平面向量

第 章

03

圖3-1

圖3-2

圖3-3

圖3-4

平面向量

3-1 向量的意義

重點一 有向線段與向量 1. 有向線段：

將線段AB 賦予由 A 到 B 的方向後，稱為由 A 到 B 的有向線段，

以^__________AB^＼表示，其中A 稱為始點，B 稱為終點，如圖3-1。

有向線段 AB

＼ __________

的長度，記作|AB|

＼ __________

，即|AB| = AB

＼ __________

。 2. 向量：

向量只考慮方向與長度，可用單一符號^______a^＼、^______b^＼、^______v^＼等表

示，向量 ^______v^＼並不強調始點與終點的位置，所以向量 ^______v^＼的位

置可以自由平移，如圖3-2 的向量皆為^______v^＼。向量 ^______v^＼的長度

用| ^______v^＼|表示。

對任一有向線段^__________AB^＼來說，因為^__________AB^＼有方向與長度，可代表一

向量^______v^＼，可用^__________AB^＼表示^______v^＼，如圖3-3。

3. 零向量：

起點與終點相同的有向線段所表示的向量稱為零向量，用 ^______0^＼表

示，即^______0^＼ = ^__________AA^＼ = BB^{__________＼} =，零向量的方向為任意方向，長度大小為0。

4. 等向量（向量相等）：

a^＼

______

、^______b^＼表兩向量，若兩向量的長度相等、方向相同，則 ^______a^＼= ^______b^＼。

在圖3-4 中，ABCD表一平行四邊形，則 AB^{__________＼} =DC^{__________＼}，BC^{__________＼} = AD^{__________＼}， CD^{__________＼} = ^__________BA^＼。

5. 逆向量（反向量）：

a^＼

______

、 ^______b^＼表兩向量，若兩向量的長度相等、方向相反，則稱 ^______a^＼、 ^______b^＼互為逆向量（或稱

反向量），表成^______a^＼ = − ^______b^＼或 ^______b^＼ = −^______a^＼，例如^__________BA^＼ = − AB^{__________＼}。在圖3-4 中，AB^{__________＼} = −CD^{__________＼}，

AD^＼ = −CB^＼

__________ __________

。 6. 單位向量：

長度為1 的向量稱為該向量方向上的單位向量。

圖3-5 右圖中，_ABCDEF

表一正六邊形，若 AB^＼ = a

__________ ______＼

，BC^{__________＼} = ^______b^＼，

CD^{__________＼} = ^______c^＼，則在圖中

還有哪些向量等於 ^______a^＼，哪些等於 ^______b^＼，哪些等

於 ^______c^＼？

a^＼ =OC^{__________＼} = ED^{__________＼} = FO^{__________＼}

______

b^＼=OD^＼ = FE^＼ = AO^＼

______ __________ __________ __________

c^＼ =OE^{__________＼} = AF^{__________＼} = BO^{__________＼}

______

右圖中，D 、 E 、 F 依次為_ΔABC中AB 、

BC、_AC的中點，若 AD^{__________＼}= ^______a^＼， AF^{__________＼} = ^______b^＼，

則圖中還有哪些向量等於 ^______a^＼，哪些等於^______b^＼？ a^＼ = DB^{__________＼} = FE^{__________＼}

______

b^＼ = FC^＼ = DE^＼

______ __________ __________

類題 1

右圖中，_ABCD為平行四邊形，E 、 F 、G、H 為各邊中點，O為

EH 、FG交點，若 AE^{__________＼} = ^______a^＼，AO^{__________＼}= ^______b^＼，則圖中還有哪些向量等於

a^＼

______

，哪些等於 ^______b^＼？

a^＼ = EB^{__________＼} = FO^{__________＼} =OG^{__________＼} =DH^{__________＼} =HC^{__________＼}

______

b^＼ = EG^＼ =OC^＼ =FH^＼

______ __________ __________ __________

重點二 向量的坐標表示法 1. 向量的坐標表示法：

(1)對一個向量^______v^＼，可將其始點放在原點_O的位置，若終點的位 置 為 P a b ， 則 v( , ) ^______＼= OP^{__________＼} ， 如 圖 3-5 所 示 ， 可 以 用

( , ) v^＼= OP^{__________＼} = a b

______

表示。其中_a稱為 ^______v^＼的_x分量，_b稱為 ^______v^＼的 y 分量。

(2)若^______v^＼ =OP^{__________＼} =( , )a b ，則向量 ^______v^＼的長度為

2 2

| ^______v^＼| |= OP^{__________＼}|= a +b 。

(3)在圖 3-5 中，以x軸正向為始邊，_OP為終邊的有向角θ，稱為非零向量 OP^{__________＼}的方向角，

取₀≤ <θ ₂π 。 向量的圖示

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

由廣義角的三角函數定義知 cos

| | a

θ = OP__________＼ ，故OP^{__________＼}的_x分量a=|OP^{__________＼}| cosθ 。

sin

| | b

θ = OP__________＼ ，故OP^{__________＼}的y 分量b=|OP^{__________＼} | sinθ。

2. 兩點所成的向量：

設A x y 、( , )_{1 1} B x y 為坐標平面上兩點，則( , )_{2 2} ^__________AB^＼ =(x₂−x y₁, ₂−y₁)，

2 2

2 1 2 1

| ^__________AB^＼ |= (x −x) +(y −y) 。

3. 向量相等：

設^_______a^＼ _{=( , )a a1 2} 、 _{b =( , )b b1 2}

______＼

，若 ^______a^＼ = ^______b^＼，則a₁= 且b₁ a2 = 。 b2

設 ^______a^＼ =(3, 4)− ，求| ^______a^＼|。

2 2

|^______a^＼ |= 3 + −( 4) =5

設 ^______b^＼=(7,24)，求 ^______b^＼的長度。

2 2

| ^______b^＼|= 7 +24 =25

類題 2

設 ^______v^＼= −( 3, 1)− ，求| ^______v^＼|。

2 向量的長度

教師演示 2 基 礎 題 學生練習 2

設A(2,1)、B(6,4)為平面上兩點，求 AB^{__________＼}的坐 標表示法及| AB^{__________＼}|。

(6 2,4 1) (4,3)AB^{__________＼} = − − =

2 2

|^__________AB^＼ |= 4 +3 =5

設平面上兩點P( 1,3)− 、Q(11, 2)− ，求 PQ^{__________＼}及

|PQ^{__________＼}|。

(11 ( 1), 2 3) (12, 5)PQ^{__________＼} = − − − − = −

2 2

|PQ^{__________＼} |= 12 + −( 5) =13

類題 3

設平面上兩點A(9,4)、B(5,0)，求 AB^{__________＼}及| ^__________AB^＼|。

( 4, 4) AB^＼ = − −

__________

| AB^{__________＼}| 4 2=

已知 AB^{__________＼} =(5,2)，A(1,3)，求B 點坐標。

方法：A x y 、( , )_{1 1} B x y ， ( , )_{2 2} 則 AB^{__________＼} =(x₂ −x y₁, ₂−y₁) 設 ( , )B x y ，則 AB^{__________＼} =(x−1,y−3)

∴ 1 5

3 2 x

y

 − =

 − =

 ，得_x=6，y= 5 故B 點坐標為 (6,5)

已知PQ^{__________＼}=(3, 2)− ，P(9, 1)− ，求Q 點坐標。

方法：A x y 、( , )_{1 1} B x y ， ( , )_{2 2} 則 AB^{__________＼} =(x₂−x y₁, ₂−y₁) 設 ( , )Q x y ，則PQ^{__________＼} =(x−9,y+1)

∴ 9 3

1 2 x

y

 − =

 + = −

 ，得_x=12，y= − 3 故Q 點坐標為 (12, 3)−

類題 4

已知 AB^{__________＼}= − −( 1, 3)，B(8,5)，求A 點坐標。

(9,8) 向量的坐標表示法

向量的坐標表示法

教師演示 3 基 礎 題 學生練習 3

教師演示 4 基 礎 題 學生練習 4

設 ^______a^＼ = +(x y x, −2 )y 、^______b^＼ =(4,1)，若 a^＼ = b^＼

______ ______

，求_x、y 之值。

方法： ^_______a^＼ _{=( , )a a1 2} 、^_______b^＼ _{=( , )b b1 2} ，

若 ^______a^＼ = ^______b^＼a₁= 且b₁ a₂ = b₂

a^______＼ = ^______b^＼ 4

2 1 x y x y

+ =



− =

 解得_x=3，y= 1

設 ^______v^＼=(3x−2 ,2y x y+ )、 ^______u^＼= −( 7,0)，若

v^＼

______

、 ^______u^＼為相等向量，求_x、y 之值。

方法： ^_______v^＼ _{=( , )a a1 2} 、 ^_______u^＼ _{=( , )b b1 2} ，

若 ^______v^＼ = ^______u^＼a₁= 且b₁ a₂ = b₂

v^______＼ = ^______u^＼ 3 2 7

2 0

x y x y

− = −



 + = 解得_{x= −1}，y= 2

類題 5

設 ^______a^＼= +(s 2 ,1)t 、 ^______b^＼=(8,2s t− )，若 ^______a^＼= ^______b^＼，求s t+ 之值。

5

設_ABCD為平行四邊形，已知A(1,1)、 (3,4)

B 、C(8,7)，求D 點坐標。

方法：_ABCD為平行四邊形 AD BC^{__________＼}= ^{__________＼} 設 ( , )D x y

ABCD為平行四邊形

 AD^{__________＼} = BC^{__________＼} ( 1, 1)

AD^{__________＼} = x− y− 、BC^{__________＼} =(5,3)

∴ 1 5

1 3 x

y

 − =

 − =

 ，得_x=6，y= 4 故D 點坐標為(6,4)

已知平行四邊形PQRS 的三頂點為 ( 1,3)P − 、 (4,0)

Q 、R(2,4)，求_S點坐標。

方法：平行四邊形PQRS PS^{__________＼}= QR^{__________＼} 設 ( , )S x y

( 1, 3) PS^＼ = x+ y−

__________

( 2,4) QR^{__________＼} = −

∴ 1 2

3 4 x

y

 + = −

 − =

 ，得_{x= −3}，y= 7 故_S點坐標為( 3,7)−

向量相等的應用 向量的相等

教師演示 5 基 礎 題 學生練習 5

教師演示 6 進 階 題 學生練習 6

類題６

設A(5, 1)− 、 (3,2)B 、C( 1, 3)− − 、 ( , )D x y ，若 AC^{__________＼} = BD^{__________＼}，求2x y+ 之值。

−6

已知| ^______a^＼| 4= ，且 ^______a^＼的方向角為120°，求 ^______a^＼。

方法：若 ^______a^＼的方向角為θ^，

則 ^______a^＼ =( | ^______a^＼| cos , |θ ^______a^＼| sin )θ (4cos120 ,4sin120 ) ( 2,2 3)

a^＼ = ° ° = −

______

已知|^______v^＼| 6= ，且 ^______v^＼的方向角為

4

π _，求 ^_______v^＼_。

方法：若| ^______v^＼|的方向角為θ ，

則 ^______v^＼=( | ^______v^＼| cos , |θ ^______v^＼| sin )θ 6cos ,6sin (3 2,3 2)

4 4

v = π π =

 

＼ ______

類題 7

已知 ^______v^＼= −( 3,1)，求 ^______v^＼的方向角θ 。

150° 向量的方向角

教師演示 7 基 礎 題 學生練習 7

自我 評量 _評量

自我

( Ａ ) 1. 設 (1,5)A 、B(2,3)，則^__________AB^＼ = (A) (1, 2)− (B) (2,3) (C) (3,8) (D) (1,5) 。

( Ｄ ) 2. 設 ^______v^＼=(2, 2)− ，則 ^______v^＼的長度為 (A) 0 (B) 2 (C) 2 (D)2 2。

( Ａ ) 3. 設P(2,7)、Q( 1,11)− ，則|PQ^{__________＼}|= (A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 25。

( Ｃ ) 4. 設 A 點坐標為 (4,3) ，則 AA^{__________＼} = (A) 0 (B) (4,3) (C) 0

______＼

(D) 5。

( Ｂ ) 5. 已知 AB^{__________＼} =(3,1)， ( 1,4)A − ，則B 點坐標為 (A) (4, 3)− (B) (2,5) (C) ( 4,3)− (D)( 2, 5)− − 。

( Ｃ ) 6. 設 ^______a^＼= +(x y,5)、 ^______b^＼ =(7,2x y− )，且^______a^＼ = ^______b^＼，求x y− = (A) 7 (B) 3 (C) 1 (D)− 。 2

( Ｂ ) 7. 右圖中，每一小方格皆為邊長為 1 的正方形，則下列敘述何者 錯誤？ (A) AA^{__________＼} = BB^{__________＼} (B) AI^{__________＼} =CG^{__________＼} (C)| AC^{__________＼}| 2=

(D)| AE^{__________＼}|= 2。

( Ｄ ) 8. 設 (2, 1)A − 、 (3,4)B 、C(6,5)及點D 為坐標平面上四點，若 AD^{__________＼}= BC^{__________＼}，求D 點坐標 為何？ (A)(7,10) (B) ( 1, 2)− − (C) (3,3) (D) (5,0) 。

( Ａ ) 9. 設四邊形ABCD為平行四邊形，若A(6,3)、B( 2,4)− 、C(8,7)，則D 點坐標為何？

(A)(16,6) (B) (4,5) (C) ( 4,0)− (D)(0,8) 。

( Ｂ ) 10. 設 | ^______v^＼| 6= ， ^______v^＼ 的 方 向 角θ 為²¹⁰° ， 則 ^______v^＼ = (A) ( 3, 3 3)− − (B) ( 3 3, 3)− − (C) (3,3 3) (D) (3 3,3) 。

圖3-6

圖3-7

3-2 向量的加減法與實數積

重點一 向量的加減法 1. 向量的加法：

(1)向量加法的幾何性質

設 AB^{__________＼} ^______a^＼、BC^{__________＼}  ^______b^＼，則 ^______a^＼ ^______b^＼  AB BC^{__________＼} ^{__________＼} AC^{__________＼}，在幾何上可表示為：

①三角形法：

作 AB^{__________＼}  ^______a^＼、BC^{__________＼} ^______b^＼，使 b

______＼

的始點與 ^______a^＼的終點重合

於B 點，則 AB BC^{__________＼} ^{__________＼}  AC^{__________＼}  ^______a^＼^______b^＼ ，如圖3-6 所示。

②平行四邊形法：

a^＼

______

、 b

______＼

不平行時，作 AB^{__________＼}  ^______a^＼、 AD^{__________＼} ^______b^＼ ，使 ^______a^＼的始點 與 b

______＼

的始點重合於A 點，以 AB 、 AD 為兩鄰邊作平行四 邊形ABCD，如圖3-7 所示，則對角線所成的向量即為

AC^{__________＼} ^______a^＼^______b^＼。 (2)向量加法的坐標表示法

若 ^______a^＼ ( , )a a_{1 2} 、 ^______b^＼( , )b b_{1 2} 表平面上兩向量，則 ^______a^＼^______b^＼ (a₁b a₁, ₂b₂)。

(3)向量加法的基本性質

設 ^______a^＼、 b

＼ ______

、 ^______c^＼為任意三向量，

① ^______a^＼^______b^＼  ^______b^＼ ^______a^＼。

②(^______a^＼^______b^＼) ^______c^＼  ^______a^＼(^______b^＼ ^______c^＼)。

③ ^______b^＼ ^______0^＼  ^______0^＼ ^______b^＼  ^______b^＼。 2. 向量的減法：

(1)向量減法的定義及幾何性質 a^＼

______

、 b

______＼

為兩向量，定義^______a^＼ ^______b^＼  ^______a^＼ ( ^______b^＼)，其中^______b^＼ 表 b

______＼

的逆向量，如圖3-8 所示。

(2)向量減法的合成

AB AC^＼ ^＼  AB CA^＼ ^＼  CA AB^＼ ^＼ CB^＼

__________ __________ __________ __________ __________ __________ __________

(3)向量減法的坐標表示法

若 ^_______a^＼ _{( , )a a1 2} 、 _{b ( , )b b1 2}

______＼

，則 _{a b (a1b a1, 2b2)}

______＼ ______＼

。 圖3-8

如圖，_ABCD為平行四 邊 形 ， 設 AB^{__________＼} = ^______a^＼ 、 AD^{__________＼} =^______b^＼，試以^______a^＼、 b

＼ ______

表示AC

＼ __________

及DB

＼ __________

。

AC^{__________＼} = AB BC^{__________＼}+ ^{__________＼} = ^__________AB AD^＼+ ^{__________＼} = ^______a^＼+^______b^＼ DB^{__________＼} = DA AB^{__________＼}+ ^{__________＼} = −AD AB^{__________＼}+ ^{__________＼}

= − +^______b^{＼ ______}a^＼ = ^______a^＼− ^______b^＼

如 圖 ， 平 行 四 邊 形 ABCD中，_O為兩對角 線交點，設 OB^{__________＼}= ^______a^＼ 、 OC^{__________＼} = ^______b^＼，試以 ^______a^＼、 b

______＼

表示 AB

__________＼

及BC

__________＼

。 AB^{__________＼} = AO OB^{__________＼}+ ^{__________＼} =OC OB^{__________＼}+ ^{__________＼}

= +^______b^{＼ ______}a^＼ = ^______a^＼+^______b^＼ BC^{__________＼} =OC OB^{__________＼}− ^{__________＼} = −^______b^{＼ ______}a^＼

類題 1

圖中每一小格皆是邊長為1 的正方形，求 OA OB OC^{__________＼}+ ^{__________＼}+ ^{__________＼}。

0^＼

______

已知 ^______a^＼ =(1,2)、 ^______b^＼ = −( 5,1)，求 ^______a^＼+^______b^＼及

| ^______a^＼+^______b^＼|。

(1,2) ( 5,1) ( 4,3)^______a^＼+^______b^＼ = + − = −

2 2

|^______a^＼+ ^______b^＼ |= −( 4) +3 =5

已知 ^______a^＼=(4,6)、 ^______b^＼ =(8, 1)− ，求 ^______a^＼+^______b^＼及

| ^______a^＼+^______b^＼|。

(4,6) (8, 1) (12,5)^______a^＼+^______b^＼ = + − =

2 2

| ^______a^＼+ ^______b^＼|= 12 +5 =13

類題 2

設 ^______a^＼=(3, 5)− 、 ^______b^＼ = −( 2,4)，求 ^______a^＼+^______b^＼及| ^______a^＼+^______b^＼|。

(1, 1)

a^＼+^______b^＼ = −

______

| ^______a^＼+^______b^＼|= 2 向量加法的坐標表示法

向量加減法的圖示

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

教師演示 2 基 礎 題 學生練習 2

已知 ^______a^＼ =(5,6)、 ^______b^＼ =(1,3)，求 ^______a^＼−^______b^＼及

| ^______a^＼−^______b^＼|。

(5,6) (1,3) (4,3)^______a^＼−^______b^＼ = − =

2 2

|^______a^＼−^______b^＼ |= 4 +3 =5

設 ^______a^＼=(0, 1)− 、 ^______b^＼=(3, 2)− ，求 ^______a^＼−^______b^＼及

| ^______a^＼−^______b^＼|。

(0, 1) (3, 2) ( 3,1)^______a^＼−^______b^＼ = − − − = −

2 2

| ^______a^＼−^______b^＼ |= −( 3) + =1 10

類題 3

設 ^______u^＼=(2,7)、 ^______v^＼=(7, 5)− ，求| ^______u^＼− ^______v^＼|。

13

設平面上三點A(5,1)、B(2,3)、C( 1, 2)− − ，求 AB AC CB^＼+ ^＼− ^＼

__________ __________ __________

。 AB AC CB^{__________＼}+ ^{__________＼}− ^{__________＼}

( 3,2) ( 6, 3) (3,5)

= − + − − −

( 3 ( 6) 3,2 ( 3) 5)

= − + − − + − − ( 12, 6)

= − −

已知 ^______a^＼=(3,1)、 ^______b^＼=(5, 2)− 、 ^______c^＼=(4,6)，求

a^＼− +^______b^＼ c^＼

______ ______

。 a^______＼− +^______b^{＼ ______}c^＼

(3,1) (5, 2) (4,6)

= − − +

(3 5 4,1 ( 2) 6)

= − + − − + (2,9)

=

類題 4

設平面上三點A(1,2)、B( 5,3)− 、C(4, 6)− ，求 BC CA AB^{__________＼}− ^{__________＼}+ ^{__________＼}。

(6, 16)− 向量的加減法

向量減法的坐標表示法

教師演示 3 基 礎 題 學生練習 3

教師演示 4 基 礎 題 學生練習 4