概率论与数理统计 概率论与数理统计

概率论与数理统计 概率论与数理统计

姜计荣 姜计荣

概率论与数理统计 概率论与数理统计

姜计荣 姜计荣

确定性现象 ( 或必然现象 ) ： 在一定条件下必然发生或必然 不发生的现象 .

随机现象 ( 或偶然现象 ) ：在一定条件下可能发生也可能不 发生的现象 .

统计规律 ( 性 ) ：对于随机现象 , 一方面呈现不确定性，但 若在相同的条件下重复进行大数次的观察或试验 , 又会发现 某种规律性， 这种规律性称为统计规律性 .

引言

一：基本概念

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门 数学学科。

二：研究对象

试验：为了研究随机现象，对客观事物进行的观察、测量或 各种科学实验统称为试验。

随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，

① 试验可在相同条件下重复进行； ( 可重复性 )

②试验的所有可能结果不止一个，并且在试验之前可以

明确试验所有可能的结果； ( 结果的非单一性 )

③每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪个结

果。 ( 随机性 ) 1. 随机试验

§1.1 随机事件

1.1.1

随机试验与随机事件

注意：本课程所说的试验均指随机试验，简称为试验，用字 母 E _{表示 .}

事件：在概率论中，将随机试验的每一种结果称为事件。

例 1 ：掷一枚均匀的骰子，



A={ _点数为 4}, B={ _偶数点 } _， C={ _{点数不大于} 3},

D={ _点数为 1},



基本事件为？复合事件为？

2. 随机事件

随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机 事件， 通常用字母 A , B , C _{等表示 .}

相对与实验目的不能再细分或不必再细分的试验结果称为基 本事件，否则称为复合事件。

例 1 ：掷一枚均匀的骰子，



A={ _点数为 4}, B={ _偶数点 } _， C={ _{点数不大于} 3},

D={ _点数为 1},



必然事件为？不可能事件为？

必然事件：在每次试验中一定发生的结果 , 称为必然事件 , 通常用字母



。

不可能事件：在每次试验中一定不发生的结果称为不可能事 件 , 通常用字母  ^表示。

注意

(1) 不论必然事件、不可能事件，还是随机事件，都是相对 于一定的实验条件而言的。

(2) 必然事件与不可能事件都不是随机事件，为了讨论问题 的方便，作为随机事件的两个极端情况处理。

样本空间：试验 E 的所有基本事件构成的集合，称为 E 的 样本空间，用  表示。

样本点：样本空间中的元素，称为样本点，用 _表示。

各类样本空间

例 1: 掷一枚均匀的骰子，观察出现的点数；

用“  _i ” 表示“出现点数为 i ”(i=1, 2, 3, 4, 5, 6), 则  ={₁, ₂ , ₃ ,₄ , ₅ , ₆}

用“ i” 表示“出现点数为 i”, 则 ={1, 2 ,3 , 4 , 5 ,6}

1. 样本空间

1.1.2

样本空间与事件的集合表示

例 3 ：记录某电话交换台单位时间内收到的呼唤次数，

用 “ k ” 表示 “单位时间内收到 k 次呼唤”，

则  ={0, 1, 2, 3, 4, ^…

, n ,

例 4^: 向区间 [a, b] 内随机的投一质点，观察落点的坐标，

则 =[a, b]

例 5:

，

则 ={(x,y)x, y∈R}

例 6: 向空间中随机的投一质点，观察落点的坐标，

则  ={(x, y, z)x , y, z∈R}

[a,b] 内的任一实数就是一个样本点 . 则 ={( _{正 , 正} ) , ( _正 , 反 ) , ( _反 , 正 ) , ( _反 , 反 )}

例 2: 同时掷两枚均匀的硬币， 观察出现的面；

例 1^: 掷一枚均匀的骰子； ={1, 2 , 3 ,4 , 5 , 6}

A={ _点数为 4}, B={ _偶数点 } _， C={ _{点数不大于} 3},

D={ _点数为 1},

A={4}, B={2 , 4 , 6}, C={1 , 2 , 3},

D={1 }

2. 事件的集合表示

随机事件 A _{及其有利样本点 :}

事件 A 发生：属于 A _{的某一个样本点}



∈A

事件与集合的对应：

必然事件——样本空间  不可能事件——空集 

事件—— 的子集

因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件间 的关系和运算与集合间的关系和运算完全类似。

1. 事件的包含与相等

事件 A _{的发生必然导致事件} B _{的发生，则称事件} B _包含事

件 A _，或称事件 A 包含于事件 B .

样本空间

B A

属于 A _的 _必然属于 B

注：对任一事件 A _，有：

A

记为 : AB 或 BA

1.1.3 事件间的关系及运算

例 1 ：一袋子中有分别编号为 1 、 2 、…、 10 ^{的十个球，}

现从中任取一球，设 A={ _取到 5 _号球 } _， B={ _{取到编号是奇数的球} } _，

C={ _{取到编号是} 1, 3, 5, 7, 9 _的球 } _， D= { _取到编号 < 3 _的球 } _，

E={ _{取到编号是偶数的球} } _。

则：事件 A _{的发生必然导致事件} B _{的发生。故事件} B _包含

事件 A ，即： A



在例 1 中， B ={ 取到编号是奇数的球 } ，

　　　　 C={ _{取到编号是} 1,3,5,7,9 的球 } _。

则：事件 B 与事件 C 含有相同的样本点，故： B= C. 事件的相等

当事件 B _包含事件 A _且事件 A _{也包含事件} B _{时，则称事件} A _与事件 B _{相等 . 记为} A=B.

A 、 B _{中含有相同的}



样本空间

Ａ Ｂ

2. 事件的并 ( 和 )

“ 事件Ａ^与Ｂ中至少有一个发生”这一事件称为事件

Ａ

Ｂ

的并 ( 和 ). 记为：Ａ∪Ｂ^或Ａ + Ｂ ^.

Ａ∪Ｂ^{中的样本点是} A _中的

样本点与Ｂ^{中的样本点的和。}

在例 1 中， B={ _{取到编号是奇数的球} }

，

　　　　　 D={ 取到编号 < 3 的球 } 。

则：

Ｂ∪Ｄ ={

Ａ +Ｂ

注意： 1) 样本点重复时只写一次！

2) 对任何事件 A , B _有

A+BA , A+A=A , A+=A , A+ =

样本空间

A

3. 事件的交 ( 积 )

“ 事件 A _与

Ｂ

Ａ

Ｂ

( 积 ). 记为：Ａ∩Ｂ^或 AB.

A∩B _{中的样本点是} A

与 B 的公共样本点。

在例 1 中， A={ _{取到 5 号球} } _，

　　　　　 B={ _{取到编号是奇数的球} } _。

则：Ａ∩Ｂ ={ ^{取到编号为} 5 _的球 } _。

显然： 对任何事件 A , B _有

ABA , AA=A , A= , A=A

B

AB

事件的和的推广

“n _个事件A₁,A₂,,A_n中至少有一件发生” 这一事件称为事件

A₁,A₂,,A_{n 的和。记为 :} A₁∪A₂∪^∪A_n

“n _个事件A₁,A₂,,A_{n同时发生”这一事件称为事件}

A₁,A₂,,A_{n 的积。记为：} A₁∩A₂∩∩A_n

事件的积的推广



Ai 1

或

i n

i A

1

或 

类似地，也可定义无限可列个事件的和

以及无限可列个事件的积

i^ Ai





1 i

Ai

或

i^ Ai



i n

i A

1

或 

样本空间

在例 1 中， A={ _{取到 5 号球} } _， B={ _{取到编号是奇数的}

球 } _。

4. 事件的差

“ 事件 A _{发生而事件}

Ｂ

事件 B 的差 , 记为 : A – B.

A

则 ： B – A ={ 取 到 编 号 是 1,3,7,9 的 球 },

B

样本空间

A B

样本空间

A B

样本空间

B A

注意： A–B=A–AB

A–B=

.

A-B _{中的样本点属于} A _但不属于 B

。

在例 1 中， A={ ^取到 5 ^号球 } ， E={ ^{取到编号是偶数的球} }

5. 互不相容事件

若事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB=  ，则称事件 A 与

B _{互不相容（或 互斥） .}

则：事件 A _与事件 E _{互不相容。即} AE= .

样本空间

A B

若 n 个事件 A₁ ， A₂ ，…， A_n 中任意两个事件都互不相容

，即

A_iA_j = ， (1≤i<j≤n)

则称这 n 个事件是两两互不相容的（或两两互斥） . 事件的互不相容的推广

A 与 B 没有公共样本点

。

样本空间



A

6. 对立事件

若两事件 A _与 B _{是互不相容的}，^{且它们的和是必然事件}

，

A



注（ 1 ）对立事件是相互的： A _是 A _的逆

，

在例 1 中， B={ 取到编号是奇数的球 }

E={ _{取到编号是偶数的球} }



则：事件Ｂ^与事件Ｅ^{是对立事件。 即}Ｂ = Ｅ^。 A

A 

—

（ 2 ）一般 A – B = A – AB =AB



A 也是 A 的逆，即

 A=

 - Ａ

则称事件

Ａ

Ｂ

Ａ

( 事件Ａ ) 的对立事件 ( 逆事件 ) 。

＿ ＿

记作 A=B 或 B=A

样本空间



A

3 、两事件互不相容只表明不能同时发生（即：至多只能发 生其中之一），但可以都不发生；而对立则表示有且仅有一 个发生（即：肯定了至少有一个发生）。

对立事件与互不相容事件的联系与区别

1、两事件对立，必定互不相容，反之不然。

A

、互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于 两个事件。



这是因为

样本空间 A

Ｂ Ｃ

在例 1 中，设： F_i = { _取到 i 号球 } ， (i=1,2,…,10) 7. 完备事件组

则称这 n 个事件构成一个完备事件 组 .

即：全体 F_{i 构成完备事件组}

。

若 n 个事件 A₁ ， A₂ ，…， A_n 两两互不相容，且 ⁱ =

n

i A

1



则每个事件 F_i 是基本事件，两两互不相容且

  

 10

1 i

Fi

样本空间 Ω ^A₅

A₂ A₃ A₄

A₁

完备事件组是 Ω _{的一个划分 .}

（ 1 ）交换律

Ａ∪Ｂ = Ｂ∪Ａ

Ａ∩Ｂ = Ｂ∩Ａ

（ 2 ）结合律

( Ａ∪Ｂ )∪C= Ａ∪ ( Ｂ∪ C)

( Ａ∩Ｂ )∩C= Ａ∩ ( Ｂ∩ C)

（ 3 ）分配律

( Ａ∪Ｂ )∩C=( Ａ∩ C)∪( Ｂ∩ C)

( Ａ∩Ｂ )∪C=( Ａ∪ C)∩( Ｂ∪ C)

（ 4 ）对偶律A  B A  B A  B A  B

  



^

^

事件间的运算律

例 1: 设 A _、 B _、 C _是试验 E 的随机事件，试用事件的运 算符号

表示下列事件 (1) A _{发生 :}

(2) 只有 A _{发生 :}

(3) A _、 B _、 C _{中恰有一个发生 :}

(4) A _、 B _、 C _{同时发生 :}

(5) A _、 B _、 C _{中至少有一个发生 :}

(6) A 、 B 、 C 中至多有一个发生 :

(7) A _、 B _、 C _{中恰有两个发生 :}

(8) A _、 B _、 C _{中至少有两个发生 :}

A

C B A

C B A C

B A C

B

A  

C B A

C B

A   C

B A C

B A C

B A C

B

A

  

BC A

C B A C

AB

 

BC A

C B A C

AB

   _或

_

_

例 2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的 产品不放回），

事件 A_i —— 第 i 次取到的是合格品 : i = 1, 2, 3 用运算符号表示以下事件：

三次都取到了合格品 :

三次中至少有一次取到合格品 : 三次中恰有两次取到合格品 : 三次中最多有一次取到合格品 :

3 2 1A A A

3 2

1 A A

A

 

3 2 1 3

2 1 3

2

1A A A A A A A A

A

 

3 2 1 3

2 1 3

2 1 3

2

1A A A A A A A A A A A

A

  

3 2A

 A

3 1A

 A

2

)

1



2 A

3 2

) 1

3 A  A  A

3 2

) 1

4 A A A

3

)

5



3

)

6



3

) 1

7 A  A

例 3 一名射手连续向某个目标射击三次， A_i —— 该射手第

i 次射击时击中目标 (i=1,2,3), 试用文字叙述下列事件：

前两次射击中至少有一次击中目标 第二次射击没有击中目标

三次射击中至少有一次击中目标 三次射击都击中目标

第二次射击击中目标而第三次没有击中目标

第一次和第三次射击都没有击中目标 第一次、第三次射击中至少有一次没击中目标