善待學生的提問

善待學生的提問

趙 國瑞

數學課堂上, 孩子提問是再正常不過的現象。 然而課堂上也會出現個別學生提出一些在常 人看來比較怪異甚至超常的問題。 作為教師不能忽視這些學生的提問, 更不能譏諷甚至鄙視學 生, 因為這樣做會傷害孩子的自尊心, 更為重要的是容易扼殺學生的好奇心, 挫傷學生的求知 慾。 只要是學生真實的想法, 教師都應該給予學生肯定和鼓勵。 作為教師要善待學生的提問。

圖 1 在復習 「等腰三角形」 的課堂上, 我給學生佈置一組與之有關的練習題,

其中一道題目如下:

如圖 1, 點 D、E 在 △ABC 的邊 BC 上, AB = AC, AD = AE。

求證: BD = CE, ∠BAD = ∠CAE。

本題難度不大, 利用等腰三角形的性質和三角形全等的判定 不難證明, 大部分學生很快證畢。 正當我繼續往下進行時, 突然一

位學生提出這樣一個問題: 如圖 1, 點 D、E 在 △ABC 的邊 BC 上, BD = CE, ∠BAD =

∠CAE。 那麼 △ABD 與 △ACE 是否全等?

提出這個問題的學生數學成績平平, 不知道他為什麼會提出這個問題。 我對這個問題進行 了短暫的思考, 由於事先沒有準備, 一時竟無法答覆這個學生。 不過我並不認為學生是在故意刁 難而責罰學生。 學生能夠主動提出問題說明他用心學習, 積極思考, 因為我曾經遇到過類似的情 形:

圖 2 記得以前在學習 「等腰三角形」 時, 教材中有這樣一道幾何題:

如圖 2, △ABC 中, AB = AC, BD、CE 是 △ABC 的兩內角平分線。 求證: BD = CE。

這道幾何題當然容易證明。 誰知課堂上一位學生卻向我提出了一道 與之相反的問題:

如圖 2, BD、CE 是 △ABC 的兩內角平分線, 且 BD = CE, 那麼 △ABC 是否是等

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腰三角形?

由於這道題的難度非常大, 我無法當場回答學生的提問。 課後我查閱相關資料才知道, 原 來這個學生所提的問題, 正是德國數學家萊默斯在 1840 年給法國數學家斯圖姆的一封信中提 到的問題, 也就是證明兩內角平分線相等的三角形是等腰三角形。 首先解決這個問題的是瑞士 幾何學家斯坦納, 因而這一定理被人們稱為斯坦納 — 萊默斯定理, 這道幾何題也由此聞名於 世。 沒想到一個學生提出的問題竟是一道世界有名的幾何題! 通過這個學生提出的問題, 不僅 使我增長了數學知識, 開闊了數學視野, 而且讓我深刻認識到慎重對待學生提問的重要性。 不端 正對待學生提問的態度, 不僅會使自己停滯不前甚至倒退, 可能還會抹煞一位數學天才。

考慮到上課時間比較緊張, 加上一時半會我也無法解決這個問題, 但我必須對這個學生的 提問進行評價, 給這個學生一個交待。 於是我親切地問那個學生是怎樣想到這個問題的。 他回答 說要證的結論正好是根據 △ABD ≃ △ACE 推出的, 反過來能不能根據要證的結論來推斷

△ABD 與 △ACE 是否全等? 看來學生提出的問題自然、 合理, 並不是信口開河。 我對學生 這種積極思考、 能從正反兩個方面考慮問題的精神給予了充分肯定和鼓勵。 然後我坦誠地告訴 那個學生:「你提的問題很有價值, 請容我再想一想, 以後答覆你。」

課後我對這個問題進行了深入的思考和研究。 通過運用幾何畫板軟體作圖, 我發現 △ABD 與 △ACE 確實全等。 不過到底怎樣證明這兩個三角形全等, 我一時不知從何下手。 因為證明 兩個三角形全等一般需要三個條件, 而這個問題卻只給出兩個條件: 一邊相等和一角相等。 只有 從已知條件中再挖掘出一個條件 (一邊相等或一角相等) 才能證明兩個三角形全等。 到底如何 挖掘呢? 當我注意到 △ABD 與 △ACE 這兩個三角形的底邊相等, 高相同時, 想到從面積入 手, 證明過程如下:

∵ BD= CE, 且 △ABD 與 △ACE 同高, ∴ S_△ABD = S_△ACE。

而 S_△ABD=¹₂AB·AD·sin ∠BAD, S_△ACE=¹₂AC·AE·sin ∠CAE, 且 ∠BAD = ∠CAE,

∴ ¹

2AB· AD · sin ∠BAD = ¹₂AC· AE · sin ∠CAE。

即 AB · AD = AC · AE. (1)

∵ ∠BAD = ∠CAE, ∴ ∠BAD + ∠DAE = ∠CAE + ∠DAE, 即 ∠BAE = ∠CAD.

∵S_△ABD = S_△ACE, ∴ S_△ABD+ S_△ADE = S_△ACE + S_△ADE, 即 S_△ABE = S_△ACD. 而 S_△ABE = ¹₂AB· AE · sin ∠BAE, S_△ACD = ¹₂AC· AD · sin ∠CAD,

∴ ¹

2AB· AE · sin ∠BAE = ¹₂AC· AD · sin ∠CAD,

即 AB · AE = AC · AD (2)

(1)×(2), 得 AB²· AD · AE = AC²· AD · AE, 即 AB² = AC²。

而 AB、AC 表示線段的長, 都是正數, ∴ AB = AC。 下面再證明 △ABD ≃ △ACE 就是一件簡單的事了!

這種方法主要是從面積入手。 接下來我又注意到 ∠BAD 與 ∠CAE 分別是 BD、CE 的 對角, 於是又想到嘗試運用正弦定理進行分析和研究, 也證出了 △ABD 與 △ACE 全等, 證 明過程如下:

設 ∠BAD = ∠CAE = α, 則 ∠ADE = ∠B + α, ∠AED = ∠C + α。

在 △ABD 中, 由正弦定理, 得 BD

sin α = AD sin B, 在 △ACE 中, 由正弦定理, 得 CE

sin α = AE sin C。

∵ BD= CE, ∴ AD

sin B = AE

sin C。 即 AD

AE = sin B sin C。 在 △ADE 中, 由正弦定理, 得 AD

sin(C + α) = AE

sin(B + α)。 即 AD

AE = sin(C + α) sin(B + α)。

∴ sin B

sin C = sin(C + α)

sin(B + α)。 即 sin B sin(B + α) = sin C sin(C + α)。

即 2 sin B sin(B + α) = 2 sin C sin(C + α), cos(2B + α) − cos α = cos(2C + α) − cos α。

∴ cos(2B + α) = cos(2C + α)。

顯然 ∠B、 ∠C 和 α 都是銳角, ∴ 0^◦ <2B + α < 270^◦, 0^◦ <2C + α < 270^◦。

∴ 0^◦ <(2B + α) + (2C + α) < 540^◦。

∴ (2B + α) + (2C + α) = 360^◦ 或 2B + α = 2C + α。

當 (2B + α) + (2C + α) = 360^◦ 時, B + C + α = 180^◦。

觀察圖 1 可知 B + C + α < 180^◦, 因此 B + C + α = 180^◦ 不合題意, 捨去。

∴ 2B + α = 2C + α。

∴ B = C, 即 ∠B = ∠C。 由 「角角邊」 得 △ABD ≃ △ACE。

證明完畢之後, 我在思考像 △ABD 與 △ACE 這類表面上只有兩個全等條件的三角 形為什麼能夠全等呢? 這類三角形到底有什麼特點呢? 通過觀察圖形, 我發現 △ABD 與

△ACE 這兩個三角形有三個特點: (1) 有一個公共頂點; (2) 公共頂點所對的邊相等且在一條 直線上; (3) 以公共頂點為頂點的角相等。 由此得到判定三角形全等的一個定理:

定理1: 如果兩個三角形有一個公共頂點, 以這個公共頂點為頂點的一對角相等, 這對角所對的

邊也相等且在一條直線上, 那麼這兩個三角形全等。

可以看出, 能用上面的定理判定全等的兩個三角形位置非常特殊, 不僅要求有公共頂點, 而 且公共頂點所對的邊還必須在一條直線上。 接著我想如果兩個三角形有一角對應相等, 該角所 對的邊也相等且在同一條直線上, 如果這兩個三角形沒有公共頂點, 還能使這兩個三角形仍然 全等嗎? 我通過平移三角形的辦法很快得出答案。 將圖 1 中的 △ACE 向右平移得到圖 3, 顯 然 △A₁BD 與 △A₂CE 就是滿足條件的全等三角形。△A₁BD 與 △A₂CE 只有一邊和一 角對應相等, 可為什麼這兩個三角形會全等呢? 我反覆思考, 突然頓悟: 在平移的過程中, 點 A 到直線 l 的距離不變, 因此 △A₁BD 的邊 BD 上的高與 △A₂CE 的邊 CE上的高相等, 這樣 △A₁BD 與 △A₂CE 就會有三個元素對應相等 (雖然不直接滿足三角形全等的一般條 件)。 或許正是這個條件導致 △A₁BD 與 △A₂CE 全等, 奧秘或許就在此。 於是我大膽猜想:

有一邊及其對角以及該邊上的高分別對應相等的兩個三角形全等。 我利用餘弦定理和三角形的 面積公式 S = ¹₂absin C 順利證明這個猜想, 過程如下:

圖 3

設兩個三角形相等的邊為 m, m 的對角為 α。 其中一個三角形的另外兩邊為 a, b, 另一個 三角形的另外兩邊為 c, d。

由餘弦定理, 得 m² = a²+ b²− 2ab cos α, m² = c² + d²− 2cd cos α。

∴ a²+ b²− 2ab cos α = c²+ d²− 2cd cos α。

由題意知兩個三角形的面積相等, ∴ ¹₂absin α = ¹₂cdsin α。 即 ab = cd。

∴ a²+ b² = c²+ d²。 由 ( ab = cd

a²+ b² = c²+ d²

容易推出 ( a = c b= d

或( a = d b= c

。

根據 「邊邊邊」 易知兩個三角形全等。 由此又得到判定三角形全等的一個定理:

定理2: 有一邊及其對角以及該邊上的高分別對應相等的兩個三角形全等。

可以看出, 定理 2 包含定理 1, 定理 1 是定理 2 的一個特例。 因此表面上看定理 1 和定 理 2 是兩個定理, 本質上是一個定理, 也就是定理 2。 由於定理 2 包含三角形的邊、 角和高這

些元素, 因此不妨稱這個定理叫做 「邊角高」 定理。

發現 「邊角高」 定理抑制不住內心的喜悅, 不過我想如果能用所學的知識對這個定理進行 解釋才會使這個定理更加完美。 通過嘗試、 作圖, 終於成功解釋 「邊角高」 定理:

圖 4

圖 5

如圖 4, 在 △ABC 和 △A^′B^′C^′ 中, BC = B^′C^′, ∠A = ∠A^′, BC 邊上的高與 B^′C^′ 邊上的高相等。 由於 BC = B^′C^′, 將 △ABC 和 △A^′B^′C^′ 按圖 5 的方式放置, 使線段 BC 與線段 B^′C^′ 重合 (其中點 B 與點 C^′、點 C 與點 B^′ 分別重合), 作 △ABC 的外接圓⊙ O。

由 ∠A = ∠A^′ 知點 A^′ 也在 ⊙ O 上。 連結 AA^′。 因為 BC 邊上的高與 B^′C^′ 邊上的高相 等, 因此必有 AA^′kBC。 過點 O 作線段 BC 的垂線 MN 分別交 BC、 AA^′ 於點 M 、 N , 則 M N 必然垂直 AA^′。 由垂徑定理知點 B、 C 和 A、 A^′ 都關於直線 M N 對稱。 所以 △ABC 與 △A^′B^′C^′ 關於直線 M N 對稱, △ABC 與 △A^′B^′C^′ 當然全等。 也就是說, 對於滿足 「邊 角高」 的兩個三角形, 總可以通過擺放使這兩個三角形關於相等邊的垂直平分線對稱。 (圖 5 實 際上提供了一種證明 「邊角高」 定理的幾何方法, 也間接給出了等腰梯形判定的一個定理: 以梯 形的兩腰和兩條對角線以及其中一條底邊為邊的兩個三角形, 如果以底邊為邊的對角相等, 那 麼這個梯形是等腰梯形。)

對 「邊角高」 定理解釋完畢, 我意猶未盡, 再次對這個定理進行深思。 我們知道三角形都有 六個元素 (三個內角和三條邊)。 如果從尺規作圖的角度來看, 三角形全等的本質是以滿足三角 形全等的三個元素進行尺規作圖, 總可以作出符合條件的三角形 (至少可以作出一個三角形。 如 果可以作出兩個或兩個以上的三角形, 那麼這些三角形一定全等)。 因此我想如果以滿足 「邊角 高」 的條件進行尺規作圖, 也一定能做出符合條件的三角形。 通過反覆思考、 嘗試, 終於如願以 償。

圖 6

如圖 6, 已知 ∠α, 線段 m 和線段 h。 求作一個三角形, 使這個三角形的一邊為 m, 該邊 的對角為 ∠α, 該邊上的高為 h。

作法:

(一) 作 △ABC, 使 ∠A = ∠α, CB = m;

(二) 作 △ABC 的外接圓 O;

(三) 作弦 C^′B^′ 平行 CB, 且使 C^′B^′ 與 CB 的距離為 h;

(四) △CC^′B 和 △BB^′C 均為所求, 且這兩個三角形關於 CB 的垂直平分線對稱, 如圖 7 所示。

圖 7

這樣我們又從尺規作圖的角度對 「邊角高」 定理的本質進行了揭示。 至此, 我感覺對這個 問題的研究總算可以暫告一段落了。

感悟: 今天收穫真大, 因為我發現了判定三角形全等的一個重要定理 — 「邊角高」 定理。 同時 這也讓我再次感悟到善待學生提問的重要性。 是學生的提問提供了我這麼好的研究素材, 才讓 我有機會發現這個定理, 否則我很難甚至不可能發現這個定理。 在教學過程中, 學生的疑與思伴 隨相生, 學生主動向教師提問, 體現了學生學習的主動性, 同時有利於促進教師的教學水準和知 識水準。 教師要尊重學生, 鼓勵和引導學生提問, 形成教師與學生 「雙向交流」 的氛圍, 相得益 彰。 最後借用網路上的一句話 「善待別人就是善待自己」, 我要說: 「善待學生的提問, 就是善待 教師的教學。」

—本文作者任教湖北省襄陽市襄州區黃集鎮初級中學—