你會畫圖嗎

你會畫圖嗎 _?

柳柏濂

香港大學蕭文強兄曾在數播中發表過談 計數的大作“你懂數數嗎? 我可不懂!” 不揣 冒眛, 我步他的後塵, 寫成此拙作, 不知可否 有資格當上“兄弟篇”。

“你會畫圖嗎?”

對這樣一個無任何要求的問題, 每個人 都會輕鬆地回答: “行!”

然而, 用更高的標準構作一個圖, 並不是 人人都能勝任的工作。

要把一個人體形神兼備地描繪出來, 這 是美術家的任務。

要把一個實物內外結構設計出來, 這是 工程師的職責。

而, 要把在特定限製條件下的一個圖準 確地表達出來, 這便是數學家的技巧了。

1996 年 7 月, 蘇格蘭的綿羊多莉出生, 引起了世界的轟動, 因為它標誌著生物“克 隆” (無性繁殖) 的成功。

然而, 在數學上, 克隆技術早已司空見 慣。 我們的孩子不是早在中學教材中, 學習如 何構作一個三角形, 和已知的三角形全等嗎?

這裡, 我們並不專注於幾何作圖。 有些 朋友看到我這個題目後, 恐怕覺得這位作者 老兄又來炒作三等分角, 化圓為方之類的經

典問題了。 確實, 這類問題已論述深入, 筆者 實在講不出幾句別人未講過的話。 況且, 它要 求拿著圓規直尺來工作。 說實話, 現代數學的 發展已經逐漸離開了圓規和直尺的問題。 有 誰見過, 大數學家的講演需要拿著圓規直尺 上台的呢?

我們現在僅著眼於平面上點和線的連接 關係, 而不拘抳於線的長短曲直。 在數學上稱 之為拓樸關係。 隨手畫幾個圖

從拓樸意義上來說, 這些點與線連接關係是 一樣的。 在數學上稱為同構。 乍看起來, 這 種拓樸關係是多麼粗糙。 然而, 就是這種“粗 糙”, 才真正反應出人類思維的精髓。 想想看, 我們平時在餐廳裡, 旅途中, 辦公桌前, 談論 某兩個點 (不防說“兩個公司”吧) 的位置時, 不是常常畫著這樣的一些圖, 來準確地表達

41

我們的 idea(思維) 嗎? 因此, 毫不誇張地 說: 研究這類只注重點, 線連接關係的圖, 是 數學聯繫各門學科的橋樑。

我們的手伸得長一點, 拿來一個化學家 的故事。

龜背的困惑

讓我們追溯到一百多年前, 在十九世紀 五十年代, 人們已經知道: 物質是由分子組成 的。 當時, 一個普遍的看法是: 不同物質的分 子是由不同的原子組成。

例如, 一個水分子由兩個氫原子和一個 氧原子組成。 氫原子和氧原子分別用符號 H 和 O 表示, 水分子便可寫成H

2

O。

池塘底或化糞池裡排出的汽泡叫沼氣。

沼氣的主要成份是甲烷。 它的分子由一個碳 原子和四個氫原子組成。 碳的符號是 C。 於 是甲烷可以寫成 CH

4

。

人們都覺得這種寫法很完美, 因為用一 些符號便可以把不同的物質都表示出來。 化 學家彷彿在完成一篇優美的文章後, 準備畫 上一個完美的句號了。

可是, 人們逐漸發覺這篇“文章”並不完 美。 說來奇怪, 同樣是兩個碳原子, 六個氫原 子, 一個氧原子組成的分子—它的表達式是 C

2

H

6

O, 竟然可以組成兩種不同的物質, 一 種叫乙醇 (即酒精), 另一種叫二甲烷。 令化 學家吃驚的是: 這兩種物質的性質迥然不同。

對乙醇和二甲烷的分析表明: 物質表現 出來的性質, 不僅與組成的原子的種類和數 量有關, 同時, 還與它們的排列方式有關。 如 果原子的種類, 數目相同, 但排列的方式各 異, 他們的性質就大不一樣。

於是, 化學家們也開始採用數學圖形。

他們把原子想象為有很多“鉤子”, 當然, 不同 的原子可能有不同個數的鉤子, 這些鉤子可 以“鉤”住其它原子, 從而結合成分子。 英國化 學家弗蘭克蘭德首先把這些“鉤子”稱為“價 鍵”或“價”。 例如, 氫 (H) 有1價, 氧 (O) 有2價, 碳 (C) 有4價, 德國化學家凱庫勒進 一步將這些價用短線表示, 直觀地繪出各種 分子的結構式。

於是, 可以畫出水 H

2

O 的結構式 是 H—O—H, 甲烷 CH

4

的結構式是,

C H H H

H

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. . ..

.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . ..

而 C

2

H

6

O 的結構式, 可得

(1) C C H H

H H

H

O H

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .

. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .

.. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .

. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .

... ...

(2) C O H H

H

C H

H H

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

.. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. ..

... . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

.. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. ..

...

第 (1) 個是乙醇, 第 (2) 個是二甲醚, 這就成 功的解釋了化學中的同分異構現象。

然而, 新的亂子又讓化學家剛剛舉起的 慶賀成功的酒杯又重新放下。 有人拿來了一 種化學物質苯。 請注意, 它不要“笨”, 而叫 苯。 它的分子是由 6 個碳原子和 6 個氫原子組 成。 從研究它的性質的實驗表明: 苯的分子 中, 原子的排列應該是對稱的, 而且結合相得 相當牢固。 如果把碳原子排成一串, 在數學上 確實沒有問題, 遺憾的是, 它卻不是苯, 而是 另一種物質。 那麼它的結構式怎樣畫呢?

十 九 世 紀 中 期, 如 何 畫 出 這 個 苯 (C

6

H

6

), 一度使化學家陷入危機。 1925 年,

人類已經發現了苯。 30 年過去了, 人們對它 的結構式仍然束無手策。 一個苯昂昂然彷彿 一個“笨”字, 向人類的智慧發出嘲弄。

被譽為化學結構之父的凱庫勒日夜苦思 冥想· · ·。 1864 年的一天, 他坐在火車上, 昏 昏欲睡, 不久便沉入夢鄉。 在睡夢中, 他似乎 覺得碳都活起來了, 在他眼前翩翩起舞。 突 然, 一條碳鏈如銀蛇一般地盤成一圈· · ·。

凱庫勒從夢中驚醒過來, 不禁想大喊一 聲: “我找到了!”, 他馬上悟出了: 苯的結構 不是直鏈式的, 而應該是環鏈。

於是, 他很快畫出了苯的如下結構式

C C

C C C C

.. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .

.. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .

.. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .

... ...

... ... ...

H

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .

H

.. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .

H

. . .. . .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .

H

.. .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .

H

. ...

H

...

它顯示出多麼漂亮的對稱性! 這與化學 家的實驗結果完全一致。 連今天的中學生也 能隨手畫出這個“龜背”, 貌似簡單, 卻害苦了 科學家好些年。 如今, 它已變成有機化學的象 徵, 標誌著人類探索真理的歡樂和艱辛。

從“直”想到“曲”, 這在思維上只不過是 一個小小的變向, 卻給人類認識世界帶來一 個飛躍。

有列可圖

我們講了很多化學。 讀者可以重溫一下 上面的敘述, 其實裡面全是數學, 是一個點和

線的連接關係的問題。 所謂“龜背”問題, 即求 作一個12點的圖, 其中6個點 (H) 只能有一 條線與之相連, 而其餘 6個點 (C) 有4條線與 之相連。 為了作這個圖, 十九世紀的化學家多 數只想到前後相連, 而凱庫勒的高明之處是 摒棄了傳統的 idea, 想到了首尾相連的方法。

年青的讀者, 不要以為這僅是一個微不 足道的想法。 當年哥倫布把雞蛋用力砸在台 上使之成功地倒豎起來之前, 還沒有一個在 場的先生想得出來呢!

我們把平面上的一些點稱作頂點, 連結 它的線稱為邊, 而每點連的線數稱為該點的 度。 一個圖具有的頂點數稱為它的階數。 龜背 問題的數學表述就是: 知道一個 12 個數的序 列

^Q

= (4, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1), 求作 一個 12 階的圖 G, 使得 G 的各個頂點的度 恰好是這個序列的數。 或者說, 使得序列

^Q

是圖 G 的度序列。 如果把苯的結構式用拓樸 圖畫出來, 就是

G

而水 (H

2

O) 和甲烷 (CH

4

) 的數學拓 樸圖是

它們與苯的圖不同在於; 它們的每兩點之間 最多只能連一條邊, 這類圖, 我們稱之為簡單 圖。

更一般地說, 構造化學結構式, 就是給 出一個n元自然數序列

^Q

= (a

1

, a

2

,· · · a

n

), a

1

≥ a

2

≥ · · · ≥ a

n

> 0, 求作一個 n 階 圖, 使得它的度序列是

^Q

。 如果這樣 n 階圖 存在, 則稱

^Q

是可圖的。 這類問題稱為圖的 實現問題。

為了更集中地討論問題, 我們只考慮簡 單圖的實現問題。

別以為這僅是鋪紙拿筆, 便能一揮而就 的問題。 隨手寫出一個自然數序列 (2, 2, 1), 你能用一個3階簡單圖實現它嗎?

不能! 為什麼?

看來, 我們應該探討一下: 什麼樣的 n 元序列 (a

1

, a

2

,· · · a

n

), 才是可圖的?

我們把一個圖的度序列各個數相加, 圖 的每邊的兩端各計算了一次, 因此, 這個和恰 好是邊數的兩倍, 當然, 必是偶數。 我們無法 畫出 (2,2,1) 的圖, 是因為 2 + 2 + 1 = 5 (奇數) 的緣故。

於是, 可得, (a

1

, a

2

,· · · a

n

) 可圖須滿足 的第一個條件:

a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

= 偶數 (1) 光有條件 (1), 還不能高枕無憂。 試看 (4, 2, 1, 1), 它的各數之和是偶數, 但你仍畫 不出相應的簡單圖來。 因為我們限定每兩頂 點之間至多只能有一邊, 因此, n 階圖每點的 度數 ≤ n − 1。 但4元序列 (4, 2, 1, 1) 的第一 個數4 > 3。 故無法作出一個四階簡單圖。 由

此, 我們又得出 (a

1

, a

2

,· · · a

n

) 可圖須滿足 的第二個條件:

a

_i

≤ n − 1, i= 1, 2, · · · n (2) 因為我們已經約定a

1

≥ a

2

≥ · · · ≥ a

n

>

0, 那麼條件 (2) 可寫成a

1

≤ n − 1。

對一個滿足條件 (1) 和 (2) 的序列, 我 們便可著手構作一個合要求的圖, 即使這樣 的圖不存在, 我們也能及時作出判斷。

先從一個簡單的例子談起。 考察序列 L

4

= (3, 3, 2, 2), 為方便敘述把 L

4

從左到 右位置記為 1 2 3 4 這也是我們將來作出 來的圖的4個頂點的標號

L

4

: (3, 3, 2, 2) 1 2 3 4

位置 1 的數是 3, 表示圖的頂點 1 將 和3個頂點有邊相連, 這 3 個頂點依次為 2 3 4 , 當我們把頂點 1 畫出來後, 序列 L

4

的 第 1 個數應刪去, 且與它相連各個點的度數 減 1, 得序列L

3

。

L

3

: ( 3 − 1, 2 − 1, 2 − 1 ) 1 2 3 4 即

( 2, 1, 1 ) 2 3 4

1 4

3 2

L

3

仍滿足條件 (1)(2), 按上述方法, 把頂點 2 連頂點 3 , 4 , 於是序列 L

3

中位置 2 的 數又被刪去, 3 , 4 位置各減 1, 得序列L

2

。

L

2

: ( 1 − 1, 1 − 1 ) 2 3 4 即

( 0, 0 ) 3 4

1 4

3 2

出現了零序列, 說明我們的構圖成功並完成。

若中間某一步出現的序列不滿足條件 (1) 或 (2), 則可以斷言: 此圖不存在。

為了讓讀者熟悉這一算法, 我們再看兩 個例子。

例1. 求度序列為 (5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1) 的圖。

L

8

: ( 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 L

7

: ( 3, 3, 2, 2, 1, 2, 1 )

2 3 4 5 6 7 8 (有“—”表示已減去1 的位置) L

6

: ( 2, 1, 1, 1, 2, 1 )

3 4 5 6 7 8 L

5

: ( 0, 0, 1, 2, 1 )

4 5 6 7 8 L

4

: ( 0 0 )

6 7 8

1 6

2 5

3 4

1 6

2 5

3 4

1 6

2 5

3 4

1 6 8

2 5 7

3 4

G

1

圖 G

1

的度序列正是 L

8

。

例2: 求度序列為 (5, 4, 3, 2, 2) 的圖。

L

5

: ( 5, 4, 3, 2, 2 ) 1 2 3 4 5

滿足條件 1 , 2 L

4

: ( 3, 2, 1, 1 )

2 3 4 5

因 3 + 2 + 1 + 1 = 奇數, 故不存在 這樣簡單的圖, 它有度序列 L

5

。

至此, 我們已得出一個從序列構造圖的 判斷法:

已知遞降序列 L

n

= (a

1

, a

2

,· · · a

n

), 以 L

_n

為度序列的簡單圖 G 存在的充分必 要條件是:

(1) a

1

≤ n − 1

(2) L

_n−1

= (a

2

− 1, a

3

− 1, . . . a

a

₁

+1

− 1, a

a

₁

+2

, . . . a

_n

) 可圖。

根據這一準則, 可以一舉解決能否構造 和如何構造兩個問題。

須要指出: 按上述方法構出來的圖不必 是唯一的。 換言之, 我們可能作出不同構的 圖, 它們都具有所給出的度序列。

例如, 在例 1 的圖 G

1

中, 我們把邊 {1, 5}, {6, 7} 換成 {1, 7}, {6, 5} 便得圖 G

2

1 6 8

2 5 7

3 4

G

2

易見, G

1

6∼= G

²

, 但它們的度序列均是 (5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1)。

細心的讀者可能會注意到, 我們剛剛用 到的變換只不過把兩條邊換成另外兩條邊而 已。 如下圖, 互不相同的 4個點 1,2,3,4, 兩條 邊{1, 2}, {3, 4}, 在沒有其它邊的情況下, 可 以出現兩種變換 T

1

, T

2

。

1 2 1 2

1 2

=⇒

3 4 3 4 3 4

T

1

T

2

容易看出, 變換前後, 1, 2, 3, 4 四個點 的度數不變。 當然, 這種變換要以不會出現重 邊為前題的, 否則就不是我們要求的簡單圖。

於是, 運用變換 T

1

, T

2

, 我們便能從一 個作出的圖, 構作出具有同一度序列的所有 圖來。

又回到數

用一種構造性的方法, 我們解決了 (a

1

, a

2

· · · a

n

) 可圖性的判斷和實現兩個問題。

可是, 要判斷一個序列是否可圖, 用這種 方法我們必須在構造中才能進行。 正如要論 證人類是否可能到達火星, 要先開著飛船去 一趟, 才能作出判斷一樣。

於是, 數學家尋找一個判斷序列可圖的 純理論條件, 著名數學家厄爾多斯和加萊證 明下列定理。

定理: 正整數序列

^Q

=(a

1

, a

2

, . . . , a

_n

), 其中 a

1

≥ a

2

≥ · · · > 0, 是可圖的充分條 件是: 對每個整數 r, 1 ≤ r ≤ n − 1,

r

X

i=1

a

i

≤ r(r − 1) +

^X

i=r+1

min{r, a

i

} (3) 我們不打算沿著兩位數學家的足跡, 把整個 證明瀏覽一遍。 但是, 我們可以把他們的主要 思路概括出來。

首來, 條件 (3) 的必要是不難導出的, 它的意思是, 我們在序列

^Q

中任意指一個 數 a

r

, 考察由 a

1

到 a

r

這 r 個頂點的度 的和的最大值。 這個和可以分兩部分, 第一部 分是 r 個點之間互相連線至多有 r(r−1) 度, 第二部分是其餘的點與 r 個點的連線, 例如 第 r + 1 個點, 它與 r 個點的連線至多有

min{r, a

r+1

} 條, 其餘的點也可類推。 於是 便得

r

X

i=1

a

_i

≤ r(r + 1) +

n

X

i=r+1

min{r, a

i

} 1

r + 1 r + 2 n

2

3

條件 (3) 的充份性, 主要是對 n 運用數 學歸納法。 對於 n = 1, 2, 證明是顯然的。 假 設充分性對於 n 成立。 即滿足條件 (3) 的序 列可圖, 只需證明對於 n + 1, 充分性亦成立 便可。

這裡, 需要運用一些巧妙的數學構思, 即 把一個滿足條件 (3) 的 n + 1 元序列

^{Q ′}

= (a

1

, a

2

, . . . , a

n

, a

n+1

) 重新構成一個 n 元的

Q _∗

= (e

1

, e

2

, . . . , e

_n

)。

考察

^{Q ′}

中的元 a

_a

₁

+1

, 當然, 我們容許 a

a

₁

+1

的前後有元和它相等, 令 p 和 q 是最 小和最大的整數, 使得

a

_p+1

= · · · a

a

₁

+1

= · · · = a

q

(如果無其它元與 a

a

₁

+1

相等, 則 p = a

1

, q= a

1

+ 1)。 我們構造

^{Q ∗}

如下:

e

_i

=



 

 

 



 

 

 



a

i+1

− 1, 對 i = 1, 2, . . . , p − 1 和 q − (a

1

− p) − 1,

. . . , q− 1 (4.1) a

i+1

, 對其餘的i (4.2) 我們只要證得

^{Q ∗}

滿足條件 (3)(證明從 略), 則由歸納假設,

^{Q ∗}

可圖, 得圖 G

^∗

。

注意到 G

^∗

是 n 階的, 且其度序列只與 a

2

, a

3

, . . . , a

_n+1

有關。 我們在 G

^∗

基礎上, 再添加一個新點, 它與對應於 (4.1) 的那些 e

i

的點連線。 容易算得, 這個新點的度就是 a

1

, 而所得的新圖的度序列便是

^{Q ′}

。 這就完 成了對充分性的證明。

在這裡, 雖然省略了若干證明的細節, 但 已經勾畫出定理證明的思路。

從頭到尾, 我們滿嘴都在談圖。 事實上, 電腦的發展已經使形和數逐步統一起來。 要 把一個圖輸入到電腦裡, 可以通過 (0,1) 矩 陣這個工具。 我們先從一個例子談起。 我想, 讀者都可以從下列的圖和矩陣看出其中的對 應門路

2

1 3 ↔

4

1 2 3 4 1

2 3 4

















0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

















它的對應法則是:

(1) n 階圖 (頂點加標號) 對應於 n 階矩 陣, 其中點 1, 2, . . . , n 對應於矩陣行 1, 2, . . . , n 列 1, 2, . . . , n。

(2) 點 i 與點 j 有邊, 對應於矩陣第 i 行第 j 列位置是1; 點 i 與點 j 無邊, 對應於 矩陣第 i 行第 j 列位置是 0。

這種對應是 1-1 的。 細心的讀者可以發現, 我 們作出的 n 階 (0,1) 矩陣一定是對稱的, 即 以對角線為軸的左右對稱。

建立了這種 1-1 對應後, 圖可以輸入到 電腦裡, 可以參與很多數學運算。 我們可以運

用代數工具來研究一個圖的性質。 圖, 再不是 幾何學家的專利了。

於是, 我們上面所述的, 序列在圖上的 實現問題等價於: 給出一個序列 (a

1

, a

2

, . . . a

n

) 是否可以作出一個 (0,1) 矩陣, 使它的行 和、 列和都是 a

1

, a

2

, . . . a

_n

。

於是, 畫圖問題又回歸到數的問題。 要 解決我們的問題, 你可以不畫圖, 而光是設計 出這樣的 (0,1) 矩陣。 試試看, 這同樣是不好 對付的。

那種給定一個矩陣的行和和列和, 構造 和枚舉 (0,1) 矩陣的問題是數學中一類相當 困難的問題, 至今仍有很多無法解決, 即使電 腦幫上一把, 也無濟於事。

現在, 再問一句: “你會畫圖嗎?”

應該怎樣回答呢?

1998. 6 於美國明尼蘇達大學

—本文作者任教於廣州華南師範大學數學系 和廣東職業技術師範學院計算機系—