾股定理。其中他寫道：「勾股各自乘，併之，為弦實。開方除之，即弦。」以原始弦圖來說，我們認為《勾股圓方圖》僅是一個圖示，而非「視覺證明」。另外，在柏拉圖(Plato)的《美諾篇》(Meno)中第 80a 節所記載的蘇格拉底 (Socrates)與美諾的對話，在討論「給定任意一個正方形，是否可作出另一個正方形，使其面積為原正方形的兩倍」僵持無下，而後蘇格拉底請來美諾的僕人，引導僕人透過數學推理的模式解決該問題。而蘇格拉底最後附上的一張繪圖，被理解為他引導僕人「發現」結果的一種視覺證明方法，該圖可清楚看出內部菱形面積與外部正方形面積的倍數關係。雖然圖片作為視覺證明具有說服力，但在過程中蘇格拉底具體引導僕人理解，所以我們並不認為它在原文中是為了視覺證明而設計的。「視覺證明」相較於傳統歐幾里得用完整文字闡述作者論點，附上參考圖形凸顯重點的方式，我們一般認為「視覺證明」是一個帶有很少量文字的證明，並非只是作為圖片輔佐，其本身已經是整個證明。本研究所提的無字證明，即屬於視覺證明。. 7.

(17) 圖 2-1- 1 勾股圓方圖. 圖 2-1-2 蘇格拉底所繪之圖示. 8.

(18) 無字證明一詞最早出現在伊薩克斯(Rufus Isaacs,1975)刊登於《數學雜誌》的兩個證明，第一個是將任意一個角分成三等份的方法(Laisant,1875)，第二個則是畢氏定理的證明，不過第二個證明在古代中國文獻《周髀算經》就已經出現，但在《周髀算經》中此圖是帶有文字解說的，因此其原始形式為一個「圖示」而非「無字證明」，因此我們認為伊薩克斯的貢獻是認知到此圖形擁有僅需極少或不需要文字即能完整表達證明的能力。. 圖 2-1-3 將一個角三等份之無字證明. 9.

(19) 圖 2-1-4 勾股定理的一種證明方式. 在 1976 年美國數學協會出版的《數學雜誌》(Mathematics Magazine)的共同編輯 Steen 與 Seebach 決定在該雜誌獨創一個「無字證明」的專欄，在首次刊載時 Steen 寫道：「作為一名教師，我時常教導學生用幾何圖形捕捉重要的數理關係及數學概念之精華。對多數人而言，在記憶證明過程中，視覺的記憶通常比線性的記憶更為有效。此外，一個內蘊有豐富關係的圖表，它內含有真正的數學等著被我們認知及用語言表達。因此，把此作為一個策略來幫助學生學習數學，無字證明往往比用文字證明更準確。」並在新的雜誌設計中設置了新的「新聞和信件」章節取代舊有的「註釋和評論」簡化讀者反饋的過程，而在新章節的聲明中，新的共同編輯表示：「為了促進無字證明的進一步貢獻，我們正在尋找有趣的視覺素材來放入雜誌的頁面並補充在文章中。」在聲明公布後，符合的圖示以每年大約一到兩個的速度開始出現在《數學雜誌》的「無字證明」中，到了 1987 年，比率已增加到每年五到六個。無字證明之所以能發展至今天，尼爾森（Roger B. Nelsen）功不可沒，尼爾森於 1942 年出生，於 1964 年在德堡大學(Depauw University)數學系畢業，並在 1969 年取得杜克大學(Duke University)取得博士學位，並在路易斯克拉克大學(Lewis & Clark College)任教，直到 2009 年退休，尼爾森的. 10.

(20) 投稿首次出現在《數學雜誌》的「無字證明」的專欄是在 1987 年，該篇無字證明的名稱為「調和平均數 -幾何平均數-算術平均數-方均根不等式」 (Nelsen,1987)。. 在這之後，尼爾森協助《數學雜誌》審定其他無字證明的作品，多年後，尼爾森將數十年來收集到的所有無字證明整理成冊，發表了他受人深受好評的書籍《無字證明 I：視覺思考上的練習》(1993)、《無字證明 II：更多視覺思考上的練習》(2000)、《無字證明 III：進階視覺思考上的練習》(2016)，之後尼爾森和合著者阿爾希納(Claudi Alsina)在著作《視覺數學》(Math made Visual)(2016)和《少就是多》(When Less Is More)(2009)中繼續探索圖示與視覺證明。. 三、無字證明與數學證明雖然許多無字證明表現出來都是簡單明瞭、知性上令人愉悅的、富含高度解釋性的，但還是要面對一個問題：無字證明真的是證明嗎?在回答這個問題之前，我們先建造一個架構並運用它來評估視覺證明在數學上的價值，有關視覺證明的兩種極端反應，我們稱為巴洛克反應與浪漫反應。選擇巴洛克與浪漫這使用這兩個名詞來形容，一部分的原因是為了避免任何特定在數學哲學領域中的思想學派。巴洛克與浪漫是想傳達一種立場、一種反應的模式或是用一種嶄新的眼光來看待無字證明。. 證明的兩種觀點之一：巴洛克觀點從巴洛克的觀點來看，一個證明必須要能明確地表達或聯繫出數學性質間的邏輯關係。因為句子的語法可以用來詮釋邏輯的運作過程，所以沒有句子就無法寫出證明。當我們在評估一個描述「一般數學事實中某些特定情況」的無字證明時，我們或許會選擇其他邏輯策略來檢驗這特定情況的正確性。有些無字證明雖然能夠將特定案例描述得很好，但如果我們不能接受驗算特. 11.

(21) 例當作證明，又如何能接受一個特別圖示的檢驗來當作證明?用特例來佐證，並不能算是證明。所以巴洛克的觀點認為無字證明不是真正的證明，因此本身不具有說服力。證明的兩種觀點之二：浪漫觀點相較於巴洛克的觀點，浪漫觀點則強調：數學論證是否擁有能夠說服與啟迪數學家的能力。例如：一個包含嚴格過程的證明，是根據一個論點能以甚麼程度在數學上去說服聽眾去判斷並且相信。如果一個無字證明能用充足且明顯的證據去呈現一個數學概念，且說服數學家一個性質的真實性，把它當作證據有何不可呢?. 巴洛克觀點把證明解讀為一種能滿足特定正式限制的證據型態；而浪漫觀點則認為，任何對一個敏捷且理性的讀者有威力且能全面說服的證據就是證明林芝辰（2018）。在兩種觀點上都有其令人信服之處，在此不打算評論高下。然而，從浪漫的觀點看，原則上「無字證明作為一種證明方式」之地位無須挑戰，真正的浪漫主義者只會詢問「一個特定的無字證明，是否能成功引發數學上的洞察。」我們可以在巴洛克觀點的範疇內，去挑戰探索和回答無字證明的地位問題，但這卻不是浪漫一派的觀點。. 歐幾里得對視覺證明的批判西元前 300 年，歐幾里得所著作的《幾何原本》中，內容共分 13 卷，包括有 5 條公設、5 條公理、119 個定義和 465 個命題，構成歷史上第一個數學公理體系。其以演繹的過程逐步推導出各種相關的幾何性質與定理。而在《幾何原本》中，歐幾里得於每一條定理證明完畢後皆會加上「這是需要證明的」，之後演變成拉丁文-Quod Erat Demonstramdum, Q.E.D，故往後我們在證明節數的尾端，通常會加上「Q.E.D」以表示完成。從歐幾里得的觀點來看，證明是指一個數學結果的推論過程，而推論中只能用基礎數學原理和以前被證明過的結果。理論上人們可以從一個結果往前追溯到最基礎的數學原理。而無 12.

(22) 字證明通常僅是一張沒有文字解釋的圖形，由於圖片是靜態的，使得它在表達一個可辨明的思考順序或是哪個數學事實應該被當成另一個的基礎時遇到困難，這樣的問題使得無字證明難以符合歐幾里得對證明的標準。實際上，無字證明的圖時常留給讀者的是一個開放性的問題，類似謎題一般，圖示本身並無要求讀者應該思考的方向，相反的，讀者可以依據自己的想法對圖形解讀，從不同的數學觀點出發，這些不同的論證過程都可能導致不一樣的證法。一張圖中蘊含所有訊息與需要自行驗證，這兩個特點使得無字證明在歐幾里得的觀點下難以論定為有效的證明，但也因為這些特點，使得在 1990 年後無字證明較多屬於教育及娛樂數學的領域，而實際上正式無字證明在教學或娛樂上的部份價值使得他們常常被應用在一些證明難題上。. 總結以上對無字證明的觀點與論述，巴洛克觀點強調形式的正確性與完整性，而浪漫的觀點則認為無字證明能否用充足且明顯的證據去呈現一個數學概念，且說服數學家一個性質的真實性。在直觀上更能接受無字證明為「證明」。儘管無字證明難以符合巴洛克對於「證明」的定義，但若我們將問題從「無字證明是否能根據其形式特徵而被稱作『證明』」轉變為「無字證明與一般證明中，書寫與分享數學證據所要傳達的目標保持一致」時，我們就能發現無字證明的價值不只在教學法上，而且也是數學上的價值。. 13.

(23) 第三章. 研究工具. 第一節 Adobe Flash CS6 奧多比公司是美國一家跨國電腦軟體公司。主要從事多媒體製作類軟體的開發，近年亦開始涉足多樣化網際網路應用程式的開發。 Adobe Flash CS6 為奧多比公司旗下的軟體，功能為軟體動畫的製作。適用的範圍於遊戲、電視節目和網頁中的互動式動畫，能夠建立動畫塗鴨和虛擬人偶以及在線上學習內容及資訊圖表中加入動作，增加互動性及可操作性。輸出的動畫可以用幾乎任何格式發佈至多個平台包括 HTML5 Canvas、 WebGL、Flash/Adobe AIR 和自訂平台 (例如 SVG)。. 第二節 Flash 動畫設計理念希望學生透過無字證明的動畫對於勾股定理的證明有不同的學習體驗，對於證明的學習產生興趣，並從補充的資源中獲得數學史的相關知識。綜上所述，研究者在動畫的設計中融入了大量圖案、顏色變化效果，並盡可能減少文字符號的出現，維持無字證明的主要核心。. 14.

(24) 第三節 Flash 動畫設計流程 1. 選定素材：從尼爾森所編寫的 Proof Without Words 三本著作中，收集勾股定理相關的無字證明，書中的無字證明來源多為各大學校教授於期刊或雜誌上發表的文章，在素材收集的原則上首先針對適合製作成動化的素材，並配合國中學生的先備知識再做篩選。. 2. 製作腳本：選定要製作的素材後，腦中先構想動畫要呈現的形式，以學生看動畫時的角度思考，考量學生可能遇到的問題及困難之處，在腳本上做註記，提醒自己在動畫的呈現上用顏色及時間的放慢等方式讓學生能夠聚焦並思考，最後並製作成腳本，腳本內容包含所要呈現的畫面、圖案的移動路徑及顏色的指示。有了初步的構想後，再將腳本與教授討論，討論出最適合學生的呈現方式。. 圖 3-3-1 勾股定理製作腳本. 圖 3-3-2 勾股定理製作腳本. 15.

(25) 3. 作品產出：腳本製作與討論完成後，依照腳本上所描述的方式利用 Flash CS6 軟體製作成動畫，完成後再做最後檢視，看看文字呈現的速度、大小、顏色的調配、圖形的配置等等是否符合當初設計腳本的預期。再與教授討論作品需要修正之處，多次來回討論與修正後完成作品。完整流程圖如下所示：. 選定素材. 製作腳本. 討論. 部分內容須修正圖 3-3-3 動畫製作流程圖. 16. 動畫產出. 完成.

(26) 第四章. 研究結果. 第一節 Flash 動畫架構說明動畫內容包含無字證明之引言、動畫呈現、定理及相關歷史，其架構如下所示：點擊進入引言. 點擊進入歷史故事溯源與領域. 定理名稱定理公式及出處. 動畫播放鈕. 圖 4-1-1 Flash 動畫主頁面. 圖 4-1-3 引言. 圖 4-1-2 歷史故事溯源與領域 17.

(27) 第二節 Flash 動畫介紹勾股定理勾股定理（Pythagoras theorem）又稱畢氏定理、畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理，是平面幾何中一個基本且重要的定理。勾股定理說明平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度的平方和等於斜邊長的平方。本研究主要將尼爾森的三本《無字證明》著作中，找出符合國中二年級學生先備知識的十個與勾股定理相關的無字證明進行探究，發展成一套數位教材。以下將十個動畫編號一到十，其中一到九為勾股定理，第十為帕普斯定理。. 一、. 周髀算經. 1.溯源《周髀算經》也簡稱《周髀》，是中國古代一本數學專業書籍，在中國唐代收入於《算經十書》，並為《十經》的第一部。周髀的成書年代至今沒有統一的說法，有人認為是周公所作，也有人認為是在西漢末年寫成。所謂「勾股術」，又可稱為「勾股算術」，即指以勾股定理為核心而發展出的算法或公式。中國勾股術的形成甚早，其起源乃在於窺天測地的需要。現存中算史料中，以《周髀算經》及《九章算術》最先提及勾股術，兩者皆只給出算法。之後，歷代算家對勾股術多所研究。其中理論性的論述則首見魏晉南北朝的劉徽及趙爽，兩人分別利用「出入相補法」來進行勾股術的幾何證明工作。(黃清揚，2002). 18.

(28) 圖 4-2-1 動畫一溯源. 2.動畫演示先作出直角三角形，再將其透過旋轉與平移作出以兩股和為邊長之正方形，再複製相同的正方形至畫面右側，右側正方形中，透過正方形內直角三角形的平移，左側正方形中扣除直角三角形的面積為斜邊平方，右側正方形扣除直角三角形的面積為兩股平方和。. 19.

(29) 圖 4-2-2 動畫一 1. 圖 4-2-3 動畫一 2. 圖 4-2-4 動畫一 3. 圖 4-2-5 動畫一 4. 圖 4-2-6 動畫一 5. 圖 4-2-7 動畫一 6. 20.

(30) 圖 4-2-8 動畫一 7. 圖 4-2-9 動畫一 8. 圖 4-2-10 動畫一 9. 圖 4-2-11 動畫一 10. 21.

(31) 二、婆什迦羅（Bhāskara, 1114－1185） 1.溯源而印度的地理位置處於許多文明之間的交叉路口，因此其文化深受許多不同文明的影響。在數學方面也是，在包德哈雅納(Baudhayana)的著作中描述了畢氏定理的特例；《蘇爾巴斯土拉》（sulbasturas）裡面提到了一般化的定理。由此可知，印度人精通畢氏定理的時代和畢達哥拉斯一樣早，而且他們知道如何應用這個定理解決許多實際問題。婆什迦羅是十二世紀的印度數學家兼天文學家，相傳婆什迦羅透過占星預測知女兒的丈夫會在婚後很快死去，為了避免悲劇發生，他用特殊儀器測量婚禮的舉行時間，並警示女兒不要靠近儀器，但女兒出於好奇前去偷看，過程中身上的珍珠掉落影響儀器的測量，導致婚禮無法如期舉行，婚後女兒很快成為了寡婦，為了安慰女兒，婆什迦羅就將其著作用女兒的名字《莉拉沃蒂》命名。此證明的原著只有一張圖及及一個字 Behold!，意旨為瞧瞧看，可謂無字證明的濫觴。. 22.

(32) 圖 4-2-12 動畫動畫二溯源. 2.動畫演示先作出直角三角形，再將其透過旋轉與平移作出以斜邊為邊長之正方形，再複製相同的正方形至畫面右側，右側正方形中，先將上方的直角三角形平移至下方，並將斜邊貼齊下方直角三角形之斜邊，接著將左側直角三角形平移至右側，斜邊貼合至右側直角三角形之斜邊，將右側圖形向右旋轉使其呈階梯狀，此時底邊長度為 a+b，上方分為兩段長度，其長邊為原直角三角形的其中一股 b，最後透過上下長度之比較，階梯狀上方之短邊長度為 a，在此先停頓幾秒，浮現「瞧瞧看」，希望學生此時暫停畫面觀察，是否能發現勾股定理，停頓幾秒後，最後再由長邊及短邊中間下拉一條鉛直虛線，使右側階梯狀圖形分割為兩個正方形，此時兩正方形的面積總和為兩股平方和，左側正方形面積為斜邊平方，結束動畫。 23.

(33) 圖 4-2-13 動畫二 1. 圖 4-2-14 動畫二 2. 圖 4-2-15 動畫二 3. 圖 4-2-16 動畫二 4. 24.

(34) 圖 4-2-17 動畫二 5. 圖 4-2-18 動畫二 6. 圖 4-2-19 動畫二 7. 圖 4-2-20 動畫二 8. 圖 4-2-21 動畫二 9. 圖 4-2-22 動畫二 10. 圖 4-2-23 動畫二 10. 圖 4-2-24 動畫二 11. 25.

(35) 三、歐幾里得 1.溯源《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作，共 13 卷。這本著作是現代數學的基礎，其出版的版本數量據估計在西方僅次於《聖經》。很多學者認為《幾何原本》是歐幾里得把很多前人所證明的原理以及自己的一些原創證明匯集在一起的著作，。在西方國家最早出現關於勾股定理的證明紀載出現在約西元前三百年的《幾何原本》中第一冊第 47 個命題，而歐幾里得在幾何原本的註解中仍將最早的發現及證明歸功於畢達哥拉斯學派，至今為止，畢氏定理的證明已超過 600 多種，且還在持續增加當中。. 圖 4-2-25 動畫三溯源. 26.

(36) 2.動畫演示. 先作出直角三角形，在從三邊向外延伸作出以三邊為邊長的三個正方形，浮現出三塊正方形面積後，再複製整個圖形至右側，在右側的圖形中，將上方兩塊正方形之邊長向上延伸，再從兩條線交點連接中間直角三角形的直角後向下延伸至圖形底邊如圖 4-2-26 所示，接著將右側直角三角形塗色，複製到上方切割出的兩個直角三角形的位置上，呈現三塊其實是相同的直角三角形，透過相同角度的浮現，說明延伸下去的直線與下方正方形的上下邊皆垂直，接著將左側圖形及右側圖形上方的兩塊正方形著色，中間浮現等號代表左右著色面積相等，再將右側圖形中著色的部分透過變形，同時將底與高浮現，暗示其面積並未發生變化，最後透過平移至下方填滿下方正方形，此時左邊圖形著色部分為兩股平方和，右側圖形著色部分為斜邊平方。. 27.

(37) 圖 4-2-27 動畫三 1. 圖 4-2-28 動畫三 2. 圖 4-2-29 動畫三 3. 圖 4-2-30 動畫三 4. 圖 4-2-31 動畫三 5. 圖 4-2-32 動畫三 6. 28.

(38) 圖 4-2-33 動畫三 7. 圖 4-2-34 動畫三 8. 圖 4-2-35 動畫三 9. 圖 4-2-36 動畫三 10. 圖 4-2-37 動畫三 11. 圖 4-2-38 動畫三 12. 29.

(39) 圖 4-2-39 動畫三 13. 圖 4-2-40 動畫三 14. 圖 4-2-41 動畫三 15. 圖 4-2-42 動畫三 16. 30.

(40) 四、伽菲爾德（James Abram Garfield, 1831－1881） 1.溯源伽菲爾德，1831 年出生於俄亥俄州，南北戰爭時期加入北軍，擁有少將軍階，曾擔任基督會的長老，是第一個有神職人員身份的美國總統，在數學研究方面也頗有建樹，由於他的任期正處於從政黨分肥制到文官制的過渡時期，他在上任四個月後於 7 月 2 日遭謀官未成者同為共和黨籍的查爾斯·J·古提奧暗殺，搶救兩個多月後因感染於 9 月 19 日去世，享年 49 歲，成為繼林肯之後第二位被暗殺的美國總統。伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了這個勾股定理的證明方法。後來人們為了紀念他對勾股定理的直觀、簡潔明瞭的證明，就把這一證明方法稱為「總統」證法。對於曾經對勾股定理提出過一種新的面積證明方法。. 圖 4-2-43 動畫四溯源 31.

(41) 2.動畫演示先作出直角三角形，接著將其複製後選轉與平移至上方與之接合，接著延伸出綠色線段使整塊圖形形成一個梯形，如圖 4-2-30 所示，接著複製整塊梯形到右側，右側梯形中，浮現底下的直角三角形三個角度，再透過角度的移動呈現出梯形內右側三角形中最大角為直角，接著將左側梯形著色，呈現出其面積公式，右側梯形分部分著色，由三個直角三角形構成，底下呈現三個直角三角形面積公式，最後透過公式的整理，呈現出兩股平方和等於斜邊的平方。. 圖 4-2-44 動畫四 1. 圖 4-2-45 動畫四 2. 圖 4-2-46 動畫四 3. 圖 4-2-47 動畫四 4. 32.

(42) 圖 4-2-48 動畫四 5. 圖 4-2-49 動畫四 6. 圖 4-2-50 動畫四 7. 圖 4-2-51 動畫四 8. 圖 4-2-52 動畫四 9. 圖 4-2-53 動畫四 10. 33.

(43) 五、李奧納多·達文西(Leonardo da Vinci, 1452－1519) 1.溯源李奧納多·達文西又譯達芬奇，全名李奧納多·迪·瑟皮耶羅·達文西（Leonardo di ser Piero da Vinci，意為「文西城皮耶羅先生之子──李奧納多」），達文西是文藝復興時期人文主義的代表人物，也是歷史上最著名的藝術家之一，也是義大利文藝復興時期的一個博學者：在繪畫、音樂、建築、數學、幾何學、解剖學、生理學、動物學、植物學、天文學、氣象學、地質學、地理學、物理學、光學、力學、發明、土木工程等領域都有顯著的成就。廣為人知的畫像「蒙娜麗莎」也是出於達文西之手，達文西堪稱通才，他在 1502 年手繪的伊莫拉城平面圖，用現在的衛星圖看幾乎一致。現在汽車上應用的無段變速箱系統概念也源自於達文西，因此也有人猜測達文西是來自未來的人。. 34.

(44) 圖 4-2-54 動畫五溯源. 2.動畫演示先作出直角三角形，再從三邊向外延伸作出以三邊為邊長的三個正方形，將上方兩個正方形與兩塊直角三角形著色後複製整個圖形至右側，中間浮現等號暗指兩邊的面積是相同的，接著將右側圖形著色的部分，兩端點連線將整個著色部分切為上下兩部分，再將中間直角三角形的直角與下方直角三角形的直角連線，如圖 4-2-43 所示，完成右側圖形之切割。將右側圖形著色部分的上半部，顯示轉軸後順時針旋轉 90 度，如圖 42-44 所示，接著將著色的上半部以切割線為軸，翻轉後填滿原空缺的下半部，再浮現轉軸後逆時針選轉 90 度，填滿圖形下半部，如圖 4-2-46 所示，最後將兩側圖形中的三角形著色後消去，左側剩下的著色面積為兩股平方和，右側圖形為斜邊平方。 35.

(45) 圖 4-2-55 動畫五 1. 圖 4-2-56 動畫五 2. 圖 4-2-57 動畫五 3. 圖 4-2-58 動畫五 4. 圖 4-2-59 動畫五 5. 圖 4-2-60 動畫五 6. 36.

(46) 圖 4-2-61 動畫五 7. 圖 4-2-62 動畫五 8. 圖 4-2-63 動畫五 9. 圖 4-2-64 動畫五 10. 圖 4-2-65 動畫五 11. 圖 4-2-66 動畫五 12. 37.

(47) 六、 Dobbs 1.溯源魯米斯(E. S.t Loomis, 1852-1940)，出生於美國俄亥俄州梅迪納鎮，他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家和土木工程師，除此之外最值得讚譽的頭銜是「教師」，其中也是他最喜歡的工作，魯米斯以第三人稱描述自己：「他作為教師的五十年間，他竭盡所能的培育超過 4000 名的男孩、女孩及年輕男女的行為習慣上，這為他烙刻了深深的印記。」魯米斯在《勾股定理》這本書中，搜集且分類了勾股定理的 371 個證明，他認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明。這齣無字證明的劇本構思自 Dobbs 的文章，發表於 The Mathematical Gazette, 7,1913-1914, p.168 裡。. 38.

(48) 圖 4-2-67 動畫六溯源. 2.動畫演示先作出直角三角形，以較長的一股作邊長作出正方形將其包覆，顯現出各段的長度，如圖 4-2-52 所示，將整塊正方形著色後複製整塊至畫面右側，並浮線等號暗示兩邊著色圖形面積相等，再右側圖形中，正方形內部的直角三角形顯線轉軸後，以轉軸為中心逆時針旋轉 90 度後，呈現新的圖形，如圖 4-2-54 所示，接著浮線角度顯示左上端為 90 度，之後連接虛線，將右側圖形切割成兩塊直角三角形，如圖 4-2-55 所示。將左側正方形面積用文字表示留置下方，右側兩塊直角三角形面積表示與下方，等號移下產生等式，透過整理可以得到兩股平方和等於斜邊平方。. 39.

(49) 圖 4-2-68 動畫六 1. 圖 4-2-69 動畫六 2. 圖 4-2-70 動畫六 3. 圖 4-2-71 動畫六 4. 圖 4-2-72 動畫六 5. 圖 4-2-73 動畫六 6. 40.

(50) 圖 4-2-74 動畫六 7. 圖 4-2-75 動畫六 8. 圖 4-2-76 動畫六 9. 圖 4-2-77 動畫六 10. 41.

(51) 七、 Frank Burk 1.溯源這齣無字證明的劇本構思自 Frank Burk 的文章，發表於 College Mathematics Journal, vol.27,no.5 裡。. 圖 4-2-78 動畫七溯源. 42.

(52) 2.動畫演示先作出直角三角形，將三角形以三邊長 a、b、c 為邊長的放大倍數放大原本的三角形，並置於畫面的下方，其中左下方及正下方分別為放大 b 倍及 a 倍的兩塊三角形，右下角為放大 c 倍後的圖形，後將左下及正下方的三角形作結合，結合後的圖形透過比較發現與右側三角形全等，最後比較兩個三角形斜邊，雖表示法不同，但代表一樣的長度。左側結合後的三角形斜邊為初始直角三角形兩股平方和，右側三角形斜邊長度為初始直角三角形斜邊的平方。. 圖 4-2-79 動畫七 1. 圖 4-2-80 動畫七 2. 圖 4-2-81 動畫七 3. 圖 4-2-82 動畫七 4. 43.

(53) 圖 4-2-83 動畫七 5. 圖 4-2-84 動畫七 6. 圖 4-2-85 動畫七 7. 圖 4-2-86 動畫七 8. 圖 4-2-87 動畫七 9. 圖 4-2-88 動畫七 10. 44.

(54) 圖 4-2-89 動畫七 11. 圖 4-2-90 動畫七 12. 八、劉徽 1.溯源《九章算術》是現存最早的中國古代數學著作之一，其作者已不可考。其系統性的整理了自先秦以來的中國古代數學及漢朝時發現的數學成就。在數學史上，它標誌著中國古代數學體系的形成，後世的中國數學家，都是從此開始學習和研究。唐、宋時為國家明令規定的教科書。劉徽為《九章算術》作注解，並就《九章算術》中解法提出簡要的證明，使得原書更為有條理。《九章算術》勾股章的第一個公式「勾股各自乘，並而開方除之，即弦」即為勾股定理。劉徽為魏晉時期人，在為《九章算術》作注釋時，採用「補割術」並作「青朱出入圖」，劉徽描述此圖：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」大意為任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。以此方法證明勾股定理。. 45.

(55) 圖 4-2-91 動畫八溯源 2.動畫演示先作出直角三角形，在從三邊向外延伸作出以三邊為邊長的三個正方形，透過中間直角三角形的平移與旋轉作出兩塊正方形中的切割線，如圖 4-2-80 所示，接著將兩股所形成的兩塊正方形著色後，複製整塊圖形至畫面右側並在兩圖中間浮線等號，暗示兩邊著色部分面積相等，接著將畫面右側的兩塊圖形依照分割後切成的小塊，透過平移與旋轉依序填入斜邊產生的正方形中。畫面左側著色部分為兩股平方和，右邊著色部分面積為斜邊平方。. 46.

(56) 圖 4-2-92 動畫八 1. 圖 4-2-93 動畫八 2. 圖 4-2-94 動畫八 3. 圖 4-2-95 動畫八 4. 圖 4-2-96 動畫八 5. 圖 4-2-97 動畫八 6. 47.

(57) 圖 4-2-98 動畫八 7. 圖 4-2-99 動畫八 8. 圖 4-2-100 動畫八 9. 圖 4-2-101 動畫八 10. 圖 4-2-102 動畫八 11. 圖 4-2-103 動畫八 12. 48.

(58) 圖 4-2-104 動畫八 13. 圖 4-2-105 動畫八 14. 圖 4-2-106 動畫八 15. 圖 4-2-107 動畫八 16. 九、杜德尼(H. E. Dudeney) 1.溯源杜德尼(H. E. Dudeney )是英國 19 世纪末 20 世纪初最偉大與知名的數學趣题設計家，與同时期的美國趣题奇才森姆·萊特(S. Loyd)齊名。杜德尼從小就開始下棋，並且一生都在不斷下棋。這引起了他對數學和拼圖組成的濃厚興趣。他最著名的幾何學發現是將一個正三角形分割成四塊並拼成一個正方形的方法。他共出版六本關於趣题的書籍，其中最富盛名的是《坎特伯雷趣題集》與《數學中的娛樂》。. 49.

(59) 圖 4-2-108 動畫九溯源. 2.動畫演示先作出直角三角形，三邊分別為 a、b、c，其中斜邊平行於畫面底邊，再從三邊向外延伸作出以三邊為邊長的三個正方形，將右上方的正方形作對角線，找出正方形對角線交點，之後通過交點作鉛直線與水平線將正方形切成四塊，如圖 4-2-93 所示，接著根據兩股斜率，各作出兩條斜率相同的直線，將下方正方形作切割，如圖 4-2-97 所示。將兩股所形成的正方形著色後將整塊圖形複製至畫面右側，中間浮線等號暗示兩邊面積相等，最後將畫面右側圖形著色部分依序填入下方斜邊生成的正方形中，畫面左側面積為兩股平方和，畫面右側圖形為斜邊平方。. 50.

(60) 圖 4-2-109 動畫九 1. 圖 4-2-110 動畫九 2. 圖 4-2-111 動畫九 3. 圖 4-2-112 動畫九 4. 圖 4-2-113 動畫九 5. 圖 4-2-114 動畫九 6. 51.

(61) 圖 4-2-115 動畫九 7. 圖 4-2-116 動畫九 8. 圖 4-2-117 動畫九 9. 圖 4-2-118 動畫九 10. 圖 4-2-119 動畫九 11. 圖 4-2-120 動畫九 12. 52.

(62) 圖 4-2-121 動畫九 13. 圖 4-2-122 動畫九 14. 十、帕普斯定理 1. 溯源帕普斯面積定理（Pappus's area theorem）描述為連接任意三角形三邊形成三個平行四邊形區域之間的關係。該定理也可以被認為是畢氏定理的推廣，以發現者希臘數學家帕普斯命名。帕普斯（Pappus）為古希臘數學家。西元三到四世紀人。他是亞歷山大學派的最後一位偉大的幾何學家。生前有大量著作，但只有《數學彙編》保存下來。《數學彙編》全書共八篇，其中此證明收錄於的四篇，《數學彙編》對數學史具有重大的意義，其內容記錄了古希臘數學的發展狀況，作者把他以前從希臘古典時期到亞歷山大時期的優秀數學著作精心整理，並加以闡釋和評註。. 53.

(63) 圖 4-2-123 動畫十溯源. 2. 動畫演示先作出一個任意三角形，其中底邊與畫面水平，再從左右兩邊向外作出平行四邊形，如圖所示，將兩個平行四邊形的兩邊向上延伸，作出兩條延伸線的交點。接著將交點與中間三角形上方的角連線，紀錄長度為 L，連線後繼續向下延伸，連接到原三角形的底邊後再延伸至長度 L 時停止。複製長度 L 至兩側後在下方作出水平線使其形成平行四邊形，如圖所示。將三塊平行四邊形著色後浮現 A1、A2、A3，如圖所，再讓著色部分消失，接著重新將 A1、A2 著色。複製整塊圖形至右側浮現等號，暗示兩側面積相等。右側著色的兩塊圖形強調底與高後，透過變形與平移後，填滿下方大塊的平行四邊形，此時兩側面積相等，左側著色部分面積總和為 A1+A2，右側著色面積為 A3。. 54.

(64) 圖 4-2-124 動畫十 1. 圖 4-2-125 動畫十 2. 圖 4-2-126 動畫十 3. 圖 4-2-127 動畫十 4. 圖 4-2-128 動畫十 5. 圖 4-2-129 動畫十 6. 55.

(65) 圖 4-2-130 動畫十 7. 圖 4-2-131 動畫十 8. 圖 4-2-132 動畫十 9. 圖 4-2-133 動畫十 10. 圖 4-2-134 動畫十 11. 圖 4-2-135 動畫十 12. 56.

(66) 第三節問卷分析本節將以回收的 31 份有效問卷，針對 9 個勾股定理公式動畫問卷中所填答 6 個問題的答案，其中第四題「比起課本的證明，我比較喜歡這個無字證明。」中所指的課本證明，如圖 4-3-1 所示，教師先講解課本的證明方法後，再依序播放動畫二到動畫九，每個動畫完成後填寫針對該題的回答後再進入下一個動畫。問卷以 Excel 軟體進行整理與分析，並利用有效百分比來檢視作答狀況，分析如下：. 圖 4-3- 1 課本證明. 57.

(67) 一、「勾股定理 2」作答分析. 表 4-1「勾股定理 2」動畫之問卷作答情況有效百分比. 定理. 非常不同意 (1). 「勾股定理2」題號 1. 題目我看了此動畫，很快就能知道此動畫所想表達的數學證明。. 不同意. (2). 普通 (3). 同意 (4). 非常同意. (5). 0.0. 3.2. 12.9. 19.4. 64.5. 2. 我看了此動畫，很快就能知道為什麼這個無字證明是正確的。. 0.0. 3.2. 16.1. 32.3. 48.4. 3. 經過老師講解後，我能明白為什麼這個無字證明是正確的。. 0.0. 0.0. 6.5. 12.9. 80.6. 4. 比起課本的證明，我比較喜歡這個無字證明。. 0.0. 0.0. 16.1. 29.0. 54.8. 5. 我認為我可以長時間記憶住這個無字證明。. 3.2. 0.0. 25.8. 38.7. 32.3. 6. 比起數學課本上的證明，此無字證明的動畫能引起我想學習數學證明的興趣。. 0.0. 0.0. 16.1. 19.4. 64.5. 表 4- 1. 58.

(68) 由表的第一題及的二題的分析中，約有 80%以上的學生很快就能知道此動畫所想表達的數學證明，並且能夠知道為什麼這個無字證明是正確的。而由第三題分析中，經過老師講解後，約有 80%的學生都能明白為什麼此證明是對的，比起第一及第二題約增加了 15%~30%，增加老師的解釋提升了學生對於數學動畫的理解，在第四題與課本比較的部分，有超過五成的學生更加喜歡此動畫所表達的證明；接著第五題分析中，約有 70%的學生認為此動畫能使得記憶更加深刻，但僅有三成的學生選擇非常同意，可見動畫雖能夠讓學生理解證明，但要讓學生長時間記住證明的方法與過程，仍有其難度；最後第六題分析中，引起學生學習數學證明興趣的同意百分比大約為 65%，且不同意及非常不同意的比例與第一及第二題中比較，百分比從 3.2%降至 0%，可以見得，儘管在動畫呈現一開始無法理解動畫所要表達的證明，但學生更加能接受無字證明用動畫方式呈現。. 59.

(69) 二、「勾股定理 3」作答分析. 表 4- 2「勾股定理 3」動畫之問卷作答情況有效百分比. 定理. 非常不同意 (1). 「勾股定理3」. 不同意. (2). 非. 普通 (3). 同意 (4). 常同意. (5). 題號. 題目. 1. 我看了此動畫，很快就能知道此動畫所想表達的數學證明。. 0.0. 9.7. 19.4. 25.8. 45.2. 2. 我看了此動畫，很快就能知道為什麼這個無字證明是正確的。. 3.2. 6.5. 22.6. 19.4. 48.4. 3. 經過老師講解後，我能明白為什麼這個無字證明是正確的。. 0.0. 0.0. 6.5. 22.6. 71.0. 4. 比起課本的證明，我比較喜歡這個無字證明。. 3.2. 3.2. 22.6. 35.5. 35.5. 5. 我認為我可以長時間記憶住這個無字證明。. 6.5. 9.7. 29.0. 38.7. 16.1. 6. 比起數學課本上的證明，此無字證明的動畫能引起我想學習數學證明的興趣。. 0.0. 6.5. 16.1. 22.6. 54.8. 表 4- 2. 60.

(70) 由表 4-2 的第一題中，約有 70%的學生表示看了此動畫，很快就能知道此動畫所想表達的數學證明。在第二題中，約有 68%的學生表示看了此動畫，很快就能知道為什麼這個無字證明是正確的。儘管都有超過六成的學生在老師未講解的情況下就能夠理解動畫要呈現的證明，但與第一個動畫前兩題都近八成的同意狀況相比，此動畫相對偏低，在老師與學生詢問不理解的原因中發現，有部分學生不了解圖形右上角的邊長 b 是如何得到的，在重新演示動畫後，學生才理解如何出現邊長 b，另外，因為此動畫與前動畫相比，多了旋轉動畫，猜測有可能使得學生理解上較困難。接著在第三題的分析中，在老師講解過後，超過九成能夠理解無字證明的正確性，而不同意的部分則降至零，表示此無字證明播放後再配合老教師適度講解會達到更好的效果。在第五題的分析中，約有五成的學生認為自己可以長時間記憶住這個無字證明，與前動畫的七成比較，相對偏低。在第六題的分析中，約有 77% 的學生認為比起課本的證明，此無字證明動畫更能引起學習數學證明的興趣。. 61.

(71) 三、「勾股定理 4」作答分析. 表 4- 3「勾股定理 4」動畫之問卷作答情況有效百分比. 定理. 非常不同意 (1). 「勾股定理4」. 不同意. (2). 普通 (3). 同意. 非常同. (4). 意. (5). 題號. 題目. 1. 我看了此動畫，很快就能知道此動畫所想表達的數學證明。. 3.2. 25.8. 9.7. 48.4. 12.9. 2. 我看了此動畫，很快就能知道為什麼這個無字證明是正確的。. 6.5. 22.6. 16.1. 38.7. 16.1. 3. 經過老師講解後，我能明白為什麼這個無字證明是正確的。. 0.0. 6.5. 6.5. 41.9. 45.2. 4. 比起課本的證明，我比較喜歡這個無字證明。. 3.2. 6.5. 22.6. 29.0. 38.7. 5. 我認為我可以長時間記憶住這個無字證明。. 12.9. 9.7. 22.6. 45.2. 9.7. 6. 比起數學課本上的證明，此無字證明的動畫能引起我想學習數學證明的興趣。. 0.0. 12.9. 3.2. 22.6. 61.3. 表 4- 3. 62.

(72) 由表 4-3 的第一題與第二題分析中，約有 55-60%的學生都能清楚的知道動畫所想表達的數學證明，且能分辨其正確性，而不同意的人數則約有 30%，與前兩個動畫呈現的數據在 10%以下相比，此數據呈現學生對於此無字證明動畫的理解上相對困難，與學生的討論中發現，學生對於形狀的變形上面理解有困難。在第三題的分析中，再透過老師講解後，約有 87%的學生都能明白為什麼此證明是對的，且同意與非常同意的百分比增加了約 30%，似乎增加解釋會讓學生更容易接受此動畫。接著在第四題分析中，相較於課本代數證明，約有 67%的學生認為動畫的無字證明較令人喜歡，但在普通到不同意的百分比相較於前幾題比例偏高；接著第五題分析中，約有 55%的學生認為自己能夠長時間記住這個無字證明；最後第六題分析中，引起學生學習數學證明興趣的同意百分比與約為 84%，令人意外的是儘管理解上較前兩個動畫困難，在第六題的百分比卻與第一個動畫相同，比第二個動畫還要高。. 63.

(73) 四、「勾股定理 5」作答分析. 表 4- 4「勾股定理 5」動畫之問卷作答情況有效百分比. 定理. 非常不同意 (1). 「勾股定理5」. 不同意. (2). 普通 (3). 同意. 非常同. (4). 意. (5). 題號. 題目. 1. 我看了此動畫，很快就能知道此動畫所想表達的數學證明。. 3.2. 0.0. 9.7. 29.0. 58.1. 2. 我看了此動畫，很快就能知道為什麼這個無字證明是正確的。. 3.2. 0.0. 12.9. 22.6. 61.3. 3. 經過老師講解後，我能明白為什麼這個無字證明是正確的。. 0.0. 0.0. 9.7. 22.6. 67.7. 4. 比起課本的證明，我比較喜歡這個無字證明。. 0.0. 0.0. 9.7. 29.0. 61.3. 5. 我認為我可以長時間記憶住這個無字證明。. 0.0. 3.2. 29.0. 32.3. 35.5. 6. 比起數學課本上的證明，此無字證明的動畫能引起我想學習數學證明的興趣。. 0.0. 0.0. 3.2. 25.8. 71.0. 表 4- 4. 64.