天主教輔仁大學課程大綱 天主教輔仁大學課程大綱

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課程名稱

Course Title ^{高等微積分}

授課教師

Instructor ^張茂盛 學年度

Academic year

96 ^學期

Semester 1

課程大綱

教學目標:建立數學分析之基本能力,並能適度運用於相關領域,為進階之學習架構良好基礎.

課程範圍:課程範圍:本課程內容取材於下列參考書:

1.Michael Spivak, Calculus on Manifolds(1965), Chapter1~Chapter3.

2.James R.Munkres, Analysis on Manifolds(1991), Chapter1~Chapter4.

3.William R.Wade, An Introduction to Analysis(2004) 3/e.

4.Wendell Fleming, Functions of Several Varialdes(1976) 2/e.

5.Michael Spivak, Calculus(1980) 2/e.

6.Richard R.Goldberg, Methods of Real Analysis(1964).

7.Patrick M.Fitzpatrick, Advanced Calculus(2006) 2/e.

上課不使用教科書,使用個人所編寫之講義教材.

授課方式:每週四.五晚上1.2堂.另有實習課

課程進度及綱要:

1.實數系及其基本性質,內容包括完備有序體之介紹,最小上界及最大下界及完備性公設之應用;自然數系.有 理數系之特性以及阿基米德原理,稠密性之概念的建立,以及度量實數之工具---绝對值及其相關性質介紹.另 外介紹實數列收斂.發散以及相關性質.並引入limit superior及limit inferior之概念.

n n

2.介紹歐式空間R 及其拓樸性質,緊緻性及連通性,以及定義在R 上之函數的極限理論及連續性.緊緻性與極 質存在

n

性之關係,連續函數保有緊緻性及連通性之性質及應用.對於如何度量R 空間上向量的大小及向量間之距離如 何度量及相關不等式均詳加介紹.

n

3.介紹定義於R 空間上之實函數,向量值函數之微分理論及其相關性質,包括方向導數.偏導數.導數之定義, 並提供一個判斷函數是否可微分的充分條件,在一般情況下,易於檢視函數是否可微分.

實函數經過四則運算後是否仍保有可微分性,以及合成後之可微分函數是否仍保有此一性質,(即The Chain Rule連鎖律)都會詳細介紹其概念及應用.對於如何快速求得合成函數之偏導數亦加強提醒. 對於多變數函數之均值定值.泰勒定值均詳加介紹其概念及應用.另外,多變數實函數對某一變數積分後之 變數函數之微分問題,(即Leibnitz's rule for differentiating under the integral sign)亦詳加介紹.並列舉其應

用.

x

對於如何架構一個每一階偏導函數存在且連續的平滑函數(即C -function)亦介紹並證明.對於多變數函數 極值的存在性.我們亦加以討論並提供極值存在之充分條件及必要條件.若有外加之限制條件,介紹Lagrange Multiplier rule之應用.

n n

4.介紹f:R -->R 之反函數定理以及其相關應用.我們將詳細證明反函數定理,讓學生確實了解其真義.另外 亦介紹

n m m

f:R *R-->R 之隱函數定理及其詳細證明以及相關的應用.

5.(1)介紹多變數實函數在Closed rectangle上Riemann integral之定義及相關性質. (2)介紹多變數實函數在有界集合上之Riemann integral之定義及相關性質.

(3)介紹多變數實函數之瑕積分(即函數本身非有界或定義域非有界)定義及其性質. (4)提供可積分的等價條件,作為迅速判斷是否可積分之工具.

(5)提供Fubini's Theorem,用單變函數之積分技巧來計算多變數函數在rectangle上之積分,並提 供Fubini's

Theorem for simple regions之應用,並可獲得常用的積分運算. (6)另外介紹The Change of Variables Formula之概念及應用. (7)證明瑕積分

6.介紹實函數數列之逐點收斂性及一致收斂性.以及如何檢驗其一到收斂性.以及介紹一致收斂函數數列能否 保持連續性.可微分性.可積分性於其極限函數.本節將詳加證明並將其性質應用於密級數之微分.積分問 題上.

課程大綱內容:

1.The real number system and its fundamental properties.

2.Topology in the Euclidean Space R^n.

3.Compact subspaces and Connected Subspaces of R^n.

4.Introduce the derivative of vector-valued function of several real variables.

5.The Chain rule and its applications.

6.Existence of minimum and maximum of several real variables functions.

7.The Inverse Function Theorem and its applications.

8.The Implicit Fuction Theorem and its applications.

9.Introduce the Riemann integral of real-valued function of several real variables and derive its

properties and techniques for evaluate the integrals(including Fubini's Theorem)

10.The Change of Variables Theorem and its applications.

11.Uniform Convergence and Pointwise convergence of sequence of real-valued functions and fine

properties of Power series.

評分方式:期中考30%

平時測驗(含實習課)30%

學期考40%