0101排列組合解答

排列組合 姓名 座號

一、單選題 (40 題)

（ ）1.設 n 為自然數，若(x  y)n_{依 x 的降冪展開式中，第 12} 項的係數與第 22 項的係數相等，則 n  (A)30 (B)31 (C)32 (D)33 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 依題意得 11 21 n n C C ，故 n  11  21  32 （ ）2.四對夫婦圍圓桌而坐，每對夫婦相對而坐的方法有 (A)120 種 (B)96 種 (C)72 種 (D)48 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 4 4! 1 1 2 6 16 48 4      2 2 可翻轉 夫先入座 （種） 每對夫婦均可交換 （ ）3.學校福利社賣 3 種飲料：牛奶、果汁、咖啡，高二勇 班 35 位同學一起前往福利社。若已知至少有 3 人想 喝咖啡，至少有 2 人不想喝任何飲料，問福利社阿姨 可端出幾種情形？ (A)3486 種 (B)4864 種 (C)5456 種 (D)6278 種 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 可視為 x  y  z  u  35，x  3，y  0，z  0，u  2 的 非負整數解 原式  (x  3)  y  z  (u  2)  30 ∴ 4 33 33 30 30 3 5456 H C C  （種） （ ）4.如下圖， 一棋盤式街道有直街 6 條、橫街 5 條，試問由 A 到 B 的捷徑中，不經過 C 點的走法有幾種？ (A)126 (B)96 (C)66 (D)60 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 不經過 C 點的走法  (全部走法)  (經過 C 點的走 法) (5 4)! (2 1)! (3 3)! 66 5! 4! 2!1! 3!3!        （種） （ ）5.若平面上有八點構成一八邊形，則其對角線共有 (A)20 條 (B)22 條 (C)24 條 (D)26 條 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 對角線個數 ( 3) 8 5 20 2 2 n n     【另解】 8 2 8 20 C   （ ）6.用 7 種不同顏色塗在下圖甲、乙、丙、丁、戊等五個 區域中， 若規定顏色不重複使用且每一區域只能塗滿一種顏 色，試問共可塗出幾種不同的著色樣式？（提示： 7 5 7 1 5 5 H C   ） (A) 7 5 P (B) 7 5 C (C) 7 5 H (D)75 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 依題意，顏色不重複，故塗法相當於由 7 種顏色取 5 種 的排列數，即 7 5 P 種 （ ）7.用 8 種不同的顏料塗下圖轉盤的六個區域，每個區域 顏色不得相同，塗法有 (A)3360 種 (B)3600 種 (C)3720 種 (D)3840 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 86 6! 28 5! 28 120 3360 6 C       （種） （ ）8.設 n  r，排列Pnr n n( 1)(n2) (n r 1)且 2 4 n P  ： 2 3 3 n P  ：2，則 2 3 2 2 2 n C C  C 之值為 (A)84 (B)86 (C)88 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 (n  2)(n  1)  n  (n  1)：2n(2n  1)(2n  2)  3：2 整 理得 (n  2)(n  1)：2(2n  1)  3：1  n2_ 3n  2  12n  6  n2_ 9n  8  0  (n  1)(n  8)  0  n  8 或 1（不合） ∴ 2 3 4 8 9 2 2 2 2 3 9! 84 3!6! C C C  C C   （ ）9.甲、乙、丙、……等 7 人圍一圓桌而坐，甲、乙必須

相鄰，但甲、丙不得相鄰的坐法有幾種？ (A)96 種 (B)144 種 (C)192 種 (D)288 種 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 將甲、乙視為一組，丙放入間隔中 4 1 5! 2! 24 2 4 192 5 C        丙有四種坐法 坐法 甲乙可互換 （種） （ ）10.甲、乙、丙 3 人在排成一列的 8 個座位中，選坐 3 個 相連的座位，其坐法共有幾種？ (A)48 種 (B)36 種 (C)24 種 (D)12 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ 三個相連的座位有 6 種情形 ∴ 6  3!  36（種） （ ）11.用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數（數字不可重 複），則全部四位數之總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 千位數字是 1 的情形有 6 種，是 2、3、4 的情形也均是 6 種 1 3  2  1 同理百位、十位、個位是 1、2、3、4 的情形均 6 種 ∴ 總和  (1  2  3  4)  (1000  100  10  1)  6  66660 （ ）12.方程式x2y3z8的非負整數解有幾組？ (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 z0時，x2y8，



x y,



有



0 , 4



，



2 , 3



，



4 , 2



，

 

6 , 1 ，



8 , 0



1 z 時，x2y5，



x y,



有

 

1 , 2 ，

 

3 , 1 ，



5 , 0



2 z 時，x2y2，



x y,



有

 

0 , 1 ，



2 , 0



∴ 共有5 3 2 10   組 （ ）13.(x2 _{ 1)  (x}2 _{ 1)}2 _{ ……  (x}2 _{ 1)}12_{展開式中，x}4_項 之係數為 (A)143 (B)286 (C)386 (D)486 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 因為是等比級數，故 原式 2 2 12 2 13 2 2 2 ( 1)[( 1) 1] ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x           原式中 x4_{項之係數即為(x}2_ 1)13展開式中 x6_項 13 2 3 10 6 10 ( ) 1 286 C x x     【另解】 2 3 4 12 13 2 2 2 2 3 286 C C C  C C  （ ）14.某次考試，由 10 題選做 8 題，但規定前 4 題至少做 3 題，則選法共有幾種？ (A)40 種 (B)25 種 (C)39 種 (D)50 種 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 前 4 題選 3 題，後 6 題選 5 題：C34C65   4 6 24 前 4 題選 4 題，後 6 題選 4 題： 4 6 4 4 1 15 15 C C    ∴ 共 24  15  39 種 （ ）15.(x  y  z  u)10_{展開後，共有幾個不同的項？ (A)432} (B)378 (C)360 (D)286 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 H104 C1310286（個） （ ）16.甲、乙兩地間有 10 條路，其中有 2 條是甲到乙的單 行道，有 3 條是乙到甲的單行道，某君開車從甲地到 乙地，再返回甲地，若規定往、返不走相同的路，則 走法有 (A)72 種 (B)56 種 (C)54 種 (D)51 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (1) 2 8 16 (2) 5 7 35        去 返 甲到乙地時走單行道 不走單行道 共 16  35  51 種 （ ）17.(71)72_{除以 100 之餘數為 (A)11 (B)21 (C)31} (D)41 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 利用二項式定理 7172 (70  1)72  72 72 72 71 72 70 72 2 72 72 0 70 1 70 2 70 7070 7170 72 100 C C C  C C C 可被 整除 ∴ 7172_{除以 100 之餘數，即為} 72 72 7170 72 5041 C C  除 以 100 之餘數 5041  100 之餘數為 41，則所求之餘數為 41 （ ）18.4 男 4 女圍一圓桌而坐，任二女均不相鄰之方法有幾 種？ (A)288 (B)144 (C)64 (D)128 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 4 男先坐，坐法有4! 3! 6 4   再將 4 女插入間隔，方法有 4!  24 ∴ 方法有 6  24  144 種 （ ）19.滿足 x  y  z  u  6 的正整數解有 (A)10 組 (B)15 組 (C)84 組 (D)210 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 x  y  z  u  6，x，y，z，u 為正整數  x  y  z  u  t  6 x，y，z，u 為正整數，t 為非負整數 ∴ 5 5 6 6 4 2 2 15 H _ H C  （組） （ ）20.山路 5 條，甲、乙 2 人由不同的路上、下山，且每人 都不由原路下山，則全部方法有 (A)260 種 (B)280 種 (C)320 種 (D)400 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 甲上山 方法 甲下山 方法 乙上山 方法 乙下山 方法 (1)乙由甲下山 路線上山 5  4  1  4  80 (2)乙不由甲下 山路線上山 5  4  3  3  180 ∴ 80  180  260（種） （ ）21.5 枝相同的鉛筆、6 枝相同的原子筆，全部分給甲、 乙 2 人，每人至少得 1 枝，方法有 (A)72 種 (B)70 種 (C)42 種 (D)40 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 每人至少得一枝  全部  甲沒拿到  乙沒拿到 2 2 6 7 5 6 1 1 5 6 2 42 2 40 H H C C           （種） （ ）22. 4 人圍圓桌而坐的方法有多少種？ (A) 4!種 (B) 3! 種 (C)4! 3!種 (D) 3! 3 種 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 即4人作環狀排列的排列數 有 4 4 1 4 3 2 1 3! 4 P 4       種 （ ）23.有 10 個選舉人，4 個候選人，以無記名方式投票，每 人 1 票，沒有廢票，其結果共有 (A)324 種 (B)286 種 (C)255 種 (D)210 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 H104 C1310C133 286（種） （ ）24.用 4 種不同的色筆將圖中的每個區域著色，規定相鄰 區域不同色，顏色可以重複使用，共有幾種著色方 法？ (A)48 (B)96 (C)432 (D)864 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 4 3 2 1 3 3 2      432 （ ）25.三位數中，偶數的共有 (A)500 個 (B)480 個 (C)450 個 (D)400 個 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 偶數者個位數必為 0、2、4、6、8 ∴ 三位數中，偶數的有 9  10  5  450（個） （ ）26.甲、乙兩地間有 12 條路，其中有 3 條是由甲到乙的 單行道，有 4 條是由乙到甲的單行道，某人開車由甲 地到乙地，再返回甲地，若規定往返不走相同的路， 則走法有幾種？ (A)35 (B)40 (C)62 (D)67 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (往、返不走相同的路的方法)  (全部走法)  (往、返走相同路的方法)  8  9  5  67 （種） （ ）27.桔子 5 個、蘋果 4 個、鳳梨 3 個，全部分給甲、乙 2 人，若每人至少得 1 個，則方法有 (A)119 種 (B)118 種 (C)60 種 (D)59 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 6 5 4 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 2 118 H H H  C C C       （種） （ ）28.依下列各條件將甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列， 何種條件下的排法最多？ (A)甲、乙相鄰 (B)丙、 丁不相鄰 (C)戊排首位 (D)乙不排首位 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 (A)4!  2!  48 (B)P42 3! 72 (C)4!  24 (D)5!  4!  120  24  96 （ ）29.某考試卷，規定由 6 題中任選 4 題作答，若指定前 2 題 一定須作答，則共有多少種選法？ (A) 6 種 (B)10 種 (C) 5 種 (D) 4 種 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 前2題一定要入選作答，方法只有1種， 再自剩下的4題中任選2題， 方法有 4 2 4! 6 2! 2! C   種 所以選法有1 6 6種 （ ）30.三位數的自然數中，至少含有一個數字「7」的有多 少個？ (A)343 個 (B)252 個 (C)352 個 (D)243 個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 至少含有一個數字 7 的個數  全部  都不含數字 7  9  10  10  8  9  9  900  648  252（個） （ ）31.如圖，若規定由 A 到 B 只能遵循↑、→、↓三種方向， 則全部有多少種走法？ (A)96 (B)97 (C)98 (D)99 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (3  4  2  4)  3  96  3  99 種 （ ）32.如圖，一棋盤式的街道有直街 4 條、橫街 3 條，則 A 到 B 的捷徑走法有幾種？（捷徑即只許向右、向上走） (A)35種 (B) 45 種 (C)10種 (D) 20 種 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 設向右走過一個街口，用「右」表示； 向上走過一個街口用「上」表示， 則A到B取捷徑的走法， 都由3個「右」及2個「上」排列而成 所以由A取捷徑到B的方法共有 5! 10 3! 2! 種 （ ）33.由 0，1，2，3，4，5，6 中任取相異三數作成三位數， 則不小於 340 的有多少個？ (A)105 個 (B)110 個 (C)115 個 (D)120 個 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 0，1，2，3，4，5，6 任取相異三數作成三位數的個數 有 6  6  5  180 個 1 1 開頭的有 6  5  30 2 2 開頭的有 6  5  30 30 30 開頭的有 5 個 31 31 開頭的有 5 個 32 32 開頭的有 5 個 ∴ 不小於 340 有 180  30  30  5  5  5  105 個 （ ）34.設 10 10 10 1 2 10 aC C  C ， 9 9 9 9 9 1 3 5 7 9 bC C C C C ，則 a  b  (A)1279 (B)1280 (C)1565 (D)1566 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ C100 C101 C102  C10102101024 ∴ a  1024  1  1023 9 8 2 2 256 2 b    a  b  1023  256  1279 （ ）35.假設 5 個人一起到冷飲店消費，該店共賣 3 種飲料， 這 5 人每人點一杯飲料，就這 5 個人而言，有幾種買 法？ (A)_{3 (B)}5 _{5 (C) 5! (D)}3 5 3 P 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 每個人有 3 種選擇，共有₃5_種 （ ）36.用 0、1、2、3、4、5、6 七個數字中任取二個排成二 位數，數字可重複，共有幾種不同的二位數？ (A)49 (B)42 (C)36 (D)30 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 6 7 42 （ ）37.平面上有相異的 3 個圓和 5 條直線，至多可形成幾個 交點？ (A)15 (B)30 (C)36 (D)46 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 圓與圓：C32 2 6 圓與直線： 3 5 1 1 2 30 C C   直線與直線： 5 2 1 10 C   ∴ 平面上 3 個圓，5 條直線，至多可形成 6  30  10  46 個交點 （ ）38.袋中裝有 12 個球，其中有 5 個黑球與 7 個白球，今 任意取出 5 個球為一組，其中至少有 3 個黑球的取法

有幾種？ (A)10 (B)210 (C)246 (D)792 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 C C35 27C C45 17C55246 （ ）39.某老師要請五位同學喝飲料，而福利社有賣 3 種飲料， 每種至少有 5 瓶，則老師去購買 5 瓶有幾種買法？ (A)60 (B)45 (C)21 (D)10 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 H5321 （ ）40.10 顆糖果全部分給甲、乙、丙三個兒童，每人至少得 2 顆的分法有幾種？ (A)66 (B)45 (C)15 (D)10 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 H4315

二、填充題 (22 格)

1.有 10 元鈔 2 張、50 元鈔 3 張、100 元鈔 4 張、1000 元鈔 1 張，則 付款方式共有(1)____________種，又可配成(2)____________種不 同的款項。 【龍騰自命題】 解答 (1)119;(2)71 解析 (1)10 元 2 張付款方式有 3 種──不付、付 1 張、付 2 張， 同理 50 元 4 種，100 元 5 種，1000 元 2 種，但須扣 除統統不付的情形 ∴ 3  4  5  2  1  120  1  119（種） (2)∵ 50 元 2 張  100 元 ∴ 原題視為 10 元 2 張，50 元 1 張，100 元 5 張， 1000 元 1 張 3  2  6  2  1  72  1  71（種） 2.(a  b  c  d)(e  f  g)(x  y  z  u  v)展開後，共可得 ____________個不同的項。 【龍騰自命題】 解答 60 3.方程式x2y10有____________組正整數解。 【隨堂測驗】 解答 4 解析 x2y10，其中x、y為正整數 因為y的係數最大，所以討論y1, 2, 3, 4 得解有

       

8,1 , 6, 2 , 4,3 , 2, 4 等四組正整數解 4.由 1、2、3、4 等四個數字排成四位數，其中大於 2300 者共有 ____________個。（數字不可重複） 【龍騰自命題】 解答 16 解析 千位放 3 或 4：2  3  2  1  12 千位放 2：1  2  2  1  4 ∴ 12  4  16（個） 5.5 個人中，恰有 2 人在同一月份出生，3 人在另一同月份出生的情 形有____________種。 【龍騰自命題】 解答 1320 解析 5 2 5 12 2 12 11 1320 C    一年有 另三人在 人中 個月 另一同月份 任選 人 （種） 6.甲家有 4 男 2 女，乙家有 3 男 3 女，則每家選出 4 人而成 5 男 3 女的方法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 93 解析 甲 乙 方法數 4 男 1 男 3 女 4 3 3 4 1 3 3 C C C  3 男 1 女 2 男 2 女 4 2 3 3 3 1 2 2 72 C C C C  2 男 2 女 3 男 1 女 4 2 3 3 2 2 3 1 18 C C C C  ∴ 3  72  18  93（種） 7.如下之街道圖中，由 A 到 B 的捷徑走法中，不經過 C 的方法有 ____________種。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 6 解析 AB：14（種） A C B：4 2 8（種） 所求(A到B的捷徑走法)(A經過C到B的捷徑走 法)  14 86（種） [另解] 將連至C的道路刪去 則A到B不經C的走法有6種 8.將 5 件不同的物品任取 3 件，分給 3 個兒童，每人恰得1件，方法 有____________種。

【隨堂測驗】 解答 60 解析 即自5件相異物中任取3件的排列數 故有 5 3 5 4 3 60 P     種 9.5 個人任意搭乘四部計程車，方法有(1)____________種，若規定 每部計程車至多只能搭載 4 個人，則方法有(2)____________種。 【龍騰自命題】 解答 (1)1024;(2)1020 解析 (1)45 _{1024（種）} (2)45 4  1020（種） 10. 5 (1 2 )x 1 x   展開式中，x2_{項的係數為____________。} 【龍騰自命題】 解答 80 解析 所求 x2_{項的係數，相當於(1}  _2x)5_{中 x}3_項的係數 即 5 3 3 2 10 8 80 C     11.甲、乙、丙、丁、戊五個人排成一列，甲不可排首位且乙不可排 末位的方法有____________種。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 78 解析 所求(任意排列數)(甲排首位的排列數)(乙排末位 的排列數) (甲排首位同時乙排末位的排列數)    5! 4! 4! 3! 78（種） 12.將 3 種酒倒入五個不同的酒杯中，每個酒杯只能倒入 1 種酒，共 有____________種倒法。 【龍騰自命題】 解答 243 13.將 5 個相同的蘋果，與 4 個相同的橘子，全部分給甲、乙 2 人， 每人可兼得，則分法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 30 解析 H25H42 C65C54C16C15 30（種） 14.有三艘不同的渡船，每艘最多可載 5 人，今有 6 人同時要過渡， 安全過渡的方法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 726 解析 安全過渡的方法  (任意坐法)  (6 人坐同一艘船的坐 法)  36 3  726 種 15.如圖所示，共有____________個平行四邊形。 【龍騰自命題】 解答 30 解析 C32C52  3 1030個 16.渡船有 3 艘，每艘最多可載 5 人，今有 7 人同時要過渡，安全過 渡的方法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 2142 解析 安全過渡  任意坐  (7 人同船)  (6 人同船，1 人落單)  7 7 3 1 2 6 1 1 1 3  3 [(C C ) ( C C )]2187 3 422142 種 17.由 1、2、3、4 四個數字中（數字可重複被取出），其可構成的三 位數有____________個。 【隨堂測驗】 解答 43（或64） 解析 因為有百位、十位、個位三個位置， 所以考慮每個位置的排法 每個位置均可由 1、2、3、4 四個數字任選其一排入 方法各有4種 故三位數共有_{4 4 4}  ₄3_64個 18.由 0、1、2、3 四個數字中（數字可重複被取出），其可構成的三 位數有____________個。 【隨堂測驗】 解答 48 解析 因為有百位、十位、個位三個位置，所以考慮每個位置 的排法 百位可由 1、2、3 選其一排入的方法有3種 另外十位、個位每個位置均可由 0、1、2、3 四個數字 任選其一排入 方法各有4種，故三位數共有3 4 4  48個 19.有 5 種不同的果汁，倒入 3 個相同的杯子中，每個杯子只能倒進 一種果汁，則倒法有____________種。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 35 解析 設每一種果汁倒的杯數分別為 1, 2, 3, 4, 5 x x x x x 則x₁x₂x₃x₄x₅ 3 其非負整數解有 3 5 1 7 3 3 35 C   C  組 故倒法有35種 20.利用二項式定理，寫出



xy



4的展開式為____________。 【隨堂測驗】 解答 x44x y3 6x y2 24xy3y4 解析





4 _{4 4}

 

0 _{4 3}

 

1 _{4 2}

 

2 0 1 2 xy C x y C x y C x y

 

3

 

4 4 1 4 0 3 4 C x y C x y     4 3 2 2 3 4 4 6 4 x x y x y xy y      21. 6 2 2 x x  _      展開式中，常數項為____________。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 60 解析 一般項為

6 6 2 2 k k k C x x        6 6 k ₂k 2k k C x  x     6 ₂k 6 3k k C x     令6 3 k0，得k2 故常數項為 6 2 2 2 15 4 60 C     22.設n為自然數，若



a b



n依a的降冪展開式中，第 3 項的係數和 第 5 項的係數比為1 : 6 ，則n____________。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 11 解析 依題意 2 : 4 1 : 6 n n C C   6_C2n_C4n  6



1





1

 

2

 

3



2 1 4 3 2 1 n n n n  n  n        72



n 2

 

n3



 2 5 66 0 n  n  



n11



n6



0  n11或6 ∵ n為自然數 ∴ n11

三、計算題 (20 小題)

1.試求 20 的正因數個數有幾個？ 【隨堂測驗】 解答 6個 解析 將20因式分解得₂₀ ₂2 ₅1 所以20的正因數必可表示成2x5y 其中x0, 1, 2且y0, 1 即2的指數有3種取法，5的指數有2種取法 由乘法原理得20的正因數有3 2 6個 2.試求方程式 x  y  z  u  10 的 (1)非負整數解有多少組？ (2)正整數解有多少組？ 【課本練習題-例題】 解答 (1)286 組;(2)84 組 解析 (1)由重複組合數的結論 可得其非負整數解的組數有 104 10 4 110 1310 133 13 12 11 286 3 2 1 H C   C C       （組）。 (2)因為 x  1，y  1，z  1，u  1， 所以令 x'  x  1  0，y'  y  1  0，z'  z  1  0，u'  u  1  0， 則 x  y  z  u  10 的正整數解組數相當於 (x'  1)  (y'  1)  (z'  1)  (u'  1)  10， 即 x'  y'  z'  u'  6 的非負整數解組數， 故其組數為 4 6 4 1 9 9 6 6 6 3 9 8 7 84 3 2 1 H C   C C       （組）。 3.將「 32111」五個數字作直線排列，若三個「1」字兩兩不相鄰， 則其排法各有多少種？ 【隨堂測驗】 解答 2種 解析 (1)將「3、2」先排，方法有2! 2 種， 且形成3個空隙 (2)在「3、2」間所形成的3個空隙中， 排入三個「1」，方法有 3 3 ₁ 3! P _ 種 由(1)(2)，利用乘法原理得方法共有2 1 2  種 4.某次棒球比賽，規定每支球隊必須和其他所有球隊各比賽一場， 若賽程總計有 78 場，試問參賽隊伍共有多少支？ 【課本練習題-例題】 解答 13 解析 設參賽隊伍共有 n 支，其中 n 為正整數。 因為每兩支隊伍均須比賽一場，所以賽程共有 ₂n C 場， 即C₂n 78，得 ( 1) 78 2 n n _ ， 上式可化為 n2 _n  ₁₅₆  _{0，分解得(n}  _13)(n  ₁₂₎  _0， 即 n  13 或 n  12，但 n 為正整數，故 n  13。 5.試求下列各式中的自然數 n 之值： (1) 8 12 n n C C (2) 1 3 3 15Cn  2 Pn 【課本練習題-隨堂練習】 解答 (1)n  20;(2)n  14 解析 (1)由 8 12 n n C C ，得 n _{8 12}n n C _ C ，即 n  8  12，故 n  20。 (2)原式化為 ( 1) ( 2) 15 2 ( 1) ( 1) 3 2 1 n n n n n n              ，n  3， 化簡上式得 5n  10  4n  4，故 n  14。

6.由相異的 6 本書中，至少取一本來閱讀，試問其方法有幾種？ 【課本練習題-習題】 解答 63 種 解析 每一本均可分「取」與「不取」兩種，故至少取一本的 方法有 26_ 1  63（種）。 7.若 2 2 5 120 4 n n P   C  ，試求自然數 n 之值。 【課本練習題-習題】 解答 n  7 解析 原式化為(n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2) 120 ( 2) ( 1) ( 1) 4 3 2 1 n     n n n      ，n  3， 整理得 n  2  5，即 n  7。 8.設由 A 到 B 的街道，如下圖所示，有直街 7 條、橫街 4 條，試問 由 A 取捷徑到 B 的方法共有幾種？ 【課本練習題-隨堂練習】 解答 84 種 解析 每一個由 A 到 B 的捷徑都是由 6 個「右」及 3 個「下」 排列而成， 故走法有(6 3)! 84 6!3!   （種）。 9.因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供水，試問自來水公司有多少種選擇方式？ 【課本練習題-習題】 解答 21 種 解析 即自 7 天中任選 2 天的組合數為 72 7 6 21 2 1 C     （種）。 10.不定方程式 x  y  z  u  12，試求下列情形各有幾組解？ (1) 正奇數解 (2)x  1，y  2，z  3，u  4 的整數解。 【龍騰自命題】 解答 (1)35 組;(2)10 組 解析 (1)設 x  2k  1，y  2m  1，z  2n  1，u  2l  1 原式  k  m  n  l  4，k、m、n、l 為非負整數， 4 7 4 4 35 H C  （組） (2)令 x  t  1，y  s  2，z  v  3，u  w  4 原式  t  s  v  w  2，t、s、v、w 為非負整數， 4 5 2 2 10 H C  （組） 11.試求[2x  (3y  z)2 ]6展開式中，x3 y2z4項的係數。 【龍騰自命題】 解答 21600 解析 [2x  (3y  z)2]6展開後的一般項為 6 2 6 (2 )k [(3 ) ] k k C  x  yz  其中 x3 y2z4為 k  3 時展開所得 又(3y  z)6的一般項為 6 6 (3 )r ( ) r r C  y  z  當 r  2 時可得 y2z4項 故 x3 y2z4項係數為 6 3 6 2 4 3 2 2 3 ( 1) 21600 C  C     12.假設在招呼站有三輛計程車，每輛至多可搭乘 4 位客人，現招呼 站來了 5 位要搭乘計程車的旅客，試問共有幾種不同的載客方式？ 【課本練習題-習題】 解答 240 種 解析 5 人任意搭乘三輛計程車的方法有 35 243 種， 5 人搭同一輛車的方法有 3 種，故所求方法數共有 243  3  240 種。 13.試求 360 的正因數中，可被30整除的個數。 【隨堂講義-進階題-學生練習】 解答 6 個 解析 360  23 32 5 360的正因數必為2x 3y 5z的形式 正因數中，若可被30整除，即為30的倍數，又 30  2 3 5，因此， x可為1、2、3，三種情形 y可為1、2，二種情形

z可為1，一種情形 由乘法原理得，有3 2 1 6   個 14.如下圖所示： (1)由 A 至 B 取捷徑，其走法有幾種？ (2)又由 A 經 C 至 B 的走法 有幾種？ 【龍騰自命題】 解答 (1)126 種;(2)60 種 解析 (1) 9! 126 5! 4!  （種） (2)A→C→B 5! 4! 10 6 60 3! 2! 2! 2!    （種） 15.(1)求 1 10 (x ) x  的 x4_{項係數。 (2)求} 1 9 (2 ) 3 x x  的 x3_項係數。 (3)求(2x2 3)6 x  的常數項。 【高手挑戰（105 新命題）】 解答 (1)120;(2) 1792 9  ;(3)4860 解析 (1) 103 7 3 1 ( ) C x x   10 3 120 C  (2) 93 6 3 1 (2 ) ( ) 3 C x x   9 6 3 3 1 1792 2 ( ) 3 9 C      (3) 64 2 2 4 3 (2 ) ( ) C x x  6 4 4 4 3 4860 C    16.「papaya」一字的字母全取排列，任 2 個「a」均不相鄰的排法 有幾種？ 【龍騰自命題】 解答 12 種 解析 p、p、y 先排，其排列數為3! 3 2!  另 4 個間隔○，選 3 個排 a，方法有 4 3 4 C  （種） ∴ 所求排法有 3  4  12（種） 17.平面上相異 10 點，其中 A、B、C、D 四點共線，其餘無三點共 線，試求： (1)可連成多少條直線？ (2)可構成多少個三角形？ 【龍騰自命題】 解答 (1)40 條;(2)116 個 解析 (1)平面上，任意相異兩點可決定一條直線 ∴ 所求 10 4 2 2 1 45 6 1 40 C C        條 (2)平面上，任意不共線的三點可決定一個三角形 ∴ 所求 10 4 3 3 120 4 116 C C      個 18.從 4、5 、6、7、8 、9 六個數字中，任取 3 個相異數字，試問： (1)可排成幾個三位數？ (2)其中偶數有多少個？ 【隨堂講義-基本練習題-學生練習】 解答 (1)120 個;(2)60 個 解析 (1) 百 十 個 6 3 6  5  4 P 120（個） (2)P13P52   3 5 4 60（個） 百、十的排法 個位數字為 4 或 6 或 8 19.試求(2x  y)5_{依 x 的降冪展開式中} (1)第三項。 (2)x2y3項的係數。 【基礎練習（仿課本例題）】 解答 (1)80x3y2;(2)40 解析 (1)由二項式定理中第 k  1 項（一般項）的公式，可得 第三項為 5 3 2 2(2 ) C x y  80x3y2。 (2)x2y3項為 5 2 3 2 3 3(2 ) 40 C x y  x y ，得其係數為 40。

20.三男三女圍圓桌而坐，若男女相間隔，則坐法有多少種？ 【隨堂講義-進階題-學生練習】 解答 12種 解析 女生先入坐，方法有



3 1 ! 2! 2



  種 男生安插空位，方法有 3 3 3! 6 P   種 由乘法原理，共有2 6 12  種