2-3組合組合從

(1)

2-3 組合

組合

從n_{個不同事物中取出}k 個（0 k n  ）為一組﹐其組合數Cⁿk為 Cⁿ_k      

   

1 2 1

n n n n k

k k k

   

  



 =^{k n k}^! ⁿ^^! ^!

例題1--- 求下列各數：

(1)C¹⁰₂ (2)C¹⁰₈ (3)C¹⁰10 (4)C¹⁰0 Ans：45,45,1,1

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隨堂練習--- (1)C¹⁰₄  __________(2)C⁷₃ __________(3)

12 5 12 5

P

C  __________

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例題2--- 從10 個手球選手中選出 7 人上場比賽

(1)共有多少種選法？

(2)若其中甲乙兩人定位為守門員﹐必恰選一人﹐則共有多少種選法？ Ans：120 種,56 種 ---

隨堂練習---

(2)

從7 個籃球隊員中選出 5 人上場比賽 (1)共有多少種選法？

(2) 若其中甲﹑乙兩人是主力戰將一定都要上場﹐則共有多少種選法？

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例題3--- 由男生10 人﹐女生 5 人中選出一個 5 人小組

(1)選出 3 名男生 2 名女生的選法共有多少種？

(2)若規定男女生至少各有 2 人﹐則共有多少種選法？Ans：1200 種,1650 種

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隨堂練習--- 由男生6 人﹐女生 4 人中選出一個 5 人小組

(1)若其中 3 人為女生﹐則有多少種選法？

(2)若其中至少有 2 名女生﹐則有多少種選法？

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(3)

已知兩組互相垂直的平行線段﹐相交如右圖 (1)共有多少個矩形？

(2)包含 P 點的矩形有多少個？

(3)至少包含 P 或 Q 兩點之一的矩形共有多少個？Ans：36,12,20

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隨堂練習--- 已知兩組互相垂直的平行線段﹐相交如右圖﹒

(1)共有多少個矩形？

(2)不包含 P 點的矩形有多少個？

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例題5--- 證明下列兩個組合數的性質：(巴斯卡定理)

(1)當0 k n  時﹐Cⁿ_kCⁿ_{n k}_ ﹒(2)當1  k n 1時﹐Cⁿ_kCⁿ_k^¹Cⁿ_k^_¹₁﹒

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(4)

隨堂練習--- 選出正確的選項：

(1)C₃₀³⁷ C₇³⁷ (2)C₅₀⁹⁹C₄₉⁹⁹ C¹⁰⁰₄₉ (3)C₂₅⁵⁰C₂₅⁴⁹ C₂₄⁴⁹ (4)C₂⁹⁹C₃⁹⁹C₄¹⁰⁰C¹⁰¹₄ ﹒

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重複組合

下列三個問題的組合數都是C^{n k}_k^{ }¹﹒

(1)從n類事物中選取k個的組合（每類的個數均至少k個且可以重複選取）﹒

(2)n元一次方程式^x1^x2^xn ^k的非負整數解﹒

(3)將k個相同的事物全部分給n個人的分法﹒

例題6--- 方程式x  y z 10有多少組非負整數解？ Ans：66

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隨堂練習--- 方程式x1x2 x3 x4 x5 6有多少組非負整數解？

(5)

例題7--- 每碗剉冰可以任選4 份配料﹐每種配料都可重複選取﹒如果冰店今天準備了 10 種不同的配料供客人選擇﹐那麼一碗剉冰會有多少種不同的組合？ Ans：715 種

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隨堂練習--- 俱樂部擬購買8 把「愛心傘」供未帶傘的會員使用﹒若大賣場的傘有黑傘、紅傘與花傘三類﹐

則俱樂部有多少種不同的購買方式？

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例題8--- 將9 本相同的練習簿全部分給 4 個小朋友﹒

(1)共有幾種分法？ (2)若要求每人至少分到 1 本﹐則有多少種分法？ Ans：220,56

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隨堂練習--- 將10 枝相同的原子筆全部分給 3 人﹒

(1)共有多少種分法？ (2)若每個人至少要分得 2 枝﹐則有多少種分法？

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隨堂練習--- 從全校高一的7 個班級（每班人數均為 40 人）選出 12 人組成足球聯隊﹐規定每班至少有一人參加﹒請問各班名額的分配共有多少種情形？

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(6)

例題9--- 辯論社的3 個男生與 2 個女生組隊參加奧瑞岡三人制辯論比賽﹒今欲從這 5 人中﹐選出 3 人分別擔任一辯、二辯與三辯﹒試問出賽名單中既有男生又有女生的安排共有多少種？A：54 ---

隨堂練習--- 全校羽球單打排名賽共有高一2 人﹑高二 3 人﹑高三 4 人參賽﹒試問排名前三名的名單中有高一也有高二的情形共有多少種﹖

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例題10--- 將9 本不同的書依下列情形分配﹐方法各有多少種？

(1)分給甲﹑乙﹑丙三人﹐每人各得 3 本﹒

(2)分裝入三個相同的袋子﹐每袋裝 3 本﹒

(3)分裝入三個相同的袋子﹐其中一袋裝 5 本﹐另兩袋各裝 2 本﹒Ans：1680,280,378

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隨堂練習--- 將 8 位同學依下列情形分組﹐方法各有多少種﹕

(1)平分成兩組﹒ (2)分成三組﹐其中兩組各有 3 人﹐另一組有 2 人

(7)

2-3 習題一、基礎題

1. 一列火車有 10 節車廂﹒若要指定其中三節車廂提供餐飲服務﹐則指定方法共有多少種？

2. 已知圓周上有 8 個不同的點﹒選出正確的選項：

(1)這些點可決定 28 條直線 (2)這些點可決定 56 條射線

(3)以這些點為頂點可決定 56 個三角形 (4)以這些點為頂點可決定 70 個四邊形

3. 從 7 名男生﹐5 名女生中選派 4 人參加社區服務﹐在下列各情形下有多少選派方法？

(1)恰為 2 男 2 女﹒

(2)至少有 1 名女生﹒

(3)男女生至少各 1 名﹒

4. 分別求滿足下列條件的 n 值：

(1)C_nⁿ_₂ 36 (2)C₂ⁿ^¹:C₃ⁿ 4 : 5

5. 右圖是夜市中常見彈珠檯的遊戲機﹒遊客將 10 顆相同的鋼珠滾進 5 個球道中後﹐老闆再依鋼珠在5 個球道的分配情形給獎﹒請問鋼珠在各球道的分配情形共有多少種？

(8)

6. 高一甲班 30 位同學想從 3 件上衣中﹐票選出一件作為班服﹒若採無記名投票方式﹐每人一票且不投廢票﹐則共有多少種開票結果？

7. 桌球比賽中﹐若規定參與的選手每人都必須和其他選手各比賽一場﹐賽程總計為 66 場﹐

則選手共有多少人？

8. 從 4 個男生及 2 個女生中﹐選出 4 人同坐一艘四人座香蕉船﹐如圖﹒若選出的 4 人要有男生也要有女生﹐且前兩個座位至少有一人是男生﹐則座位的安排共有多少種﹖

二、進階題

9. 從 1﹐3﹐5﹐7﹐9 中任取 3 個數字﹐從 2﹐4﹐6﹐8 中任取 2 個數字﹐排成一個數字不重複的五位數﹐請問這種五位數共有多少個？

10. 將 6 個不同的物品分成三堆﹐每堆分別為 3 個﹐2 個﹐1 個﹒(1)共有多少種分法？

(2)若再將此三堆以每人一堆的方式分給甲﹐乙﹐丙 3 人﹐則共有多少種分法？

11. 想將 8 位轉學生分發到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒(1)若平均每班安排 2 人﹐則共有多少種分法？ (2)若甲乙兩班各安排 3 人﹐丙丁兩班各安排 1 人﹐則共有多少種分法？

12. 老師將 10 枝相同的鉛筆全部分給 6 位小朋友﹐在下列情形下各有多少種分法？(1)任意