為焦點的橢圓﹖

(1)

4-2 橢圓

1. 右圖中哪一個橢圓是以

F₁

﹐

F₂

為焦點的橢圓﹖

(1) 

₁

(2) 

₂

(3) 

₃

(4) 

₄

﹒

由圖可知﹕橢圓長軸之半為 5 個單位長﹐兩焦點距離之半為 3 個單位長﹐因此短軸長之半為 5²3²  16 個單位長﹐故由圖4 可知正確的選項為(3)﹒

2. 設

F1

 4 , 2  ﹐

F2

 4 ,  4  ﹐且圖形  上的動點 P 滿足

PF₁



PF₂



k

﹒下列哪些選項中的

k

﹐可使得  是一個橢圓﹖

(1) 4 (2) ⁵ (3) ⁶ (4) ⁷ (5) ⁸ ﹒

因為F F₁ ₂ ﹐所以由橢圓的定義可知﹕當6  的圖形是一個橢圓時﹐長軸長 k 需大於F F ﹐₁ ₂ 因此正確的選項為(4)(5)﹒

3. 右圖是一個以

F₁

﹐

F₂

為其焦點﹐長軸長為 16 的橢圓﹒

若 P 為橢圓上的一點﹐ △

PF F₁ ₂

是一個直角三角形﹐且

1

6

PF

 ﹒則此橢圓的短軸長為何﹖

由橢圓的定義可知 ﹕ PF₁PF₂ 為長軸長 2a16 ﹐ 因此 a ﹐8

2 10

PF  ﹒

因為△PF F₁ ₂為直角三角形﹐所以F F₁ ₂2c 10²6²  ﹐即8 c ﹐ 4 並得b a²c² 8²4²4 3﹐故橢圓的短軸長 2b 2 4 38 3﹒

第 4 章二次曲線

(2)

4. 求滿足下列各條件的橢圓方程式﹕

(1)焦點  ^{3 , 0}  ^﹐  ^ ^{3 , 0}  ^{﹐短軸長為} ⁸ ^﹒

(2)中心在原點﹐一頂點  ^{0 ,} ^ ⁵  ^﹐一焦點  ^{4 , 0}  ^﹒

(1)由焦點



^{3 , 0 ﹐}

 

^^{3 , 0}



^可知﹕

長軸在 x 軸上﹐c ﹒ 3

因為短軸的長為 8 ﹐所以b ﹐並可得4 a b²c²  ﹒ 5 故由橢圓的標準式可知其方程式為

2 2

25 16 1 x y  ﹒

(2)由中心在原點﹐一頂點



^{0 ,}^{ ﹐一焦點}⁵

 

^{4 , 0 ﹐}



可知長軸在 x 軸上﹐b ﹐5 c ﹐並可得4 a b²c²  41﹒ 故由橢圓的標準式可知其方程式為

2 2

41 25 1 x y  ﹒

5. 求下列各橢圓的中心﹑焦點與正焦弦長﹕

(1)  ¹  

²

¹ 

²

16 25 1 x  y 

  ﹒ (2) 4 x

²

 y

²

 2 x  ﹒ 0

(1)由橢圓方程式

  

²



²

2 2

1 1

4 5 1 x y

  可知﹕

中心為



^{1 , 1} ﹐長軸長之半為



a ﹐短軸長之半為5 b ﹐ 4 且兩焦點距離之半為c 5²4²  ﹐其圖形如右圖所示﹒ 3 由圖可知橢圓的中心為



^{1 , 1}^{ ﹐兩焦點分別為}

  

^{1 , 2 ﹐}



^{1 ,}^⁴



^﹐

正焦弦長為

2 2 32 5 b

a  ﹒ (2)將4x²y²2x 配方為0

2

2 1 1 2 1

4 2

4 4 4

x x y

      

   

   

  ﹐ 即

2

1 2 1

4x4 y 4 ﹐ 將上式兩

邊同除以1

4﹐得標準式

2 2

1

4 1

1 1

4 2

x y

  

 

   

   

   

   

﹒

由標準式可知中心為 1 4,0

 

 

 ﹐長軸長之半為 1

a ﹐短軸長之半為2 1

b ﹐且兩焦點距4 離之半為

2 2

1 1 3

2 4 4

c          ﹒

故橢圓的中心為 1 4,0

 

 

 ﹐兩焦點分別為 1 3 4, 4

 

 

 

 ﹐ 1 3 4, 4

 

  

 

 ，正焦弦長為 2 2 1

4 b a  ﹒

(3)

6. 求滿足下列各條件的橢圓方程式﹕

(1)長軸的兩端點為   ^{6 , 1} ^﹐  ^ ^{4 , 1}  ^{﹐一焦點為}  ^ ^{2 , 1}  ^﹒

(2)長軸長為 10 ﹐且位在直線 x  上﹐短軸長是長軸長的 5 3

5 ﹐且位在直線 1

y  上﹒

(1)因為長軸的兩端點為

 

^{6 , 1 ﹐}



^^{4 , 1}



^{﹐所以其中心為長}

軸的中點

 

^{1 , 1 ﹐}^a   ﹒又因為一焦點為^{6 1 5}



^{2 , 1}



﹐ 所以^c    ﹐並求得¹

 

² ³ b a²c² 5²3²  ﹐4 其圖形如右圖所示﹒

由圖可得橢圓的方程式為

  

²



²

2 2

1 1

5 4 1 x y

  ﹒

(2)由題意可知﹕橢圓的中心為

 

^{5 , 1 ﹐}^a^{ ﹐}⁵ ³ ³

b5a ﹐其圖形如右圖所示﹒

由圖可得橢圓的方程式為

  

²



²

2 2

5 1

3 5 1 x y

  ﹒

7. 已知  ^x ^ ²  

²

^ ^y ^ ² 

²

^  ^x ^ ²  

²

^ ^y ^ ⁴ 

²

^ ¹⁰ ^{的圖形是一個橢圓﹐關}

於此橢圓選出正確的選項﹕

(1)  ^{2 , 2}  是橢圓的一個焦點 (2)  ^{2 , 1}  ^{是橢圓的中心}

(3)長軸長為 10 (4)短軸長為 8﹒

由方程式



^x^²

 

²^ ^y^²



²^



^x^²

 

²^ ^y^⁴



² ^¹⁰

可知 ﹕ 點



^{x y 到點}^,

 

2 , 2 的距離

 

^x^²

 

²^ ^y^²



² ^{與點}



^{x y 到點}^,





^{2 ,}⁴



的距離



^x^²

 

²^ ^y^⁴



² 之和為 10 ﹐ 因此橢圓的兩焦點為



2 , 2 ﹐

 

^{2 ,}^⁴



^﹐中心為



2 , 1 ﹐長軸長 2



a10﹐即a ﹐又 5

 

2c    ﹐即2 4 6 c ﹐並得短軸長之半3 b a²c²  5²3² ﹐4 即短軸長為 8 ﹒

故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)﹒

(4)

8. 關於方程式

2 2

8 4 1

x y

k  k 

  ﹐選出正確的選項﹕

(1)

k

 6 時﹐其圖形是一個圓 (2)

k

 7 時﹐其圖形是一個橢圓 (3)當其圖形為焦點在

x

軸上的橢圓時﹐

k

的範圍為 4  

k

6 (4)當其圖形為焦點在 y 軸上的橢圓時﹐

k

的範圍為 6  

k

8 ﹒

關於方程式

2 2

8 4 1

x y

kk 

  ﹐ (1)當k 時﹐方程式為6 ² ² 1

2 2

x y  ﹐即x²y² ﹐其圖形是一個圓﹒ 2

(2)當k 時﹐方程式為7 ² ² 1 1 3

x y  ﹐其圖形是一個橢圓﹒

(3)當

2 2

8 4 1

x y

kk 

  的圖形為焦點在 x 軸上的橢圓時﹐可得a²  ﹐8 k b²  ﹒ k 4 因為a²b² ﹐所以 80     ﹐解得 4k k 4 0   ﹒ k 6

(4)當 ² ² 1

8 4

x y

kk 

  的圖形為焦點在 y 軸上的橢圓時﹐可得a² k 4﹐b² 8 k﹒ 因為a²b²0﹐所以k   4 8 k 0﹐解得 6 k 8﹒

故由上面的討論可知﹕正確的選項為 (1)(2)(3)(4)﹒

9. 求中心為原點﹐軸為坐標軸﹐且通過  ^{2 , 4}  ^﹐  3 2 , 3 兩點的橢圓方程式﹒ 

因為橢圓的中心為原點﹐軸為坐標軸﹐所以可設橢圓的方程式為

2 2

2 2 1

x y a b  ﹒

將點



^{2 , 4 ﹐}

 

^{3 2 , 3 代入}



x²2 y²2 1

a b  ﹐得 ² ²

2 2

4 16 1 18 9

1 a b a b

  



  



﹐

由二式解得a²36﹐b²18﹐故橢圓的方程式為

2 2

36 18 1 x  y  ﹒

(5)

10. 設點

^A

 ^ ^{1 , 0}  ^﹐圓 ^C ^:  ^x ^ ¹  

²

^ ^y ^ ² 

²

^ ¹⁶ ^﹒

(1)在坐標平面上畫出點 A 與圓

C

﹒

(2)求所有通過點 A 且與圓

C

相切之圓的圓心﹐所形成之圖形的方程式﹒

(1)作圖如下﹐並得點 A 在圓 C 內部﹒

(2)設與圓 C 相切之圓的圓心為^{P x y}



^,



﹐半徑為 r ﹐圓 C 的圓心為 M ﹒

由右圖可知﹕ AP 等於 r ﹐且APPM r PM  ﹒ 4

因此﹐所有的 P 點形成以 A ﹐ M 為焦點﹐長軸長為 4 ﹐兩焦 點間距離為 2 的橢圓﹒

因為 A ﹐ M 為焦點﹐所以橢圓的中心為



^{  ﹐且}^{1 , 1}



^c^{ ﹐}¹

又因為長軸長為 4 ﹐所以 2a ﹐解得4 a ﹐並得2 b a²c²  3﹒ 故所有圓心所形成的橢圓方程式為



¹

 

² ¹



²

3 4 1 x y

  ﹒

11. 設橢圓

2 2

: 1

81 72 x y

   的兩焦點為

F₁

與

F₂

﹒若點 P 為  上一點﹐且滿足 PF

₁

的中點在 y 軸上﹐求 PF 的長﹒

₁

由方程式

2 2

81 72 1

x  y  可知﹕a ﹐9 b²72﹐c a²b²  9 ﹒ 3

因為PF 的中點 Q 在 y 軸上 ﹐ 且原點 O 為₁ F F 的中點 ﹐ 所以₁ ₂

2 1 2

PF F F ﹐即PF 的長為正焦弦長的一半﹒ ₂ 因為正焦弦的長為

2 2 144 9 16 b

a   ﹐即PF 長為 8 ﹐又₂ PF₁PF₂等於長軸長 18 ﹐所以PF 的長度為 10 ﹒ ₁

(6)

12. 右圖是一個橢圓﹐焦點 F 與頂點 A 的距離為

₁

3 單位長﹒現在有一道雷射光由 F 出發﹐行經

₁

10 單位長之後碰到橢圓上的 P 點反射﹐再經過 F 碰到橢圓上的

₂

Q 點反射回 F 點﹒若

₁

 F PQ

₁

  ﹐則 60 △ F PQ

₁

的周長為何﹖

假設PF₂ ﹐則x ABPF₁PF₂10 ﹒ x 因為AF₁BF₂ ﹐所以3 F F₁ ₂  ﹒ 4 x

觀察△PF F₁ ₂﹐由餘弦定理可知﹕



⁴^^x



²^^x²^¹⁰²^{   }² ^x ^{10 cos 60}^{ ﹐}

整理得 18x84﹐ 解得 14

x 3 ﹐即長軸長為44 3 ﹒

因為△F PQ₁ 的周長為長軸長的 2 倍﹐所以△F PQ₁ 的周長為88

3 （單位長）﹒

為焦點的橢圓﹖

1. 右圖中哪一個橢圓是以

﹐