明誠中學高三數學期末題庫《詳解》 2007/01/01
1、 某次考試,全班 40 人中英文不及格的有 17 人,數學不及格的有 20 人,兩 科皆及格的有 9 人,則數學及格英文不及格的有____人,兩科皆不及格的有 ___人。
答案:11 ; 6 解析:如右圖
英文及格的人數為 數學及格的人數為
數學及格且英文不及格的人數為 11(人)
數學及英文皆不及格的人數為 40 17− =23 40 20− =20
40 14 9 11− − − = (人)。 6 2、 求下列函數的定義域
(1) 3
( 1)( 2 y x
x x )
= −
+ − 之定義域為______ (2)y= x − 之定義域為______ 1 答案:(1)x≠2 且x≠−1 (2) x≥1 或x≤ −1
解析:
(1)分母不為 0,x≠2 且x≠−1
(2)根號內必須非負, x − ≥1 0 ∴x ≥1 ∴x≥1 或x≤− 1
3、設 a, b, c∈ 且 8 : 12 : 9 又 gcd(a,b,c) + lcm(a,b,c) = 803 則 gcd(a,b,c) = ______,又a ______。
: : a b c=
= 答案:11,88
解析:設a=8 , 12 , 9k b= k c= k k 8k 12k 9k 4 8 12 9 3 2 3
9 2
1 3
∴gcd(a,b,c) = k; lcm(a,b,c) = k× × × × × =4 3 2 1 3 72k, k +72k = 803 ∴k =11,故a= × =8 11 88
4、 二直線 ,
(1)當k ______時, , (2)當k
1: 2 3 2, 2: 3 ( 5) 25 6 L kx− y= k− L x+ −k y= − k
= L1//L2 =______時, ,
(3)當k ______時,L
1 2
L =L
≠ 1與L2相交, (4)當k =______時,L1 ⊥ L2。 答案:(1)2 (2)3 (3)2, 3 (4) –10
解析:(1) (2) 2 2
5 6 0 2
3 5
k k k k
k
= − ⇒ − + = ⇒ =
− 或 3
1 2
2, : 2 2 4, : 3 3 13( ) k = L x− y= L x− y= 平行
1 2
3, : 3 2 7, : 3 2 7( ) k = L x− y= L x− y= 重合 (3)L1與L2相交,則 2
2 3
3 5
k k k
k
≠ − ≠
− ∴ 且 ≠ (4)L1⊥ ,L2 3
( ) ( ) 1
2 5
k
− × −k = − ⇒
− − 3k−2(k− =5) 0 ∴k = −10
5、 設一直線經過(2,−3)且在兩軸上之截距乘積為 3,則其直線方程式為______。
答案: 2
1, 1
3 2 3
y x y
x+ = − − =
解析:設 2 3
: x y 1,
L a b a b
+ = +− = 1,又ab= 3
2
2 3 1
3 2 3 2
3 1 1 2 0 ( 2)( 1) 0
3 1
a b
ab b a a a a a
a a a
a
⎧ + =−
⎪⎪
− −
⎨ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + − = ⇒ + − =
⎪⎪
⎩
1, 2 3, 3
a= − ⇒ = − ,b 2 3
( , ) (1, 3) ( 2, ) a b = − −2
得 或
∴L 為 1
1 3 x y
+ = 或 2
2 3 1 x − y
+ =
−
6、 設 a ,若方程式 有實根,試求 ______,
另一虛根為_______。
∈ x2+(3a+ −2 i x) +(2a i− =) 0 a= 答案:−1 ; 2+i
解析:設實根為α ,另一虛根為 β
2 (3a 2 i) (2a i) 0
α + + − α+ − =
由−
2 3a 2 2a ( 1)i= ⇒0
α + α+ α+ − α+ 2 3 2 2 0 1 0
a a
α α α
α
⎧ + + + =
⎨ + =
⎩
1 2
α = − 代入¬ 1 31 − a− +2 2a= ⇒ = − 0 a 1 又α β+ = −(3a+ −2 i)⇒ − + = +1 β 1 i ⇒ = +β 2 i
∴a= −1,另一虛根為2 i+ 。 7、 設 1 3
2
ω= − + i,試求 (1) (2+5ω+2ω2 6) = ______。(2)ω100 1100
+ω = ______。
答案:(1)729 (2)−1
解析:∵ 1 3
2
ω= − + i,∴1+ +ω ω2 =0,ω3 =1
(1) (2+5ω+2ω2 6) =[2(1+ +ω ω2) 3 ]+ ω 6 =(3 )ω 6 =36ω6 =729 1⋅ =729 (2)ω100 =(ω3 33) ⋅ =ω ω,∴
2 100
100
1 1 1
+ − 1 + = + =ω = ω = −
ω ω
ω ω ω ω
8、 右圖是從事網路工作者經常用來解釋網路運作的蛇形 模型:數字1出現在第1列;數字 出現在第 列;
數字6, (從左至右)出現在第 列;數字 出
現在第 列;依此類推。試問第 列,從左至右算,
第67個數字為______。
2, 3 2
5, 4 3 7,8, 9,10
4 99
答案:4884
解析:第 1 列有 1 個數,第 2 列有 2 個數,…,第 k 列有 k 個數,…,因此到第 98 列為止,共有 1+2+…+98 99 98
2 4851
= × = 個數,又第 99 列有 99 個數,
且是由右到左,故由左至右算第 67 個數字為4851 (99 67 1)+ − + =4884 9、 數列 1
1, 2 1, 1
2, 3 1, 2
2 , 1 3, 4
1, 3 2, 2
3, 1
4, …,依此規則,令 表其第 項,(1)若
an n
5
n 14
a = ,則n=____________。(2)試求a73= ___________。
答案:167;6 7
解析:(1)找規則,第 1 組(
1
1 ),第 2 組(
1 2,
2
1),第 3 組(
1 3,
2 2,
3
1),……
知 5
14在第 18 組的第 14 個數,(1 + 2 + 3 + 4 + … + 17) + 14 = 167 個 (2)73 = (1 + 2 + 3 + 4 + … +11) + 7⇒a73= 6
7(在第 12 組的第 7 個數) 10、一皮球從 100 公尺的高處落下,每次返跳的高度為其落下時高度的1
3倍,則 至靜止時,此球所經的距離為______公尺。
答案:200
解析:所經過的距離為 1 1 2
100 2[100 100 ( ) ]
3 3
+ × + × +
100 100 2 3
1 1 3
= + ×
− =100 100+ =200(公尺)。
11、若5x5−5x4+7x3−4x2+4x− =2 (ax2+bx c+ )(5x3+2x− +1) (dx2+ +ex f),則 _____。
a+ + + + + =b c d e f 答案:0
解析:利用除法原理:被除式:5x5−5x4+7x3−4x2+4x−2;除式:(5x3+2x−1) 商式:ax2+bx+c;餘式:dx2+ + ex f
1 1 1 5 0 2 1 5 5 7 4 4 2
5 0 2 1 5 5 3 4 5 0 2 1 5 1 3 2 5 0 2 1 1 1 1
− + + + − − + − + −
+ + −
− + − +
− + − +
− + − + + −
− + −
∴ax2+bx+ =c x2− +x 1,dx2+ + = − + − ex f x2 x 1 故a+ + + + + = − + − + − =b c d e f 1 1 1 1 1 1 0。
12、若多項式f(x)除以x2 + 2x + 3 的餘式為 5x + 6,除以x−2 的餘式為−6,求f(x) 除以(x2 + 2x + 3)(x 2) 的餘式為___________。 −
答案: 2x− 2 + x
解析:設f (x) = (x − 2)(x2 + 2x + 3) h(x) + a(x2 + 2x + 3) + 5x + 6
f (2) = 11a + 10 + 6 = 6⇒a = − 2,餘式為−2(x− 2 + 2x + 3) + 5x + 6= 2x− 2 + x 13、設 f x( )=x3+x2−4x+ −(a 7)與g x( )=2x3−7x+(2a− 的最低公倍式為五次8)
式,求a=________。
答案:3
解析:∵ f x( )⋅ ( ) ( ( ), ( )) [ ( ), ( )]g x = f x g x ⋅ f x g x 設d x( )=( ( ), ( ))f x g x ,且deg( ( ))d x =1
∴d x f x( ) ( )=x3+x2−4x+ − (a 7) ( ) ( ) 2 3 7 (2 8) d x g x = x − x+ a−
( ) 2 ( ) ( ) 2 2 6 (2 3)( 2)
d x f x g x x x x x
⇒ − = − − = + −
∴d x( )= −x 2 (∵2x+3|f x( ));(一次因式檢查法)
∴g x( )=16 14− +2a− = ⇒ =8 0 a 3。
14、在邊長為 4 的正方形 ABCD 的三邊長AB,BC , CD 上各取一 點 P,Q,R,使2AP=BQ=2CR,則 的最小面積為 _________,此時
△PQR AP=_______。
答案:7 2; 3
2
解析:△PQR面積 4 (4 ) 1 1
16 (4 ) 2 (4 2 )
2 2 2
x x
x x x x
⋅ − +
= − − − ⋅ − ⋅ −
2x2 6x 8
= − + 3 2 7
2( ) 2 2
= x− + ,當 3
x= 時,最小值2 7
= 。 2
即 3
AP= 時,2 △PQR的最小面積為7 2。
15、求方程式 f x( )=2x4+7x3−x2−17x− = 的全部有理根為_______或______。 6 0
答案: 3
2, 2
−
解析:由牛頓定理知(一次因式檢查法):
若 ( )q 0 | 2, | 6
f p
p = ⇒ q − ,即有有理根必為 1 3
1, 2, 3, 6, , 2 2
± ± ± ± ± ± 。 2 + 7 − 1 − 17 − 6 −2
− 4 − 6 + 14 + 6 2 + 3 − 7 − 3 +0
+ 3 + 9 + 3 3 2 2 + 6 + 2 + 0
∴有理根為−2與3 2
16、( B ) 設m∈ ,若二次函數y=mx2+10x m+ + 的圖形在直線6 的上 方,則 m 的範圍為何? (A) (B)
2 y= 0
m> m> − +2 29 (C) 0 (D)
2 29
< < − +m 2 29 m 2 2
− − < < − + 9 (E)m> − +2 29 或m< − −2 29 解析:∵y=mx2+10x+(m+6)的圖形恆在y=2的上方
∴ 恆成立
∴ 恆成立
∴
2 10 ( 6) 2
mx + x+ m+ >
2 10 ( 4) 0,
mx + x+ m+ > ∀ ∈x
2
0 0
10 4 ( 4) 0 2 29 2 2
m m
D m m m m
> ⎧ >
⎧ ⇒⎪
⎨ ⎨
= − + < ⎪ > − + < − −
⎩ ⎩ 或 9,
∴m> − +2 29
,故答案為(B)。
17、(1)求 1
lo ______。(2)若 1 7 1 300 ( )8 250
< n < ,則自然數 n 之值為______。
g250 =
答案:(1) -2.398 (2) 42 解析:(1) 1
log250= 4
log log 4 log1000 2 log 2 3 2.398
1000= − = − = −
(2) 1
log log(3 100) log100 log 3 2 log 3 2.4771 300= − × = − − = − − = − log7 log 7 log 8 log 7 3log 2 0.0579
8= − = − = −
∴−2.4771<n× −( 0.0579)< −2.398 ∴42.7> >n 41.4,∴n=42 18、( E ) ,則下列何者為真
(A)lo
logx= −1.2345
g x的首數為-1 (B)log x的尾數為 0.2345
(C)小數 x 從小數點向右第 1 位出現非 0 之數字
(D)小數 x 從小數點向右第一個出現非 0 之數字為 1 (E) 1 1 100 < <x 10 解析:logx= −1.2345= − +2 0.7655
∴首數為-2,尾數為 0.7655,小數點後第二位出現非 0 之數字 k
∵log 5=0.6990< 0.7655 < log 6=0.7781 ∴k = 5
∵− <2 logx< −1 ∴ 1 1 100< <x 10
19、令sin( 10 )− ° =k,則 cot190° =______, csc80° =______。
答案:
1 k2
k
−
− ,
2
1 1 k−
解析:sin10° = −k, cot190° =cot(180° + ° =10 ) cot10° = 1 k2 k
−
−
csc 80° =sec(90° − ° =10 ) sec10° =
2
1 1 k−
20、已知tan 211 30° ′=0.6128, cot121 40° ′= −0.6168,又tanθ = −0.6160,且 270° < <θ 360° ,則θ = ______。又cot( 958 25 )− ° ′ =______。
答案: 328°22′, −0.6148 解析:
tan 211 30° ′=0.6128⇒tan(180° + °31 30 )′ =tan 31 30° ′=0.6128, cot121 40° ′= −0.6168⇒cot(90° + °31 40 )′ = −tan 31 40° ′= −0.6168 即tan 31 40° ′=0.6168, 設tanα =0.6160
利用內插法⇒ 32
31 30 10
α = ° ′+40× ′ ∴α = °31 38′
又 tanθ = −0.6160,且 270° < <θ 360° ∴θ =360° − °31 38′=328 22° ′ cot( 958 25 )− ° ′ = −cot 958 25° ′= −cot(90°× − °11 31 35 )′ = −tan 31 35° ′= −0.6148 21、△ABC 中,三邊長為 5, 6, 7,則△ABC 的面積為______,外接圓半徑為
______,內切圓半徑為______。
答案: 6 6 , 35 6
24 , 2 6 3 解析: 5 6 7
2 9
s= + + = ⇒ △ABC= 9 (9 5) (9 6) (9 7)× − × − × − =6 6(海龍公式)
∵2 2 R= abc
△ ∴ 35 6
R= 24 , ∆ =rs⇒ 6 6 2 6
9 3
r= =
22、在△ABC 中,若 sinA: sinB: sinC=7 : 4 : 5,則 cos A= ______。
答案: 1
− 5
解析:∵ : :a b c=sinA: sinB: sinC=7 : 4 : 5,∴設a=7 , 4 , 5 , 0r b= r c= r r≠ 利用餘弦定理可得
2 2 2 2
2
(4 ) (5 ) (7 ) 8 1
cos 2 4 5 40 5
r r r r
A r r r
+ − −
= = = −
⋅ ⋅
23、由一直線上相異三點 A, B, C 測得一高塔的仰角分別為 , , ,若
30° 45° 60° AB=BC =600公尺,則此高塔高度是 多少?
答案: 300 6 公尺
解析:令 DE=x 3 , , 3 AD x BD x CD x
⇒ = = =
利用中線長定理: 2 2 2 1
2 2
DA +DC = DB + AC2
2 2 2 1
( 3 ) ( ) 2 (1200 ) 3 2
x x x
⇒ + = + 2 ,4 2 1 2
3x = ×2 1200 ,
300 6 x=
∴ , ∴塔高= 3x=300 6(公尺)
24、 4 4 3 45 4 sin sin sin sin
8 8 8
7 8
π π π
+ + + π
之值=______。
答案:3 2 解析:降次:
原式 2 2 2
3 5
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
4 4 4
( ) ( ) ( ) (
2 2 2 2
2
7 4 )
π π π
− − − −
= + + +
π
2 2
2 2
1 1
2 2
2[( ) ( ) ]
2 2
− +
= + 2 2 2 2 2 2 12
2 [( ) ( ) ] 2
4 4 16
− + 3
= ⋅ + = ⋅ = 2
25、設sin cos 1 2
θ+ θ = 且 0< < ,則sin 2θ π θ = ______,又θ = ______。
答案: 1
− , 2 105°
解析:∵ 2 1 2 2 1
(sin cos ) sin 2sin cos cos
2 2
+ = ⇒ + ⋅ +
θ θ θ θ θ θ = ,
∴ 1 1
2 sin cos 1 sin 2
2 2
= − ⇒ = −
θ θ θ
∵ 0 2< θ <2π ∴ 2θ =210° 或 但
330°
sin cos 1 0
θ+ θ = 2 > (θ =165° 不合),故 2θ =210° , 105θ = ° 26、( C ) 試問cos100 cos 20
cos 50
° − °
° 等於 (A) 3 (B)− 3 (C)-2 (D)1
2 (E) 1
− 2 解析:利用和差化積公式得原式
100 20 100 20 2 sin sin
2 2
cos 50
° + ° ° − °
− ⋅
= °
2 sin 60 sin 40 cos 50
− °⋅ °
= °
2 3sin 40 2
sin 40
− ⋅ °
= °
= − 3
27、設 ( ) cos( ) cos 1
f x π3 x x
= − − + 3
2π ≤ ≤x 2π
且 ,則x=______時, f x( )有最大 值為______又x=______時,f x( )有最小值為______。
答案: 2π , 1 2, 10
6 π , 0 解析: ( ) cos( ) cos 1
f x = π3 − −x x+
cos cos sin sin cos 1
3 x 3 x x
= π + π − +
3 1
sin cos 1
2 2
sin( ) 1
x x
x
= ⋅ − ⋅ +
= −π +
∴3
2π ≤ ≤x 2π ∴4 1 3 x 6 1
6 π ≤ − ≤π π 1 sin( ) 1
6 2
x π
− ≤ − ≤ − ∴ 1 0 ( )
f x 2
≤ ≤ 11
6 6
x− =π π時,即x=2π時, 1 ( ) 2
f x = 為最大值 3
6 2
x− =π π 時,即 10
x= 6 π 時, f x( )=0為最小值
28、△ABC中, 12
5, 6, cos
CA= AB= ∠ =A − 3,則 BC = ______。
答案: 21
解析: 12 12 2
cos , cos cos(cos ) 3
3 3
A − A −
∠ = ∴ = = ,
25 36 2 2 cos 2 5 6 3
A + −BC
= =
∴ ⋅ ⋅
2 21, 21 BC = BC=
∴
29、( D ) 複數 1 3 100
(2+ 2 i) 落在複數平面上的
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)實軸上 (D)第三象限 (E)第四象限
解析: 100 100 100 4 4
(cos sin ) cos sin cos sin
3 i 3 3 i 3 3 i 3
π + π = π+ π = π + π,故第三象限
30、z∈ ,若 1 1
, Arg( )
1 2 3
z z
z z
π
= −
− = ,則z=______。
答案: 3 3
i
解析:利用極式定義
1 1
(cos sin ), Arg( )
z z z
z z θ i θ θ z
− = − ⋅ + = −
∴ 1
1 2 (cos sin ) 1 3
3 3
z i i
z
π π
− = ⋅ + = +
∴
1 3 1 (1 3 ) 1 (1 3 )
3 3
z i z i z z z i
i
− = + ⇒ − = + − ⇒ = − =
∴
31、在四邊形ABCD 中,∠A=120°,AB=1,AD=2且AC=3AB+2AD,求 AC= ________。
答案: 13
解析:AC⏐ = ⏐ ⏐ +2 9AB2 12AB AD⋅ + ⏐ ⏐4AD2 1
9 12 [1 2 ( )] 16 13
= + ⋅ ⋅ ⋅ −2 + = ,∴ AC = 13 32、已知點A(2,5)及一直線L: 4x+3y+ =2 0,試求
(1)A 到 L 的距離為______, (2)A 在 L 上的正射影為______,
(3)A 對於 L 的對稱點為______。
答案:5; (-2,2); (-6,-1) 解析:(1) 8 15 2
( , ) 5
d A L = + +5 =
(2) A(2,5)代入直線L: 4x+3y+ = ⇒ × + × + =2 0 4 2 3 5 2 25 A 在 L 上的正射影為 4 252 2 3 252 2
(2 , 5 ) ( 2, 2)
4 3 4 3
× ×
− − = −
+ +
(3)對稱點 2 4 252 2 2 3 252 2
(2 , 5 ) ( 6, 1)
4 3 4 3
× × × ×
− − = −
+ + −
33、設x y, ∈ ,若3x− =y 2,則x2+y2的最小值為______,此時的x=______。
答案:2 5; 3
5
解析:(x2+y2)[32+ −( 1) ]2 ≥(3x−y)2; 2 2 4
( )
x +y ≥10,最小值為2 5,
此時 3 ,
3 1 x y
t x t y
= = ⇒ = = −
− t ,代入3x− =y 2,∴ 1 3
5 5
t= ⇒ = x 34、如圖所示設一正立方體的中心為 ,而O A B, 為
此正立方體同一面上的兩個對頂點,則 cos∠AOB= ______。(以最簡分數表示) 答案: 1
− 3
解析:建立一坐標系,並設正立方體之稜長為 2,
取P=(0, 0, 0), A=(0, 0, 2), B=(2, 2, 2), 如圖,則O=(1,1,1)
( 1, 1,1)
⇒OA= − − , OB=(1,1,1)
1 1 1 1
cos 3 3 3
OA OB AOB
OA OB
⋅ − − +
∠ = = = −
⏐ ⏐⏐ ⏐ ×
35、設 a⏐= ⏐ ⏐=2, 1, b a b⋅ = − 3,則a與b 之夾角為
________;又 (3 ;又
________。
) ( 2 ) ________
a−b ⋅ +a b = 2
a+ b⏐=
答案:150 ; ° 10 5 3− ; 6− 2
解析:cos 3
2 1 a b
a b θ = ⋅ = −
⏐ ⏐⏐ ⏐ ⋅
,∴θ =150°
2 2
(3a−b) (⋅ +a 2 )b = ⏐ ⏐ +3a 5a b⋅ − ⏐ ⏐ =2b 12 5 3− − =2 10 5 3−
a+2b⏐ =⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ +2 a 2 4b 2 4a b= − 4 3 , 8
∴ a+2b⏐= 8 4 3− = 8 2 12− = 6− 2
36、過A(1, 0, 2), B(0,−2, 3), C(1,−5,−3)三點之平面方程式為________。
答案:3x− + =y z 5 解析:
( 1, 2,1)
AB= − − , AC=(0, 5, 5)− − =5(0, 1, 1)− − n = ( 1, 2,1) (0, 1, 1)− − × − − 2 1
( 1 1
= −
− − , 1 1 1 0
−
− , 1 2
0 1 )
− −
− =(3,(−1),1)
∴E:3(x− −1) (y− + −0) (z 2)= ⇒ 30 x− + =y z 5 37、設L1: 2
1
x− 1
1 y−
= =
−
1 4 z−
, L2: 5 4
x− 3
1 y−
= =
3 z ,則
(1)L1與L2的交點坐標為_______。(2)包含L1與L2之平面方程式為________。
答案:(1) P(1, 2,−3) (2) − +7x 13y+5z= 4
解析: (1)由L1,令交點P t( + − +2, t 1, 4t+1),代入L2, 3
4
t− 2
1
− −t
= = 4 1 3
t+ ⇒t= − ,∴交點 P(1, 2,−3)。 1
(2)∵n ⊥v1且n ⊥v2 ,其中 v1 =(1, 1, 4) ,− v2 =(4,1, 3)
∴n = v1×v2 1 4 ( 1 3
= − , 4 1
3 4 ,1 1 4 1
− )= −( ( 7),13,5)
∴E:−7(x− +2) 13(y− +1) 5(z− = ⇒1) 0 − +7x 13y+5z=4
38、設直線L 過 A(−1,1,2), B(3,−1,8)兩點,若點 P(3,−2,3),則 P 在 L 之垂足為 _________;又P 到直線 L 之距離為________。
答案:(1,0,5); 2 3 解析:
(4, 2, 6) 2(2, 1, 3)
AB= − = − ,AB x: = − +1 2 , t y= −1 t z, = +2 3 , t 設P 在 L之垂足為H( 1 2 ,1− + t −t, 2 3 ),+ t PH = − +( 4 2 , 3t − − +t, 1 3 )t
,∴
0 (2 4, 3, 3 1) (2, 1, 3) 0
PH AB⋅ = ⇒ t− − +t t− ⋅ − = t= 1 垂足為 H(1,0,5),d P L( , )= 22+22+22 =2 3
39、若方程組
( 2) 2 0 ( 1) 0 7 3 ( 1) 0
a x y z
x y a z
x y a z
+ − + =
⎧⎪ + + + =
⎨⎪ − + − =
⎩
有異於x= = =y z 0之解,則 ______ 或
______。
a=
答案:−3; 2
解析:
2 1 2
1 1 1
7 3 1
a
a a + −
∆ = + =
− −
0 ,
3 1 2 3 1 1 0
3 3 1
a
a a
a a
+ −
+ + =
+ − −
,∴4(a+3)(a−2)=0
∴a= −3或 2
40、設x, y, z 滿足3x+ − =y z 3, x− +y 2z+ =4 0,則z2−2x+2y之最小值為 ______;此時x=______。
答案:4; 1 4
解析: 3 3 ,設
2 4 x y z x y z
+ − =
⎧⎨ − + + =
⎩ 0 x=t y, 2 7 , 1 4= − t z= − − t,代入z2−2x+2y
∴z2−2x+2y=16t2− + =8t 5 (4t−1)2+ ≥ ,∴最小值 4,此時4 4 1 x= = t 4 41、空間中相異四點為A(0,1,1), B(2,1,4), C(−3,2,1), D(0,2,2),則
(1)△ABC 的面積為______,(2)四面體 ABCD 的體積為______。
答案:(1) 94
2 (2)7 6
解析:(1)AB=(2, 0,3), AC= −( 3,1, 0), AD=(0,1,1) ( 3, 9, 2)
AB AC× = − − ,∴△ABC 面積為 1 2 2 2 9 ( 3) ( 9) 2
2 2
= − + − + = 4
(2)四面體ABCD
2 0 3 1 3 1 0 6 0 1 1
= − = 7
6
42、( C ) 設
4 0 1
( ) 1 2 1
3 5
x
f x x
1 x +
= − −
−
,則 f(x)除以x− 所得之餘式為何? 3 (A)−9 (B)−19 (C)−29 (D)−39 (E)−49
解析:餘式
7 0 1
(3) 1 1 1 14 5 3 35 29 3 5 2
= f = − = − − − = −
43、圓C 上有三點 A(−1,1), B(3,5), C(5,−1),則圓 C 的方程式為______。
答案:x2+y2−5x−3y− = 04 解析:
設圓方程式為
三點 A(−1,1), B(3,5), C(5,−1)代入
2 2
0 x +y +dx ey+ + =f
1 1 0 5
9 25 3 5 0 3
25 1 5 0 4
d e f d
d e f e
d e f f
+ − + + = = −
⎧ ⎧
⎪ ⎪
⇒⎨ + + + + = ⇒⎨ = −
⎪ + + − + = ⎪ = −
⎩ ⎩
+ − − − = 0
44、圓C 以(−2,1)為圓心與圓 :C1 x2+y2−4x+4y+ = 相切,則圓 C 之方程式4 0 為______或______。
答案:(x+2)2+(y−1)2 = 9; (x+2)2+(y−1)2 =49
解析:圓C1 :(x−2)2+(y+2)2 = ,連心線長4 C C1 2 = (2 2)+ 2+ − −( 2 1)2 = 5 若圓 C 與圓C1外切,半徑 5 2− = ,可得3 (x+2)2+(y−1)2 = 9 若圓 C 與圓C1內切,半徑 5 2+ = ,可得7 (x+2)2+(y−1)2 =49
45、設 A(−4, 4),圓 C: 若通過 A 點對圓 C 作二切線得切點 為 P, Q,則(1)
2 2
6 6 7 0 x +y − x− y− =
AP=_________。(2)△APQ 之外接圓方程式為_____________。
答案:(1) 5 (2) x2 +y2+ −x 7y=0 解析:(1)AP= 16 16 24 24 7+ + − − = 5
(2) 圓 C 圓心 C (3, 3),△APQ 之外接圓即以CA 為直徑之圓,
∴(x−3)(x+ +4) (y−3)(y−4)=0,∴圓為x2+y2+ −x 7y= 0
46、自點 A(−3,2)作圓 的二切線分別切圓 C 於 P, Q 兩點則 (1)直線 PQ 的方程式為______, (2)又四邊形 CPAQ 的面積為______。
2 2
: ( 1) 5 C x− +y =
答案:(1)4x−2y+ = 01 (2)5 3
解析:(1)直線PQ之方程式為( 3 1)(− − x− +1) 2y= ⇒5 4x−2y+ =1 0 (2)CA = ( 3 1)− − 2+ −(2 0)2 =2 5,圓 C 之半徑 5 ,
A 到圓 C 之切線段長為 ( 3 1)− − 2 +22− =5 15
∴四邊形 CPAQ 的面積為 1
2 2 ( 15 5) 5 PAC 2
∆ = ⋅ × = 3
47、設圓 C 的方程式為 4,則過圓 C 外一點 P(3,5)與圓 C 相切之直 線方程式為______或______。
2 2
(x−1) +y =
答案: 21 37 20 20
y= x+ ; x=3
解析:設切線為y− =5 m x( − ⇒3) mx− −y 3m+ = 05 ,
2
2 5 2 1 m m
− + + =
20m=21 ∴ 21
m= 20 ∴二切線方程式為 21 37 20 20
y= x+ 或x=3
48、設平面π :x+2y+ + =z 2 0截一球面S: (x−5)2+(y+1)2+ −(z 1)2 =10於一圓,
則此圓之圓心為______,圓的半徑為______。
答案:(4,−3,0); 2
解析:球心到平面π 之距離為 5 2 1 2 6
− + +
= 6 ,球之半徑為 10
∴截圓之半徑為 10 6− = 2
(5, 1,1)− 代入平面π:x+2y+ + = ⇒ − + + = 6z 2 0 5 2 1 2 圓心為 2 1 62 2 2 2 62 2 2 1 62 2
(5 , 1 ,1 ) (4, 3, 0)
1 2 1 1 2 1 1 2 1
× × ×
− − − − =
+ + + + + + −
49、設兩球 : ,
: 相交於一圓,則此圓之圓心為______,
圓的半徑為______。
S1 (x−1)2+(y+4)2+ −(z 2)2 =16 S2 x2+y2+ +z2 10x+2y+8z− =1 0 答案:(−1,−3,0); 7
解析:兩球之根平面為S2− ⇒S1 12x−6y+12z− =6 0
∴此圓落於平面π: 2x− +y 2z− =1 0上,
球心(1,−4,2)到平面π 之距離為 9 3
3 = ∴圓之半徑= 16 9− = 7 (1,−4,2)代入平面π: 2x− +y 2z− =1 0⇒ + + − = 2 4 4 1 9
圓心即為(1,−4,2)在平面π: 2x− +y 2z− =1 0上正射影
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 9 ( 1) 9 2 9
(1 , 4 , 2 )
2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2
× − × ×
− − − − = ( 1, 3,0)− −
+ − + + − + + − +
50、(1)5 個相同的球,在地上分成三堆,則其分法有_______種。
(2)5 個不同的球,在地上分成三堆,則其分法有_______種。
(3)5 個相同的球,任意分給甲、乙、丙三人,則其分法有_______種。
(4)5 個不同的球,任意分給甲、乙、丙三人,則其分法有_______種。
答案:(1) 5 種 (2)41 (3)21 (4) 243
解析:(1)5=(5, 0, 0)=(4,1, 0)=(3, 2, 0)=(3,1,1)=(2, 2,1),5 種 (2)
5 2 1 5 3 1
5 5 1 5 2 3 1 1 2 2 1
5 4 1 3 2 41
2! 2!
C C C C C C
C +C C +C C + + =
(3)H53 =C57 =21 (4)35 =243 51、設(ax−1)9與 2 8
(x− ) 之展開式中的3 x3項係數相等,則a= _______,又 展開式中
(ax−1)9
x3項係數為_______。
答案: 4
a= − 9 1792
− 243 解析: 39 3 38 3 2
( ) ( )
C ax =C x −3 5 ∴ 3 2 5 9 6 (
a = × − ) ∴3 4 a= − 9 x3項係數為 38 2 5 1792
( )
3 243 C − = −
52、設甲袋有 2 個白球,3 個黃球,乙袋有 4 個白球,3 個黃球,今自甲袋中取 出一球放入乙袋,再由乙袋取出三球,則(1)此三球為同色球之機率為____,
(2)此三球為 2 個白球 1 個黃球的機率為_______。
答案: 23 140, 33
70
解析:(1)甲袋中取出一白球放入乙袋,再由乙袋取出三白球或三黃球
甲袋中取出一黃球放入乙袋,再由乙袋取出三白球或三黃球
⇒ 35 8 33 34 8 34
3 3
2 3
( ) ( )
5 5
C C C C
C C
+ +
× + × = 23
140
(2)甲袋中取出一白球放入乙袋,再由乙袋取出 2 個白球 1 個黃球 甲袋中取出一黃球放入乙袋,再由乙袋取出 2 個白球 1 個黃球
5 3 4 4
2 1 2 1
8 8
3 3
2 3
( ) ( )
5 5
C C C C
C C
⇒ × + × = 33
70 53、將 5 個不同的球丟入 3 個不同的箱子:
(1)每箱均有球之機率為______,(2)恰有一個空箱之機率為______。
答案:(1)50
81 (2)10 27
答案: (1)全 1 空箱− +2空箱:35 13 255 23 15 50
3 8
C C
− ⋅ + ⋅ = 1 (2)
3 5
1 5
(2 2) 10
3 2
C −
= 7 (先選一箱為空箱,將 5 個不同的球丟入剩餘 2 個不 同的箱子,但扣除 2 種 5 個球全丟入同一箱的情形)
54、甲、乙二人進行乒乓球比賽,已知每場甲獲勝之機率為乙的 2 倍,且比賽均 不得有和局,約定先勝三場者可獲得獎金 540 元,今比賽了二場,甲、乙各 勝乙場,但卻因故停止比賽並決定不再比賽,則獎金依獲勝機率分配,甲應 獲得_______元。
答案:400 解析:甲乙⎧
⎨⎩ 甲甲
乙甲甲,甲勝之機率為 2 2 1 2 2 ( ) 2 ( )
3 + × ×3 3 = 20 27 540 20 400
×27= ,甲得 400 元
55、A、B兩箱中分別放入 5000 元,A箱中放入 2 張 1000 元、6 張 500 元,B箱 中放入 1 張 1000 元,4 張 500 元,20 張 100 元,在A箱中任取 1 張的期望 值為K1元,在B箱中任取 3 張其金額總和的期望值為K2元,則 ______,
又K
K2 =
1,K2之大小關係為_______。
答案:600,K1>K2
解析: 1 1000 2 500 6 5000 8 8 625
K = × + × = =
2
1000 1 500 4 100 20
3 ( ) 600
K = × × + 25× + × = ⇒K1>K2
56、( B ) 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分,樣本標準差 是 5.24 分,而且已知成績分佈呈現常態分配。試問全校約有多少人數 學成績低於 60 分?(常態分佈的資料對稱於平均數 M。且當標準差為 S 時,該資料大約有 68%落在區間(M − S, M + S)內,約有 95%落在區間 (M − 2S, M + 2S)內,約有 99.7%落在區間(M − 3S, M + 3S)內。)
(A)約 80 人 (B)約 160 人 (C)約 240 人 (D)約 320 人 (E)約 400 人 解析:有 68%(即 680 人)落在(65.24 5.24, 65.24 5.24)− + =(60, 70.48)的區間內
∴落在區間外的人約有1000 680 320− =
∵常態分配呈左右對稱,在小於 60 分的人數約有320
2 =160人
57、某班月考數學成績之累積次數分配表如下,則該班級數學成績的中位數為 ______分;算術平均數為______分。(四捨五入到整數位)
組 別 以上累積次數 次數 f i
30~40 50 5
40~50 45 6
50~60 39 7
60~70 32 5
70~80 27 12
80~90 15 10
90~100 5 5
答案:72;68 解析:
組別 次
數
以下累積次
數 組中數 xk− A f xk( k−A)
30~40 5 5 35 −30 −150
40~50 6 11 45 20− −120 50~60 7 18 55 10− − 70
60~70 5 23 65 0 0
70~80 12 35 75 10 120
80~90 10 45 85 20 200
90~
100 5 50 95 30 150
50 130
∴算術平均數 65
A=
65 130 67.6 68
= + 50 = O (分)
分數 次數 70 23 Me 25
80 35
內插法:
50 23
70 2 70 2 10
80 70 12 12
Me Me
− = ⇒ = + − ×
− =71.67O72(分)。
58、有 10 個人在某次考試得到平均分數 56,標準差為 4,若 10 個人中的 8 個人 的得分是:50, 52, 53, 54, 56, 57, 60, 61,試求其他 2 人的得分為______分。
答案:55, 62
解析:設此二人得分為 x, y,且a= −x 56, 56b= −y
2 2
6 4 3 2 0 1 4 5 56 56
10
4 1(36 16 9 4 1 16 25 ) 9
a b
a b
− − − − + + + + + +
⎧ = +
⎪⎪⎨
⎪ = + + + + + + + +
⎪⎩
∴ 2 25
37 a b
a b
⎧ + =
⇒ ⎨⎩ + =
1 2
由¬代入−解得a=6, 1b= − 或a= −1, b=6,∴此二人分數為 55 分,62 分。
59、某班學生 50 人,數學競試成績的算術平均數為 76 分,標準差為 5 分。今將 這班學生分成兩組,第一組有 40 人,平均成績為 77 分,標準差為 4。另一 組學生有 10 人,則他們的算術平均數為______分,標準差為S,則S2 =______
(以分數表示之)
答案:72; 401 9
解析:設另一組學生 10 人,算術平均數 a 分,標準差 b 分
∴10a+40 77× =50 76× ⇒ =a 72,將分數平移 76 分,不改變標準差
40 10
2 2 2
0 ]
40 10
2 2
1 1
49 25
i i
i i
a b
= =
⇒ ∑ + ∑ = ×
1 1
1 1
5 [( )
49 i ai i bi 50
= =
= ∑ + ∑ − ×
40 2 2
1
1 1
4 [ 40 ]
40 2
1
39 16 40
i i
= a
⇒ ∑ = × + 39 i ai 40
= ∑= − ×
∴10 2
1
49 25 39 16 40 561
i i
= b
∑ = × − × − =
1 1 2 401
[561 ( 40) ]
9 10 3
S = × − × − = ⇒ 2 401
S = 9
60、有兩群資料{ }, { }xi y 滿足i yi =100 2− xi,i=1, 2,…,n,若{ }x 之算術平均數i 36
x= ,標準差為Sx =3,則{ }yi 的算術平均數y=_____,標準差Sy =_____。
答案:28, 6
解析:y=100 2− x =28, Sy = −| 2 |Sx =6