0101排列組合解答

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排列組合 姓名 座號

一、單選題 (40 題)

( )1.設 n 為自然數,若(x  y)n依 x 的降冪展開式中,第 12 項的係數與第 22 項的係數相等,則 n  (A)30 (B)31 (C)32 (D)33 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 依題意得 11 21 n n CC ,故 n  11  21  32 ( )2.四對夫婦圍圓桌而坐,每對夫婦相對而坐的方法有 (A)120 種 (B)96 種 (C)72 種 (D)48 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 4 4! 1 1 2 6 16 48 4      2 2 可翻轉 夫先入座 (種) 每對夫婦均可交換 ( )3.學校福利社賣 3 種飲料:牛奶、果汁、咖啡,高二勇 班 35 位同學一起前往福利社。若已知至少有 3 人想 喝咖啡,至少有 2 人不想喝任何飲料,問福利社阿姨 可端出幾種情形? (A)3486 種 (B)4864 種 (C)5456 種 (D)6278 種 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 可視為 x y z u 35,x 3,y 0,z 0,u  2 的 非負整數解 原式  (x  3)  y z (u  2)  30 ∴ 4 33 33 30 30 3 5456 HCC  (種) ( )4.如下圖, 一棋盤式街道有直街 6 條、橫街 5 條,試問由 A 到 B 的捷徑中,不經過 C 點的走法有幾種? (A)126 (B)96 (C)66 (D)60 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 不經過 C 點的走法  (全部走法)  (經過 C 點的走 法) (5 4)! (2 1)! (3 3)! 66 5! 4! 2!1! 3!3!        (種) ( )5.若平面上有八點構成一八邊形,則其對角線共有 (A)20 條 (B)22 條 (C)24 條 (D)26 條 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 對角線個數 ( 3) 8 5 20 2 2 n n     【另解】 8 2 8 20 C   ( )6.用 7 種不同顏色塗在下圖甲、乙、丙、丁、戊等五個 區域中, 若規定顏色不重複使用且每一區域只能塗滿一種顏 色,試問共可塗出幾種不同的著色樣式?(提示: 7 5 7 1 5 5 HC   ) (A) 7 5 P (B) 7 5 C (C) 7 5 H (D)75 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 依題意,顏色不重複,故塗法相當於由 7 種顏色取 5 種 的排列數,即 7 5 P 種 ( )7.用 8 種不同的顏料塗下圖轉盤的六個區域,每個區域 顏色不得相同,塗法有 (A)3360 種 (B)3600 種 (C)3720 種 (D)3840 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 86 6! 28 5! 28 120 3360 6 C       (種) ( )8.設 n  r,排列Pnrn n( 1)(n2) (n r 1)且 2 4 n P  : 2 3 3 n P  :2,則 2 3 2 2 2 n CC  C 之值為 (A)84 (B)86 (C)88 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 (n 2)(n  1)  n (n 1):2n(2n 1)(2n  2)  3:2 整 理得 (n 2)(n 1):2(2n  1)  3:1  n2 3n  2  12n  6  n2 9n  8  0  (n 1)(n  8)  0  n  8 或 1(不合) ∴ 2 3 4 8 9 2 2 2 2 3 9! 84 3!6! CCC  CC   ( )9.甲、乙、丙、……等 7 人圍一圓桌而坐,甲、乙必須

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相鄰,但甲、丙不得相鄰的坐法有幾種? (A)96 種 (B)144 種 (C)192 種 (D)288 種 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 將甲、乙視為一組,丙放入間隔中 4 1 5! 2! 24 2 4 192 5 C        丙有四種坐法 坐法 甲乙可互換 (種) ( )10.甲、乙、丙 3 人在排成一列的 8 個座位中,選坐 3 個 相連的座位,其坐法共有幾種? (A)48 種 (B)36 種 (C)24 種 (D)12 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ 三個相連的座位有 6 種情形 ∴ 6  3!  36(種) ( )11.用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數(數字不可重 複),則全部四位數之總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 千位數字是 1 的情形有 6 種,是 2、3、4 的情形也均是 6 種 1 3  2  1 同理百位、十位、個位是 1、2、3、4 的情形均 6 種 ∴ 總和  (1  2  3  4)  (1000  100  10  1)  6  66660 ( )12.方程式x2y3z8的非負整數解有幾組? (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 z0時,x2y8,

x y,

0 , 4

2 , 3

4 , 2

 

6 , 1 ,

8 , 0

1 z 時,x2y5,

x y,

 

1 , 2 ,

 

3 , 1 ,

5 , 0

2 z 時,x2y2,

x y,

 

0 , 1 ,

2 , 0

∴ 共有5 3 2 10   組 ( )13.(x2  1)  (x2  1)2  ……  (x2  1)12展開式中,x4 之係數為 (A)143 (B)286 (C)386 (D)486 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 因為是等比級數,故 原式 2 2 12 2 13 2 2 2 ( 1)[( 1) 1] ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x           原式中 x4項之係數即為(x2 1)13展開式中 x6 13 2 3 10 6 10 ( ) 1 286 C x x     【另解】 2 3 4 12 13 2 2 2 2 3 286 CCC  CC  ( )14.某次考試,由 10 題選做 8 題,但規定前 4 題至少做 3 題,則選法共有幾種? (A)40 種 (B)25 種 (C)39 種 (D)50 種 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 前 4 題選 3 題,後 6 題選 5 題:C34C65   4 6 24 前 4 題選 4 題,後 6 題選 4 題: 4 6 4 4 1 15 15 CC    ∴ 共 24  15  39 種 ( )15.(x  y  z  u)10展開後,共有幾個不同的項? (A)432 (B)378 (C)360 (D)286 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 H104 C1310286(個) ( )16.甲、乙兩地間有 10 條路,其中有 2 條是甲到乙的單 行道,有 3 條是乙到甲的單行道,某君開車從甲地到 乙地,再返回甲地,若規定往、返不走相同的路,則 走法有 (A)72 種 (B)56 種 (C)54 種 (D)51 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (1) 2 8 16 (2) 5 7 35        去 返 甲到乙地時走單行道 不走單行道 共 16  35  51 種 ( )17.(71)72除以 100 之餘數為 (A)11 (B)21 (C)31 (D)41 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 利用二項式定理 7172 (70  1)72  72 72 72 71 72 70 72 2 72 72 0 70 1 70 2 70 7070 7170 72 100 CCC  CCC 可被 整除 ∴ 7172除以 100 之餘數,即為 72 72 7170 72 5041 CC  除 以 100 之餘數 5041  100 之餘數為 41,則所求之餘數為 41 ( )18.4 男 4 女圍一圓桌而坐,任二女均不相鄰之方法有幾 種? (A)288 (B)144 (C)64 (D)128 【龍騰自命題.】 解答 B

(3)

解析 4 男先坐,坐法有4! 3! 6 4   再將 4 女插入間隔,方法有 4!  24 ∴ 方法有 6  24  144 種 ( )19.滿足 x  y  z  u  6 的正整數解有 (A)10 組 (B)15 組 (C)84 組 (D)210 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 x y z u 6,x,y,z,u 為正整數 x y z u t  6 x,y,z,u 為正整數,t 為非負整數 ∴ 5 5 6 6 4 2 2 15 H HC  (組) ( )20.山路 5 條,甲、乙 2 人由不同的路上、下山,且每人 都不由原路下山,則全部方法有 (A)260 種 (B)280 種 (C)320 種 (D)400 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 甲上山 方法 甲下山 方法 乙上山 方法 乙下山 方法 (1)乙由甲下山 路線上山 5  4  1  4  80 (2)乙不由甲下 山路線上山 5  4  3  3  180 ∴ 80  180  260(種) ( )21.5 枝相同的鉛筆、6 枝相同的原子筆,全部分給甲、 乙 2 人,每人至少得 1 枝,方法有 (A)72 種 (B)70 種 (C)42 種 (D)40 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 每人至少得一枝  全部  甲沒拿到  乙沒拿到 2 2 6 7 5 6 1 1 5 6 2 42 2 40 H H C C           (種) ( )22. 4 人圍圓桌而坐的方法有多少種? (A) 4!種 (B) 3! 種 (C)4! 3!種 (D) 3! 3 種 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 即4人作環狀排列的排列數 有 4 4 1 4 3 2 1 3! 4 P 4       種 ( )23.有 10 個選舉人,4 個候選人,以無記名方式投票,每 人 1 票,沒有廢票,其結果共有 (A)324 種 (B)286 種 (C)255 種 (D)210 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 H104 C1310C133 286(種) ( )24.用 4 種不同的色筆將圖中的每個區域著色,規定相鄰 區域不同色,顏色可以重複使用,共有幾種著色方 法? (A)48 (B)96 (C)432 (D)864 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 4 3 2 1 3 3 2      432 ( )25.三位數中,偶數的共有 (A)500 個 (B)480 個 (C)450 個 (D)400 個 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 偶數者個位數必為 0、2、4、6、8 ∴ 三位數中,偶數的有 9  10  5  450(個) ( )26.甲、乙兩地間有 12 條路,其中有 3 條是由甲到乙的 單行道,有 4 條是由乙到甲的單行道,某人開車由甲 地到乙地,再返回甲地,若規定往返不走相同的路, 則走法有幾種? (A)35 (B)40 (C)62 (D)67 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (往、返不走相同的路的方法)  (全部走法)  (往、返走相同路的方法)  8  9  5  67 (種) ( )27.桔子 5 個、蘋果 4 個、鳳梨 3 個,全部分給甲、乙 2 人,若每人至少得 1 個,則方法有 (A)119 種 (B)118 種 (C)60 種 (D)59 種 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 6 5 4 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 2 118 HHH  CCC       (種) ( )28.依下列各條件將甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列, 何種條件下的排法最多? (A)甲、乙相鄰 (B)丙、 丁不相鄰 (C)戊排首位 (D)乙不排首位 【龍騰自命題.】 解答 D

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解析 (A)4!  2!  48 (B)P42 3! 72 (C)4!  24 (D)5!  4!  120  24  96 ( )29.某考試卷,規定由 6 題中任選 4 題作答,若指定前 2 題 一定須作答,則共有多少種選法? (A) 6 種 (B)10 種 (C) 5 種 (D) 4 種 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 前2題一定要入選作答,方法只有1種, 再自剩下的4題中任選2題, 方法有 4 2 4! 6 2! 2! C   種 所以選法有1 6 6種 ( )30.三位數的自然數中,至少含有一個數字「7」的有多 少個? (A)343 個 (B)252 個 (C)352 個 (D)243 個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 至少含有一個數字 7 的個數  全部  都不含數字 7  9  10  10  8  9  9  900  648  252(個) ( )31.如圖,若規定由 A 到 B 只能遵循↑、→、↓三種方向, 則全部有多少種走法? (A)96 (B)97 (C)98 (D)99 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (3  4  2  4)  3  96  3  99 種 ( )32.如圖,一棋盤式的街道有直街 4 條、橫街 3 條,則 A 到 B 的捷徑走法有幾種?(捷徑即只許向右、向上走) (A)35種 (B) 45 種 (C)10種 (D) 20 種 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 設向右走過一個街口,用「右」表示; 向上走過一個街口用「上」表示, 則AB取捷徑的走法, 都由3個「右」及2個「上」排列而成 所以由A取捷徑到B的方法共有 5! 10 3! 2! 種 ( )33.由 0,1,2,3,4,5,6 中任取相異三數作成三位數, 則不小於 340 的有多少個? (A)105 個 (B)110 個 (C)115 個 (D)120 個 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 0,1,2,3,4,5,6 任取相異三數作成三位數的個數 有 6  6  5  180 個 1 1 開頭的有 6  5  30 2 2 開頭的有 6  5  30 30 30 開頭的有 5 個 31 31 開頭的有 5 個 32 32 開頭的有 5 個 ∴ 不小於 340 有 180  30  30  5  5  5  105 個 ( )34.設 10 10 10 1 2 10 aCC  C , 9 9 9 9 9 1 3 5 7 9 bCCCCC ,則 a  b  (A)1279 (B)1280 (C)1565 (D)1566 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ C100 C101 C102  C10102101024 ∴ a  1024  1  1023 9 8 2 2 256 2 b    a b  1023  256  1279 ( )35.假設 5 個人一起到冷飲店消費,該店共賣 3 種飲料, 這 5 人每人點一杯飲料,就這 5 個人而言,有幾種買 法? (A)3 (B)5 5 (C) 5! (D)3 5 3 P 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 每個人有 3 種選擇,共有35 ( )36.用 0、1、2、3、4、5、6 七個數字中任取二個排成二 位數,數字可重複,共有幾種不同的二位數? (A)49 (B)42 (C)36 (D)30 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 6 7 42 ( )37.平面上有相異的 3 個圓和 5 條直線,至多可形成幾個 交點? (A)15 (B)30 (C)36 (D)46 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 圓與圓:C32 2 6 圓與直線: 3 5 1 1 2 30 CC   直線與直線: 5 2 1 10 C   ∴ 平面上 3 個圓,5 條直線,至多可形成 6  30  10  46 個交點 ( )38.袋中裝有 12 個球,其中有 5 個黑球與 7 個白球,今 任意取出 5 個球為一組,其中至少有 3 個黑球的取法

(5)

有幾種? (A)10 (B)210 (C)246 (D)792 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 C C35 27C C45 17C55246 ( )39.某老師要請五位同學喝飲料,而福利社有賣 3 種飲料, 每種至少有 5 瓶,則老師去購買 5 瓶有幾種買法? (A)60 (B)45 (C)21 (D)10 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 H5321 ( )40.10 顆糖果全部分給甲、乙、丙三個兒童,每人至少得 2 顆的分法有幾種? (A)66 (B)45 (C)15 (D)10 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 H4315

二、填充題 (22 格)

1.有 10 元鈔 2 張、50 元鈔 3 張、100 元鈔 4 張、1000 元鈔 1 張,則 付款方式共有(1)____________種,又可配成(2)____________種不 同的款項。 【龍騰自命題】 解答 (1)119;(2)71 解析 (1)10 元 2 張付款方式有 3 種──不付、付 1 張、付 2 張, 同理 50 元 4 種,100 元 5 種,1000 元 2 種,但須扣 除統統不付的情形 ∴ 3  4  5  2  1  120  1  119(種) (2)∵ 50 元 2 張  100 元 ∴ 原題視為 10 元 2 張,50 元 1 張,100 元 5 張, 1000 元 1 張 3  2  6  2  1  72  1  71(種) 2.(a  b  c  d)(e  f  g)(x  y  z  u  v)展開後,共可得 ____________個不同的項。 【龍騰自命題】 解答 60 3.方程式x2y10有____________組正整數解。 【隨堂測驗】 解答 4 解析 x2y10,其中xy為正整數 因為y的係數最大,所以討論y1, 2, 3, 4 得解有

       

8,1 , 6, 2 , 4,3 , 2, 4 等四組正整數解 4.由 1、2、3、4 等四個數字排成四位數,其中大於 2300 者共有 ____________個。(數字不可重複) 【龍騰自命題】 解答 16 解析 千位放 3 或 4:2  3  2  1  12 千位放 2:1  2  2  1  4 ∴ 12  4  16(個) 5.5 個人中,恰有 2 人在同一月份出生,3 人在另一同月份出生的情 形有____________種。 【龍騰自命題】 解答 1320 解析 5 2 5 12 2 12 11 1320 C    一年有 另三人在 人中 個月 另一同月份 任選 人 (種) 6.甲家有 4 男 2 女,乙家有 3 男 3 女,則每家選出 4 人而成 5 男 3 女的方法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 93 解析 甲 乙 方法數 4 男 1 男 3 女 4 3 3 4 1 3 3 CCC  3 男 1 女 2 男 2 女 4 2 3 3 3 1 2 2 72 CCCC  2 男 2 女 3 男 1 女 4 2 3 3 2 2 3 1 18 CCCC  ∴ 3  72  18  93(種) 7.如下之街道圖中,由 A 到 B 的捷徑走法中,不經過 C 的方法有 ____________種。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 6 解析 AB:14(種) A C B:4 2 8(種) 所求(AB的捷徑走法)(A經過CB的捷徑走 法)  14 86(種) [另解] 將連至C的道路刪去 則AB不經C的走法有6種 8.將 5 件不同的物品任取 3 件,分給 3 個兒童,每人恰得1件,方法 有____________種。

(6)

【隨堂測驗】 解答 60 解析 即自5件相異物中任取3件的排列數 故有 5 3 5 4 3 60 P     種 9.5 個人任意搭乘四部計程車,方法有(1)____________種,若規定 每部計程車至多只能搭載 4 個人,則方法有(2)____________種。 【龍騰自命題】 解答 (1)1024;(2)1020 解析 (1)45 1024(種) (2)45 4  1020(種) 10. 5 (1 2 )x 1 x   展開式中,x2項的係數為____________。 【龍騰自命題】 解答 80 解析 所求 x2項的係數,相當於(1 2x)5中 x3項的係數 即 5 3 3 2 10 8 80 C     11.甲、乙、丙、丁、戊五個人排成一列,甲不可排首位且乙不可排 末位的方法有____________種。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 78 解析 所求(任意排列數)(甲排首位的排列數)(乙排末位 的排列數) (甲排首位同時乙排末位的排列數)    5! 4! 4! 3! 78(種) 12.將 3 種酒倒入五個不同的酒杯中,每個酒杯只能倒入 1 種酒,共 有____________種倒法。 【龍騰自命題】 解答 243 13.將 5 個相同的蘋果,與 4 個相同的橘子,全部分給甲、乙 2 人, 每人可兼得,則分法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 30 解析 H25H42 C65C54C16C15 30(種) 14.有三艘不同的渡船,每艘最多可載 5 人,今有 6 人同時要過渡, 安全過渡的方法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 726 解析 安全過渡的方法  (任意坐法)  (6 人坐同一艘船的坐 法)  36 3  726 種 15.如圖所示,共有____________個平行四邊形。 【龍騰自命題】 解答 30 解析 C32C52  3 1030個 16.渡船有 3 艘,每艘最多可載 5 人,今有 7 人同時要過渡,安全過 渡的方法有____________種。 【龍騰自命題】 解答 2142 解析 安全過渡  任意坐  (7 人同船)  (6 人同船,1 人落單)  7 7 3 1 2 6 1 1 1 3  3 [(CC ) ( CC )]2187 3 422142 種 17.由 1、2、3、4 四個數字中(數字可重複被取出),其可構成的三 位數有____________個。 【隨堂測驗】 解答 43(或64) 解析 因為有百位、十位、個位三個位置, 所以考慮每個位置的排法 每個位置均可由 1、2、3、4 四個數字任選其一排入 方法各有4種 故三位數共有4 4 4  4364 18.由 0、1、2、3 四個數字中(數字可重複被取出),其可構成的三 位數有____________個。 【隨堂測驗】 解答 48 解析 因為有百位、十位、個位三個位置,所以考慮每個位置 的排法 百位可由 1、2、3 選其一排入的方法有3種 另外十位、個位每個位置均可由 0、1、2、3 四個數字 任選其一排入 方法各有4種,故三位數共有3 4 4  48個 19.有 5 種不同的果汁,倒入 3 個相同的杯子中,每個杯子只能倒進 一種果汁,則倒法有____________種。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 35 解析 設每一種果汁倒的杯數分別為 1, 2, 3, 4, 5 x x x x xx1x2x3x4x5 3 其非負整數解有 3 5 1 7 3 3 35 C   C  組 故倒法有35種 20.利用二項式定理,寫出

xy

4的展開式為____________。 【隨堂測驗】 解答 x44x y3 6x y2 24xy3y4 解析

4 4 4

 

0 4 3

 

1 4 2

 

2 0 1 2 xyC xyC xyC xy

 

3

 

4 4 1 4 0 3 4 C x y C x y     4 3 2 2 3 4 4 6 4 x x y x y xy y      21. 6 2 2 x x      展開式中,常數項為____________。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 60 解析 一般項為

(7)

6 6 2 2 k k k C x x        6 6 k 2k 2k k C xx     6 2k 6 3k k C x     令6 3 k0,得k2 故常數項為 6 2 2 2 15 4 60 C     22.設n為自然數,若

a b

na的降冪展開式中,第 3 項的係數和 第 5 項的係數比為1 : 6 ,則n____________。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 11 解析 依題意 2 : 4 1 : 6 n n C C   6C2nC4n  6

1

1

 

2

 

3

2 1 4 3 2 1 nnnn  n  n        72

n 2

 

n3

 2 5 66 0 nn  

n11



n6

0  n11或6 ∵ n為自然數 ∴ n11

三、計算題 (20 小題)

1.試求 20 的正因數個數有幾個? 【隨堂測驗】 解答 6個 解析 將20因式分解得20 22 51 所以20的正因數必可表示成2x5y 其中x0, 1, 2且y0, 1 即2的指數有3種取法,5的指數有2種取法 由乘法原理得20的正因數有3 2 6個 2.試求方程式 x  y  z  u  10 的 (1)非負整數解有多少組? (2)正整數解有多少組? 【課本練習題-例題】 解答 (1)286 組;(2)84 組 解析 (1)由重複組合數的結論 可得其非負整數解的組數有 104 10 4 110 1310 133 13 12 11 286 3 2 1 HC   CC       (組)。 (2)因為 x 1,y 1,z 1,u  1, 所以令 x' x  1  0,y' y  1  0,z' z  1  0,u' u  1  0, 則 x y z u  10 的正整數解組數相當於 (x'  1)  (y'  1)  (z'  1)  (u'  1)  10, 即 x' y' z' u'  6 的非負整數解組數, 故其組數為 4 6 4 1 9 9 6 6 6 3 9 8 7 84 3 2 1 HC   CC       (組)。 3.將「 32111」五個數字作直線排列,若三個「1」字兩兩不相鄰, 則其排法各有多少種? 【隨堂測驗】 解答 2種 解析 (1)將「3、2」先排,方法有2! 2 種, 且形成3個空隙 (2)在「3、2」間所形成的3個空隙中, 排入三個「1」,方法有 3 3 1 3! P 種 由(1)(2),利用乘法原理得方法共有2 1 2  種 4.某次棒球比賽,規定每支球隊必須和其他所有球隊各比賽一場, 若賽程總計有 78 場,試問參賽隊伍共有多少支? 【課本練習題-例題】 解答 13 解析 設參賽隊伍共有 n 支,其中 n 為正整數。 因為每兩支隊伍均須比賽一場,所以賽程共有 2n C 場, 即C2n 78,得 ( 1) 78 2 n n上式可化為 n2 n 156 0,分解得(n 13)(n 12) 0, 即 n 13 或 n  12,但 n 為正整數,故 n  13。 5.試求下列各式中的自然數 n 之值: (1) 8 12 n n CC (2) 1 3 3 15Cn  2 Pn 【課本練習題-隨堂練習】 解答 (1)n  20;(2)n  14 解析 (1)由 8 12 n n CC ,得 n 8 12n n C C ,即 n  8  12,故 n  20。 (2)原式化為 ( 1) ( 2) 15 2 ( 1) ( 1) 3 2 1 n n n n n n              ,n  3, 化簡上式得 5n  10  4n 4,故 n  14。

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6.由相異的 6 本書中,至少取一本來閱讀,試問其方法有幾種? 【課本練習題-習題】 解答 63 種 解析 每一本均可分「取」與「不取」兩種,故至少取一本的 方法有 26 1  63(種)。 7.若 2 2 5 120 4 n n P   C,試求自然數 n 之值。 【課本練習題-習題】 解答 n  7 解析 原式化為(n  2)  (n  1)  n (n  1)  (n  2) 120 ( 2) ( 1) ( 1) 4 3 2 1 n     n n n      ,n  3, 整理得 n  2  5,即 n  7。 8.設由 A 到 B 的街道,如下圖所示,有直街 7 條、橫街 4 條,試問 由 A 取捷徑到 B 的方法共有幾種? 【課本練習題-隨堂練習】 解答 84 種 解析 每一個由 A 到 B 的捷徑都是由 6 個「右」及 3 個「下」 排列而成, 故走法有(6 3)! 84 6!3!   (種)。 9.因乾旱水源不足,自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供水,試問自來水公司有多少種選擇方式? 【課本練習題-習題】 解答 21 種 解析 即自 7 天中任選 2 天的組合數為 72 7 6 21 2 1 C     (種)。 10.不定方程式 x  y  z  u  12,試求下列情形各有幾組解? (1) 正奇數解 (2)x  1,y  2,z  3,u  4 的整數解。 【龍騰自命題】 解答 (1)35 組;(2)10 組 解析 (1)設 x 2k 1,y 2m 1,z 2n 1,u 2l  1 原式  k m n l 4,k、m、n、l 為非負整數, 4 7 4 4 35 HC  (組) (2)令 x t 1,y s 2,z v 3,u w  4 原式  t s v w 2,t、s、v、w 為非負整數, 4 5 2 2 10 HC  (組) 11.試求[2x  (3y  z)2 ]6展開式中,x3 y2z4項的係數。 【龍騰自命題】 解答 21600 解析 [2x (3y z)2]6展開後的一般項為 6 2 6 (2 )k [(3 ) ] k k Cxyz其中 x3 y2z4為 k  3 時展開所得 又(3y z)6的一般項為 6 6 (3 )r ( ) r r Cy  z當 r 2 時可得 y2z4項 故 x3 y2z4項係數為 6 3 6 2 4 3 2 2 3 ( 1) 21600 C  C     12.假設在招呼站有三輛計程車,每輛至多可搭乘 4 位客人,現招呼 站來了 5 位要搭乘計程車的旅客,試問共有幾種不同的載客方式? 【課本練習題-習題】 解答 240 種 解析 5 人任意搭乘三輛計程車的方法有 35 243 種, 5 人搭同一輛車的方法有 3 種,故所求方法數共有 243  3  240 種。 13.試求 360 的正因數中,可被30整除的個數。 【隨堂講義-進階題-學生練習】 解答 6 個 解析 360  23 32 5 360的正因數必為2x 3y 5z的形式 正因數中,若可被30整除,即為30的倍數,又 30  2 3 5,因此, x可為1、2、3,三種情形 y可為1、2,二種情形

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z可為1,一種情形 由乘法原理得,有3 2 1 6   個 14.如下圖所示: (1)由 A 至 B 取捷徑,其走法有幾種? (2)又由 A 經 C 至 B 的走法 有幾種? 【龍騰自命題】 解答 (1)126 種;(2)60 種 解析 (1) 9! 126 5! 4!  (種) (2)A→C→B 5! 4! 10 6 60 3! 2! 2! 2!    (種) 15.(1)求 1 10 (x ) x的 x4項係數。 (2)求 1 9 (2 ) 3 x x的 x3項係數。 (3)求(2x2 3)6 x  的常數項。 【高手挑戰(105 新命題)】 解答 (1)120;(2) 1792 9  ;(3)4860 解析 (1) 103 7 3 1 ( ) C x x   10 3 120 C  (2) 93 6 3 1 (2 ) ( ) 3 C x x   9 6 3 3 1 1792 2 ( ) 3 9 C      (3) 64 2 2 4 3 (2 ) ( ) C x x  6 4 4 4 3 4860 C    16.「papaya」一字的字母全取排列,任 2 個「a」均不相鄰的排法 有幾種? 【龍騰自命題】 解答 12 種 解析 p、p、y 先排,其排列數為3! 3 2!  另 4 個間隔○,選 3 個排 a,方法有 4 3 4 C  (種) ∴ 所求排法有 3  4  12(種) 17.平面上相異 10 點,其中 A、B、C、D 四點共線,其餘無三點共 線,試求: (1)可連成多少條直線? (2)可構成多少個三角形? 【龍騰自命題】 解答 (1)40 條;(2)116 個 解析 (1)平面上,任意相異兩點可決定一條直線 ∴ 所求 10 4 2 2 1 45 6 1 40 C C        條 (2)平面上,任意不共線的三點可決定一個三角形 ∴ 所求 10 4 3 3 120 4 116 C C      個 18.從 4、5 、6、7、8 、9 六個數字中,任取 3 個相異數字,試問: (1)可排成幾個三位數? (2)其中偶數有多少個? 【隨堂講義-基本練習題-學生練習】 解答 (1)120 個;(2)60 個 解析 (1) 百 十 個 6 3 6  5  4 P 120(個) (2)P13P52   3 5 4 60(個) 百、十的排法 個位數字為 4 或 6 或 8 19.試求(2x  y)5依 x 的降冪展開式中 (1)第三項。 (2)x2y3項的係數。 【基礎練習(仿課本例題)】 解答 (1)80x3y2;(2)40 解析 (1)由二項式定理中第 k  1 項(一般項)的公式,可得 第三項為 5 3 2 2(2 ) C x y 80x3y2。 (2)x2y3項為 5 2 3 2 3 3(2 ) 40 C x yx y ,得其係數為 40。

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20.三男三女圍圓桌而坐,若男女相間隔,則坐法有多少種? 【隨堂講義-進階題-學生練習】 解答 12種 解析 女生先入坐,方法有

3 1 ! 2! 2

  種 男生安插空位,方法有 3 3 3! 6 P   種 由乘法原理,共有2 6 12  種

數據

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參考文獻

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