第二章 文獻探討
本研究的研究目的是，瞭解數學寫作活動對國中生方程式應用問題的成就表 現及數學態度的影響，並探討透過寫作活動，其在解題歷程上的轉變。因此，在 文獻探討中，針對數學寫作與數學解題這兩個主題進行分析探討。本章共分成三 節：第一節探討數學解題與解題歷程，第二節探討方程式應用問題的相關研究，
第三節探討數學寫作活動的相關研究。
第一節 數學解題與解題歷程
1960 年代以來，隨著認知心理學的蓬勃發展，「解題導向」的研究趨勢受到 相當的重視，問題解決是各國政府致力提升國民能力的首要目標。「數學解題」
在數學教育中一直佔有相當重要的地位，受到認知心理學的影響，開始慢慢強調 學生的解題歷程，以及主動思考與建構知識的能力。為了對數學解題的理論有較 完整的認識，研究者先從數學解題的意義來探討，再就解題歷程的相關研究加以 論述。
一、數學解題的意義
美國數學教師學會(National Council of Teachers of Mathematics)在 1989 年出 版的「課程與評量標準」提到數學解題是數學教學的重心，以及 2000 年「NCTM 課程標準」中提倡「數學即解題」的主張；而英國數學教學探究委員會(National Curriculum Council，NCC)於 1982 年「數學總評」中首次提出：解題是數學的核 心，且在 1999 年數學課程改革時強調：學生應能發展個人解題策略，尋覓個體 最適合的解題途徑，藉以導出正確答案，同時也能檢視其答案的意義；而我國在 九年一貫數學學習領域中，也把「學習應用問題的解題方法」視為教學總目標之 一(教育部，民 92，p. 22)。可見「解題」在數學學習上占了很重要的角色。
那麼，「解題」究竟是什麼呢？從字面上來看，顧名思義，「解題」就是「解 決問題」。如果我們要弄清「解題」涵義，就必需先瞭解什麼是「問題」。 (一) 何謂問題？
對於「問題」的定義，不同的學派和不同研究者，都持有不同的意見及看法，
眾說紛紜。根據現代認知心理學的研究，問題的結構成分一般包括：(1)一個目 標狀態(goal state)－欲達成之目的；(2)一個初始狀態(starting state)－對問題所做 的描述；(3)一些中間狀態(intermediate states)－為達成該目標狀態之所有可能的 解決路徑。而問題的目標狀態、初始狀態及中間狀態統稱為問題空間(Newell &
Simon, 1972)，Gagne (1985)將問題空間分成以下四種情形(如圖 2-1-01)：
圖 2-1-01 四種類型的問題空間(引自 Gagne, 1985, p. 138)
所謂(a)的題目就是指起點及目標狀態都很明確，而用來達成目標的路徑也 很明確，且這兩條路徑具有相同效能；(b)的題目也是起點及目標都很明確，但 到達目標的路徑，有的很簡捷，有的則需要稍微繞個彎；而(c)類型題目有好幾 個初始起點及一個目標，然而沒有已知的路徑可以銜接起點與目標，解題者必需 利用目前所擁有的知識建構出一條可以從起點到達目標的路徑；(d)類型的題目 有好幾個可能的目標或一些不清楚的目標，這樣的情境乃存在於「定義不明確」
(ill-defined)的問題中，像是數學家在尋找的可研究問題。
那麼，哪一種類型會比較貼近我們所談及的「問題」呢？Kilpatrick (1985) 指出從心理學的層面來看問題時，問題常被定義為在一個情境中(situation)，我 們想到達某一個目標(goal)，但直接通往此目標的路徑被阻塞了(因此問題產生)。
Krulik & Rudnick (1989)認為，問題是個體或團體面對一個需要解決，卻無法看 出明顯解決途徑的一種情境。Mayer (1992)則認為問題是個體從已知的條件狀 態，欲達到目標狀態時，因缺乏立即通往正確答案路徑而所處的一種情境。
雖然學者們對於什麼是「問題」的描述方式並不一致，可以發現他們所認為 的「問題」都與(c)類型的問題相似，就是對於解題者來說，還沒有「現成的」
Start Start
Start Start
Goal Goal
Goal Goal 1?
?
Goal 2? Goal 3?
? ? ?
a b
c d
解題的方法。綜觀各學者的觀點，研究者歸納出「問題」定義如下：「問題」之 所以成為問題，必需是個體未曾遭遇過的陌生情境，對於這種情境，個體一開始 並沒有現成的解決途徑，必需運用本身的知識、技能，透過思考、分析、歸納、
推理等能力深入探究，繼而獲得解決的途徑。
(一) 數學解題
運用上述「問題」的觀念，「解題」即是指獲得解決途徑的一個過程。根據 Kilpatrick (1985)指出從心理學的層面來看問題，他把解題當作是「人們為了達到 某種目標所做的一些活動」。Krulik & Rudnick (1989)是以「尋求未知問題的解答」
的角度定義問題解決，認為問題解決是在問題的情境裡，個體會以原有的舊經驗 或是原具備的知識技能來從事解答的歷程。而 Mayer (1992)則把問題解決當作從 已知情況移動到目標情況的過程。此外，Polya (1945)也提出解題就是為了要達 到一個被清楚的意識到但又不能立即達到的目標，期間沒有方法被告知，但卻要 克服困難，繞過障礙去發現達到此目標的方法。
綜合上述學者的見解可知，「解題」是一種個體心智綜合能力運用的活動，
解題者在面對問題情境時，無法立即由記憶中檢索出解答或求出答案的途徑，必 須統合運用先備知識、原理、原則或方法，產生策略與解題計畫，藉由無誤地執 行解題計畫以獲得解答，最後評估是否達到目標情境。
瞭解「解題」後，我們再來看看以下兩位學者更進一步提出他們對「數學解 題」的看法：Lester (1980)認為數學解題是指，個體面臨一種沒有把握什麼算式 可以保證獲得解答的情境，而必須利用所觀察的數學相關訊息，去獲得問題解答 的過程。涂金堂(民 85)則認為，數學解題是指解題者在面對一道數學題目時，無 法立即發現獲得正確答案的途徑，必須融合運用已有的數學概念、原理或方法，
以求得解題的一種心理歷程。
本研究主要想探討學生於問題解決時的思考歷程，因此，參考「解題」的定 義，並且綜合以上學者的觀點，研究者將「數學解題」視為個體在面對陌生的數 學情境，運用或組織已有的數學知識、原理或方法，對於這個數學問題的情境進 行理解、分析，重組問題以產生解題可行的路徑，也就是形成問題空間來解決問 題，最後再對答案和解法進行評估的歷程。然而，許多研究者感興趣的是，解題 者在解決一道數學問題時，其解題的歷程是否有規律性？以下我們就進一步來探
討「數學解題歷程」。
二、數學解題歷程
自 1930 年代以來，「解題」已經是數學教育學家、心理學家所熱衷研究的一 個議題，由於受到一些心理學理論，如完形學派(Gestaltism)的理論、訊息處理理 論(Information processes theory)等的影響，數學解題的研究漸漸由過去的成果取 向轉為歷程取向，開始重視解題的歷程。當談到數學解題歷程時，我們就不得不 提及研究數學解題的始祖 Polya，他在 1945 年出版的《怎樣解題》「How to solve it」一書，對於教育者與研究者在發展數學解題理論及發展解題策略教學上有很 大的貢獻，且自從 Polya 提出數學解題歷程後，陸續有許多數學教育研究者提出 不同的解題歷程。以下我們來介紹幾個較著名的解題歷程模式：
(一) Polya 的解題歷程模式
Polya (1945)將數學解題的歷程分成下列四個階段：
1. 瞭解問題：這是解題的第一步，主要是根據題目所給的訊息，尋找未知數是 什麼？已知數是什麼？條件是什麼？……
2. 擬定計劃：為了求解未知數，必須完成哪些計算？要作哪些圖的時候，我們 就有了一個計劃。擬定計劃時，可考慮以前是否有解過類似的題目，若有類 似的解題經驗，則有助於計劃的擬定。
3. 實現計劃：根據規劃好的解題計劃，逐一採用各種可行的解題策略，進行解 題的工作。
4. 回顧：將所獲得的答案進行驗算的工作，以檢核它的正確性。
Polya 不僅指出數學解題的步驟，更進一步在這四個階段中分別提出解題的啟 發策略，藉以幫助老師們進行解題教學，協助學生成為一個獨立的解題者。
根據 Polya 所強調的解題策略教學，發現學生在學會許多解題策略後，常因 缺乏根據問題情境的判斷力及解題過程中的調整和監控能力，而無法順利完成解 題。接下來的兩位學者 Lester (1985)和 Schoenfeld (1985)，則分別提出「後設認 知」的看法，以彌補 Polya 解題歷程不足之處：
(二) Lester 的解題歷程模式
Lester (1985)修正 Polya 的解題歷程模式，提出「認知-後設認知」的模式，
清楚地將後設認知理論，融入整個解題的歷程中，使得後設認知與數學解題的關 係，更加明確地被表達出來。他特別強調後設認知在解題歷程中扮演監控、調整 和修正的角色，這些行為包含步驟的理解、訊息的分析、對工作熟悉度評定、困 難點或是成功機率的評估、監控計算過程及驗算…等。Lester 以六個階段來描述 數學解題，並且強調各個階段雖不同，但卻有相互的關係存在。現在將六個階段 分述如下：
1. 問題的察覺(problem awareness)：解題者對所面臨的情境，能察覺到是一個問 題，且有解決的意願。
2. 問題的理解(problem comprehension)：解題者將問題轉譯及內化。
(1) 轉譯(translation)：解題者將問題提供的訊息譯成自己可以了解的語句。
(2) 內化(internalization)：解題者從問題中選取自己需要且對解題有幫助的訊 息。
3. 目標分析(goal analysis)：解題者將問題變形並分析其結構，或設定相關子目 標來幫助達成目標。
4. 計劃的發展(plan development)：解題者擬定出解題計劃，包含可行的解題策 略及進行的程序、方法。
5. 計劃的執行(plan implementation)：解題者依照擬定出來的計劃加以執行。
6. 過程和解題的評估(procedure and solution evaluation)：檢查答案的合理性及正 確性，從目標分析到發現答案的整個過程皆屬於評估範圍。
Lester 的解題歷程模式除了將解題階段分得更細以外，還特別強調後設認知 的部分，值得一提的是，對 Lester 而言，問題的產生是要由解題者先察覺得來的，
所以他在描述解題六個階段中的第一個即是「問題的察覺」，但 Polya 而言，問 題是原本就有的，解題的第一個步驟則是開始瞭解問題。
(三) Schoenfeld 的解題歷程模式
Schoenfeld (1985)對 Polya 的解題歷程加以修正，並且主張影響解題成敗的 因素除了學生的數學信念、擁有的數學資源外，於解題歷程中的控制行為也是非
常重要的。在其所著《數學解題》(Mathematical problem solving)一書中，認為數 學解題是由下列四個變項所組成，且這四個變項形成如圖 2-1-02 的架構圖：
圖 2-1-02 Schoenfeld 的解題架構圖(1985)
1. 資源(resources)：指解題者開始的工具(tools)，即解題者擁有與解題相關的數 學知識，包括個人直觀的與非形式化的知識、數學事實、運算程序及相關的 技巧。
2. 啟發(heuristics)：在不熟悉或非正式的問題中有進展的策略和技巧，像是「畫 一個圖」、「考慮教簡單卻相關的問題」、「尋找組型」……等。即使解題者有 豐富的解題資源，若缺乏合適的策略，仍會不知如何下手。因此，啟發策略 是解題成功的重要關鍵，且能幫助個人更加了解題目，進一步擬定解題計劃。
3. 控制(control)：對資源和啟發策略的選擇及管理做適當決策，控制常居於解題 歷程的主導地位，包括擬定計劃、選擇目標和子目標、監控並評估答案、修 改或調整整個解題歷程活動…，使解題活動能獲得最後正確答案，相當於心 理學的「後設認知」(metacognition)概念，是一種監督的作用。
4. 信念系統(belief system)：解題者對數學的觀點，會影響其解題行為，包括決 定何種解題方法、使用或避免使用哪一種技巧、要花多少時間或做下多少工 夫在這問題上，它是建立在資源、捷思和控制之上。
Schoenfeld(1985, 1992)在其相關研究中發現，上述四個變項中，以控制因素 居於較為關鍵的地位，所以他特別在解題歷程中以控制的觀點，提出六個階段的 數學解題歷程模式：
1. 閱讀階段(reading)：開始於解題者口述題目的時候，也包括解題者為了更瞭 解題思考活動
信念系統 信念系統
啟發 控制 資源
解題意，而重複口述題目中重要條件的情況。
2. 分析階段(analysis)：解題者將問題簡化或以最適當的、有系統的方式將問題 重新陳述出來。
3. 探索階段(exploration)：一般而言，是從最原始的問題中找尋可以解題的方式 進行，如果解題者在探索期間遇到新的進展，它可能會進入到計劃階段或分 析階段。
4. 計劃階段(planning)：於分析或探索階段獲得一個解題路徑，並依此路徑規劃 解題步驟。
5. 執行階段(implement)：開始於計劃階段之後，將計劃階段所規劃的解題步驟 逐一實行。
6. 驗證階段(verify)：進行驗算工作，以檢查答案的合理性及正確性。驗證可以 發現一些因迷糊所犯的錯誤，或是發現一些可以使用於其他問題的解答上有 用的觀點。
此外，Schoenfeld (1985)對解題歷程採用巨觀的分析方式，主要探討解題者 在解題的歷程中於每個階段所使用的時間，並觀察每個階段轉換時，解題者所發 生的解題行為，接著根據這些解題行為，進一步分析解題者在四個變項中的異同。
(四) Mayer 的解題歷程模式
Mayer (1985, 1992)主要關注在解題者如何將問題的語言敘述轉換成數學的 運算敘述，對數學解題歷程及其所涉及的知識作了結構性的分析。他除了將數學 解題分成兩個部分：「問題表徵」和「問題解決」，並且提出數學解題歷程四個主 要成份之外，也特別指出各解題歷程中所涉及到的知識種類(如表 2-1-01)，可做 為教師在解題教學上的參考：
1. 問題表徵(problem representation)
(1) 問題轉譯：將問題的每個陳述句轉譯為內在表徵(internal representation)，
轉譯的過程中必須要了解句子的意義(即語言知識)，也需知道某些事實 (即事實知識)。
(2) 問題整合：將問題的每個陳述句整合而成連貫一致的問題表徵，整合的 歷程要能認識問題的類型(即基模知識)，並且區分哪些資料是與解答有
關的，哪些則是無關的。
2. 問題解決(problem solution)
(1) 解題計劃及監控：想出解題計劃(即策略知識)，並在解題的過程中監控 自己，知道自己在解題計劃的哪一個步驟。
(2) 解題執行：執行解題計劃，執行過程中要能夠應用到一些法則(即程序性 知識)，正確及自動化的執行算術及代數程序。
表 2-1-01 Mayer 數學解題的四項成份(1992)
成份 知識類型 一些子技巧
Problem translation 問題轉譯
語言知識 事實知識
重述問題的已知條件 重述問題的解題目標
Problem integration 問題整合
基模知識 認識問題的類型
認識有關及無關的資料 決定解答問題所需要的資料 用圖示或圖畫來表示問題 Solution planning &
monitoring 解題計劃及監控
策略知識 以「數字語句」或「方程式」或「必 須的運算列單」來表示問題
建立次目標 下結論 Solution execution
解題執行
程序性知識 進行單純的計算 進行連續的計算
綜觀上述幾位學者所提出的數學解題歷程模式，可發現其相同之處在於均對 解題活動進行認知結構分析，大抵皆以 Polya 的解題歷程為基準，視解題為一包 含多個步驟與多元成分的歷程，但各學者所強調的重點有所不同，現在將他們提 出的解題歷程模式與特色整理成表 2-1-02：
表 2-1-02 各學者的解題歷程模式與特色
Polya (1945) Lester (1985) Schoenfeld (1985) Mayer (1992) 階段一 瞭解問題 問題的察覺 讀題 問題轉譯 階段二 問題的理解 分析與探索
階段三 擬定計劃 目標分析 問題整合
階段四 計劃的發展 計劃 計劃與監控
階段五 執行計劃 計劃的執行 執行 解題執行 階段六 回顧 過程和解題的評估 驗證
特色 具原創性 將後設認知融入數學解題歷程中，
強調控制因素在解題歷程的重要性
注重解題者如 何將數學語言 轉成數學運算 形式
雖然 Mayer 之解題歷程模式的特色是將解題成分及相對應所需的知識類型 做了詳盡的分析，不過 Mayer 解題歷程模式中的監控行為只出現在第三個階段
「解題計劃及監控」，似乎並沒有強調解題者在其他階段中可能出現的監控行 為；同樣的，Polya 的解題階段理論，只在最後提出驗算答案的歷程，卻缺少了 對解題過程「察覺與監控」的部分，反觀 Lester 與 Schoenfeld 之解題歷程模式中，
除了可以涵蓋 Mayer 和 Polya 的解題歷程外，也談及了後設認知的部分，並且強 調監控是時時發生在每個解題階段中，較切合本研究的需求。不過，Lester 的解 題歷程模式中的問題是經由解題者本身去察覺而產生的，較偏重於數學家解決數 學問題的情境，如同先前提到圖 2-1-01 中(d)類型的題目，可能會涉及較複雜的 認知技能。本研究僅探討一般國中生解方程式應用問題，Schoenfeld 的六個階段 解題歷程模式具有簡單且明確之結構性，而他的數學解題原案巨觀分析架構，更 切合本研究的需求，因此研究者決定採取 Schoenfeld 的解題歷程六階段為本研究 分析的依據。
三、解題歷程研究法
由於解題是一種包含許多複雜心智活動的連續過程，透過解題歷程的分析可 以有助瞭解學生的解題方法、解題能力和解題困難等。在心理學的研究中，要將 內隱的學習歷程外在化，最早使用的方法是內省法，而 Rowe (1985)指出歷程追 蹤法、事後回溯法也是常用的方法；還有在數學解題研究中，Kilpatrick (1967) 所率先使用的放聲思考法；另外，面談調查法也是常用的方法。我們將這些方法 逐一介紹如下：
(一) 內省法(introspection method)
內省法是心理學基本研究方法之一，又稱自我觀察法。心理學研究通常要求 受試者把自己的心理活動報告出來，然後通過分析報告資料得出某種心理學結
論。所以，內省法就是鼓勵受試者在解題的過程中，將自己的感覺和經驗加以解 釋，利用此方法將受試者的內在思考過程外顯化，將他們所描述的意識經驗作為 原始資料，可以用來分析受試者的思考歷程。不過，在解題之中加入內省，可能 會干擾受試者思考的進行，流失心理運作程序的資料(劉錫麒，民 78)，也可能會 讓受試者在無形中將解題合理化，影響所蒐集資料的合理性與完整性。(潘宏明，
民 82)
(二) 歷程追蹤法(process tracing method)
歷程追蹤法是指由 Lazerte (1933)所設計的「封袋測驗」(Envelope test)，以 及被以後研究者引用修改的各種方法。封袋測驗是藉由受試者選擇事先書寫於封 袋上的各種策略，來監控解題歷程的每一個步驟，受試者選擇一項策略後，會發 現此封袋內另一組封袋，封袋中又有另一組解題行為供選擇。如此的程序一直持 續下去，直到問題解決為止。雖然這個方法可以用來評估受試者某些決定性的行 為是否恰當，但因為這些程序皆是預定的步驟，非受試者自發產生的，一般認為 不足以用來評估複雜的解題行為。
(三) 事後回溯法(retrospection method)
研究法中，事後回溯法是指一件事情發生之後，才放手收集有關此一事件的 各項資料，並分析其原由的研究方法。在解題上，則是要求受試者完成或局部完 成一道題目時，描述解題過程中所用的策略，因此，所得的資料是受試者記憶所 及的思維與行為。事後回溯法有著和內省法類似的缺點，也會有受試者對解題歷 程的主觀解釋，無形中將解題合理化的弊病。而且，人的記憶有限，當解題者對 於解題歷程回憶不完整，會容易混淆當前的知識和解題時的知識，口述的思考歷 程也可能與真正的思考歷程有所出入，研究者不易從中獲得可信的推論(Newell
& Simon, 1972; Anderson, 1986)。
(四) 放聲思考法(thinking alound procedure)
由於內省法及事後回溯法易受主觀和合理化的干擾；歷程追蹤法不能反映受 試者自發而且較複雜的解題行為，這些傳統探討思考歷程的研究方法難以令人滿
意，「放聲思考」慢慢成為普及且受重視的方法。在數學解題研究中，Kilpatrick (1967)率先使用放聲思考法，認為這是最適合使受試者產生可觀察行為順序的客 觀方法。所謂的放聲思考法指解題者在解題時，將腦中思考的運作情形，同步的 以語言口述出來，而研究者通常會採錄音或錄影的方式來記錄解題者的口述語 言，然後再之轉譯成為文字，即所謂的原案(protocal)(涂金堂，民 85)。放聲思考 可以提供研究者蒐集受試者解題時，其心智活動的及時資料(on-line data)；或者 配合運用回溯報告(retrospective reports)的方式來蒐集受試者解題時的回憶資料。
要分析放聲思考所蒐集的大量資料並不是件容易的事，Kilpatrick (1967)採用 微觀的原案分析，他發展了一套詳細的編碼系統來分析解題歷程所發生的解題行 為；而 Schoenfeld (1985)則採用巨觀的原案分析，將數學解題歷程分成六個階段，
主要探討解題歷程中，每一個階段所占用的時間。雖然放聲思考法比起傳統的方 法更適合來觀察學生解題歷程，但它仍有其限制，例如在口述的同時可能會干擾 思考、口述的速度無法將全部思考歷程表達出來、研究者需有高度的敏感度才能 避免忽略受試者之關鍵反應。此外，受試者若不習慣在解題的同時將想法說出，
也會造成執行上的困難，針對這點，Rowe (1985)則建議事先給受試者足夠的練 習，實施時並能酌予提醒以避免過長的沈默，讓受試者瞭解受試的目的，多少皆 有助益。
(五) 晤談法
晤談法是指兩個人(有時候包括更多人)之間有目的的談話，由其中一個人(研 究者)引導，蒐集對方(研究對象)的語言資料，藉以瞭解研究對象的思考方式(黃 瑞琴，民 90)。根據進行晤談時，事前所設計的晤談內容與程序的系統化程度，
以及晤談時的彈性大小，可以將之分為結構性晤談、半結構性晤談與非結構性晤 談三種。
1. 結構性晤談
晤談問題內容、反應範疇及進行程序均事先決定備妥，晤談時按照事先 擬定的晤談程序進行而不做任何改變，是最具系統化的方式。其優點是簡單、
省時、資料處理容易，但其缺點是蒐集的資料可能會不夠深入。
2. 半結構性晤談
指晤談前先確定問題主題、範圍與大概內容，至於晤談內容細節可容許 研究者視情況而作彈性處理，因此訪談資料不但較能符合資料蒐集的目的，
也可使訪談更有深度。Hoyles (1989)曾利用半結構晤談法，要八十四名 14 歲 中學生說出一個好的和一個不好的學習經驗，可以用來瞭解學生對數學課的 印象。雖然學生可以很自由地描述中學階段的學習經驗，但為了有系統的探 討與收集資料，Hoyles 將面談分成以下六個階段進行：
(1) 向學生說明將以聊天的方式進行，這種不拘型式地交談，目的是為了讓學 生感到自在。
(2) 蒐集學生的一般資料。
(3) 正式請學生談一段好的及不好的學習經驗。
(4) 引導學生說出具體細節。
(5) 引導學生描述當時感受。
(6) 是否還有其他的故事。
3. 非結構性晤談
在完全自由開放的條件下，依照研究者的心態，在不同情境下，隨意進 行晤談，大部分的問題都是從立即的情境脈絡中流洩而出，即研究者並未事 先設定問題及答案，問題完全來自與晤談當時與被受訪者互動後所產生，所 以研究者必需對受訪者的個別差異和情境變化具有高度的反應力。其優點是 蒐集的資料內容深入，但其缺點是耗時且資料蒐集無系統、整理困難。
分析以上各種解題歷程研究方法後，研究者認為內省法及事後回溯法皆易受 理由化及推論的干擾；歷程追蹤法又不能反應受試者複雜的解題行為；若在受試 者解題時當面進行晤談法，除了會干擾解題外，也較無法獲得受試者較完整的解 題歷程資料。故本研究以放聲思考法為主要研究方法，但為了彌補學生在解題過 程中，可能會遺漏一些未同步將腦中思考運作情形說出來的狀況，同時也為了瞭 解學生在當時的情緒和信念是否影響其解題，故在學生解完題後，進行半結構性 的晤談。
第二節 方程式應用問題
在所有數學問題中，應用問題是最難的，因為要成功的解應用問題，其所需 花費的心智資源比起其他類型要來得複雜許多，也因此在教學的困難度相形之下 比較不容易。加上方程式的解題在國中數學課程裡也是較為困難的部分，因此，
有關方程式的應用問題確實是國中生數學學習上的一大挑戰。以往對於應用問題 的研究中約可分為兩個面向，一個是從方法上出發，改變教學方式來提高學生解 應用問題的可能性；另一個則是深入認知歷程，試著去建構學生解答應用問題一 個較完善的思考歷程。本節為了對方程式應用問題有更深入的瞭解，將分別探討 方程式應用問題錯誤類型相關研究以及方程式應用問題解題歷程相關研究。
一、方程式應用問題錯誤類型相關研究
一般而言，解方程式應用問題(或稱「代數文字題」)常需要兩種能力：方程 式的運算能力、對題目的理解能力。學生如果不瞭解題目所牽涉的概念，一定難 以理解題目的涵義；如果計算技能未能熟練，亦會影響概念理解及認知策略的運 作。學生解方程式應用問題的能力低落，一直是教育研究者想探索的問題。國內 外有不少針對方程式應用問題的研究，這些研究為了發現學生在解方程式應用問 題時，會產生的錯誤類型，並且探討產生的主要原因。
國立編譯館 64 年版的國小數學課程第十一冊「怎樣解題」的單元，裡面已 經有牽涉到國中一元一次方程式的觀念，是國小學生第一次接觸到方程式應用問 題，當時的小六學生在這個部分的解題就有很大的困難。林碧珍(民 79)以 96 位 國小六年級學生及 16 位教師，以「學生解題測驗」、「教師解題測驗」、「國小數 學課程(怎樣解題)實施情況調查問卷」等工具及採用面談方法搜集資料，逐題分 析學生的思考方法及錯誤類型，對於學生解題表現有以下幾點發現：
1. 學生較能從問題的表面形式去辨別是否為類似題，但較難從問題的結構上去 辨別。
2. 學生通常不仔細閱讀題目，或是還未看完題目便很急迫的作答，或根據一些 關鍵字去列式，或將題目所有出現的數字以及＋−×÷等運算符號混合運算，
完合不知道其列式是否有意義。
3. 低程度的學生大部分停留在語意的不瞭解，無法將語句轉換成自己的語言，
中程度的學生仍無法將語意轉換成數學式子。
從林碧珍(民 79)的研究可以知道國小學生在解方程式應用問題可能會產生 的困難或錯誤類型，那麼國中生解方程式應用問題的困難或錯誤類型是否也和國 小學童類似呢？袁媛(民 82)探討國一學生解代數文字題的過程中，學生所產生不 同的困難情形，可區分為四個不同的層次：
(a)層次一：能理解問題及假設問題；
(b)層次二：能理解問題、假設問題及導出未知數；
(c)層次三：能理解問題、假設問題、導出未知數並建立方程式；
(d)層次四：能理解問題、假設問題、導出未知數、建立方程式、解方程式並寫 出答案。
且研究結果顯示，學生解題的困難多出現在利用假設的未知數把另一個未知數表 示出來方面。若學生能達到層次二的解題能力，則多能將問題正確地解出。
此外，林清山、張景媛(民 83)則經由放聲思考與問題思考兩種方法對國二學 生在解決一元一次方程式及二元一次方程式應用問題錯誤概念加以整理，發現學 生在下列四方面容易發生錯誤：
1. 問題轉換的錯誤：包括學生對於關鍵詞的詞意無法充份瞭解、對於問題中哪 些是無用的條件分辨不清。
2. 問題整合的錯誤：包括缺乏基本的數學概念、學生無法知覺到所計算出來的 答案是否合理、學生不會假設、學生套用固定的模式而不知隨問題的變化加 以改變。
3. 解題計劃及監控的錯誤概念：學生未能處理已知條件與未知條件之間的關 係，以致假設與式子不符、無法針對不同的問題採用不同的解題策略、學生 以為一個題目只有一個解法、學生會受到前後題的影響而採用不當的解題策 略。
4. 解題執行的錯誤概念：在解方程式時會產生移項之錯誤，移項錯誤多半是因 為學生缺乏等號兩邊等值之概念、學生不習慣使用代入消去法解聯立方程 式、或是學生在使用加減消去法時容易產生正負號混淆的情形。
在國外的研究中，Mayer (1982)要求大學生解以下類型的代數文字題，例如：
「一幅長方形的圖畫，它的面積比加了兩吋寬的畫框後的面積少了 64 平方吋。
若這幅圖畫長比寬多了 4 吋，問此圖畫的面積為多少？」這個問題包括了三種陳 述句：(1)指定句：給定某一個變數一個數值，如「畫框為 2 吋寬」；(2)關係句：
表示兩個變數間的數量關係，如「長比寬多 4 吋」；(3)疑問句：求未知數的值，
如「圖畫的面積為多少？」。研究結果發現，這些大學生在解題時仍容易出現以 下的錯誤：(1)細節的錯誤(specification error)：指在陳述句中，一個變數轉換到 另一個變數的能力不足。(2)轉換的錯誤(conversion error)：無法將關係句的形式 轉譯為陳述句的形式。(3)遺漏的錯誤(omission error)：指對文字題不能完整回憶 的結果。
Laborde (1990)發現對於代數文字題的解題，有的學生可以把題目寫成代數 式，但並不瞭解其意義；有些學生會列式子，但不會運算；也有些學生一開始就 不懂如何把語言訊息轉換成符號訊息來運算。Clement, Lochhead, & Monk (1981) 的研究則指出，有很大比例主修科學的學生甚至無法將簡單的句子轉成代數方程 式，像是將「學生人數(S)是教授人數(P)的六倍」的敍述轉譯成方程式時，最常 出現的錯誤類型為「6S = P」，此種被稱為＂逆轉(reversal)＂的錯誤，原因是因為 學生不瞭解題目的意義，只是根據句子文字敍述的順序，將它轉換成文字加以表 示出來而已，即所謂的自序的配對(word order match)，他們發現學生解題出現錯 誤多半是在將文字轉成方程式所產生，而非是簡單代數技能，或簡單的比例問 題。Wollman (1983)對 Clement 等人的研究工作做進一步的研究，他發現造成這 些轉譯錯誤的原因有下列幾點：(1)做的太快；(2)列完方程式沒有立即檢驗；(3) 未根據問題的意思列式；(4)未使用文字符號來列式。這個研究也發現其實要求 學生多花幾分鐘時間，從句子意義的瞭解來列式並檢驗方程式，學生幾乎可以達 到 100%的成功率。
學生在解方程式應用問題的過程中，會產生許多不同的學習困難與錯誤類 型，林清江、張景媛(民 83)的研究不論在研究對象或研究範圍都與本研究類似，
其研究結果更值得研究者注意。綜合以上所述，這些困難與錯誤大致分為(1)對 題意之理解；(2)如何將問題轉譯為內在表徵；(3)列出正確的方程式；(4)正確的 計算。而且，大部分學生的困難都發生在對題意之理解以及將問題轉譯為內在表
徵。探討學生解方程式應用問題的錯誤類型，提供研究者在進行寫作活動教學 中，特別注意學生容易發生困難的部分，利用數學寫作協助學生克服這些困難，
減少解題時錯誤的發生。
二、方程式應用問題解題歷程相關研究
近年來，數學解題的研究受認知心理學解題理論的影響，漸漸由過去的結果 取向轉為歷程取向，強調將解題歷程細分成若干個不同的階段，比較不同數學能 力的解題者，在各個階段所表現的解題行為的差異情形。在數學解題歷程的研究 中會依據不同學者所提出的解題模式，由於本研究是以 Schoenfeld (1985)的數學 解題模式為分析基礎，故以下僅探討同樣以 Schoenfeld (1985)的數學解題模式為 分析基礎的相關研究。
林明哲(民 79)以 Schoenfeld 的解題歷程六個階段，研究國中生的解題行為，
探索其解題時之內在心理歷程，並且比較專家(大學生)與生手(國中生)在六個階 段之不同處，結果發現這兩者在六個階段中皆有明顯的不同。專家和生手比較，
專家讀題速度較慢，花較多的時間在分析題意，較會主動的偵測是否遺漏關鍵性 條件，常經過深思後才進入計劃階段，執行計劃時常會進行評估及常常進行驗證 的工作。
李靜瑤(民 83)以 Schoenfeld 的解題歷程為基礎，將解題歷程分成讀題、分析、
計劃、執行及檢討五個階段，研究 8 位國二學生解題歷程。結果發現，成功解題 者較常利用方程式解題，大都經歷讀題、分析、計劃與執行等四個階段；失敗解 題者則常為獲得答案而拼湊數字、或不當的套用公式，往往只出現讀題和分析兩 階段。
涂金堂(民 85)以六位不同能力的國小六年級學生為研究對象，探討他們解非 例行性問題的解題歷程。研究結果顯示：在讀題、計劃階段，三組不同能力的學 生並沒有明顯的不同；在分析、探索、執行及驗證這四個階段，所轉換的階段次 數及所使用的時間方面，低能力組都明顯少於中、高數學能力組的同學，而三組 不同能力的學生在解題表現上都與林明哲(民 79)和李靜瑤(民 83)的研究結果相 符。值的注意的是，在涂金堂的研究中，學生放聲思考的原案除了用逐字稿呈現 外，還繪製成時間架構圖，用來分析解題歷程的各階段的轉換及所花費的時間，
比起其他研究只是用文字描述學生各階段的表現，更加深入。
謝明昆(民 91)探討國中二年級六位不同能力學生解文字題的歷程，研究結果 發現，學生只有在計算繁複或對結果有疑慮時才會經歷驗證階段；中低數學能力 學生各階段表現與高數學能力者有明顯差別：
(1) 高數學能力者讀題速度慢，次數也較少；可將問題各種相關訊息統整，且將 題意轉譯成內在的表徵；能對問題的情境進行分析，並發展自己的演算規則；
會花費較多時間在解題計劃上，先思考解題方式再去計算數字。
(2) 中低數學能力者讀題速度快，讀題次數多；不去注意關鍵字句，只把焦點放 在題目中有數字的部分；解題計劃不明顯，有時直接跳過這一步，甚至毫無 解題計劃，只是對數據隨意的進行反覆運算。
張國樑(民 93)參考 Schoenfeld 的解題歷程模式，將解題歷程畫分閱讀題目、
問題分析、解題計劃、解題執行、驗證解答等五個階段來探討不同能力的六位國 二學生在解國中代數文字題的解題歷程、解題策略及探討影響數學解題成敗之因 素。結果發現：(1)成功解題者較常進行驗證階段，失敗解題者較少經歷驗證階 段；(2)中、高數學能力者，在解題時，具有豐富的數學資源，能從各種不同的 解題路徑切入，變通性大；(3)中、高數學能力者，在解題時，常對題目所隱含 語意及重要條件間的關係，做較深入探討分析，找尋解題關鍵。而低數學能力者，
較少做分析題意的行為，常隨題目中的數字做四則運算；(4)高數學能力者有強 烈的解題意念，經歷幾次失敗仍能改變解題路徑持續向前。中、低數學能力，在 幾次失敗後，不願再嘗試，立即宣布放棄。
在謝明昆(民 91)、張國樑(民 93)的研究中都以國中二年級的學生為研究對 象，與涂金堂(民 85)的研究相同，均將學生分成高、中、低能力組三組，每組各 兩位。而他們研究中的數學文字題是涵蓋國一、國二數學課程中可能出現的應用 問題，本研究則聚焦在以方程式解題為主的應用問題，這是與他們的研究有所差 異的地方。
學生初次面對方程式應用問題的解題過程與前面 Schoenfeld 等學者所談的 問題解決的歷程十分相近，都要經歷過對問題的瞭解、做出判斷、提出假設、擬 定有效的解決方案(列出適合的方程式)、運算與求得解答、及對所求的答案做出 正確合理的解釋與判斷、評估的解題歷程。本研究直接採取 Schoenfeld 所提出的
解題歷程模式的六個階段，除了像上述各研究一樣根據原案分析將學生各階段的 表現做詳盡的文字描述外，再參考涂金堂(民 85)的研究繪製時間架構表徵圖，深 入分析各階段的轉換情形和時間的花費。
綜觀上述的研究結果，可以歸納得出：數學能力較高的解題者，讀題速度慢 且仔細、深入分析題目所隱含的語意及各條件的關係、會先瞭解題目的情境再去 計劃解決、能從不同的解題路徑切入、較多時間花在解題計劃上、並且能時時刻 刻監控自己的解題行為，他們的解題行為較偏向專家解題模式；數學能力低的解 題者，讀題速度快且只注意數字的部分、較少有分析題意的行為、常隨題目中的 數字做四則運算、對於求得的答案未做驗證的工作，他們的解題較偏向生手解題 模式。研究者藉由這些研究，初步瞭解不同能力組在解題各階段不同的表現，可 以用來衡量學生在經過數學寫作的訓練後，解題表現是否更貼近專家模式。
第三節 數學寫作活動
本研究想要瞭解數學寫作對於學生解題能力及解題歷程的影響，本節一開始 先探討數學寫作形式，再討論數學寫作與數學解題的關係，最後探討國內和國外 與數學寫作相關的研究，對本研究在設計寫作活動上有所幫助。
一、數學寫作的形式
數學寫作因寫作時間及功能而區分成多種形式，Kenyon (1989)根據寫作所需 的時間，將寫作分成長時期寫作與短時期寫作：
1. 長時期寫作(long-term writing technique)
長時期(從數天到數週)寫作大致可分為三個階段：
(1) 預寫或計劃(prewriting or planning)：這階段比其他階段需要更多認知過 程，如同學生在解題過程的一開始，試圖去理解問題的條件以達成目 標。開始於記憶的搜尋，尋找解題資訊、策略和技能，接著將可能的解 法整理和組織，在最後將所有的想法加以評估並做選擇。
(2) 寫作(writing or composition)：學生將之前的想法轉換成明確的文字表現 出來，開始進入寫作程序。在此階段，學生不需要太注意拼字和文法。
(3) 修正或再寫(revision or rewriting)：檢視自己的思考歷程，修改使得內容 更清楚和聚焦。
像閱讀數學書籍後的讀書報告、設計一個方案教人如何賺錢、存錢和理 財、寫一本書、或撰寫科展的研究報告等，它們都是長時期寫作的例子。
2. 短時期寫作(short-term writing technique)
短時期寫作形式有各種類型，分別適用於不同的教學風格、年級和班級 大小。它們可能發生在每天課堂裡幾分鐘的寫作練習，也可能是一整堂課的 寫作。寫作的形式像是解釋理由、比較概念、文字題、摘錄重點、擬題、做 筆記、日誌寫作。
Britton 等人(1975)依據語言使用的功能(functional use of language)將寫作區 分為表達性寫作(express writing)和執行性寫作(transactional writing)，而 Rose (1989)則舉更多例子來補強 Britton 原先的分類：
1. 表達性寫作
它是一種在紙上的放聲思考(think aloud on paper)，企圖讓思考過程明朗 化，用一種最貼近思考的語言，記錄寫作者對一個問題或情境脈絡當下的感 覺和想法，最終是希望讀者能了解寫作者想表達的意思。它又可分成下列幾 種形式：
(1) 自由寫作(freewriting)：大部分的自由寫作的內容是短的、無約束的、不 經評分的，僅在課堂中用 3 至 7 分鐘完成，鼓勵學生讓思想自由的奔流。
不過課堂上的自由寫作較注重讓學生把焦點放在內容與想法上，或表達 他們所遇到困難或挫折(Burton, 1985)。
(2) 寫信(letter)：學生對寫信是較為熟悉的，King (1982)要求學生寫一封信 給他們的朋友或夥伴，分享他們對數學的感受、討論如何解決一道問 題，或是給予建議如何在數學上拿高分。學生也可以寫一封信告訴老師 他們在課堂上學了什麼，這提供學生一個機會去反思他們的表現、確定 學習的規律，並且對他們的學習負責。而教師也可以從寫信中洞察學生 的態度、在意的部分，為教學帶來回饋。
(3) 容許的紙條(admit slips)：Schmidt (1985)讓學生在小紙條上寫下他們的困 難並且對摺，可以匿名，但不能存有惡意、不能涉及人身攻擊。Schmidt 再將紙條的內容唸給班上同學聽。這樣的方式給予學生機會去表達數學 焦慮、分享他們的成功和問題，停下來並且去考慮什麼是他們擁有的而 且仍可以學習的。
(4) 自傳寫作(autobiographical writing)：此類型的寫作適合於寫作初期，給 學生機會去寫一些熟悉的生活經驗或先前數學學習的經驗。學生會了解 到寫作過程是一個讓他們可以確認感覺和經驗的媒介，寫出的成品可以 成為參考和反思的記錄。對教師而言，自傳的寫作提供教師對學生的洞 察，初步了解個別學生的差異和需求。
(5) 日誌(journals)：數學日誌是指學生將每次上數學課的心得或是每單元教 學時所引發的想法或產生的困難，形成例行性的學習記錄。數學日誌可 公開給某些觀眾如老師或同學，也可以是私有的。可以利用每節課 5-10 分鐘進行日誌寫作，也可以讓學生於課後完成，它可以很有結構地由教
師安排主題和問題，也可以較無結構地由學生自行決定內容。日誌內容 以能培養學生的思考能力、分析能力、及批判能力等高層次思考為命題 的主要原則，像是讓學生解題或擬題、數學意義的解釋、回顧上課的內 容、上課的心得或感想、反省思考自己在課堂上的表現…等。
2. 執行性寫作(transactional writing)
利用數學符號或文字有結構地向別人報告或寫下數學概念、過程和應用 等想法，清楚地呈現個人對數學的理解。其寫作形式有以下幾種：
(1) 摘要(summaries)：學生在閱讀某篇文章或是學習完某個概念或解題技巧 後，選擇他們覺得相關且重要的部分，用自己的文字重述一次。不管是 重寫課文大意或是提出一堂課的重點，摘要使得教材變得更個人化且能 促進對數學概念的記憶。
(2) 提問題(questions)：當學生能夠想出並寫下問題，他們就會注意到他們 無法理解的部分；當學生能將學習困難寫在紙上，可以減低焦慮。教師 可以在課前收集學生在作業上遇到的問題，並在課堂中或課後給予回 應，學生也可以經由彼此的討論回答同儕提出的問題。
(3) 解釋(explanations)：學生寫下他們如何去解決特定的問題，如何避免錯 誤或去說明發生錯誤的部分。對數學概念和過程寫下解釋，可以提升言 辭表達的精確。
(4) 下定義(definitions)：學習數學不可避免需要去熟悉基本的定義，教科書 上呈現的定義往往抽象難理解，學生若能用自己的話去轉化定義並重新 闡述，除了可以加強了解概念的意義，更可以加深印象。
(5) 報告(reports)：形式上的報告即傳達了「寫作在各領域是很重要」的訊 息，教師可以提拱一些數學報告的主題，像是問題解決報告、有名數學 家的傳記、數學關切的研究、電腦技術的發展、有關數學的職業。教師 應當針對內容和品質來評定報告，並在各部分給予回饋。
(6) 文字題(word problem)：當學生進行擬題時，他們會選擇自己熟悉的情 境，並且知道數學如何應用在生活上，可以在解課本裡的文字題更有信 心。將自己擬出的題目公諸於班上，一些差異和疏忽會顯現，學生有機 會去立即澄清，這樣的活動將增進同儕間在數學上的溝通。
(7) 論文(essays)：在試卷上要求學生寫下的論題，例如「什麼叫做解方程 式？」，教師需花較長的時間去批改，但卻可帶給學生在教材的理解上 有價值的回饋，這種測驗方式適合去評量高層次的認知。Stempien &
Borasi(1985)提出要求學生寫下有關後設認知的論文，像是數學上的定義 和証明，可以豐富學生對數學的理解。
(8) 寫書(books)：由一群學生互相合作，挑選一個主題，從擬草稿、修訂、
到完稿。學生在選擇參考資料時會吸收很多資訊；透過與同儕不斷地討 論，培養出溝通的能力；最後成品可當模範，完成的榮耀將屬於整個班 級。
(9) 筆記(notetaking)：在課堂進行時或書本上做筆記，學生才能成為真正的 參與者，而不是在課堂上空想或沒有理解的去閱讀。
周立勳、劉祥通(民 87)認為數學寫作活動的方式通常分為一般性寫作、特 定性寫作兩類：一般性數學寫作包括數學札記寫作、自由寫作、數學解題記錄…
等；特定性數學寫作則包括擬題、編寫數學故事、焦點寫作…等。袁媛(民 92) 將寫作以實行時機大致分為常態性與機動性兩類：常態性數學寫作包含學習日 誌、標題寫作、闡述性寫作；機動性數學寫作包含札記、創造性寫作、主題性 寫作。
Wilde (1991)建議數學寫作的內容可以包含：
1. 寫下所學或所做的內容：如果學生一開始不知道要寫什麼，教師可鼓勵他們 畫下所學的內容。
2. 文字題(word problems)：學生結合個人生活經驗轉變成數學語言。
3. 程序題(process problems)：即透過推論、判斷、嘗試的方法去洞察問題的答 案。
綜合比較上述各分類，研究者認為 Britton (1975) & Rose (1989)將數學寫作 分成兩類，而且分別列舉了各種不同的寫作形式，內容比其他學者所提出的更加 完善豐富，除此之外，Britton (1975)的分類方式較切合本研究的需求，表達性寫 作偏向於記錄在某個情境脈絡當下的感覺和想法，學生使用自己熟悉貼近的語言 直接表達，是比較可以自由發揮的部分，因此適合寫作初期使用；而執行性寫作
則需要較結構性的數學語言清楚地呈現個人對數學的理解，適合寫作中、後期，
這時學生已經對寫作感到不陌生。因此，研究者分別從這兩類中挑選了幾個可以 用來與數學解題結合的寫作形式：「執行性寫作」中的「摘要」、「解釋」和「文 字題」以及「表達性寫作」中的「寫信」、「自傳寫作」和「日誌」。另外，學生 的解題歷程也是本研究所關心的部分，Burks (1993)則結合 Polya 的解題歷程，提 出了「執行程序」(executive process)的寫作活動，採用「標題寫作」(rubric writing) 方式，學生必需按照解題歷程順序所列出的關鍵標題綱要，表現心理與思考運作 的內容，這是用來幫助學生有系統的逼近未解的問題，在解題教學上具有相當的 參考價值。研究者也採納「標題寫作」的方式來作為整個寫作設計中的其中一個 寫作形式。
雖然各個學者依不同的面向或方式將數學寫作做分類，但研究者認為寫作形 式本身還是比較重要的，不同的教學單元、教學環境與學生特質，就有其適合的 數學寫作方式，倘若數學老師可以熟悉這一些寫作形式的內涵，妥善運用，必能 使寫作在數學學習中發揮最大功效。
二、數學寫作與數學解題的關係 (一) 寫作歷程與解題歷程相呼應
早期的寫作研究視寫作為一直線前進的歷程，偏重外在的寫作活動，只注意 寫作階段的前後順序。隨著認知心理學的發展，認為寫作歷程具有遞迴(recursive) 的性質，因此，寫作模式的發展研究亦走向心理複雜的運思歷程，歷程寫作教學 的倡導者認為，寫作者在寫作前僅有大致的想法要寫什麼，真正寫出來的內容是 在寫作歷程中不斷地計劃、回顧檢閱及修改才慢慢發展出來，而外在的環境以及 寫作者的經驗皆會影響寫作歷程。其中以 Flower 與 Hayes (1981)提出寫作的認知 模式(如圖 2-3-01)最受重視。根據他們的分析，寫作歷程包含了三個層面：寫作 環境、寫作者長期記憶及寫作過程：
1. 寫作環境（the task environment）：
指將影響寫作表現的外在情境，包括寫作任務、主題的描述、讀者的意 向、一些刺激線索以及到目前為止文章已完成的部分。
2. 寫作者的長期記憶（the writer’s long-term memory）：
指存在作者儲在長期記憶裡有關主題、讀者和寫作計畫的知識。在寫作 前，作者會依據寫作目的和題材，將儲存於此有關字詞、文法、標點符號和 寫作文體等方面的知識提取，用來促進寫作的完成。
3. 寫作過程（the writing process）：
根據認知心理學的分析，整個寫作的歷程涉及相當複雜的認知活動，
Flower& Heyes(1981)曾指派作文作業給一些人，並要求他們描述在寫此項作 業時內心正在想什麼，這種程序叫做「放聲思考」，根據他們對放聲思考的寫 本進行分析的結果，找出了寫作的三種不同歷程：「計劃」、「轉譯」和「回顧」
等三項主要過程，而這三者在實際寫作過程中的「監控」下彼此相互交替進 行著。
(1) 計劃(planning)：這歷程主要在產生想法、組織想法、目標設定。其中「產 生想法」是指從長期記憶和寫作環境中，把與寫作有關的訊息提取出 來；「組織想法」是根據目的和需求，將有用的東西加以整理規劃；「設 定目標」是指依據寫作的目的和對象，設定撰寫的方向和筆調，引導寫 作計畫的執行。
(2) 轉譯(translating)：轉譯是指正式下筆，將寫作計劃的構思轉換成可接受 的符號表徵，也就是所謂的「起草」。根據分析，此歷程極為複雜，因 為個人工作記憶量將會擴展至極限，需要同時考慮許多工作，如：擬定 的目標和計畫、內容的組織、用字和標點符號、文法規則及其他。
(3) 回顧(reviewing)：該歷程在整個寫作過程中扮演著極為重要的角色，目 的是在隨時評估寫出的內容是否符合原先的目標，並且修改不滿意的地 方。因此，回顧包括「閱讀」：找出正文有問題的地方、「修改」：嘗試 去改正這些問題。
(4) 監控(monitor)： Flower & Hayes (1981)兩人也認為寫作歷程並非依順序 直線進行階段模式，而是歷程和次歷程隨時交互運作、循環遞迴的複雜 模式。因此，監控是指寫作者不斷審視計畫、轉譯、回顧三者間的關係，
對於過程的一種思考。事實上，作者本身對於整個寫作過程的瞭解與監 控，對策略的採取、執行，以及對作品不當之處的辨認與修改，都和「後 設認知」（meta-cognition）的能力有關（Englert & Raphael,1988）。至於
認知監控的功能因人、因事而異，寫作者本身對整個寫作過的瞭解與監 控；對策略的選取與執行；及對作品的辨認與修改都和後設認知能力有 關(張新仁，民 81)。
圖 2-3-01 Folwer & Hayes 的寫作歷程模式(1981)
Hayes (1989)指出，瞭解寫作最好的方式就是將寫作過程視為問題解決過 程，因為當我們面臨一個寫作情境時，事實上也是面臨一個問題解決的情境，意 即在寫作的過程如同解題一樣，需要瞭解問題、分析、推論並回顧檢核其合理性。
寫作歷程中，寫作者在獲悉寫作主題後，下筆為文前，會先行構思寫作內容，並 針對鎖定的寫作目標加以組織。而後將腦中湧現的寫作素材轉換成口頭語言，並 謄寫成書面的文字。在這將「觀念產出」轉換成文字表徵的歷程中，寫作者仍會 不斷觀前顧後，對即將產出的內容和已完成的文章進行評估和修改。同樣的，解 題歷程中，解題者在閱讀完題目後，動筆解題前要，必需先瞭解題意，接著，活 化記憶中相關的知識，將問題和知識匹配起來之後，擬出一套解題計劃，並執行 計劃，最後對答案進行評估、檢驗。而劉祥通與周立勳(民 86)曾提到寫作的「計 劃」包含了解題時的「瞭解題意」與「擬定解題計劃」，而「轉譯」與解題的「執 行解題計劃」相對應，最後寫作與解題兩者都強調「回顧」的歷程，因此兩者思
寫 作 環 境 修辭上的問題：
題目、讀者、刺激線索
文章已完成的 部分
寫作者的長 期記憶：
有關主題、
讀者和寫作 計劃的知識
寫 作 歷 程 計 劃 轉 譯
監 控
回 顧 產生想法 組織想法 設定目標 修改 檢查
考的心理歷程幾乎是相互對應的。
經由比較 Flower 與 Hayes (1981)提出寫作的認知模式和 Polya (1945)的四個 解題歷程或 Schoenfeld (1985)的解題歷程六階段，我們幾乎可以發現，寫作歷程 和解題程是相符應的，因而數學寫作活動可以成為數學解題過程的一個好策略 (劉祥通，民 86)。
(二) 數學寫作與解題能力
在數學教學上，發展學生的解題能力可以從發展學生的認知策略開始進行 (Mayer, 1992)。這些策略包括發展學生表徵問題、監控解題計劃、及執行的能力。
除了先前提過的數學寫作歷程與解題歷程相符應外，研究者將解題能力分成「表 徵能力」、「執行的能力」以及「後設認知能力」三個面向，並且從這三方面來探 討數學寫作和解題能力的關係。
1. 表徵能力
表徵(representation)是個人對於問題的理解所形成的一種轉譯方式，用來 幫助思考、溝通、以及解決問題，它是數學思考過程的表達以及結果的呈現。
表徵不但是學習的重要工具，也是個人運思的材料和溝通的重要工具(游自 達，民 84)，可見表徵除了是與他人溝通的媒介，也是促進學生學習概念的媒 介。Simon (1980)在方程式應用問題的解題研究中發現，一般學生在學習方程 式時，大都缺乏運用符號表徵未知數的能力；Lewis & Mayer (1987)則發現大 部份學童學習代數解題之初，對文字符號會感到困難，其主要原因就在於如 何將問題轉譯成方程式的表徵方式。Kotovstky, Hayes, & Simon (1985)認為問 題表徵有三個優點：(1)好的問題表徵可以幫助減少記憶的負荷量；(2)好的問 題表徵有助於組織問題的情境與規則，並且幫助決定某些特定的步驟是否可 行；(3)好的問題表徵可促使解題者瞭解目前的解題進度，以及可能遭遇到的 潛在障礙。由上述的研究可知，缺乏表徵的能力確實使學生在學習概念上產 生很大的困難，而好的表徵除了可以促進學習，對解題也有莫大的幫助。因 此，培養學生表徵的能力就格外重要了。值得注意的是，每個學生可能有不 同的表徵方式，表徵方式的不同代表著每個學生都有屬於自己習慣使用的語 言，而「寫作活動」是被許多學者認為有助於學生連絡各種不同數學概念的
表徵，例如：物體的、圖像的、符號的、文字的與心理的表徵(劉祥通、周立 勳，民 86)。所以藉由數學寫作連結不同表徵功能可以讓學習者的思慮清晰，
促進學生數學解題的能力。
2. 執行的能力
執行階段通常發生於計劃階段之後，進行的可能是算術的運算、也可能 是代數上的運算，解題者必需要熟悉這些運算規則，才能使解題更為順利。
在方程式的解題過程中，符號運算程序本身就較為嚴謹且有規律，包括加減 乘除的運算以及括號的去除。雖然運算規則可提供一條有效的路徑以確保正 確的答案，但學生常做一些零碎且沒有目的的練習，因此，學生只是枯燥、
無意義、不求甚解的演練一些規定的形式，通常不知道如何或為何這些程序 行得通。而寫作可以幫助學生自己意識到運算法則(Whitin, 1998)，因為寫作 活動在行動之後尋找理由，也是在尋求解釋，Anderson (1995)的研究指出學 生若能把過程詳細敘述，就能增進理解與保持學習效果。因此，利用寫作為 一些演算規則增加解釋性的說明，可以促進學生程序性和概念性的理解。
3. 後設認知能力
為了提升學生解題能力，許多研究顯示(Lester, 1989; Schoenfeld, 1985)，
學生雖然學會多種解題策略，例如：畫圖、簡化問題、猜測、發現關係、推 理…等，但卻常不知該採用何種策略進行解題。能夠有效運用解題策略和技 巧，解題者如何監控、調整和修正自己的解題歷程或答案，這些都與後設認 知的能力有關。後設認知對於解題是很重要的，倘若學生能察覺到他們自己 學習與記憶的過程，能自己已知哪些、未知哪些，清楚自己的思考歷程，將 對學習有很大的幫助(薛麗卿，民 88)。Garofalo (1987)指出老師提供的數學問 題或作業，若能使學生產生省思、分析、或陳述的活動，將有助於後設認知 能力的發展。數學寫作活動不僅將認知的知識做組合轉譯，也注重監控與調 整，以重新閱讀與檢驗的方式幫助學生重整自己的想法，有助於後設認知能 力的培養。因此，寫作活動可以幫助提升學生後設認知的能力，進行提升解 題能力，Kenyon (1989)表示當學生能將想法及解題步驟寫下時，解題者可以 清楚看到解題過程，並可以立即的回饋或反應，所以寫作可以幫助每個解題 步驟接受評價及修正能順利進行。
