1 貪心法

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2022 資訊之芽手寫作業 5 Deadline: 2022/04/09

1 貪心法

由於貪心法的證明實在太重要了，本次作業將讓大家練習許多證明。貪心法的證明 往往如以下的形式：由我們提出來的貪心演算法可以得到一組解 S ，而且這個解會滿 足一些特性 (視算法而定)。接著，對於任意一組不滿足該特性的解 S^′ ，我們都可以 構造出一組更好的解 S^′′ ，如果 S^′′ 仍然不滿足該特性，我們又可以構造出更好的解 S^′′′ · · · ，最後得到 S ，如此一來就可以證明 S 是最優的解了。

複習一下影片中提到的「誰先晚餐」問題，經簡化的題目是這樣的：

例題 1

有 n 位同學要吃晚餐，第 i 位同學想吃的食物需要 Ci 時間才能煮好，而他吃 掉食物所花的時間為 Ei ，且廚師同一時間只能煮一種食物。請證明，要讓廚師開 始煮菜到最後一位同學吃完，經過的時間最短的方法是讓吃飯時間 (E_i) 越久的越先吃。

解答

假設由演算法得到的吃飯的順序為 a₁, a₂,· · · , an ，則此序列一定滿足特性 E_a_i ≥ Eai+1 。假設有另外一組吃飯順序為 b₁, b₂,· · · , bn，且不滿足該特性，則一 定存在兩個相鄰的人 b_i, b_i+1 滿足 E_b_i < E_b_i+1 。如果將這兩個人的吃飯順序對調，

則考慮第 j 個人吃飯結束的時間 (對調前為 t1(j) ，對調後為 t2(j) ，可以以下四種人的情況：

(1) j < i：

對調前，結束的時間為 t1(j) =

∑j k=1

Cb_k + Ebj； 對調後，結束的時間為 t₂(j) =

∑j k=1

C_b_k + E_b_j。 (2) j = i：

對調前，結束的時間為 t₁(j) = t₁(i) =

i∑−1 k=1

C_b_k + C_b_i + E_b_i； 對調後，結束的時間為 t₂(j) = t₂(i) =

i∑−1 k=1

C_b_k + C_b_i+1 + C_b_i + E_b_i。 (3) j = i + 1：

對調前，結束的時間為 t₁(j) = t₁(i + 1) =

i−1

∑

k=1

C_b_k + C_b_i+ C_b_i+1+ E_b_i+1； 對調後，結束的時間為 t₂(j) = t₂(i + 1) =

i−1

∑

k=1

C_b_k + C_b_i+1+ E_b_i+1。 (4) j > i + 1：

對調前，結束的時間為 t₁(j) =

∑j k=1

C_b_k + E_b_j；

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對調後，結束的時間為 t₂(j) =

∑j k=1

C_b_k + E_b_j。

我們要比較的是 max{t1(j)} 和 max{t2(j)} (1 ≤ j ≤ n) ，可以發現會讓 t1(j) 和 t₂(j) 不同值的只有 j = i 和 j = i + 1 ，而且 t₁(i + 1) ≥ t2(i) (∵ Ebi+1 >

E_b_i), t₁(i + 1) ≥ t2(i + 1) ，所以 max{t1(j)} ≥ max{t2(j)}，也就是對調之後，最後吃完的時間一定不會比對調前差。

最後，經過不斷的兩兩對調，一定可以將序列 b 變成序列 a (如 bubble sort 的過 程)，且過程中，最後吃完的時間必為非嚴格遞減，得證序列 a 是這個問題的最優 解。

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習題

1. 在影片中提到了換零錢的題目，敘述如下：已知有 n 種貨幣面額 c₁, c₂,· · · , cn ，不 失一般性可以假設 c₁ < c₂ <· · · < cn。對於任意兩種面額 c_i, c_j (i < j)，滿足 c_j 一 定是 c_i 的倍數，也就是 c_i|cj ，而且為了確保所有整數的金額都可以湊出，c₁ = 1 (例如台灣的硬幣去掉 20 元就滿足這些要求)。對於任意正整數 x ，請問如何使用 盡量少的零錢個數湊出 x 元呢？

(a) (30 pts) 請證明在題目的條件之下，盡量使用面額較高的零錢可以得到最佳解。

意即要湊出 x ，可以先使用一枚面額不大於 x 的最大面額零錢 c_i ，剩下的 x− ci 元用相同的方法湊出。

(b) (10 pts) 在不滿足∀i < j, ci|cj 的情況下，第一題的貪心算法仍然可以得到最佳解嗎？如果可以，請證明之（可以的意思是不論面額和要湊出的金額為多少，

貪心算法得到的解都是正確的）；如果不行，請給出造成反例的面額 c₁· · · cn 、 欲湊出的金額 x 、使用貪心法得到的解以及能比貪心法得到的解使用更少個零 錢的解。

(c) (20 pts) 在不滿足∀i < j, ci|cj 的情況下，第一題的貪心算法一定不能得到最佳 解嗎？如果不行，請證明之；如果可以，請給出一組貪心法適用的面額 c₁· · · cn

，並證明在該組面額上，使用貪心法湊出任意金額都可以得到最佳解。

2. (40 pts) 已知 n 個區間 (l1, r1), (l2, r2),· · · , (ln, rn) ，希望可以挑選出盡量多個不重 疊的區間。請證明先將區間照右界 (ri) 由小到大排序後，依序挑選與當前挑出的區間不重疊的區間，如此可以挑選出最多的區間。

(例：有四個區間 (1, 4), (2, 5), (3, 7), (6, 8) ，則上述貪心演算法會依序挑選 (1, 4) 和 (6, 8) ，得到最多可以挑選出 2 個區間。當然最佳解不唯一，演算法也可以改成照 區間左界由大到小排序，此時挑選出的區間就是 (6, 8) 和 (2, 5) ，但區間數量仍然 是最大值。)

3. (20 pts) 考慮以下的可分割背包問題：你有一個承重最多 L 的背包，並有 n 個物 品，其中第 i 個有重量 w_i 與價值 c_i，每個物品都可以分割，也就是說，對於任意 第 i 個物品，你可以選擇要只帶其中 p (0≤ p ≤ 1) 的部分。此時帶這個物品的重量 與效用就分別是 pwi 與 pci。

請證明以下策略為最優解：將物品以 _w^cⁱ

i 由大至小排序，由前往後，如果能取完整個物品則取，不能（背包滿了）則只取剛好讓背包滿的那部分。

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