Kalman Filter 與統計推論模式應用於公共工程底價
價格預測之研究
作者：林正紋1 黃志偉2 陳俊宇3 胡智淵 4 系級： 1 逢甲大學土木工程學系助理教授 2 逢甲大學土木工程學系研究所研究生 3 逢甲大學土木工程學系研究所研究生 4 逢甲大學土木工程學系研究所研究生 學號： 2 M9406413 3 M9485139 4 M9433394 開課老師：林正紋 老師 課程名稱：系統識別 開課系所：土木工程學系研究所 開課學年：九十四學年度 第二學期摘要
營造廠商為取得公共工程承攬權，大都必須參與競標，然而參與
競標並非免費的。營造廠商首先要支付圖說購買費用，經過估算後，
若決定投標則還要籌一筆押標金，雖然未得標時會退還押標金，但也
損失了不少利息、人力和時間。
我國公共工程招標，除採購法另有規定外，工程主辦機關需先訂
定底價。若底價訂得太低，將會造成流標；訂得太高，則有浪費公帑
的嫌疑，或造成得標廠商需繳交差額保證金。所以，工程主辦機關如
能彙整歸納先前工程案例紀錄，來預測即將參加投標工程之底價，將
可提供工程主辦機關訂定底價之參考。
本文採用 Kalman Filter 以及統計推論模式(發展出來之 Model
Refinement 程序)來預測底價，進而比較兩者預測之結果與其平均相
對誤差，以提供相關決策者之ㄧ參考數據。
目錄
Part I. Project Design 1
Part II. Data Collection and Organization 3
Part III. Data Analysis and Inference 6
k k k k k k
y
θ
θ
θ
Γ
=
Φ
=
+1Part I. Project Design
1. 目的與動機 [1]： 營造廠商為取得公共工程承攬權，大都必須參與競標，然而參與競標並非 免費的。營造廠商首先要支付圖說購買費用，經過估算後，若決定投標則還要籌 一筆押標金，雖然未得標時會退還押標金，但也損失了不少利息、人力和時間。 我國公共工程招標，除採購法另有規定外，工程主辦機關需先訂定底價。 若底價訂得太低，將會造成流標；訂得太高，則有浪費公帑的嫌疑，或造成得標 廠商需繳交差額保證金。所以，工程主辦機關如能彙整歸納先前工程案例紀錄， 來預測即將參加投標工程之底價，將可提供工程主辦機關訂定底價之參考。 2. 方法與項目： <方法一>
Base on Recursive Least-Square Approach (or on the Kalman Filter). [2] Estimation Model：
k
y ：the measurement vector at time kΔt Φ ：the observation matrix at time k kΔt k
θ ：the system’s parameter vector to be estimate Γ ：the system’s transfer matrix k
1 + k
W ：the weighting matrix 1 1 −
+ k
G ：the adaptation gain matrix
n n I × = Γ H =Im×m G1−1 =109In×n θˆ0 =10−4
{ }
I n×1 利用最後得到的參數帶入驗證模型以預測底價，並計算其平均相對誤差，採用 Matlab 7 及 Microsoft Excel 2003 兩套軟體做為分析工具。)
,
1
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1k
k
G
W
I
k
k
G
H
G
G
W
k
k
y
W
k
k
T k k k k k T k k k T k k k k k k k k k+
Γ
Φ
−
+
Γ
=
+
Φ
Φ
Φ
=
+
Γ
Φ
−
+
+
Γ
=
− − + − − + + − + + + − + + + + + +θ
θ
θ
<方法二>
利用 Multiple Regression [3] 和冪級數 [4] 以及 Model Refinement 程序來預 測工程之底價，採用 Stata 9 及 Microsoft Excel 2003 兩套軟體做為分析工具。
以底價金額(新台幣)為 response variable y，履約期限(日曆天)、押標金額(新 台幣)以及預算金額(新台幣)分別為 explanatory variable x1 x2 x3。 Power Series [4]：
∑
(x1+x2+x3)i 二次項： 2 1 4 x x = 、 2 2 5 x x = 、 2 3 6 x x = 、x7= x1*x2、x8= x1*x3、x9= x2*x3 三次項： 3 1 10 x x = 、 3 2 11 x x = 、 3 3 12 x x = 、x13= x12*x2、x14= x12*x3、 2 2 * 1 15 x x x = 、x16= x22*x3、 2 3 * 1 17 x x x = 、 2 3 * 2 18 x x x = 、x19= x1*x2*x3 Model Refinement 程序之刪除項標準：依序由最高次至低次項，且由整個次方項 至個別項。 o 1 R 之變化不減低 1% (即不小於或等於 0.0100 ) 2 o 2 所有之 P 值變化總和降低 (即變化總和小於 0 ) ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ ≥ ⇒ 保留 0 刪除 0 < 概要流程： 方法一： (a) 利用 Matlab 分析出來的結果預測驗證模型之底價並計算平均相對誤差。 方法二： (b) 考慮是否刪除線性項、觀察 P 值(依序由最高項刪至最低項)。 (c) power series 展開至三次項。 (d) 刪除三次項、(刪除個別項)。 (e) 刪除二次項、(刪除個別項)。 (f) 結論 (regression line)。 (g) 預測驗證模型之底價並計算平均相對誤差。 (h) 比較方法一與方法二之結果。 3. 樣本數目： 分析案例：82 筆 (開標日期自 2000/12/01 至 2002/03/31 止)。 驗證案例：30 筆 (開標日期自 2002/04/01 至 2002/05/31 止)。分析案例資料來源：我國政府採購資訊公告系統（http://web.pcc.gov.tw/）[5] 上公告之82 個預算金額在新台幣五千萬元（工程採購之查核金額）以下，且訂 有押標金額度之道路工程案例（工程名稱為『道路工程』之工程）為分析標的， 案例開標日期自 2000/12/01 至 2002/03/31 止。 y：底價金額(新台幣) x1：履約期限(日曆天) x2：押標金額(新台幣) x3：預算金額(新台幣)
驗證案例資料來源：我國政府採購資訊公告系統（http://web.pcc.gov.tw/）[5] 上公告之30 筆資料 (開標日期自 2002/04/01 至 2002/05/31 止)。
Part III. Data Analysis and Inference
<方法一> (a) Matlab分析出來之結果： 圖1 最後得到的參數(取最後一點的值)為： 3 . 743 1 = a a2 =2.253 a3 =0.7777 Regression Line [6]：yˆ=743.3*x1+2.253*x2+0.7777*x3表 1. 預測驗證模型之底價並計算其平均相對誤差 Case 底價金額 預測底價 相對誤差 Case 底價金額 預測底價 相對誤差 1 3000000 3062873 2.10% 16 1700000 1677551 1.32% 2 5500000 5862127 6.58% 17 1200000 1177937 1.84% 3 3000000 3315165 10.51% 18 530000 526075 0.74% 4 1800000 1803569 0.20% 19 2500000 2469941 1.20% 5 2100000 2220893 5.76% 20 6500000 6512930 0.20% 6 13600000 13402943 1.45% 21 37200000 36897414 0.81% 7 9100000 9349639 2.74% 22 42100000 41448916 1.55% 8 8300000 8700143 4.82% 23 35500000 35217127 0.80% 9 22000000 27728848 26.04% 24 6000000 6252070 4.20% 10 26700000 29881929 11.92% 25 9010000 8984688 0.28% 11 3260000 3155373 3.21% 26 14100000 13992947 0.76% 12 1512000 1542262 2.00% 27 13000000 13408913 3.15% 13 9150000 8713746 4.77% 28 20500000 20725250 1.10% 14 4200000 4158434 0.99% 29 4600000 5130743 11.54% 15 850000 842189.1 0.92% 30 27000000 24590208 8.93% 平均相對誤差： 4.08%
圖2 實際底價金額與預測底價金額之比較
<方法二> (b) 考慮是否刪除線性項： (1) 未刪除之前 . regress y x1 x2 x3 圖 4 0.9937 R2 = (2) 觀察圖４線性項(x1 ~ x3)的 P 值，其中 x1 之 P 值最高，因此試著刪除 x1，並 觀察 2 R 及 P 值的變化： . regress y x2 x3 圖 5 0.9937 R2 = (不變) P 值 x 項 刪除之前 刪除之後 x2 0.024 0.028 0.004 x3 0.000 0.000 0.000 P 值變化 0.004
(3) 觀察圖４線性項(x1 ~ x3)的 P 值，其中 x2 之 P 值為第二高，因此試著刪除 x2， 並觀察 2 R 及 P 值的變化： . regress y x1 x3 圖 6 0.9933 R2 = (降低 0.04%) P 值 x 項 刪除之前 刪除之後 x1 0.518 0.802 0.284 x3 0.000 0.000 0.000 P 值變化 0.284 P 值共提高 0.284，因此決定不刪除 x2。 (4) 觀察圖４線性項(x1 ~ x3)的 P 值，其中 x3 之 P 值為第三高，因此試著刪除 x3， 並觀察 2 R 及 P 值的變化： . regress y x1 x2 圖 7 0.9719 R2 = (降低 2.18%) 因此決定不刪除 x3。 加回 x3：
. regress y x1 x2 x3 圖 8 0.9937 R2 = (c) 展開至三次方：
∑
(x1+x2+x3)3 . regress y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 圖 9 0.9966 R2 =(d) 三次項 (1) 試著刪除三次項(x10 ~ x19)，並觀察R 及 P 值的變化： 2 . regress y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 圖 10 0.9954 R2 = (降低 0.12%) P 值 x 項 刪除之前 刪除之後 x1 0.663 0.667 0.004 x2 0.631 0.700 0.069 x3 0.065 0.000 -0.065 x4 0.660 0.081 -0.579 x5 0.961 0.005 -0.956 x6 0.706 0.101 -0.605 x7 0.888 0.693 -0.195 x8 0.855 0.394 -0.461 x9 0.811 0.032 -0.779 P 值變化 -3.567 P 值共降低 3.567，因此決定刪除三次項。 (e) 二次項 (1) 試著刪除二次項(x4 ~ x9)，並觀察R 及 P 值的變化： 2 . regress y x1 x2 x3
圖 11 0.9937 R2 = (降低 0.17%) P 值 x 項 刪除之前 刪除之後 x1 0.667 0.518 -0.149 x2 0.700 0.024 -0.676 x3 0.000 0.000 0.000 P 值變化 -0.825 P 值共降低 0.825，因此決定刪除二次項。 (f) 結論： 共刪除二次項(x4 ~ x9)及三次項(x10 ~ x19) 16 項 . regress y x1 x2 x3 圖 12 0.9937 R2 = Regression Line [6]：yˆ =−49351.26+1119.419*x1+2.185*x2+0.780*x3
(g) 預測： 表 2. 預測驗證模型之底價並計算其平均相對誤差 Case 底價金額 預測底價 相對誤差 Case 底價金額 預測底價 相對誤差 1 3000000 3.03E+06 0.93% 16 1700000 1.63E+06 3.94% 2 5500000 5.82E+06 5.86% 17 1200000 1.13E+06 5.55% 3 3000000 3.28E+06 9.37% 18 530000 4.91E+05 7.27% 4 1800000 1.78E+06 1.28% 19 2500000 2.44E+06 2.32% 5 2100000 2.21E+06 5.02% 20 6500000 6.49E+06 0.19% 6 13600000 1.34E+07 1.47% 21 37200000 3.69E+07 0.78% 7 9100000 9.36E+06 2.85% 22 42100000 4.15E+07 1.50% 8 8300000 8.70E+06 4.86% 23 35500000 3.52E+07 0.74% 9 22000000 2.77E+07 25.84% 24 6000000 6.24E+06 3.96% 10 26700000 2.99E+07 12.03% 25 9010000 8.99E+06 0.27% 11 3260000 3.12E+06 4.31% 26 14100000 1.40E+07 0.69% 12 1512000 1.51E+06 0.18% 27 13000000 1.34E+07 3.21% 13 9150000 8.68E+06 5.10% 28 20500000 2.07E+07 1.19% 14 4200000 4.15E+06 1.11% 29 4600000 5.11E+06 11.00% 15 850000 7.96E+05 6.34% 30 27000000 2.46E+07 8.90% 平均相對誤差： 4.60%
圖 13 實際底價金額與預測底價金額之比較 圖 14 各案例之相對誤差與平均相對誤差 (ｈ) 比較： 平均相對誤差 a0 a1 a2 a3 方法一 4.08 % 743.3 2.253 0.7777 方法二 4.60 % -49351.26 1119.419 2.1851 0.7805
Part IV. References
1. 虞順逸，「以回歸分析預測最低標之研究－以美國A+B競標法及我國道路工
程為例」－國立雲林科技大學營建工程系研究所碩士論文，雲林縣，(2002)。 2. Jeng-Wen Lin, Raimondo Betti, Andrew W. Smyth and Richard W. Longman
“On-line Identification of Non-linear Hysteretic Structural Systems Using a Variable Trace Approach,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 30, pp. 1279-1303 (2001).
3. Moore DS, McCabe GP, Introduction to the Practice of Statistics, W.H. Freeman and Company, New York (2005).
4. Lin JW, Betti R, “On-line Identification and Damage Detection in Non-linear Structural Systems Using a Variable Forgetting Factor Approach,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 33(4), pp. 419-444 (2004).
5. 我國政府採購資訊公告系統（http://web.pcc.gov.tw/）。
6. Masri SF, ”A Hybrid Parametric/Nonparametric Approach for the Identification of Nonlinear Systems,” Probabilistic Engineering Mechanics, Vol. 9, pp. 47-57 (1994).
