0110 第三冊解答

－ 1 －

0110 第三冊

姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.正整數 72009_{乘開後的數字，其末二位數字為何？} (A)01 (B)07 (C)43 (D)49 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 71 7  末二位 07 72 49  末二位 49 73 343  末二位 43 74 2401  末二位 01 75 16807  末二位 07 週期為 4  72009_{的末二位 } 71的末二位  07 （ ）2.自「0、1、2、3、4」中任取三個相異數字作成三位數 A，剩下二個數字作成二位數 B，則(A , B)有 (A)84 對 (B)75 對 (C)72 對 (D)54 對 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 A 中含有 0： 2 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 1 48 B A C       個數字選 個 的排法 的排法 A 中不含 0： 3 2 1 4 3 4 3 3 2 1 1 1 24 B A C       個數字選 個 的排法 的排法 ∴ 48  24  72 （ ）3.用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數（數字不可重複）， 則全部四位數之總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 千位數字是 1 的情形有 6 種，是 2、3、4 的情形也均是 6 種 1 3 2 1 同理百位、十位、個位是 1、2、3、4 的情形均 6 種 ∴ 總和  (1  2  3  4)  (1000  100  10  1)  6  66660 （ ）4.求 2 1 2 1 2 Cn2 Cn  2nCnn (A)2 n _(B)3n (C)4n (D)5n 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 由(1 ) 0 1 2 2 n n n n n n n x C C x C x C x       令 x  2 可得1 2 1 22 2 2 3 n n n n n n C C C         （ ）5.山路 5 條，甲、乙 2 人由不同的路上、下山，且每人 都不由原路下山，則全部方法有(A)260 種 (B)280 種 (C)320 種 (D)400 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 甲上山 方法 甲下山 方法 乙上山 方法 乙下山 方法  乙由甲下山 路線上山 5  4  1  4  80  乙不由甲下 山路線上山 5  4  3  3  180 ∴ 80  180  260 （ ）6.設某燈泡工廠生產了 1000 個燈泡，其中含有 8 個不良 品，今從中隨機取出 200 個燈泡，則含不良品的數學 期望值為 (A)1.6 (B)2 (C)2.4 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ( ) 8 200 8 1.6 1000 5 E x     （ ）7.方程式 32x  4  3x  45  0 的解 x  (A)9 (B)  5 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 原式  (3x )2 4  3x 45  0  (3x_ 9)(3x 5)  0 ∴ 3x _{9 或 3}x _{5（不合），故 x}  ₂ （ ）8.已知 logM 的首數為 4，尾數不為 0，則log 1 M 的首 數為 (A)  4 (B)  3 (C)  2 (D)  1 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 logM  4  k，0  k  1  1 1 1 1 log log 2 3 (1 ) 2 M 2k 2k M          ∴ 首數為  3 （ ）9.集合{(x , y , z)|x2  3y  z  20，x、y、z 為自然數}之元

－ 2 － 素個數為 (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x  1，3y  z  19→6 組  y 1 2 3 4 5 6 z 16 13 10 7 4 1 6 組 x  2，3y  z  16→5 組  y 1 2 3 4 5 z 13 10 7 4 1 5 組 x  3，3y  z  11→3 組  y 1 2 3 z 8 5 2 3 組 x  4，3y  z  4→1 組  y 1 z 1 1 組 ∴ 6  5  3  1  15 （ ）10.設 10  x  100，且 logx 與log1 x尾數相同，則 x  (A)10 (B) 3 5 (C)10 10 (D) 5 10 【龍騰自命題.】 解答 C

解析 logx log1 2 logx x   必為整數 10  x  100  1  logx  2  2  2logx  4 ∴ 2logx  3 故 3 2 10 10 10 x  （ ）11.設 log5[log3(log2x)]  0 之解為 (A)2  x  8 (B)1  x  8 (C)0  x  8 (D)5  x  125 【龍騰自命題.】 解答 A

解析 log5[log3(log2x)]  0  0  log3(log2x)  1  1 

log2x  3 ∴ 2  x  8 （ ）12. 1 n n i i S a  



，若 Sn  n2  3n，則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an Sn Sn  1 n2 3n  (n  1)2 3(n  1)  2n  2 （ ）13.設 n、r 為自然數，若Pnr 272， 136 n r C  ，則 r  (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 Pn_r 272  ! 272 ( )! n n r  … 136 n r C   ! 136 !( )! n r n r  …   得 r!  2 ∴ r  2 （ ）14.已知 log3  0.4771， 1 4 ( ) 10 3 n _  ，則最小自然數 n 為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 原式  log( )1 log10 4 3 n _  _  nlog3  4  nlog3  4  4 8.38 log 3 n ≒ ，故最小自然數 n  9 （ ）15.滿足 0  log2[log2(log2x)]  1 之整數 x 共有 (A)10 個 (B)11 個 (C)12 個 (D)13 個 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 由 0  log2[log2(log2x)]，知 log2(log2x)  1 ∴ log2x 

2，x  4

又由 log2[log2(log2x)]  1，知 log2(log2x)  2 ∴ log2x  4，x  16 故 4  x  16，共 13 個 （ ）16.問 21.5_{與下列何者最接近？ (A)3.2 (B)3 (C)2.5} (D)2.8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 1 1.5 ₂ 2  2 2 2 2≒2.828 （ ）17.如圖，從 A 取捷徑到 B，不經過斜線區域的走法有 (A)104 種 (B)105 種 (C)108 種 (D)112 種 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 〈法一〉 6! 6! 5! 6! 5! 1 5!1! 4! 2! 4!1! 5!1! 4!1! A P B A Q B A R B A S B       6  15  5  6  5  1  112 〈法二〉

－ 3 － 共 112 種 （ ）18.若3_{4 8 2}3 _2x_{，x  (A)}11 9 (B) 11 6 (C) 11 3 (D)11 2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 1 1 10 1 1 5 1 11 1 11 3_{4 8 2}3 _{[2 (2}2 3_{2 ) ]}3 2 3 _{[2 (2 ) ]}2 3 2 3 ₍₂2_{2 )}3 3_{(2 )}3 3 ₂9 ∴ 11 9 x （ ）19.某發報器長鳴一次 3 秒，短鳴一次 1 秒，相鄰兩鳴放 時間為 2 秒，則前後 30 秒的時間，可發出幾種不同 的信號？ (A)80 (B)70 (C)60 (D)50 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設長鳴 x 次，短鳴 y 次，則有 x  y  1 個間隔 3x  y  2(x  y  1)  30，x﹐y 為非負整數 5x  3y  32 x 1 4 y 9 4 10! 8! 10 70 80 9! 4! 4!    種 （ ）20.依下列各條件將甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列， 何種條件下的排法最多？ (A)甲、乙相鄰 (B)丙、 丁不相鄰 (C)戊排首位 (D)乙不排首位 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A)4!  2!  48 (B)P42 3! 72 (C)4!  24 (D)5!  4!  120  24  96 （ ）21.三位正整數中，恰含有一個數字 2 的有 (A)220 個 (B)225 個 (C)240 個 (D)262 個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 百位數字為 2 方法有 9  9 種（數字可重複） 十位數字與個位數字為 2 的方法均為 8  9  72 種（0 不可為百位） ∴ 81  72  72  225（個） （ ）22.用「0、1、2、3、4、5」作成大於 2300 的四位數， 數字可以重複使用，則共有 (A)752 個 (B)754 個 (C)755 個 (D)756 個 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 〈法一〉 5   6 6 6 1080 全部有 1080 個  1 6  6  6  216  2 0 6  6  36  2 1 6  6  36  2 2 6  6  36  2 3 0 0 1 ∴ 大於 2300 有 1080  216  36  36  36  1  755 個 〈法二〉 3 4 3 6 6 6 648 5   _{   }    2 3 2 4 3 6 6 108 2 5   _{  }    648  108  1  755 2300 （ ）23.設 1 2 1 2 a      ， 1 3 1 3 b      ， 1 6 1 6 c      ，則a、 b 、c大 小順序為何？ (A) a c b  (B) a b c  (C) c a b (D) b c a  【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析 6 1 1 6 3 2 2 6 1 1 1 1 2 2 2 8 a  _{ }  _{   }    _{ } _{ } _{ }  _{ }  _{   }   6 1 1 6 2 3 3 6 1 1 1 1 3 3 3 9 b  _{ }  _{   }    _{ } _{ } _{ }  _{ }  _{   }   6 1 1 6 1 6 6 2 1 1 1 1 6 6 6 6 c  _{ }  _{   }    _{ } _{ } _{ }  _{ }  _{   }   則 6 6 6 b a c  b a c （ ）24.用 8 種不同的顏料塗下圖轉盤的六個區域，每個區域 顏色不得相同，塗法有

－ 4 － (A)3360 種 (B)3600 種 (C)3720 種 (D)3840 種 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 86 6! 28 5! 28 120 3360 6 C       （種） （ ）25.設a、 b 、c三數成等比數列，且滿足a b c  9及 2 2 2 189 a b c  ，則等比中項 b (A) 6 (B) 2 (C)1 2 (D) 6 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ a、b、c成等比數列 ∴ 2 b ac 2 2 2 189 a b c   a2c2189b2 9 a b c    a c  9 b 



 

2



2 9 a c  b  2 2 2 2 81 18 a  acc   b b 



2 2



a c 2ac 81 18b b  2 



2



189 b 2b2 81 18b b  2  18b 108  b 6 〈法二〉 設等比數列a、b、c的公比為r 則bar，car2 9 a b c    2 9 aarar  



2



1 9 a  r r  2 2 2 189 a b c   ₂

 

2

 

₂ 2 189 a  ar  ar   2 2 2 2 4 189 a a r a r   2



2 4



1 189 a r r  ：









2 2 4 2 1 ₁₈₉ 9 1 a r r a r r      











2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        



2



1 21 a  r r   2 21 aarar   ：2ar 12  ar 6 ∵ bar ∴ b 6