答案:11

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(1)

明誠中學高三數學期末題庫《詳解》 2007/01/01

1、 某次考試,全班 40 人中英文不及格的有 17 人,數學不及格的有 20 人,兩 科皆及格的有 9 人,則數學及格英文不及格的有____人,兩科皆不及格的有 ___人。

答案:11 ; 6 解析:如右圖

英文及格的人數為 數學及格的人數為

數學及格且英文不及格的人數為 11(人)

數學及英文皆不及格的人數為 40 17− =23 40 20− =20

40 14 9 11− − − = (人)。 6 2、 求下列函數的定義域

(1) 3

( 1)( 2 y x

x x )

= −

+ − 之定義域為______ (2)y= x − 之定義域為______ 1 答案:(1)x≠2 且x≠−1 (2) x≥1 或x≤ −1

解析:

(1)分母不為 0,x≠2 且x≠−1

(2)根號內必須非負, x − ≥1 0 ∴x ≥1 ∴x≥1 或x≤− 1

3、設 a, b, c∈ 且 8 : 12 : 9 又 gcd(a,b,c) + lcm(a,b,c) = 803 則 gcd(a,b,c) = ______,又a ______。

: : a b c=

= 答案:11,88

解析:設a=8 , 12 , 9k b= k c= k k 8k 12k 9k 4 8 12 9 3 2 3

9 2

1 3

∴gcd(a,b,c) = k; lcm(a,b,c) = k× × × × × =4 3 2 1 3 72k k +72k = 803 ∴k =11,故a= × =8 11 88

4、 二直線 ,

(1)當k ______時, , (2)當k

1: 2 3 2, 2: 3 ( 5) 25 6 L kxy= kL x+ −k y= − k

= L1//L2 =______時, ,

(3)當k ______時,L

1 2

L =L

1與L2相交, (4)當k =______時,L1L2。 答案:(1)2 (2)3 (3)2, 3 (4) –10

解析:(1) (2) 2 2

5 6 0 2

3 5

k k k k

k

= − ⇒ − + = ⇒ =

− 或 3

1 2

2, : 2 2 4, : 3 3 13( ) k = L xy= L xy= 平行

1 2

3, : 3 2 7, : 3 2 7( ) k = L xy= L xy= 重合 (3)L1L2相交,則 2

2 3

3 5

k k k

k

≠ − ≠

− ∴ 且 ≠ (4)L1⊥ ,L2 3

( ) ( ) 1

2 5

k

− × −k = − ⇒

− − 3k2(k− =5) 0 k = −10

(2)

5、 設一直線經過(2,−3)且在兩軸上之截距乘積為 3,則其直線方程式為______。

答案: 2

1, 1

3 2 3

y x y

x+ = − − =

解析:設 2 3

: x y 1,

L a b a b

+ = +− = 1,又ab= 3

2

2 3 1

3 2 3 2

3 1 1 2 0 ( 2)( 1) 0

3 1

a b

ab b a a a a a

a a a

a

⎧ + =−

⎪⎪

− −

⎨ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + − = ⇒ + − =

⎪⎪

1, 2 3, 3

a= − ⇒ = − ,b 2 3

( , ) (1, 3) ( 2, ) a b = − −2

得 或

∴L 為 1

1 3 x y

+ = 或 2

2 3 1 xy

+ =

6、 設 a ,若方程式 有實根,試求 ______,

另一虛根為_______。

x2+(3a+ −2 i x) +(2a i− =) 0 a= 答案:−1 ; 2+i

解析:設實根為α ,另一虛根為 β

2 (3a 2 i) (2a i) 0

α + + − α+ − =

由−

2 3a 2 2a ( 1)i= ⇒0

α + α+ α+ − α+ 2 3 2 2 0 1 0

a a

α α α

α

⎧ + + + =

⎨ + =

1 2

α = − 代入¬ 1 31 − a− +2 2a= ⇒ = − 0 a 1 又α β+ = −(3a+ −2 i)⇒ − + = +1 β 1 i ⇒ = +β 2 i

a= −1,另一虛根為2 i+ 。 7、 設 1 3

2

ω= − + i,試求 (1) (2+5ω+2ω2 6) = ______。(2)ω100 1100

+ω = ______。

答案:(1)729 (2)−1

解析:∵ 1 3

2

ω= − + i,∴1+ +ω ω2 =0,ω3 =1

(1) (2+5ω+2ω2 6) =[2(1+ +ω ω2) 3 ]+ ω 6 =(3 )ω 6 =36ω6 =729 1⋅ =729 (2)ω100 =(ω3 33) ⋅ =ω ω,∴

2 100

100

1 1 1

+ − 1 + = + =ω = ω = −

ω ω

ω ω ω ω

8、 右圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇形 模型:數字1出現在第1列;數字 出現在第 列;

數字6, (從左至右)出現在第 列;數字 出

現在第 列;依此類推。試問第 列,從左至右算,

第67個數字為______。

2, 3 2

5, 4 3 7,8, 9,10

4 99

答案:4884

解析:第 1 列有 1 個數,第 2 列有 2 個數,…,第 k 列有 k 個數,…,因此到第 98 列為止,共有 1+2+…+98 99 98

2 4851

= × = 個數,又第 99 列有 99 個數,

(3)

且是由右到左,故由左至右算第 67 個數字為4851 (99 67 1)+ − + =4884 9、 數列 1

1, 2 1, 1

2, 3 1, 2

2 , 1 3, 4

1, 3 2, 2

3, 1

4, …,依此規則,令 表其第 項,(1)若

an n

5

n 14

a = ,則n=____________。(2)試求a73= ___________。

答案:167;6 7

解析:(1)找規則,第 1 組(

1

1 ),第 2 組(

1 2,

2

1),第 3 組(

1 3,

2 2,

3

1),……

知 5

14在第 18 組的第 14 個數,(1 + 2 + 3 + 4 + … + 17) + 14 = 167 個 (2)73 = (1 + 2 + 3 + 4 + … +11) + 7⇒a73= 6

7(在第 12 組的第 7 個數) 10、一皮球從 100 公尺的高處落下,每次返跳的高度為其落下時高度的1

3倍,則 至靜止時,此球所經的距離為______公尺。

答案:200

解析:所經過的距離為 1 1 2

100 2[100 100 ( ) ]

3 3

+ × + × +

100 100 2 3

1 1 3

= + ×

− =100 100+ =200(公尺)。

11、若5x5−5x4+7x3−4x2+4x− =2 (ax2+bx c+ )(5x3+2x− +1) (dx2+ +ex f),則 _____。

a+ + + + + =b c d e f 答案:0

解析:利用除法原理:被除式:5x5−5x4+7x3−4x2+4x−2;除式:(5x3+2x−1) 商式:ax2+bx+c;餘式:dx2+ + ex f

1 1 1 5 0 2 1 5 5 7 4 4 2

5 0 2 1 5 5 3 4 5 0 2 1 5 1 3 2 5 0 2 1 1 1 1

− + + + − − + − + −

+ + −

− + − +

− + − +

− + − + + −

− + −

ax2+bx+ =c x2− +x 1,dx2+ + = − + − ex f x2 x 1 故a+ + + + + = − + − + − =b c d e f 1 1 1 1 1 1 0。

12、若多項式f(x)除以x2 + 2x + 3 的餘式為 5x + 6,除以x−2 的餘式為−6,求f(x) 除以(x2 + 2x + 3)(x 2) 的餘式為___________。

(4)

答案: 2x− 2 + x

解析:設f (x) = (x − 2)(x2 + 2x + 3) h(x) + a(x2 + 2x + 3) + 5x + 6

f (2) = 11a + 10 + 6 = 6⇒a = − 2,餘式為−2(x2 + 2x + 3) + 5x + 6= 2x2 + x 13、設 f x( )=x3+x2−4x+ −(a 7)與g x( )=2x3−7x+(2a− 的最低公倍式為五次8)

式,求a=________。

答案:3

解析:∵ f x( )⋅ ( ) ( ( ), ( )) [ ( ), ( )]g x = f x g xf x g xd x( )=( ( ), ( ))f x g x ,且deg( ( ))d x =1

d x f x( ) ( )=x3+x2−4x+ − (a 7) ( ) ( ) 2 3 7 (2 8) d x g x = xx+ a

( ) 2 ( ) ( ) 2 2 6 (2 3)( 2)

d x f x g x x x x x

⇒ − = − − = + −

d x( )= −x 2 (∵2x+3|f x( ));(一次因式檢查法)

g x( )=16 14− +2a− = ⇒ =8 0 a 3。

14、在邊長為 4 的正方形 ABCD 的三邊長AB,BC , CD 上各取一 點 P,Q,R,使2AP=BQ=2CR,則 的最小面積為 _________,此時

PQR AP=_______。

答案:7 2; 3

2

解析:△PQR面積 4 (4 ) 1 1

16 (4 ) 2 (4 2 )

2 2 2

x x

x x x x

⋅ − +

= − − − ⋅ − ⋅ −

2x2 6x 8

= − + 3 2 7

2( ) 2 2

= x− + ,當 3

x= 時,最小值2 7

= 。 2

即 3

AP= 時,2 △PQR的最小面積為7 2。

15、求方程式 f x( )=2x4+7x3x2−17x− = 的全部有理根為_______或______。 6 0

答案: 3

2, 2

解析:由牛頓定理知(一次因式檢查法):

若 ( )q 0 | 2, | 6

f p

p = ⇒ q − ,即有有理根必為 1 3

1, 2, 3, 6, , 2 2

± ± ± ± ± ± 。 2 + 7 − 1 − 17 − 6 −2

− 4 − 6 + 14 + 6 2 + 3 − 7 − 3 +0

+ 3 + 9 + 3 3 2 2 + 6 + 2 + 0

(5)

∴有理根為−2與3 2

16、( B ) 設m∈ ,若二次函數y=mx2+10x m+ + 的圖形在直線6 的上 方,則 m 的範圍為何? (A) (B)

2 y= 0

m> m> − +2 29 (C) 0 (D)

2 29

< < − +m 2 29 m 2 2

− − < < − + 9 (E)m> − +2 29 或m< − −2 29 解析:∵y=mx2+10x+(m+6)的圖形恆在y=2的上方

∴ 恆成立

∴ 恆成立

2 10 ( 6) 2

mx + x+ m+ >

2 10 ( 4) 0,

mx + x+ m+ > ∀ ∈x

2

0 0

10 4 ( 4) 0 2 29 2 2

m m

D m m m m

> ⎧ >

⎧ ⇒⎪

⎨ ⎨

= − + < ⎪ > − + < − −

⎩ ⎩ 或 9,

m> − +2 29

,故答案為(B)。

17、(1)求 1

lo ______。(2)若 1 7 1 300 ( )8 250

< n < ,則自然數 n 之值為______。

g250 =

答案:(1) -2.398 (2) 42 解析:(1) 1

log250= 4

log log 4 log1000 2 log 2 3 2.398

1000= − = − = −

(2) 1

log log(3 100) log100 log 3 2 log 3 2.4771 300= − × = − − = − − = − log7 log 7 log 8 log 7 3log 2 0.0579

8= − = − = −

∴−2.4771<n× −( 0.0579)< −2.398 ∴42.7> >n 41.4,∴n=42 18、( E ) ,則下列何者為真

(A)lo

logx= −1.2345

g x的首數為-1 (B)log x的尾數為 0.2345

(C)小數 x 從小數點向右第 1 位出現非 0 之數字

(D)小數 x 從小數點向右第一個出現非 0 之數字為 1 (E) 1 1 100 < <x 10 解析:logx= −1.2345= − +2 0.7655

∴首數為-2,尾數為 0.7655,小數點後第二位出現非 0 之數字 k

∵log 5=0.6990< 0.7655 < log 6=0.7781 ∴k = 5

∵− <2 logx< −1 ∴ 1 1 100< <x 10

19、令sin( 10 )− ° =k,則 cot190° =______, csc80° =______。

答案:

1 k2

k

− ,

2

1 1 k

解析:sin10° = −k, cot190° =cot(180° + ° =10 ) cot10° = 1 k2 k

(6)

csc 80° =sec(90° − ° =10 ) sec10° =

2

1 1 k

20、已知tan 211 30° ′=0.6128, cot121 40° ′= −0.6168,又tanθ = −0.6160,且 270° < <θ 360° ,則θ = ______。又cot( 958 25 )− ° ′ =______。

答案: 328°22′, −0.6148 解析:

tan 211 30° ′=0.6128⇒tan(180° + °31 30 )′ =tan 31 30° ′=0.6128, cot121 40° ′= −0.6168⇒cot(90° + °31 40 )′ = −tan 31 40° ′= −0.6168 即tan 31 40° ′=0.6168, 設tanα =0.6160

利用內插法⇒ 32

31 30 10

α = ° ′+40× ′ ∴α = °31 38′

又 tanθ = −0.6160,且 270° < <θ 360° ∴θ =360° − °31 38′=328 22° ′ cot( 958 25 )− ° ′ = −cot 958 25° ′= −cot(90°× − °11 31 35 )′ = −tan 31 35° ′= −0.6148 21、△ABC 中,三邊長為 5, 6, 7,則△ABC 的面積為______,外接圓半徑為

______,內切圓半徑為______。

答案: 6 6 , 35 6

24 , 2 6 3 解析: 5 6 7

2 9

s= + + = ⇒ △ABC= 9 (9 5) (9 6) (9 7)× − × − × − =6 6(海龍公式)

∵2 2 R= abc

△ ∴ 35 6

R= 24 , ∆ =rs⇒ 6 6 2 6

9 3

r= =

22、在△ABC 中,若 sinA: sinB: sinC=7 : 4 : 5,則 cos A= ______。

答案: 1

− 5

解析:∵ : :a b c=sinA: sinB: sinC=7 : 4 : 5,∴設a=7 , 4 , 5 , 0r b= r c= r r≠ 利用餘弦定理可得

2 2 2 2

2

(4 ) (5 ) (7 ) 8 1

cos 2 4 5 40 5

r r r r

A r r r

+ − −

= = = −

⋅ ⋅

23、由一直線上相異三點 A, B, C 測得一高塔的仰角分別為 , , ,若

30° 45° 60° AB=BC =600公尺,則此高塔高度是 多少?

答案: 300 6 公尺

解析:令 DE=x 3 , , 3 AD x BD x CD x

⇒ = = =

利用中線長定理: 2 2 2 1

2 2

DA +DC = DB + AC2

2 2 2 1

( 3 ) ( ) 2 (1200 ) 3 2

x x x

⇒ + = + 2 ,4 2 1 2

3x = ×2 1200 ,

300 6 x=

∴ , ∴塔高= 3x=300 6(公尺)

(7)

24、 4 4 3 45 4 sin sin sin sin

8 8 8

7 8

π π π

+ + + π

之值=______。

答案:3 2 解析:降次:

原式 2 2 2

3 5

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

4 4 4

( ) ( ) ( ) (

2 2 2 2

2

7 4 )

π π π

− − − −

= + + +

π

2 2

2 2

1 1

2 2

2[( ) ( ) ]

2 2

− +

= + 2 2 2 2 2 2 12

2 [( ) ( ) ] 2

4 4 16

− + 3

= ⋅ + = ⋅ = 2

25、設sin cos 1 2

θ+ θ = 且 0< < ,則sin 2θ π θ = ______,又θ = ______。

答案: 1

− , 2 105°

解析:∵ 2 1 2 2 1

(sin cos ) sin 2sin cos cos

2 2

+ = ⇒ + ⋅ +

θ θ θ θ θ θ = ,

∴ 1 1

2 sin cos 1 sin 2

2 2

= − ⇒ = −

θ θ θ

∵ 0 2< θ <2π ∴ 2θ =210° 或 但

330°

sin cos 1 0

θ+ θ = 2 > (θ =165° 不合),故 2θ =210° , 105θ = ° 26、( C ) 試問cos100 cos 20

cos 50

° − °

° 等於 (A) 3 (B)− 3 (C)-2 (D)1

2 (E) 1

− 2 解析:利用和差化積公式得原式

100 20 100 20 2 sin sin

2 2

cos 50

° + ° ° − °

− ⋅

= °

2 sin 60 sin 40 cos 50

− °⋅ °

= °

2 3sin 40 2

sin 40

− ⋅ °

= °

= − 3

27、設 ( ) cos( ) cos 1

f x π3 x x

= − − + 3

2π ≤ ≤x

且 ,則x=______時, f x( )有最大 值為______又x=______時,f x( )有最小值為______。

答案: 2π , 1 2, 10

6 π , 0 解析: ( ) cos( ) cos 1

f x = π3 − −x x+

cos cos sin sin cos 1

3 x 3 x x

= π + π − +

3 1

sin cos 1

2 2

sin( ) 1

x x

x

= ⋅ − ⋅ +

= −π +

(8)

∴3

2π ≤ ≤x 2π ∴4 1 3 x 6 1

6 π ≤ − ≤π π 1 sin( ) 1

6 2

x π

− ≤ − ≤ − ∴ 1 0 ( )

f x 2

≤ ≤ 11

6 6

x− =π π時,即x=2π時, 1 ( ) 2

f x = 為最大值 3

6 2

x− =π π 時,即 10

x= 6 π 時, f x( )=0為最小值

28、△ABC中, 12

5, 6, cos

CA= AB= ∠ =A 3,則 BC = ______。

答案: 21

解析: 12 12 2

cos , cos cos(cos ) 3

3 3

A A

∠ = ∴ = = ,

25 36 2 2 cos 2 5 6 3

A + −BC

= =

∴ ⋅ ⋅

2 21, 21 BC = BC=

29、( D ) 複數 1 3 100

(2+ 2 i) 落在複數平面上的

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)實軸上 (D)第三象限 (E)第四象限

解析: 100 100 100 4 4

(cos sin ) cos sin cos sin

3 i 3 3 i 3 3 i 3

π + π = π+ π = π + π,故第三象限

30、z∈ ,若 1 1

, Arg( )

1 2 3

z z

z z

π

= −

− = ,則z=______。

答案: 3 3

i

解析:利用極式定義

1 1

(cos sin ), Arg( )

z z z

z z θ i θ θ z

− = − ⋅ + = −

∴ 1

1 2 (cos sin ) 1 3

3 3

z i i

z

π π

− = ⋅ + = +

1 3 1 (1 3 ) 1 (1 3 )

3 3

z i z i z z z i

i

− = + ⇒ − = + − ⇒ = − =

31、在四邊形ABCD 中,∠A=120°,AB=1,AD=2且AC=3AB+2AD,求 AC= ________。

答案: 13

解析:AC⏐ = ⏐ ⏐ +2 9AB2 12AB AD⋅ + ⏐ ⏐4AD2 1

9 12 [1 2 ( )] 16 13

= + ⋅ ⋅ ⋅ −2 + = ,∴ AC = 13 32、已知點A(2,5)及一直線L: 4x+3y+ =2 0,試求

(1)A 到 L 的距離為______, (2)A 在 L 上的正射影為______,

(3)A 對於 L 的對稱點為______。

(9)

答案:5; (-2,2); (-6,-1) 解析:(1) 8 15 2

( , ) 5

d A L = + +5 =

(2) A(2,5)代入直線L: 4x+3y+ = ⇒ × + × + =2 0 4 2 3 5 2 25 A 在 L 上的正射影為 4 252 2 3 252 2

(2 , 5 ) ( 2, 2)

4 3 4 3

× ×

− − = −

+ +

(3)對稱點 2 4 252 2 2 3 252 2

(2 , 5 ) ( 6, 1)

4 3 4 3

× × × ×

− − = −

+ + −

33、設x y, ∈ ,若3x− =y 2,則x2+y2的最小值為______,此時的x=______。

答案:2 5; 3

5

解析:(x2+y2)[32+ −( 1) ]2 ≥(3xy)22 2 4

( )

x +y ≥10,最小值為2 5,

此時 3 ,

3 1 x y

t x t y

= = ⇒ = = −

t ,代入3x− =y 2,∴ 1 3

5 5

t= ⇒ = x 34、如圖所示設一正立方體的中心為 ,而O A B, 為

此正立方體同一面上的兩個對頂點,則 cos∠AOB= ______。(以最簡分數表示) 答案: 1

− 3

解析:建立一坐標系,並設正立方體之稜長為 2,

P=(0, 0, 0), A=(0, 0, 2), B=(2, 2, 2), 如圖,則O=(1,1,1)

( 1, 1,1)

OA= − − , OB=(1,1,1)

1 1 1 1

cos 3 3 3

OA OB AOB

OA OB

⋅ − − +

∠ = = = −

⏐ ⏐⏐ ⏐ ×

35、設 a⏐= ⏐ ⏐=2, 1, b a b⋅ = − 3,則ab 之夾角為

________;又 (3 ;又

________。

) ( 2 ) ________

ab ⋅ +a b = 2

a+ b⏐=

答案:150 ; ° 10 5 3− ; 6− 2

解析:cos 3

2 1 a b

a b θ = =

⏐ ⏐⏐ ⏐ ⋅

,∴θ =150°

2 2

(3ab) (⋅ +a 2 )b = ⏐ ⏐ +3a 5a b⋅ − ⏐ ⏐ =2b 12 5 3− − =2 10 5 3−

(10)

a+2b⏐ =⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ +2 a 2 4b 2 4a b= − 4 3 , 8

a+2b⏐= 8 4 3− = 8 2 12− = 6− 2

36、過A(1, 0, 2), B(0,−2, 3), C(1,−5,−3)三點之平面方程式為________。

答案:3x− + =y z 5 解析:

( 1, 2,1)

AB= − − , AC=(0, 5, 5)− − =5(0, 1, 1)− − n = ( 1, 2,1) (0, 1, 1)− − × − − 2 1

( 1 1

= −

− − , 1 1 1 0

− , 1 2

0 1 )

− −

− =(3,(−1),1)

∴E:3(x− −1) (y− + −0) (z 2)= ⇒ 30 x− + =y z 5 37、設L1: 2

1

x− 1

1 y

= =

1 4 z

, L2: 5 4

x− 3

1 y

= =

3 z ,則

(1)L1L2的交點坐標為_______。(2)包含L1L2之平面方程式為________。

答案:(1) P(1, 2,−3) (2) − +7x 13y+5z= 4

解析: (1)由L1,令交點P t( + − +2, t 1, 4t+1),代入L2, 3

4

t− 2

1

− −t

= = 4 1 3

t+ ⇒t= − ,∴交點 P(1, 2,−3)。 1

(2)∵nv1nv2 ,其中 v1 =(1, 1, 4) ,− v2 =(4,1, 3)

n = v1×v2 1 4 ( 1 3

= − , 4 1

3 4 ,1 1 4 1

− )= −( ( 7),13,5)

∴E:−7(x− +2) 13(y− +1) 5(z− = ⇒1) 0 − +7x 13y+5z=4

38、設直線L 過 A(−1,1,2), B(3,−1,8)兩點,若點 P(3,−2,3),則 P 在 L 之垂足為 _________;又P 到直線 L 之距離為________。

答案:(1,0,5); 2 3 解析:

(4, 2, 6) 2(2, 1, 3)

AB= − = − ,AB x: = − +1 2 , t y= −1 t z, = +2 3 , tP 在 L之垂足為H( 1 2 ,1− + tt, 2 3 ),+ t PH = − +( 4 2 , 3t − − +t, 1 3 )t

,∴

0 (2 4, 3, 3 1) (2, 1, 3) 0

PH AB⋅ = ⇒ t− − +t t− ⋅ − = t= 1 垂足為 H(1,0,5),d P L( , )= 22+22+22 =2 3

39、若方程組

( 2) 2 0 ( 1) 0 7 3 ( 1) 0

a x y z

x y a z

x y a z

+ − + =

⎧⎪ + + + =

⎨⎪ − + − =

有異於x= = =y z 0之解,則 ______ 或

______。

a=

答案:−3; 2

(11)

解析:

2 1 2

1 1 1

7 3 1

a

a a + −

∆ = + =

− −

0 ,

3 1 2 3 1 1 0

3 3 1

a

a a

a a

+ −

+ + =

+ − −

,∴4(a+3)(a−2)=0

a= −3或 2

40、設x, y, z 滿足3x+ − =y z 3, x− +y 2z+ =4 0,則z2−2x+2y之最小值為 ______;此時x=______。

答案:4; 1 4

解析: 3 3 ,設

2 4 x y z x y z

+ − =

⎧⎨ − + + =

⎩ 0 x=t y, 2 7 , 1 4= − t z= − − t,代入z2−2x+2y

z2−2x+2y=16t2− + =8t 5 (4t−1)2+ ≥ ,∴最小值 4,此時4 4 1 x= = t 4 41、空間中相異四點為A(0,1,1), B(2,1,4), C(−3,2,1), D(0,2,2),則

(1)△ABC 的面積為______,(2)四面體 ABCD 的體積為______。

答案:(1) 94

2 (2)7 6

解析:(1)AB=(2, 0,3), AC= −( 3,1, 0), AD=(0,1,1) ( 3, 9, 2)

AB AC× = − − ,∴△ABC 面積為 1 2 2 2 9 ( 3) ( 9) 2

2 2

= − + − + = 4

(2)四面體ABCD

2 0 3 1 3 1 0 6 0 1 1

= − = 7

6

42、( C ) 設

4 0 1

( ) 1 2 1

3 5

x

f x x

1 x +

= − −

,則 f(x)除以x− 所得之餘式為何? 3 (A)−9 (B)−19 (C)−29 (D)−39 (E)−49

解析:餘式

7 0 1

(3) 1 1 1 14 5 3 35 29 3 5 2

= f = − = − − − = −

43、圓C 上有三點 A(−1,1), B(3,5), C(5,−1),則圓 C 的方程式為______。

答案:x2+y2−5x−3y− = 04 解析:

設圓方程式為

三點 A(−1,1), B(3,5), C(5,−1)代入

2 2

0 x +y +dx ey+ + =f

1 1 0 5

9 25 3 5 0 3

25 1 5 0 4

d e f d

d e f e

d e f f

+ − + + = = −

⎧ ⎧

⎪ ⎪

⇒⎨ + + + + = ⇒⎨ = −

⎪ + + − + = ⎪ = −

⎩ ⎩

+ − − − = 0

(12)

44、圓C 以(−2,1)為圓心與圓 :C1 x2+y2−4x+4y+ = 相切,則圓 C 之方程式4 0 為______或______。

答案:(x+2)2+(y−1)2 = 9; (x+2)2+(y−1)2 =49

解析:圓C1 :(x−2)2+(y+2)2 = ,連心線長4 C C1 2 = (2 2)+ 2+ − −( 2 1)2 = 5 若圓 C 與圓C1外切,半徑 5 2− = ,可得3 (x+2)2+(y−1)2 = 9 若圓 C 與圓C1內切,半徑 5 2+ = ,可得7 (x+2)2+(y−1)2 =49

45、設 A(−4, 4),圓 C: 若通過 A 點對圓 C 作二切線得切點 為 P, Q,則(1)

2 2

6 6 7 0 x +yxy− =

AP=_________。(2)△APQ 之外接圓方程式為_____________。

答案:(1) 5 (2) x2 +y2+ −x 7y=0 解析:(1)AP= 16 16 24 24 7+ + − − = 5

(2) 圓 C 圓心 C (3, 3),△APQ 之外接圓即以CA 為直徑之圓,

∴(x−3)(x+ +4) (y−3)(y−4)=0,∴圓為x2+y2+ −x 7y= 0

46、自點 A(−3,2)作圓 的二切線分別切圓 C 於 P, Q 兩點則 (1)直線 PQ 的方程式為______, (2)又四邊形 CPAQ 的面積為______。

2 2

: ( 1) 5 C x− +y =

答案:(1)4x−2y+ = 01 (2)5 3

解析:(1)直線PQ之方程式為( 3 1)(− − x− +1) 2y= ⇒5 4x−2y+ =1 0 (2)CA = ( 3 1)− − 2+ −(2 0)2 =2 5,圓 C 之半徑 5 ,

A 到圓 C 之切線段長為 ( 3 1)− − 2 +22− =5 15

∴四邊形 CPAQ 的面積為 1

2 2 ( 15 5) 5 PAC 2

∆ = ⋅ × = 3

47、設圓 C 的方程式為 4,則過圓 C 外一點 P(3,5)與圓 C 相切之直 線方程式為______或______。

2 2

(x−1) +y =

答案: 21 37 20 20

y= x+ ; x=3

解析:設切線為y− =5 m x( − ⇒3) mx− −y 3m+ = 05 ,

2

2 5 2 1 m m

− + + =

20m=21 ∴ 21

m= 20 ∴二切線方程式為 21 37 20 20

y= x+ 或x=3

48、設平面π :x+2y+ + =z 2 0截一球面S: (x−5)2+(y+1)2+ −(z 1)2 =10於一圓,

則此圓之圓心為______,圓的半徑為______。

答案:(4,−3,0); 2

解析:球心到平面π 之距離為 5 2 1 2 6

− + +

= 6 ,球之半徑為 10

∴截圓之半徑為 10 6− = 2

(13)

(5, 1,1)− 代入平面π:x+2y+ + = ⇒ − + + = 6z 2 0 5 2 1 2 圓心為 2 1 62 2 2 2 62 2 2 1 62 2

(5 , 1 ,1 ) (4, 3, 0)

1 2 1 1 2 1 1 2 1

× × ×

− − − − =

+ + + + + + −

49、設兩球 : ,

: 相交於一圓,則此圓之圓心為______,

圓的半徑為______。

S1 (x−1)2+(y+4)2+ −(z 2)2 =16 S2 x2+y2+ +z2 10x+2y+8z− =1 0 答案:(−1,−3,0); 7

解析:兩球之根平面為S2− ⇒S1 12x−6y+12z− =6 0

∴此圓落於平面π: 2x− +y 2z− =1 0上,

球心(1,−4,2)到平面π 之距離為 9 3

3 = ∴圓之半徑= 16 9− = 7 (1,−4,2)代入平面π: 2x− +y 2z− =1 0⇒ + + − = 2 4 4 1 9

圓心即為(1,−4,2)在平面π: 2x− +y 2z− =1 0上正射影

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 9 ( 1) 9 2 9

(1 , 4 , 2 )

2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2

× − × ×

− − − − = ( 1, 3,0)− −

+ − + + − + + − +

50、(1)5 個相同的球,在地上分成三堆,則其分法有_______種。

(2)5 個不同的球,在地上分成三堆,則其分法有_______種。

(3)5 個相同的球,任意分給甲、乙、丙三人,則其分法有_______種。

(4)5 個不同的球,任意分給甲、乙、丙三人,則其分法有_______種。

答案:(1) 5 種 (2)41 (3)21 (4) 243

解析:(1)5=(5, 0, 0)=(4,1, 0)=(3, 2, 0)=(3,1,1)=(2, 2,1),5 種 (2)

5 2 1 5 3 1

5 5 1 5 2 3 1 1 2 2 1

5 4 1 3 2 41

2! 2!

C C C C C C

C +C C +C C + + =

(3)H53 =C57 =21 (4)35 =243 51、設(ax−1)9與 2 8

(x− ) 之展開式中的3 x3項係數相等,則a= _______,又 展開式中

(ax−1)9

x3項係數為_______。

答案: 4

a= − 9 1792

− 243 解析: 39 3 38 3 2

( ) ( )

C ax =C x −3 53 2 5 9 6 (

a = × − ) ∴3 4 a= − 9 x3項係數為 38 2 5 1792

( )

3 243 C − = −

52、設甲袋有 2 個白球,3 個黃球,乙袋有 4 個白球,3 個黃球,今自甲袋中取 出一球放入乙袋,再由乙袋取出三球,則(1)此三球為同色球之機率為____,

(2)此三球為 2 個白球 1 個黃球的機率為_______。

答案: 23 140, 33

70

解析:(1)甲袋中取出一白球放入乙袋,再由乙袋取出三白球或三黃球

(14)

甲袋中取出一黃球放入乙袋,再由乙袋取出三白球或三黃球

35 8 33 34 8 34

3 3

2 3

( ) ( )

5 5

C C C C

C C

+ +

× + × = 23

140

(2)甲袋中取出一白球放入乙袋,再由乙袋取出 2 個白球 1 個黃球 甲袋中取出一黃球放入乙袋,再由乙袋取出 2 個白球 1 個黃球

5 3 4 4

2 1 2 1

8 8

3 3

2 3

( ) ( )

5 5

C C C C

C C

⇒ × + × = 33

70 53、將 5 個不同的球丟入 3 個不同的箱子:

(1)每箱均有球之機率為______,(2)恰有一個空箱之機率為______。

答案:(1)50

81 (2)10 27

答案: (1)全 1 空箱− +2空箱:35 13 255 23 15 50

3 8

C C

− ⋅ + ⋅ = 1 (2)

3 5

1 5

(2 2) 10

3 2

C

= 7 (先選一箱為空箱,將 5 個不同的球丟入剩餘 2 個不 同的箱子,但扣除 2 種 5 個球全丟入同一箱的情形)

54、甲、乙二人進行乒乓球比賽,已知每場甲獲勝之機率為乙的 2 倍,且比賽均 不得有和局,約定先勝三場者可獲得獎金 540 元,今比賽了二場,甲、乙各 勝乙場,但卻因故停止比賽並決定不再比賽,則獎金依獲勝機率分配,甲應 獲得_______元。

答案:400 解析:甲乙⎧

⎨⎩ 甲甲

乙甲甲,甲勝之機率為 2 2 1 2 2 ( ) 2 ( )

3 + × ×3 3 = 20 27 540 20 400

×27= ,甲得 400 元

55、A、B兩箱中分別放入 5000 元,A箱中放入 2 張 1000 元、6 張 500 元,B箱 中放入 1 張 1000 元,4 張 500 元,20 張 100 元,在A箱中任取 1 張的期望 值為K1元,在B箱中任取 3 張其金額總和的期望值為K2元,則 ______,

又K

K2 =

1,K2之大小關係為_______。

答案:600,K1>K2

解析: 1 1000 2 500 6 5000 8 8 625

K = × + × = =

2

1000 1 500 4 100 20

3 ( ) 600

K = × × + 25× + × = ⇒K1>K2

56、( B ) 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分,樣本標準差 是 5.24 分,而且已知成績分佈呈現常態分配。試問全校約有多少人數 學成績低於 60 分?(常態分佈的資料對稱於平均數 M。且當標準差為 S 時,該資料大約有 68%落在區間(M − S, M + S)內,約有 95%落在區間 (M − 2S, M + 2S)內,約有 99.7%落在區間(M − 3S, M + 3S)內。)

(A)約 80 人 (B)約 160 人 (C)約 240 人 (D)約 320 人 (E)約 400 人 解析:有 68%(即 680 人)落在(65.24 5.24, 65.24 5.24)− + =(60, 70.48)的區間內

(15)

∴落在區間外的人約有1000 680 320− =

∵常態分配呈左右對稱,在小於 60 分的人數約有320

2 =160人

57、某班月考數學成績之累積次數分配表如下,則該班級數學成績的中位數為 ______分;算術平均數為______分。(四捨五入到整數位)

組 別 以上累積次數 次數 f i

30~40 50 5

40~50 45 6

50~60 39 7

60~70 32 5

70~80 27 12

80~90 15 10

90~100 5 5

答案:72;68 解析:

組別 次

以下累積次

數 組中數 xkA f xk( kA)

30~40 5 5 35 −30 −150

40~50 6 11 45 20− −120 50~60 7 18 55 10− − 70

60~70 5 23 65 0 0

70~80 12 35 75 10 120

80~90 10 45 85 20 200

90~

100 5 50 95 30 150

50 130

∴算術平均數 65

A=

65 130 67.6 68

= + 50 = O (分)

(16)

分數 次數 70 23 Me 25

80 35

內插法:

50 23

70 2 70 2 10

80 70 12 12

Me Me

− = ⇒ = + − ×

− =71.67O72(分)。

58、有 10 個人在某次考試得到平均分數 56,標準差為 4,若 10 個人中的 8 個人 的得分是:50, 52, 53, 54, 56, 57, 60, 61,試求其他 2 人的得分為______分。

答案:55, 62

解析:設此二人得分為 x, y,且a= −x 56, 56b= −y

2 2

6 4 3 2 0 1 4 5 56 56

10

4 1(36 16 9 4 1 16 25 ) 9

a b

a b

− − − − + + + + + +

⎧ = +

⎪⎪⎨

⎪ = + + + + + + + +

⎪⎩

2 25

37 a b

a b

⎧ + =

⇒ ⎨⎩ + =

1 2

由¬代入−解得a=6, 1b= − 或a= −1, b=6,∴此二人分數為 55 分,62 分。

59、某班學生 50 人,數學競試成績的算術平均數為 76 分,標準差為 5 分。今將 這班學生分成兩組,第一組有 40 人,平均成績為 77 分,標準差為 4。另一 組學生有 10 人,則他們的算術平均數為______分,標準差為S,則S2 =______

(以分數表示之)

答案:72; 401 9

解析:設另一組學生 10 人,算術平均數 a 分,標準差 b 分

∴10a+40 77× =50 76× ⇒ =a 72,將分數平移 76 分,不改變標準差

40 10

2 2 2

0 ]

40 10

2 2

1 1

49 25

i i

i i

a b

= =

⇒ ∑ + ∑ = ×

1 1

1 1

5 [( )

49 i ai i bi 50

= =

= ∑ + ∑ − ×

40 2 2

1

1 1

4 [ 40 ]

40 2

1

39 16 40

i i

= a

⇒ ∑ = × + 39 i ai 40

= ∑= − ×

10 2

1

49 25 39 16 40 561

i i

= b

∑ = × − × − =

1 1 2 401

[561 ( 40) ]

9 10 3

S = × − × − = ⇒ 2 401

S = 9

60、有兩群資料{ }, { }xi y 滿足i yi =100 2− xi,i=1, 2,…,n,若{ }x 之算術平均數i 36

x= ,標準差為Sx =3,則{ }yi 的算術平均數y=_____,標準差Sy =_____。

答案:28, 6

解析:y=100 2− x =28, Sy = −| 2 |Sx =6

Figure

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