111 學 年 度 分 科 測 驗 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 評 分 原 則

1

111 學 年 度 分 科 測 驗 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 評 分 原 則

數 學 甲 考 科 的 題 型 有 選 擇、選 填 與 混 合 題（ 含 非 選 擇 題 ）、非 選 擇 題。

111 學 年 度 分 科 測 驗 數 學 甲 考 科 的 非 選 擇 題 共 有 5 題，包 含 第 13、14、15、

16、17 題。其 中 第 13、15、16、17 題 每 題 為 4 分；第 14 題 為 6 分，總 計 22 分 。

非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 論 證 過 程，答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚 ， 且 得 到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數 。

數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種，在 此 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法 以 供 各 界 參 考 。關 於 較 詳 細 的 考 生 解 題 錯 誤 概 念 或 解 法 ， 請 參 見 本 中 心 將 於 8 月 15 日 出 刊 的 第 332 期 《 選 才 電 子 報 》。

111 學 年 度 分 科 測 驗 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 各 大 題 的 參 考 答 案 說 明 如 下 ：

第 13 題

一、滿分參考答案：

W 與∆ABC ACQ,∆ 所截邊長相等，設此邊長為l ，由相似形可得

10 15

l = x ，所以 2

3 l = x 。

所截矩形另一邊長為_{30 30} ² 3x l

+ = + ，所以矩形面積為² ₍₃₀₊² _{) 20} ^{4 2} 3x 3x = x+9x 。 二、評分原則：

能否依據題意所給條件，以相似形求得矩形邊長，並證得矩形面積。

2

第 14 題

一、滿分參考答案：

1. 由P P_{0 k} ^15k

= n ，與過_Pk的 水平面所截矩形面積為₂₀₍¹⁵ ₎ ^{4 15}_{( )}² 9

k k

n + n ，再乘上高 15

n ，得黎曼和 ²

1

15 4 15 15

20( ) ( )

9

n k

k k

n n n

=

 + 

 

 

∑

2. 體積的定積分式為^{15 2}

0

20 4 d

x 9x x

 + 

 

 

∫

利用反導函數得積分值為

15

2 3 2 3

0

4 4

10 10 15 15 2750

27 27

x x

 +  = × + × =

 

  。

二、評分原則：

能否由切片方法寫下估計積木體積的黎曼和，並能利用定積分表示積木體積，進而求 得積木體積值。

第 15 題

一、滿分參考答案：

a 、b 、a − b 所形成的三角形邊長分別為x 、9 x− 、₇。

由餘弦定理得

2 2 2 2

2

(9 ) 7 9 16 16

cos ( ) 1

2 (9 ) (9 ) 9

x x x x

f x x x x x x x

θ = = ^{+ − −} = ^{− +} = −

− − − ，

微分得 _{( )} ^{16(9 2 )}_{2 2}

(9 )

f x x

x x

− −

′ =

− 。

二、評分原則：

能否正確操作餘弦定理並得出 _{f x( )}，並以微分除法律求其導函數。

第 16 題

一、滿分參考答案：

法一：微分

由上題的 _{f x}′_{( )}可得：

當₁ ⁹ x 2

< < 時， _{f x}′_{( ) 0}< ，故此時 _{f x( )}為遞減；⁹ ₈

2< <x 時 _{f x}′_{( ) 0}> ，此時 _{f x( )}為遞

3

增。

當 ⁹

x = 2時， _{f x}′_{( ) 0}= ， _{f x( ) cos}= θ 有最小值，此時夾角θ 為最大。

法二：配方法

由上題的 _{( )} ¹⁶ _{2 1} f x 9

= x x −

− ，其中 ¹⁶ ₂

9x x− 的分子為常數，將分母配方得

2 9 2 81

9 ( )

2 4

x x− = − −x + ，

當₁ ⁹ x 2

< < 時，分母遞增，此時 _{f x( )}為遞減；⁹ ₈

2< <x 時，分母遞減，此時 _{f x( )}為 遞增。

當 ⁹

x = 2時，分母有最大值， f x_{( ) cos}= θ有最小值。此時夾角θ 為最大。

二、評分原則：

以一階微分 _{f x}′_{( )}的正負來說明 _{f x( )}在哪個區域遞增、遞減，以說明x 為多少時，夾 角θ 為最大。

第 17 題

一、滿分參考答案：

因為5 在 4.96 附近且易於計算，所以是最合適的估計參考點。在 5 附近的一次估計 為 f x_{( )}≈ f₍₅₎+ f′₍₅₎₍x−₅₎，

由 f(5)= −0.2與 f ′ =(5) 0.04，可得 f_(4.96)≈ −0.2 0.04 ( 0.04)+ × − = −0.2016。 二、評分原則：

會寫出一次估計形式，並找到合理的估計參考點說明當_{x =4.96}時，_cosθ約為多少？