1. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。 一、國文成績或英文成績 70 分(含)以上； 二、數學成績及格。 已知小文上學期國文 65 分，而且他不符合選模範生資格。請問下列哪一格選項的推論是 正確的？ (1) 小文的英文成績未達 70 分 (2) 小文的數學成績不及格 (3) 小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格 (4) 小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (5) 小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格 Ans：(5) 【詳解】 他英文成績須要 70 分以上，且數學成績要 60 分以上， 因他沒參選資格，故至少其中一科未達標準， 即他英文未達 70 分或數學成績不及格(未達 60 分)， 故選(5) 【備註】～(pq)≡(pq) 2. 令 a＝ 10 9 2.6 2.6 ，b＝ 11 10 2.6 2.6 ，c＝ 11 9 2.6 2.6 2 。請選出正確的大小關係。 (1) a＞b＞c，(2) a＞c＞b，(3) b＞a＞c，(4) b＞c＞a，(5) c＞b＞a
Ans：(4) 【詳解】 2a－2c＝2.69 (2×2.6－2－2.62 ＋1)＜0，故 a＜c。 2b－2c＝2.69 (2×2.62 －2×2.6－2.62 ＋1)≒2.56＞0，故 b＞c， 故得 b＞c＞a。 k= 2.6 9 10 11 y= 5429.5037 14116.71 36703.445 a= 8687.2059 b= 22586.735 c= 15636.971
3. 袋子裡有 3 顆白球，2 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 1 顆球，抽取後不放回。 若每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條 件機率為何？ (1) 1 3，(2) 5 12，(3) 1 2，(4) 3 5，(5) 2 3 Ans：(3) 【詳解】 P(丙白︱甲乙同色) ＝ 3 2 1 2 1 2 2 1 4 1 5 4 3 5 4 20 20 3 2 2 1 6 2 8 2 5 4 5 4 20 。 4. 已知以下各選項資料的迴歸直線(最適合直線)皆相同且皆為負相關， 請選出相關係數最小的選項。 Ans：(5) 【詳解】 相關係數最小表示三點愈接近迴歸線，故選(5)。 【另解】
x y 離差x 離差y 平方x 平方y xy r(1)= -0.2 2 7 -1.333 2 1.778 4 -2.7 r(2)= -0.3 3 4 -0.333 -1 0.111 1 0.3 r(3)= -0.7 5 4 1.667 -1 2.778 1 -1.7 r(4)= -0.3 3.3 5 0 0 4.667 6 -4 r(5)= -0.8 2.16 2.449 相關係數 -0.8 由上 EXCEL 計算得 r1＝0.2，r2＝0.3，r3＝0.7，r4＝0.3，r5＝0.8。 5. 將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裝 奇數顆。請選出分裝的方法數。 (1) 55，(2) 66，(3) 132，(4) 198，(5) 253 Ans：(2) 【詳解】 設黃色籃子裝 x 顆雞蛋， 綠色籃子裝 y 顆雞蛋， 紅色籃子裝 z 顆雞蛋，則 x＋y＋z＝24，且 x，y 為奇數。 x＝1，則 y＝1，3，……，21，共 11 種裝法， x＝3，則 y＝1，3，……，19，共 10 種裝法， x＝5，則 y＝1，3，……，17，共 9 種裝法， ……… x＝21，則 y＝1，共 1 種裝法， 故共有 1＋2＋3＋……＋11＝66 種裝法。 6. 莎韻觀測遠方等速垂直上升的熱氣球。在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30，到上午 10： 10 仰角變成 34。請利用下表判斷到上午 10：30 時，熱氣球的仰角最接近下列哪一個角 度。 (1) 39，(2) 40，(3) 41，(4) 42，(5) 43 Ans：(3) 【詳解】 如下圖，B( 3 ，1)，C( 3 ，1＋x)，D( 3 ，1＋3x)。
tan34＝1 3 x x＝ 3 ･tan34－1 tanx∠AOD＝1 3 3 x ＝1 3( 3 0.675 1) 3 ≒1 3 0.1691 1.5037 0.8682 1.732 1.732 ， 查表得∠AOD≒41。 1.5 1 0.5 1 2 3 4 2x x mEOD = 41.1 mEOC = 34.0 Show Objects A D B O C 7. 設 n 為正整數，符號 1 1 0 2 n 代表矩陣 1 1 0 2 自乘 n 次， 令 1 1 0 2 n ＝ n n n n a b c d ，請選出正確選項 (1) a2＝1 (2) a1，a2，a3為等比數列 (3) d1，d2，d3為等比數列 (4) b1，b2，b3為等差數列 (5) c1，c2，c3為等差數列 Ans：(1)(2)(3)(5) 【詳解】 A＝ 1 1 0 2 ，a1＝1，b1＝1，c1＝0，d1＝2。 A2 ＝ 1 1 0 2 ･ 1 1 0 2 ＝ 1 3 0 4 ，a2＝1，b2＝3，c1＝0，d2＝4。
A3 ＝ 1 3 0 4 ･ 1 1 0 2 ＝ 1 7 0 8 ，a3＝1，b3＝7，c3＝0，d3＝8。 (1) a2＝1 (2) a1，a2，a3成等比，公比為 1 (3) d=1，d2，d3成等比，公比為 2 (4) b1，b2，b3不成等差，也不成等比 (5) c1，c2，c3成等差，公差為 0 8. 設 a＞1＞b＞0，關於下列不等式，請選出正確的選項。 (1) (a)7＞(a)9，(2) b9＞b7，(3) 10 1 log a＞ 10 1 log b，(4) log 1a ＞log 1b ， (5) logab ≧ logba Ans：(1)(2) 【詳解】 (1) 對 (2) 對 (3) a＞1＞b 1 a＜1＜ 1 b 10 1 log a ＜0＜ 10 1 log b (4) log 1 log 1 0a b (5) a= 1.1 b= 0.1 -24.1589 -0.04139 -24.1175 前者 後者 9. 設 a＜b＜c。已知實係數多項式函數 y＝f(x)的圖形為一開口向上的拋物線，且與 x 軸交 於(a，0)，(b，0)兩點；實係數多項式函數 y＝g(x)的圖形亦為一開口向上的拋物線，且 與 x 軸交於(b，0)，(c，0)兩點。請選出 y＝f(x)＋g(x)的圖形可能的選項。 (1) 水平直線 (2) 和 x 軸僅交於一點的直線 (3) 和 x 軸無交點的拋物線 (4) 和 x 軸僅交於一點的拋物線 (5) 和 x 軸交於兩點的拋物線 Ans：(4)(5) 【詳解】 f(x)＝p(x－a)(x－b)，p＞0， g(x)＝q(x－b)(x－c)，q＞0， y＝h(x)＝f(x)＋g(x) h(x)＝(x－b)[p(x－a)＋q(x－c)] h(x)＝(x－b)[(p＋q)x－(a＋c)]＝0 必有兩個實根，但可能是重根，
(4) y＝h(x)可能是與 x 軸相切的拋物線。 (5) y＝h(x)可能是與 x 軸交於兩點的拋物線。 10. 坐標平面上考慮兩點 Q1(1，0)和 Q2(1，0)。在下列各方程式的圖形中， 請選出其上至少有一個點 P 滿足PQ ･1 PQ ＜0 的選項。 2 (1) y＝1 2，(2) y＝x 2＋1，(3) x2＋2y2＝1，(4) 4x2＋y2＝1，(5) 2 2 1 2 2 x y Ans：(1)(3)(4) 【詳解】 1 PQ ･PQ ＜0，表兩向量的夾角大於 902 。 2 -2 (1) Q2 Q1 P 2 -2 (2) f x = x2+1 Q2 Q1 2 (3) Q2 Q1 2 -2 (4) Q2 Q1 2 -2 (5) Q2 Q1 11. 設 F1，F2為橢圓Γ的兩個焦點。S 為以 F1為中心的正方形(S 的各邊可不與Γ的 對稱軸平行)。試問 S 可能有幾個頂點落在Γ上？ (1) 1，(2) 2，(3) 3，(4) 4，(5) 0 Ans：(1)(2)(5) 【詳解】 F1 F2 F1 F2 F2 F1
12. 設實數組成的數列＜an＞是公比為0.8 的等比數列，實數組成的數列＜bn＞是 首項為 10 的等差數列。已知 a9＞b9且 a10＞b10。請選出正確的選項。 (1) a9×a10＜0，(2) b10＞0，(3) b9＞b10，(4) a9＞a10，(5) a8＞b8 Ans：(1)(3) 【詳解】 設<bn>的公差為 d， b10＝10＋9d＜0 d＜ 10 9 . (1) a9･a10＝(a9)2･(8)＜0。 (2) 不一定，例如取 a1＝40，d＝2。 (3) 公差至少小於1。 (4) 不一定，例如取 a1＝2，d＝2。 (5) 不一定，例如取 a1＝40，d＝2。 r= -0.8 d= -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a(n) -2 1.6 -1.3 1 -0.8 0.7 -0.5 0.4 -0.3 0.3 -0.2 0.2 -0.1 0.1 b(n) 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 A. 設 k 為一整數。已知 3 k ＜ 31 ＜ 1 3 k ，則 k＝__________。 Ans：16 【詳解】 3 k ＜ 31 ＜ 1 3 k k＜3 31 ＜k＋1 k＜3×5.57＝16.71＜k＋1 取 k＝16。
B. 設 a，b 為實數且(a＋bi)(2＋6i)＝80，其中 i2＝1。則(a，b)＝__________。
Ans：a＝4，b＝12 【詳解】
(a＋bi)(2＋6i)＝80
2a－6b＝80，6a＋2b＝0 a＝3b－40，b＝3a
a＝3(3a)－40 a＝4，b＝12。 C. 坐標平面中 A(a，3)，B(16，b)，C(19，12)三點共線。已知 C 不在 A，B 之間，且AC ： BC ＝3：1，則 a＋b＝_______。 Ans：19 【詳解】 AC ： BC ＝3：1 AB ＝2･BC (16－a，b－3)＝2(19－16，12－b) 16－a＝6，b－3＝2(12－b) a＝10，b＝9 a＋b＝19。 D. 阿德賣 100 公斤的香蕉，第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部份，第二天降價為每公斤 36 元；第三天再降價為每公斤 32 元，到第三天全部賣完，三天所得共為 3720 元。假設 阿德在第三天所賣香蕉公斤數為 t，可算得第二天賣出香蕉的公斤數為 at＋b，其中 a＝__________，b＝__________。 Ans：a＝2，b＝70 【詳解】 設第一天賣 x 公斤，第一天賣 y 公斤，則 40x＋36y＋32(100－x－y)＝3720，即 8x＋4y＝520 或 2x＋y＝130。 t＝100－x－y y＝100－x－t＝100－(65－1 2y)－t 2y＝200－130＋y－2t y＝2t＋70 即 a＝2，b＝70。 E. 坐標平面上，一圓與直線 x－y＝1 以及直線 x－y＝5 所截的弦長皆為 14。則此圓的面積 為__________。 Ans：51
【詳解】 兩平行線的距離為 4 2 2 2 ， 故圓心到任一直線的距離為 2 。 如右圖， 半徑 AB ＝ 2 7 2 51， 故此圓面積為 51。 F. 令 A ， B 為坐標平面上兩向量。已知 A 的長度為 1， B 的長度為 2，且 A 和 B 之間 的夾角為 60。令 u ＝ A ＋ B ， v ＝x･ A ＋y･ B ，其中 x，y 為實數且符合 6≦x ＋y≦8 以及 2≦x－y≦0，則內積 u ･ v 的最大值為__________。 Ans：31 【詳解】 u ･ v ＝( a ＋ b )･(x a ＋y b ) ＝x･︱ a ︱2 ＋y･︱ b ︱2 ＋(x＋y)･ a ･ b ＝x＋4y＋(x＋y)･1･2･cos60 ＝x＋4y＋x＋y ＝2x＋5y， 當 x＝3，y＝5 時得 u ･ v ＝2x＋5y 的最大值為 31。 G. 設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8。已知外接圓圓心到AB 的距離為 2， 而到 BC 的距離為 7，則 AC ＝___________。(化成最簡根式) Ans：4 15 【詳解】 2 -2 -4 -6 5 2 7 C A B 5 4 3 2 D: (3.0, 3.0) C: (2.0, 4.0) B: (3.0, 5.0) A: (4.0, 4.0) D C B A
如下圖，sinα＝1 4，sinβ＝ 7 8， 得 cosα＝ 15 4 ，cosβ＝ 15 8 。 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝1 15 15 7 8 15 15 4 8 4 8 32 4 。 由正弦定理 2 sin( ) AC R ，得 AC ＝2R･sin(α＋β)＝2･8･ 15 4 ＝4 15。 8 7 2 E D O A B C H. 如下圖。在座標空間中，A，B，C，D，E，F，G，H 為正立方體的八個頂點， 已知其中四個頂點的座標為 A(0，0，0)(6，0，0)，D(0，6，0)及 E0，0，6)， P 在線段CG 上且 CP ： PG ＝1：5，R 在線段 EH 上且 ER ： RH ＝1：1，Q 在線段 AD 上。若空間中通過 P，Q，R 這三點的平面，與直線 AG 不相交，則 Q 點的 y 座標為______。(化成最簡分數) Ans：15 11
【詳解】 P(6，6，1)，R(0，3，6)，G(6，6，6)，設 Q(0，y，0)， PQ ＝(6，y－6，1)，PR ＝(6，3，5)， PQ × PR ＝(5y－33，36，6y－18)， 直線 AG 的方向向量為(6，6，6)， 如直線 AG 與平面 PQR 不相交， 則直線 AG 與平面 PQR 的法向量垂直，故 6(5y－33)＋6×36＋6(6y－18)＝0 5y－33＋36＋6y－18＝0 y＝15 11。
