0110 第三冊解答

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0110 第三冊

姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.正整數 72009乘開後的數字,其末二位數字為何? (A)01 (B)07 (C)43 (D)49 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 71 7  末二位 07 72 49  末二位 49 73 343  末二位 43 74 2401  末二位 01 75 16807  末二位 07 週期為 4  72009的末二位 71的末二位  07 ( )2.自「0、1、2、3、4」中任取三個相異數字作成三位數 A,剩下二個數字作成二位數 B,則(A , B)有 (A)84 對 (B)75 對 (C)72 對 (D)54 對 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 A 中含有 0: 2 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 1 48 B A C       個數字選 個 的排法 的排法 A 中不含 0: 3 2 1 4 3 4 3 3 2 1 1 1 24 B A C       個數字選 個 的排法 的排法 ∴ 48  24  72 ( )3.用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數(數字不可重複), 則全部四位數之總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 千位數字是 1 的情形有 6 種,是 2、3、4 的情形也均是 6 種 1 3 2 1 同理百位、十位、個位是 1、2、3、4 的情形均 6 種 ∴ 總和  (1  2  3  4)  (1000  100  10  1)  6  66660 ( )4.求 2 1 2 1 2 Cn2 Cn  2nCnn (A)2 n (B)3n (C)4n (D)5n 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 由(1 ) 0 1 2 2 n n n n n n n x C C x C x C x       令 x  2 可得1 2 1 22 2 2 3 n n n n n n C C C         ( )5.山路 5 條,甲、乙 2 人由不同的路上、下山,且每人 都不由原路下山,則全部方法有(A)260 種 (B)280 種 (C)320 種 (D)400 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 甲上山 方法 甲下山 方法 乙上山 方法 乙下山 方法  乙由甲下山 路線上山 5  4  1  4  80  乙不由甲下 山路線上山 5  4  3  3  180 ∴ 80  180  260 ( )6.設某燈泡工廠生產了 1000 個燈泡,其中含有 8 個不良 品,今從中隨機取出 200 個燈泡,則含不良品的數學 期望值為 (A)1.6 (B)2 (C)2.4 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ( ) 8 200 8 1.6 1000 5 E x     ( )7.方程式 32x  4  3x  45  0 的解 x  (A)9 (B)  5 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 原式  (3x )2 4  3x 45  0  (3x 9)(3x 5)  0 ∴ 3x 9 或 3x 5(不合),故 x 2 ( )8.已知 logM 的首數為 4,尾數不為 0,則log 1 M 的首 數為 (A)  4 (B)  3 (C)  2 (D)  1 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 logM  4  k,0 k  1  1 1 1 1 log log 2 3 (1 ) 2 M 2k 2k M          ∴ 首數為  3 ( )9.集合{(x , y , z)|x2  3y  z  20,x、y、z 為自然數}之元

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- 2 - 素個數為 (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x 1,3y z  19→6 組  y 1 2 3 4 5 6 z 16 13 10 7 4 1 6 組 x 2,3y z  16→5 組  y 1 2 3 4 5 z 13 10 7 4 1 5 組 x 3,3y z  11→3 組  y 1 2 3 z 8 5 2 3 組 x 4,3y z  4→1 組  y 1 z 1 1 組 ∴ 6  5  3  1  15 ( )10.設 10  x  100,且 logx 與log1 x尾數相同,則 x  (A)10 (B) 3 5 (C)10 10 (D) 5 10 【龍騰自命題.】 解答 C

解析 logx log1 2 logx x   必為整數 10  x  100  1  logx  2  2  2logx  4 ∴ 2logx  3 故 3 2 10 10 10 x  ( )11.設 log5[log3(log2x)]  0 之解為 (A)2  x  8 (B)1  x  8 (C)0  x  8 (D)5  x  125 【龍騰自命題.】 解答 A

解析 log5[log3(log2x)]  0  0  log3(log2x)  1  1 

log2x  3 ∴ 2  x  8 ( )12. 1 n n i i S a  

,若 Sn  n2  3n,則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an Sn Sn  1 n2 3n (n  1)2 3(n  1)  2n  2 ( )13.設 n、r 為自然數,若Pnr 272, 136 n r C,則 r  (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 Pnr 272  ! 272 ( )! n n r  … 136 n r C   ! 136 !( )! n r n r  …   得 r! 2 ∴ r  2 ( )14.已知 log3  0.4771, 1 4 ( ) 10 3 n ,則最小自然數 n 為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 原式  log( )1 log10 4 3 n nlog3  4  nlog3  4  4 8.38 log 3 n ≒ ,故最小自然數 n  9 ( )15.滿足 0  log2[log2(log2x)]  1 之整數 x 共有 (A)10 個 (B)11 個 (C)12 個 (D)13 個 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 由 0  log2[log2(log2x)],知 log2(log2x)  1 ∴ log2x 

2,x  4

又由 log2[log2(log2x)]  1,知 log2(log2x)  2 ∴ log2x 4,x  16 故 4  x  16,共 13 個 ( )16.問 21.5與下列何者最接近? (A)3.2 (B)3 (C)2.5 (D)2.8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 1 1.5 2 2  2 2 2 2≒2.828 ( )17.如圖,從 A 取捷徑到 B,不經過斜線區域的走法有 (A)104 種 (B)105 種 (C)108 種 (D)112 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 〈法一〉 6! 6! 5! 6! 5! 1 5!1! 4! 2! 4!1! 5!1! 4!1! A P B A Q B A R B A S B       6  15  5  6  5  1  112 〈法二〉

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- 3 - 共 112 種 ( )18.若34 8 23 2x,x  (A)11 9 (B) 11 6 (C) 11 3 (D)11 2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 1 1 10 1 1 5 1 11 1 11 34 8 23 [2 (22 32 ) ]3 2 3 [2 (2 ) ]2 3 2 3 (222 )3 3(2 )3 3 29 ∴ 11 9 x ( )19.某發報器長鳴一次 3 秒,短鳴一次 1 秒,相鄰兩鳴放 時間為 2 秒,則前後 30 秒的時間,可發出幾種不同 的信號? (A)80 (B)70 (C)60 (D)50 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設長鳴 x 次,短鳴 y 次,則有 x y  1 個間隔 3x y 2(x y  1)  30,x﹐y 為非負整數 5x 3y  32 x 1 4 y 9 4 10! 8! 10 70 80 9! 4! 4!    種 ( )20.依下列各條件將甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列, 何種條件下的排法最多? (A)甲、乙相鄰 (B)丙、 丁不相鄰 (C)戊排首位 (D)乙不排首位 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A)4!  2!  48 (B)P42 3! 72 (C)4!  24 (D)5!  4!  120  24  96 ( )21.三位正整數中,恰含有一個數字 2 的有 (A)220 個 (B)225 個 (C)240 個 (D)262 個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 百位數字為 2 方法有 9  9 種(數字可重複) 十位數字與個位數字為 2 的方法均為 8  9  72 種(0 不可為百位) ∴ 81  72  72  225(個) ( )22.用「0、1、2、3、4、5」作成大於 2300 的四位數, 數字可以重複使用,則共有 (A)752 個 (B)754 個 (C)755 個 (D)756 個 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 〈法一〉 5   6 6 6 1080 全部有 1080 個  1 6  6  6  216  2 0 6  6  36  2 1 6  6  36  2 2 6  6  36  2 3 0 0 1 ∴ 大於 2300 有 1080  216  36  36  36  1  755 個 〈法二〉 3 4 3 6 6 6 648 5          2 3 2 4 3 6 6 108 2 5         648  108  1  755 2300 ( )23.設 1 2 1 2 a      , 1 3 1 3 b      , 1 6 1 6 c      ,則a、 b 、c小順序為何? (A) a c b  (B) a b c  (C) c a b (D) b c a  【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析 6 1 1 6 3 2 2 6 1 1 1 1 2 2 2 8 a                      6 1 1 6 2 3 3 6 1 1 1 1 3 3 3 9 b                      6 1 1 6 1 6 6 2 1 1 1 1 6 6 6 6 c                      則 6 6 6 bacb a c ( )24.用 8 種不同的顏料塗下圖轉盤的六個區域,每個區域 顏色不得相同,塗法有

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- 4 - (A)3360 種 (B)3600 種 (C)3720 種 (D)3840 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 86 6! 28 5! 28 120 3360 6 C       (種) ( )25.設a、 b 、c三數成等比數列,且滿足a b c  9及 2 2 2 189 abc,則等比中項 b (A) 6 (B) 2 (C)1 2 (D) 6 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ abc成等比數列 ∴ 2 bac 2 2 2 189 abc   a2c2189b2 9 a b c    a c  9 b

 

2

2 9 a c  b  2 2 2 2 81 18 aacc   b b 

2 2

ac 2ac81 18b b  2 

2

189 b 2b2 81 18b b  2  18b 108  b 6 〈法二〉 設等比數列abc的公比為rbarcar2 9 a b c    2 9 aarar  

2

1 9 a  r r  2 2 2 189 abc   2

 

2

 

2 2 189 aarar   2 2 2 2 4 189 aa ra r   2

2 4

1 189 arr  :

2 2 4 2 1 189 9 1 a r r a r r      



2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        

2

1 21 a  r r   2 21 aarar   :2ar 12  ar 6 ∵ barb 6

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