目 录

———伽利略

一种科学 只 有 在 成 功 地 运 用 数 学 时 ,才算达 到完善的地步 .

———马克思

致 同 学

亲爱的同学,你感到高中阶段的学习生活有趣吗?

我们知道,数学与生活紧密相连.数学可以帮助我们认识世界, 改造世界,创造新的生活.数学是高中阶段的重要学科,不仅是学习 物理、化学等学科的基础,而且对我们的终身发展有较大的影响.

面对实 际 问 题,我们要认真观察、实验、归纳,大胆提出猜想.为 了证实或推翻提出的猜想,我们要通过分析,概括、抽象出数学概念, 通过探究、推理,建立数学理论.我们要积极地运用这些理论去解决 问题.在探究与应用过程中,我们的思维水平会不断提高,我们的创 造能力会得到发展.在数学学习过程中,我们将快乐地成长.

考虑到广大同学的不同需要,本书提供了较大的选择空间.

书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、回 顾等内容构成一个完整的体系.它体现了教材的基本要求,是所有学 生应当掌握的内容.相信你一定能学好这部分内容.

本书还设计了一些具有挑战性的内容,包括思考、探究、链接,以 及习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等,以激发你探索数学的兴 趣.在掌握基本内容之后,选择其中一些内容作思考与探究,你会更 加喜欢数学.

目 录

第 1章

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

导数的概念……… 5

导数的运算 ……… 18

导数在研究函数中的应用 ……… 28

导数在实际生活中的应用 ……… 35

定积分 ……… 41

第 2章

直接证明与间接证明 ……… 82

数学归纳法 ……… 88

第 3章

复数的四则运算……… 113

复数的几何意义……… 120

附 录

Δx 自变量x 的增量 Δy 函数y 的增量

f'(x0) 函数f(x)在x0处的导数 f'(x) 函数f(x)的导函数 y' 函数y 的导函数

∫

C 复数集

z,a+bi 复数z;实部为a,虚部为b的复数 z 复数z的共轭复数

|z|,|a+bi| 复数z的模,a+bi的模

第 1章 导数及其应用

明状态 ,而且也表明过程:运动.

恩格斯

世界充满着变化,有些变化几乎不被人们所察觉,而有些变化却 让人们发出感叹与惊呼.

某市2004年4月20日最高气温为33.4℃,而4月19日和4月 18日最 高 气 温 分 别 为 24.4℃ 和 18.6℃,短 短 两 天 时 间,气 温 陡 增 14.8℃,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了!”

但是,如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月 18日最高气温18.6℃进行比较,发现两者温差为 15.1℃,甚至超过

了14.8℃,而人们却不会发出上述感叹.

这是什么原因呢?

原来前者变化得太快,而后者变化得缓慢.

● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢?

● 这样的数学模型有哪些应用?

1. 1 ^{导数的概念}

1. 1. 1 平均变化率

在本章引言的案例中,气温“陡增”的数学意义是什么呢?

为了弄清这个问题,我们先来观察如图1 1 1所示的气温曲线 图(以3月18日作为第一天).

图1 1 1

容易看出点B,C 之 间 的 曲 线 比 点 A,B 之 间 的 曲 线 更 加 “陡 峭”.陡峭的程度反映了气温变化的快与慢.

● 如何量化曲线的“陡峭”程度呢?

联想到用斜率来量化直线的倾斜程度,我们用比值 yC-y^B

xC-xB =33.4-18.6 34-32

来近似地量化点B,C 之间这一段曲线的陡峭程度,并称该比值为气 温在区间[32,34]上的平均变化率.

气温在区间[1,32]上的平均变化率为 18.6-3.5

32-1 =15.1

31 ≈0.5.

气温在区间[32,34]上的平均变化率为 33.4-18.6

34-32 =14.8

2 =7.4.

虽然点A,B 之间的温差与点B,C 之间的温差几乎相同,但它

们的平均变化率却相差很大.

一般地,函 数 f(x)在 区 间 [x¹,x2]上 的平 均 变 化 率(average ratesofchange)为

f(x₂)-f(x1) x₂-x1 .

在图1 1 1中,我们可以感受到:平均变化率是曲线陡峭程度 的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.

图1 1 2

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图1 1 2所示,试 分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的 平均变化率.

解 从出生到第3个月,婴儿体重的平均变化率为 6.5-3.5

3-0 =1(kg/月), 从第6个月到第12个月,婴儿体重的平均变化率为

11-8.6

12-6 =2.4

6 =0.4(kg/月).

图1 1 3

例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(图1 1 3),ts后容器 甲中水的体积V(t)=5e^-0.1t(单位:cm³),试计算第一个10s内V 的 平均变化率.

解 在区间[0,10]上,体积V 的平均变化率为 V(10)-V(0)

10-0 ≈1.839-5

10 =-0.3161(cm³/s),

即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为-0.3161cm³/s (负号表示容器甲中的水在减少).

例3 已 知 函 数 f(x)= x²,分 别 计 算 函 数 f(x)在区间[1,3], [1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.

解 函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为 f(3)-f(1)

3-1 =3²-1²

2 =4, 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为

f(2)-f(1)

2-1 =2²-1²

1 =3, 函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为

f(1.1)-f(1)

1.1-1 =1.1²-1²

0.1 =2.1,

函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 f(1.001)-f(1)

1.001-1 =1.001²-1²

0.001 =2.001.

例4 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算函数f(x) 及g(x)在区间[-3,-1],[0,5]上的平均变化率.

解 函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 f(-1)-f(-3)

(-1)- (-3) = [2× (-1)+1]- [2× (-3)+1]

2 =2,

函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f(5)-f(0)

5-0 =2, 函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为

g(-1)-g(-3)

(-1)- (-3) =-2, 函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为

g(5)-g(0)

5-0 =-2.

思 考

练 习

(第2题)

2.环境保护部门在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业进行检查,连续检 测结果如图所示(其中 W1(t),W2(t)分别表示甲、乙两企业的排污量),试比 较两个企业的治污效果.

3.已知f(x)=3x+1,求f(x)在区间[a,b]上的平均变化率:

(1)a=-1,b=2;

(2)a=-1,b=1;

(3)a=-1,b=-0.9.

4.求经过函数y =x²图象上两点A,B 的直线的斜率:

(1)x^A =1,x^B=1.001;

(2)x^A =1,x^B =0.9;

(3)x^A =1,x^B =0.99;

(4)x^A =1,x^B =0.999.

5.若一质点的运动方程为S =t²+3(位移单位:m;时间单位:s),则在时间段 [3,3+Δt]上的平均速度是多少?

1. 1. 2 瞬时变化率———导数

1.曲线上一点处的切线

平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,那么,

● 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?

如果将点P 附近的曲线放大,那么就会发现,曲线在点 P 附近看 上去有点像是直线(图1 1 4).

图1 1 4

如果将点P 附近的曲线再放大,那么就会发现,曲线在点 P 附近 看上去几乎成了直线.事实上,如果继续放大,那么曲线在点P 附近 将逼近一条确定的直线l,该直线l是经过点P 的所有直线中最逼近 曲线的一条直线.

因此,在点 P 附近我们可以用这条直线l 来代替曲线.也就是 说,在点 P 附近,曲线可以看做直线(即在很小范围内以直代曲).

图1 1 5

既然点P 附近的曲线被看作直线l,那么我们可以用直线l的斜 率来刻画曲线经过点P 时上升或下降的“变化趋势”.

探 究

图1 1 6

如图1 1 6所示,直线l1,l2为经过曲线上一点P 的两条直线.

(1)试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线;

(2)在点P 附近能作出一条比l¹,l2更加逼近曲线的直线l3吗? (3)在点 P 附近能作出一条比l1,l2,l3更 加 逼 近 曲 线 的 直 线 l4吗?

怎样找到经过曲线上一点P 处最逼近曲线的直线l 呢?

如图1 1 7,设 Q 为 曲 线 C 上 不 同 于 P 的 一 点,这 时,直 线 PQ 称为曲线的割线(secantline).随着点 Q 沿曲线C 向点 P 运动,

割线PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼近点 P 时, 直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l,这条直线l称为 曲线在点P 处的切线(tangentline).

利用这种割线逼 近 切 线 的 方 法,我们来计算曲线上一点处切线 的斜率.

图1 1 7

图1 1 8

Δx 可正也可负, 当Δx 取负值时,点 Q 位于点P 的左侧.

如图1 1 8,设曲线C 上一点P(x,f(x)),过点P 的一条割线 交曲线C 于另一点Q(x+Δx,f(x+Δx)),则割线PQ 的斜率为

kPQ =f(x+Δx)-f(x)

(x+Δx)-x =f(x+Δx)-f(x)

Δx .

当点Q 沿曲线C 向点P 运动,并无限靠近点P 时,割线PQ 逼近 点P 的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当 Δx 无限趋近 于0时,f(x+Δx)-f(x)Δx 无限 趋 近 于 点P(x,f(x))处的切线的 斜率.

例1 已知f(x)=x²,求曲线y =f(x)在x =2处的切线斜率.

分析 为求得过点(2,4)的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一 条直线(割线)入手.

解 设 P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)²),则割线 PQ 的斜率为

kPQ = (2+Δx)²-4

Δx =4+Δx.

当Δx 无 限 趋 近 于 0 时,k^PQ无 限 趋 近 于 常 数4,从 而 曲 线 y =f(x)在点 P(2,4)处的切线斜率为4.

EXCEL

单 元 格 B2,D2 中的公式.

图1 1 9

练 习

(第1题)

2.在下列3个图中,直线l为曲线在点P 处的切线,分别求l的斜率.

(第2题)

3.如图,l为经过曲线上点P 和Q 的割线.

(1)若P(1,2),Q(5,7),求l的斜率;

(2)当Q 沿曲线向点P 靠近时,l的斜率变大还是变小?

(第3题)

4.(1)运用例1中割线逼近切线的方法,分别求曲线y=x²在x=0,x=-2, x=3处的切线斜率.

(2)用割线逼近切线的方法,求曲线y = 1x在x =1处切线的斜率.

2.瞬时速度与瞬时加速度

在物 理 学 中,运 动 物 体 的 位 移 与 所 用 时 间 的 比 称 为平 均 速 度 (meanvelocity),它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度.那么, 如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?

我们先看下面的实例.跳水运动员从10m 跳台腾空到入水的过程 中,不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度为

H(t)=-4.9t²+6.5t+10, 试确定t=2s时运动员的速度.

先求出运动员在2s到2.1s(即t∈ [2,2.1])的平均速度为 v= H(2.1)-H(2)

2.1-2 =-13.59(m/s).

同样,可以算出更短的时间内的平均速度.

单 元 格 C2 中 的 公式.

由图1 1 10可以看出,当 Δt越接近0时,平均速度v 越接近 常数-13.1,这一常数可作为运动员在t=2s时的瞬时速度.

图1 1 10

一般地,如果当 Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均 变化率 S(t₀+Δt)-S(t₀)

Δt 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为 物体在t=t0时的瞬时速度(instantaneousvelocity),也就是位移对 于时间的瞬时变化率.

类似地,我们还可以求出某一时刻物体运动的瞬时加速度.

例2 已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设ts时的速度为 v(t)=t²+3,求当t=t⁰s时轿车的瞬时加速度a.

解 在t⁰到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为

a = ΔvΔt =v(t0+Δt)-v(t0) Δt

= (t₀+Δt)²+3- t²0+3 Δt

=2t0+Δt,

当Δt无限趋近于0时,a无限趋近于2t0,即a=2t⁰. 所以,当t=t⁰s时轿车的瞬时加速度为2t⁰.

一般地,如果当 Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变 化率v(t0+Δt)-v(t0)

Δt 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物 体在t=t0时的瞬时加速度(instantaneousacceleration),也就是速度 对于时间的瞬时变化率.

练 习

(1)计算t分别在[3,3.1],[3,3.01],[3,3.001]各时间段内的平均速度;

(2)计算t在[3,3+Δt]内的平均速度;

(3)求t=3时的瞬时速度;

(4)求t=t0时的瞬时速度;

(5)根据(4)的结果,分别求出t=0,1,2时的瞬时速度.

2.一质点的运动方程为S =t²+10(位移单位:m;时间单位:s),试求该质点 在t=3时的瞬时速度.

3.导数

前面的实 际 问 题 都 涉 及 了 函 数 在 某 一 点 处 的 瞬 时 变 化 率———

导数.

设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈ (a,b),若 Δx 无 限趋近于0时,比值

Δx 表 示 自 变 量 x 的 改 变 量,Δy 表 示 相应的函数的改变量.

ΔyΔx =f(x0+Δx)-f(x0) Δx

无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x =x⁰ 处可导,并称该常数 A 为函数f(x)在x =x0处的导数(derivative),记作f'(x⁰).

若用符号“→”表示“无限趋近于”,则“当 Δx 无限趋近于0时, f(x0+Δx)-f(x⁰)

Δx 无限趋近于常数A”就可以表示为

“当 Δx →0时,f(x⁰+Δx)-f(x⁰)

Δx → A”.

导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x⁰,f(x⁰)) 处的切线的斜率(图1 1 11).

图1 1 11

例3 已知f(x)=x²+2.

(1)求f(x)在x =1处的导数;

(2)求f(x)在x =a处的导数.

解 (1)因为

ΔyΔx =f(1+Δx)-f(1)

Δx

= (1+Δx)²+2- (1²+2) Δx

=2+Δx,

从 而,当 Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.

(2)因为

Δx =Δy f(a+Δx)-f(a)

Δx

= (a+Δx)²+2- (a²+2) Δx

=2a+Δx,

从而,当 Δx→0时,2a+Δx →2a,所以f(x)在x =a 处的导数等 于2a.

如 无 特 别 说 明, 本章所 涉 及 的 函 数 都 是可导函数.

若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数 也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数称 为f(x)的导函数,记作f'(x).

在不引起混淆时,导函数f'(x)也简称为f(x)的导数.

瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,即 v(t)=S'(t);

瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数,即 a(t)=v'(t).

f(x)在x=x⁰处 的 导 数f'(x⁰)就是导函数f'(x)在x=x⁰ 处 的 函 数 值.例 如 ,f(x)在x =2,x =2x⁰+3处的导数分别是 导 函 数f'(x)在该处的函数值f'(2),f'(2x⁰+3).

练 习

2.求下列函数在x=x0处的导数:

(1)y =3x+1,x⁰=3;

(2)y =x²,x0=a;

(3)y = 1x,x0=2.

3.f'(1)与f(1)的含义有什么不同? f'(1)与f'(x)的含义有什么不同?

4.求函数y = (2x-1)²在x =3处的导数.

5.已知函数y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是y= 12x+2, 那么f(1)+f'(1)= .

6.若某水库在泄洪过程中水面的高度与泄洪时间t的函数关系是h =f(t), 请说明f'(t)的实际意义.

链 接 边 际 函 数

在经济学中,生产x 件产品的成本称为成本函数,记为C(x);出 售x 件产品的收益称为收益函数,记为R(x);R(x)-C(x)称为利润 函数,记为 P(x).相应地,它们的导数C'(x),R'(x)和 P'(x)分别称 为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数.

经济学中涉及的 函 数,有 时 是 “离 散 型”函数,我们仍将其 看 成“连 续 型”函 数.

参看《数 学 1(必 修)》

“函数的应用”.

如图1 1 12所示,C(x)在x=a处的导数C'(a)称为生产规模 为a 时的边际成本值,该值给出了生产规模为a 时,再增加1个产品 时,成本的增加量,边际值表现为两个微增量的比.

图1 1 12 由图可见,

C(a+1)-C(a)≈C'(a)×1=C'(a).

C(a+1)-C(a)表示生产规模由a增加为a+1时成本的相应增加 量.经济学中,边际成本C'(a)通常近似地看成生产规模增加1个单 位时 成 本 的 增 加 量.类 似 地,对 R'(x)和 P'(x)也 有 相 应 的 数 学 模型.

试用上述知识解决下面的问题:设成本函数C(x)=0.005x³- 3x,x 为每天生产的产品数.

(1)若每天生产产品数由1000件改为1001件,成本的绝对增 加值是多少?

(2)在x =1000处的边际成本是多少?

习题 1. 1

感受 ·理解

(第1题)

(第2题)

2.如图,曲线y=f(x)在点P 处的切线方程是y=-x+8,求f(5)及f'(5).

3.如图,A,B,C,D,E,F,G 为函数y=f(x)图象上的点.在哪些点处, 曲线的切线斜率为0?在哪些点处,切线的斜率为正?在哪些点处,切线的 斜率为负?在哪一点处,切线的斜率最大?在哪一点处,切线的斜率最小?

(第3题) 4.曲线y =x²在点P 34,9

5.如图,求f(a),并估计f'(a).

(第5题) (第6题)

6.根据所给函数y =f(x)的图象,估计f'(1).

7.当h 无限趋近于0时,(3+h)²-3²

h 无 限 趋 近 于 多 少? 3+h- 3 h 无 限 趋近于多少?

8.已知函数f(x)=x²,记Iⁿ= 2,2+ 12ⁿ ,n∈N^*,求f(x)在区间Iⁿ上的 平均变化率an,并观察当n不断增大时aⁿ的变化趋势.

9.(1)若f(x+h)-f(x)=2hx+5h+h²,用割线逼近切线的方法求f'(x);

(2)若g(x+h)-g(x)=3hx²+3h²x+h³,用割线逼近切线的方法求g'(x).

思考·运用

11.设f(x)=- 6x.

(1)函数f(x)在区间[1,2],[1,1.5],[1,1.1]上的平均变化率各是多少?

(2)函数f(x)在x =1处的瞬时变化率是多少?

12.蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)= 120t+5+15,其中T(t)为蜥蜴 的体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).

(1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少?

(2)从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?

(3)当t=10时,蜥蜴的体温的瞬时变化率是多少?

(4)蜥蜴的体温的瞬时变化率为-1℃/min时的时刻t是多少?(精确到0.01)

探究 ·拓展

(1)h(0),h(1)分别表示什么?

(2)求第1s内的平均速度;

(3)求第1s末的瞬时速度;

(4)经过多长时间,飞机的速度达到75m/s?

14.生产某塑料管的利润函数为P(n)=-n³+600n²+67500n-1200000,其 中n 为工厂每月生产该塑料管的根数,利润 P(n)的单位为元.

(1)求边际利润函数P'(n);

(2)求n的值,使P'(n)=0;

(3)解释(2)中n的值的实际意义.

15.对于函数f(x),若f'(x0)存在,则当h 无限趋近于0时,下列式子各无限趋 近于何值?

(1)f(x⁰+ (-h))-f(x0)

-h ;

(2)f(x⁰+h)-f(x0-h)

h .

1. 2 ^{导数的运算}

在上一节中,我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,

● 如何求函数的导数呢?

1. 2. 1 常见函数的导数

根据导数的概念,求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示.

给定函数y=f( x)

计算 Δy

Δx=f(x+Δx)-f(x) Δx

↓

令Δx →0

↓

Δx → AΔy (x)

↓

f'( x)= A(x)

↓

图1 2 1

(1)对于f(x)=kx+b (k,b为常数),因为 ΔyΔx =f(x+Δx)-f(x)

Δx

=k(x+Δx)+b- (kx+b)

Δx

=k,

从而,当 Δx→0时,ΔyΔx→k,所以f'(x)=k.

特别 地,当k = 0 时,有 f'(x)= 0;当k = 1,b = 0 时,有 f'(x)=1.

(2)对于f(x)=x²,因为

ΔyΔx = (x+Δx)²-x² Δx

=2x(Δx)+ (Δx)² Δx

=2x+Δx, 从而,当 Δx→0时,ΔyΔx→2x,所以

f'(x)=2x.

(3)对于f(x)=x³,因为

ΔyΔx = (x+Δx)³-x³

Δx

=3x²(Δx)+3x(Δx)²+ (Δx)³ Δx

=3x²+3x(Δx)+ (Δx)²,

从而,当 Δx→0时,ΔyΔx→3x²,所以

f'(x)=3x². (4)对于f(x)= 1x,因为

ΔyΔx =

x+Δx-1 1 Δx x

= -Δx Δx(x+Δx)x

= -1 (x+Δx)x, 从而,当 Δx→0时,ΔyΔx→ -1

x²,所以 f'(x)=- 1x². (5)对于f(x)= x,因为

ΔyΔx = x+Δx- x Δx

= Δx

Δx(x+Δx+ x)

= 1

x+Δx+ x,

从而,当 Δx→0时,ΔyΔx→ 1

2 x,所以 f'(x)= 1

2 x.

以上求导公式可以归纳如下: (1)(kx +b)' =k (k,b为常数);

(2)C'=0(C 为常数);

(3)(x)' =1;

(4)(x²)' =2x;

(5)(x³)' =3x²; (6) 1

2 x.

思 考

对于基本初等函数,有下面的求导公式:

(8)(x^α)' =αx^α-1(α为常数);

(9)(a^x)' =a^xlna (a >0,且a≠1);

(10)(log^ax)' = 1xlog^ae= 1xlna(a >0,且a≠1);

(11)(e^x)' =e^x; (12)(lnx)' = 1x; (13)(sinx)' =cosx;

(14)(cosx)' =-sinx.

练 习

2.求下列函数的导数:

(1)y = 1x³ ; (2)y = ³x⁵; (3)y =4^x; (4)y =log³x.

3.求曲线y = 1x在点

4.若直线y =-x+b为函数y = 1x图象的切线,求b及切点坐标.

5.直线y = 12x+b能作为下列函数图象的切线吗?若能,求出切点坐标;若不 能,简述理由.

(1)f(x)= 1x; (2)f(x)=x⁴; (3)f(x)=sinx; (4)f(x)=e^x. 6.设函数f(x)=x³,求(f(-2))' 以及f'(-2).

7.若直线y = 12x+b是曲线y =lnx x>0 的一条切线,求实数b的值.

1. 2. 2 函数的和、差、积、商的导数

已知f'(x),g'(x),怎样求 [f(x)+g(x)]' 呢?

例1 求y =x²+x 的导数.

解 因为

ΔyΔx = [(x+Δx)²+ (x+Δx)]- (x²+x) Δx

= (x+Δx)²-x²

Δx +(x+Δx)-x Δx

=2x+Δx+1,

从而,当 Δx→0时,ΔyΔx→2x+1,所以y'=2x+1.

由于(x²)' =2x,x' =1,则有

(x²+x)' = (x²)'+x'.

一般地,我们有函数和的求导法则:

[f(x)+g(x)]' =f'(x)+g'(x),

即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和.

类似地,函数的差、积、商的求导法则是:

求导法则的证明 不作要求.

[f(x)-g(x)]' =f'(x)-g'(x), [Cf(x)]' =Cf'(x)(C 为常数), [f(x)g(x)]' =f'(x)g(x)+f(x)g'(x), f(x)

g(x)

􀭠

􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

g²(x) (g(x)≠0).

有了函数的和、差、积、商的求导法则,我们就可以直接运用基本 初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数.

例2 求下列函数的导数:

(1)f(x)=x²+sinx;

(2)g(x)=x³- 32x²-6x+2.

解 (1)f'(x)= (x²+sinx)'

= (x²)'+ (sinx)'

=2x+cosx.

(2)g'(x)= x³- 32x²-6x+2'

=3x²-3x-6.

例3 求下列函数的导数:

(1)h(x)=xsinx;

(2)S(t)=t²+1 t . 解 (1)h'(x)= (xsinx)'

=x'sinx+x(sinx)'

=sinx+xcosx.

(2)S'(t)= t²+1

=(t²+1)'t- (t²+1)t' t²

=2t·t-t²-1 t²

=t²-1 t² .

思 考

练 习

(1)y =x²+cosx; (2)y =2^x-2lnx.

2.求曲线y =x²+2x-3在x =2处的切线方程.

3.用两种方法求函数y = (2x-1)(x+3)的导数.

4.求下列函数的导数:

(1)f(x)= 1x²; (2)f(x)= x2x+3; (3)f(x)=sinxx² .

5.已知函数f(x)的导数是f'(x),求函数[f(x)]²的导数.

1. 2. 3 简单复合函数的导数

观察函数y= (3x-1)²和y=sin2x,不难发现,y= (3x-1)² 由y =u²及u =3x-1复合而成;y =sin2x 由y =sinu及u =2x 复合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数,称为复合函数.

那么,

● 怎样求复合函数的导数呢?

先考察y = (3x-1)²,将y 关于x 的导数记为y'x.一方面, y'^x = [(3x-1)²]'

= (9x²-6x+1)'

=18x-6

=6(3x-1).

另一方面,将y= (3x-1)²看成由y=u²及u=3x-1复合而 成,并将y关于u 的导数记为y'^u,即y'^u = (u²)'=2u.同理,将u关 于x 的导数记为u',即ux ' = (3x-1)x ' =3.因而有

y'x =6(3x-1)

=2(3x-1)×3

=2u×3, 即

y'x =y'^u·u'.x

再考察y =sin2x.一方面, y'^x = (sin2x)'

= (2sinxcosx)'

=2(sinx)'cosx+2sinx(cosx)'

=2cos²x-2sin²x

=2cos2x.

另一方面,将y=sin2x看成由y =sinu及u=2x复合而成,仿 上可得,y'^u= (sinu)' =cosu,u' = (2x)^x ' =2.因而也有

y'x =y'^u·u'x. 一般地,我们有:

若y =f(u),u =ax+b,则y' =y^x '·u^u ',即x

y' =y^x '·a.^u

例1 求下列函数的导数:

(1)y = (2x-3)³; (2)y =ln(5x+1).

解 (1)y= (2x-3)³ 可 由y =u³及u=2x-3复合而成,从而 y' =y^x '×2= (^u u³)'×2=3u²×2

=6u²=6(2x-3)².

(2)y =ln(5x+1)可由y=lnu及u =5x+1复合而成,从而 y' =y^x '×5= (^u lnu)'×5

= 1u ×5= 5 5x+1.

例2 求下列函数的导数:

(1)y = 13x-1; (2)y =cos(1-2x).

解 (1)y = 13x-1可由y = 1u及u =3x-1复合而成,从而

y' =y^x '×3= 1^u

=- 1u²×3=- 3 (3x-1)².

(2)y=cos(1-2x)可由y=cosu及u =1-2x复合而成,从而 y' =y^x '× (-2)= (cosu)^u '× (-2)

= (-sinu)× (-2)=2sin(1-2x).

练 习

(1)y=(3+sinx) (2)y=ln 1⁴; 2x+1; (3)y=2^2x-1; (4)y= 11-cosx.

2.求下列函数的导数:

(1)y = (2x+3)² (2)y = (1-3x); ³; (3)y =e^2x; (4)y =ln1x.

3.求曲线y =sin2x 在点P(π,0)处的切线方程.

4.利用cosx =sin π

5.求下列函数的导数:

(1)y =ln 12x+1; (2)y =cos π3 -2x .

阅 读 f( ax+b)的导数的一种解释

(1)当a=1时,不妨设b<0,设f'(x)=g(x),由图1 2 2可 知,若f'(x)=g(x),则

[f(x+b)]' = g(x+b).

图1 2 2

(2)当a=-1,b=0时,设f'(x)=g(x).由图1 2 3可知, 若f'(x)=g(x),则

[f(-x)]' =-g(-x).

图1 2 3

(3)当a>0,b=0时,设f'(x)=g(x),由图1 2 4可知,若 f'(x)=g(x),则

[f(ax)]' =ag(ax).

图1 2 4 由(1)、(2)、(3),你能得到什么结论?

习题 1. 2

感受·理解

(1)f(x)=x²-3x+1;

(2)f(x)=x+ 1x; (3)f(x)=x+sinx;

(4)f(x)=xcosx.

2.求下列函数的导数:

(1)f(x)=2x+3^x; (2)f(x)=log2x+x²; (3)f(x)=ex^x;

(4)f(x)=xlnx.

3.求下列函数的导数:

(1)f(x)= (2x+1)⁵; (2)f(x)=sin²x;

(3)f(x)=sin 2x+ π3 ; (4)f(x)=ln(x+1).

4.(1)求曲线y =e^x在x =0处切线的方程;

(2)过原点作曲线y=e^x的切线,求切点的坐标.

5.求曲线y = 12x-cosx在x = π6处切线的方程. 6.求曲线y =x³+3x-8在x =2处切线的方程.

7.已知函数f(x)=sinx+cosx,x ∈ (0,2π).

(1)求x0,使f'(x⁰)=0;

(2)解释(1)中x0及f'(x0)的意义.

8.求下列函数的导数:

(1)f(x)= (x-2)x+1²;

(2)f(x)= (x²+9)x- 3

(4)f(x)=x²cosx.

9.设f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,求h(5)及h'(5).

(1)h(x)=3f(x)+2g(x);

(2)h(x)=f(x)g(x)+1;

(3)h(x)=f(x)+2g(x) .

10.血液在血管中的流速满足关系式v(r)=k(R²-r²),其中k为常数,R 和r 分别为血管的外径和内径(单位:cm).现假定k =1000,R =0.2cm,求 v(0.1)及v'(0.1),并对所得结果作出解释.

思考·运用

24)的变化近似满足关系式S(t)=3sin π12t+5π

6 ,求18点时潮水起落的 速度.

12.火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间 的关系是v(t)=0.4t+0.6t².

(1)求火车运动的加速度a;

(2)火车开出几秒时加速度为2.8m/s²? 13.质点的运动方程是S =5sint+2cost.

(1)求t=5时的速度;

(2)求质点运动的加速度.

14.(1)如图(1),直线l是抛物线y =0.5x²-4x+10在x=6处的切线,求直 线l在y 轴上的截距;

(2)如图(2),直线l是曲线y=f(x)在x =4处的切线,求f'(4).

(第14题)

探究·拓展

(第15题)

16.设曲线y=x²(x≥0),直线y=0及x=t(t>0)围成的封闭图形的面积 为S(t),求S'(t).

1. 3 导数在研究函数中的应用

1. 3. 1 单调性

导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势(上升或下降的 陡峭程度),而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画,那么,

● 导数与函数的单调性有什么联系?

如果函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,那么对任意x1,x2∈ (a,b),当x1<x²时,f(x1)<f(x²),即x1-x2与f(x1)-f(x²) 同号,从而有f(x¹)-f(x2)

x1-x2 >0,即 ΔyΔx >0.这表明,导数大于0与 函数单调递增密切相关.

一般地,我们有下面的结论:

对于函数y =f(x),

如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;

如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.

上述结论可以用图1 3 1来直观理解.

图1 3 1

思 考

例1 确定函数f(x)=x²-4x+3在哪个区间上是增函数,在哪个 区间上是减函数.

解 f'(x)=2x-4,令f'(x)>0,解得x >2.

因此,在区间(2,+ ∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数;在区间 (-∞,2)上,f'(x)<0,f(x)是减函数.(图1 3 2)

图1 3 2

例2 确定函数f(x)=2x³-6x²+7在哪些区间上是增函数.

解 f'(x)=6x²-12x.

令f'(x)>0,解得x <0或x >2.

因此,在区间(- ∞,0)上,f'(x)>0,f(x)是增函数;在区间 (2,+ ∞)上,f'(x)>0,f(x)也是增函数.(图1 3 3)

图1 3 3

例3 确定函数f(x)=sinx (x ∈ (0,2π))的单调减区间.

解 f'(x)=cosx.

令f'(x)<0,即cosx<0.又x∈ (0,2π),所以x∈ π2,3π

2,3π

练 习

(1)y =x-x²; (2)y =x-x³.

2.讨论函数f(x)的单调性:

(1)f(x)=kx+b;

(2)f(x)= kx;

(3)f(x)=ax²+bx +c (a ≠0).

3.用导数证明:

(1)f(x)=e^x在区间(- ∞,+ ∞)上是增函数;

(2)f(x)=e^x-x 在区间(- ∞,0)上是减函数.

4.(1)证明函数y=-lnx 在定义域上是单调减函数;

(2)证明函数y=sinx 在区间 -π2,π2 上是单调增函数.

1. 3. 2 极大值与极小值

观察图1 3 4中的函数图象,不难发现,函数图象在点 P 处从 左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减), 这时在点P 附近,点 P 的位置最高,亦即f(x¹)比它附近点的函数值 都要大.我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值.

图1 3 4

类似地,图中f(x²)为函数的一个极小值.

函数的极大值、极小值统称为函数的极值(extremum).

● 函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢?

在 这 里,x1 左 (右)侧 是 指 以 x1 为 右(左)端点的一个小 区间.

继续观察图1 3 4中的函数图象,在函数取得极大值的x1的左 侧,函 数 单 调 递 增,即 f'(x)>0;在x¹ 的 右 侧,函 数 单 调 递 减,即 f'(x)<0;而在点P 处切线平行于x轴,即f'(x)=0.表1 3 1清

楚地表明了极大值与导数之间的关系. 表1 3 1

x x1左侧 x1 x1右侧

f'(x) f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)<0 f(x) 增↗ 极大值f(x₁) ↘减

类似地,极小值与导数之间的关系,如表1 3 2所示.

表1 3 2

x x₂左侧 x₂ x₂右侧

f'(x) f'(x)<0 f'(x)=0 f'(x)>0 f(x) ↘减 极小值f(x2) 增↗

例1 求f(x)=x²-x-2的极值.

解 f'(x)=2x-1,令f'(x)=0,解得x = 12.列表如下. 表1 3 3

x 1

2左侧 1

2 1

2右侧

f'(x) - 0 +

f(x) ↘ 极小值f 1

因此,当x = 12时,f(x)有极小值f 1

例2 求f(x)= 13x³-4x+13的极值.

图1 3 5

解 f'(x)= x²-4,令 f'(x)= 0,解 得 x1 =-2,x2 =2.

列 表 如 下.

表1 3 4

x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 极大值

f(-2) ↘ 极小值

f(2) ↗

因此,当x =-2时,f(x)有极大值f(-2)=173;当x =2时, f(x)有极小值f(2)=-5.(如图1 3 5所示)

思 考

练 习

(1)y =x²-7x+6; (2)y =x+ 1x.

2.如果函数f(x)有极小值f(a),极大值f(b),那么f(a)一定小于f(b)吗? 试 作图说明.

3.根据下列条件大致作出函数的图象:

(1)f(4)=3,f'(4)=0,当x<4时f'(x)>0,当x>4时f'(x)<0;

(2)f(1)=1,f'(1)=0,当x ≠1时f'(x)>0.

4.求函数y =x-lnx,x ∈ (0,2)的极值.

1. 3. 3 最大值与最小值

函数f(x)在x⁰处取得极大值,是指在x0附近f(x⁰)比其他函数 值都大,极大值是相对函数定义域内某一局部而言的.

我们知道,如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x ∈I, 总有f(x)≤f(x⁰),那么f(x0)为函数在定义域上的最大值.最大值是 相对函数定义域整体而言的,如果存在最大值,那么最大值惟一.

观察函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象(图1 3 6)可知, f(x2),f(x4)是极大值,而函数f(x)的最大值是f(b).

图1 3 6

类似地,f(x1),f(x3),f(x5)是极小值,而函数f(x)的最小值 是f(x3).

因此,求 f(x)在 区 间 [a,b]上 的 最 大 值 与 最 小 值 可 以 分 为 两步:

第一步 求f(x)在区间(a,b)上的极值;

第二步 将 第 一 步 中 求 得 的 极 值 与 f(a),f(b)比 较,得 到 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.

例1 求f(x)=x²-4x+3在区间[-1,4]上的最大值与最小值.

解 f'(x)=2x-4.

令f'(x)=0,解得x =2.

列表如下.

表1 3 5

x -1 (-1,2) 2 (2,4) 4

f'(x) - 0 +

f(x) 8 ↘ -1 ↗ 3

从上表可知,函数f(x)=x²-4x+3在区间[-1,4]上的最大值 是8,最小值是-1.

例2 求f(x)= 12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值.

解 f'(x)= 12 +cosx.

令f'(x)=0,解得x¹=2π3,x2 =4π3.

列表如下.

表1 3 6

x 0

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) 0 ↗ π 3 + 3

2 ↘ 2π

3 - 3

2 ↗ π

从上表可知,函数f(x)= 12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值 是π,最小值是0.

思 考

练 习

2.如果函数f(x)有最小值f(a),最大值f(b),那么f(a)一定小于f(b)吗?

3.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值:

(1)f(x)=3x+2,x ∈ [-1,3];

(2)f(x)=x²-3x,x ∈ [-1,3];

(3)f(x)=x+ 1x,x ∈ 1

5.求函数y=x-lnx,x∈(0,1]的值域.

习题 1. 3

感受 ·理解

x-x0 (x≠x0)的符号.

2.确定下列函数的单调区间:

(1)y =-4x+2; (2)y =xlnx;

(3)y =sinx+cosx; (4)y =x²(x-3).

3.求下列函数的极值:

(1)y =2x²-x⁴; (2)y = xx²+3; (3)y =x-2cosx; (4)y =e^x-ex.

4.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值:

(1)y =x²-2x,x ∈ [0,3];

(2)y =x-1x+2,x ∈ [0,2];

(3)y = 12x-cosx,x ∈ - π2,π2 . 5.分别就下列条件,确定cos π4 +Δx -cos π4

Δx 的符号:

(1)0< Δx < π4; (2)- π4 < Δx <0.

思考·运用

(第6题)

(第7题) 7.已知函数y =f(x)的图象如图所示,试作出y =f'(x)的草图.

探究 ·拓展

(1)y = 1x+1+x,x ∈ [1,3]; (2)y=x³-3x²+5,x∈ [-2,3];

(3)y =x+sinx,x ∈ [0,2π]; (4)y =2x²-lnx.

9.(1)求内接于半径为R 的圆且面积最大的矩形;

(2)求内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱.

1. 4 导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中有着广泛的应用.例如,用料最省、利润最大、

效率最高等问题,常常可以归结为函数的最值问题,从而可用导数来 解决.

例1 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方 形,再把它的边沿虚线折起(图1 4 1),做成一个无盖的方底铁皮 箱.当箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少?

图1 4 1

解 设箱底边长为x(cm),则箱高为

h =60-x2 (0<x <60), 箱子的容积为

V(x)=x²h =30x²- 12x³(0<x <60).

由V'(x)=60x- 32x² =0解得x1 =0(舍),x2 =40.且当 x ∈ (0,40)时,V'(x)>0;当x∈ (40,60)时,V'(x)<0.所以,函 数V(x)在x =40处取得极大值,这个极大值就是函数V(x)的最 大值,即

V(40)=30×40²- 12 ×40³=16000(cm³).

答 当箱子底边长等于40cm 时,箱子容积最大,最大值为16000cm³.

例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定,如何确定它的高与底半径,才 能使它的用料最省?

图1 4 2

解 如图1 4 2,设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积 S(R)=2πRh+2πR².

又V =πR²h(定值),则h = VπR²,故

S(R)=2πR· VπR²+2πR²=2VR +2πR²(R >0).

由S'(R)=-2VR²+4πR =0,解得R =³V

2π .从而h = VπR²= 2³V

2π,即h=2R.

当R < h2时,S'(R)<0;当R > h2时,S'(R)>0.

因此,当h=2R 时,S(R)取得极小值,且是最小值.

答 当罐高与罐底的直径相等时,用料最省.

图1 4 3

例3 在如图1 4 3所示的电路中,已知电源的内阻为r,电动势 为E.当外电阻R 多大时,才能使电功率最大? 最大电功率是多少?

解 电功率 P =I²R,其中I= ER +r为电流强度,则

P = E

P' = (E²R)'(R+r)²-E²R[(R+r)²]' (R+r)⁴

= E²(r-R) (R+r)³ , 由P' =0,解得R =r.

当R <r时,P' >0;当r<R 时,P' <0.

因此,当 R = r 时,P 取 得 极 大 值,且 是 最 大 值,最 大 值 为 P = E4r.²

答 当外电阻R 等于内电阻r 时,电功率最大,最大电功率是E4r.²

例4 强度分别为a,b的两个光源A,B 间的距离为d,试问:在连 结两光源的线段AB 上,何处照度最小? 试就a=8,b=1,d=3时 回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)

图1 4 4

解 如图1 4 4,设点P 在线段AB 上,且P 距光源A 为x,则P 距 光源B 为3-x (0<x <3).

P 点受A 光源的照度为kax²,即8k x²;

P 点受B 光源的照度为 kb

(3-x)²,即 k

(3-x)²,其 中k 为比例 常数.

从而,P 点的总照度为

I(x)=8kx²+ k

(3-x)² (0<x <3).

由

I'(x)=-16kx³ + 2k

(3-x)³ =18k(x-2)(x²-6x+12) x³(3-x)³ =0 解得x =2.

当0<x <2时,I'(x)<0;当2<x <3时,I'(x)>0.

因此,x =2时I取得极小值,且是最小值.

答 在连结两光源的线段 AB 上,距光源 A 为2处的照度最小.

例5 在 经 济 学 中,生 产 x 单 位 产 品 的 成 本 称 为 成 本 函 数,记 为 C(x),出售x 单位产 品 的 收 益 称 为 收 益 函 数,记 为 R(x),R(x)- C(x)称为利润函数,记为 P(x).

(1)如果C(x)=10^-6x³-0.003x²+5x+1000,那么生产多少 单位产品时,边际成本C'(x)最低?

(2)如果C(x)=50x+10000,产品的单价p(x)=100-0.01x, 那么怎样定价可使利润最大?

解 (1)C'(x)=3×10^-6x²-0.006x+5,记g(x)=C'(x),由 g'(x)=6×10^-6x-0.006=0

解得x=1000.结合C'(x)的图象(图1 4 5(2))可知,当x=1000 时,边际成本最低.

图1 4 5 (2)由p(x)=100-0.01x 得收益函数

R(x)=x(100-0.01x), 则利润函数

P(x)=R(x)-C(x)

=x(100-0.01x)- (50x+10000)

=-0.01x²+50x-10000.

由P'(x)=-0.02x+50=0,解得x=2500.结合 图1 4 5(3) 可知,当x =2500时,利润最大,此时

p(2500)=100-0.01×2500=75.

答 生产1000 个 单 位 产 品 时,边 际 成 本 最 低;当 产 品 的 单 价 为 75 时,利润最大.

一般地,为使利润函数 P(x)=R(x)-C(x)最大,生产规模应 确定为x =a,且 P'(a)=0,即R'(a)=C'(a).

用图象来表示有下列3种形式,这就是如何确定生产规模的一般 数学模型.

图1 4 6

练 习

2.把长100cm 的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形面 积之和最小?

3.做一个容积为256m³的方底无盖水箱,它的高为多少时材料最省?

4.有一隧道既是交通拥挤地段,又是事故多发地段.为了保证安全,交通部门规 定,隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与自身长l(m)的积,且 车距不得 小 于 半 个 车 身 长.而当车速为 60(km/h)时,车距为 1.44 个车身 长.在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可以使隧道的车流量最大?

阅 读 圆锥曲线的光学性质

在圆锥曲线部分,我们曾介绍了圆锥曲线的光学性质,现以抛物 线为例,予以证明.

抛物线的光学性质如下:位于焦点 F 的光源所射出的光线FP, 经抛物线(在实际问题中是旋转抛物线面)上的任一点 P(x0,y⁰)反 射后,反射光线 PM 与抛物线的轴平行.

图1 4 7

根据光学中的反射原理,光线的反射角等于入射角,在图1 4 7 中,设 PT 是 抛 物 线 在 点 P 处 的 切 线 (T 为 切 线 与y 轴 的 交 点), PH ⊥PT,则有 ∠MPH = ∠FPH .要证明反射线PM 平行于对称

轴(y 轴),只需证 ∠FTP = ∠MPN 即可.设抛物线方程为y=ax²

(a >0),则焦点F 坐标为 0,1

方程为

y-y0=2ax0(x-x0).

令x =0,得

y =y0-2ax²⁰=-y⁰, 则

FT =y⁰+ 14a, 所以有PF =FT.从而

∠FTP = ∠FPT.

又因为

∠FPT = ∠MPN , 所以

∠FTP = ∠MPN ,

故MP 平行于y 轴.这就证明了抛物线的光学性质.

问题与建模

解 记两车间距为av+bv²,其中a=0.18,b=0.006,则一辆车占 去的道路长为5+av+bv²(m),1h内通过汽车的数量为

Q = 1000v 5+av+bv². 由

Q' = 1000(5-bv²) (5+av+bv²)²=0

解得v= 5b.当0<v< 5b时,Q'>0;当v> 5b时,Q'<0.因 此,当v= 5b 时,Q 取得极大值,也是最大值.

因此,当v= 5

0.006 ≈29km/h时,每小时通过的车辆数最多, 约为1900辆.

习题 1. 4

感受 ·理解

-3,试解释其实际意义.

2.经过点M(1,1)作直线l分别交x 轴正半轴、y轴正半轴于A,B 两点,设直 线l的斜率为k,△OAB 的面积为S.

(1)求S 关于k 的函数关系式S =f(k);

(2)求S 的最小值以及相应的直线l的方程.

3.已知某养猪场的固定成本是20000元,每年最大规模的养殖量为600头,且 每养1头猪,成本增加100元,养x 头猪的收益函数为R(x)=400x-12x², 记C(x),P(x)分别为养x 头猪的成本函数和利润函数.

(1)分别求C(x),P(x)的表达式;

(2)当x 取何值时,P(x)最大?

4.甲、乙两地相距skm,汽车从甲地以速度v(单位:km/h)匀速行驶到乙地.已 知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为a 元,可 变成本与速度v 的平方成正比,比例系数为k.为使全程运输成本最小,汽车 应以多大速度行驶?

思考·运用

(第5题)

(第6题)

6.如图,质点P 在半径为10cm 的圆上逆时针作匀速圆周运动,角速度为2rad/s.

设A(10,0)为起始点,求时刻t时,点P 在y轴上的射影点 M 的速度.

探究 ·拓展

(第7题)

7.如图,酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm³/s的 流量倒入杯中,当水深为4cm 时,求水升高的瞬时变化率.(精确到0.01) 8.如图,船以定速直行,航线距灯塔L 的最近距离为500m.已知灯塔对小船现

在的位置B 及小船航线与灯塔的最近点P 的张角 ∠BLP =83°,且该角正 以0.8°/min的比率减小,求小船的速度.

(第8题)

1. 5 ^定积分

微积分在几何上有两个基本问题,第一个是如何确定曲线上一 点处切线的斜率,第二个是如何求曲线下方“曲边梯形”的面积.

通常曲边梯形是 指 由x =a,x =b, y=0及y=f(x)所围

成的图形,而图1 5 2(1)中的曲边三角形

是曲边梯形的特例.

如果曲线是 直 线,那 么 上 述 两 个 问 题 都 很 简 单,如 图 1 5 1 (1),直线的斜率以及阴影部分(梯形)的面积均可方便地计算出来.

图1 5 1

如果曲线是几条线段连成的折线,如图1 5 1(2),那么可分段 计算线段的斜率,而阴影部分的面积也可转化为每一线段下方的阴 影部分面积之和.

如果曲线既不是直线也不是折线,如图1 5 1(3),这时,第一 个问题已经 解 决,就 是 求 导 数.而第二个问题将是本节要探讨的内 容.为讨论方便,我们先假设f(x)为非负函数.

1. 5. 1 曲边梯形的面积

● 如图1 5 2(1),直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x²围 成的曲边梯形的面积S 是多少?

为了计算曲边梯形的面积S,我们将它分割成许多小曲边梯形, 如图1 5 2(2).

对于其中的任意一个小曲边梯形,我们可以用“直边”来代替“曲 边”(即在很小的范围内以直代曲).图1 5 2(3)是3种常用的“以 直代曲”的方案.

图1 5 2

这样,我们就可以计算出任意一个小曲边梯形面积的近似值,从 而也就可以计算 出 整 个 曲 边 三 角 形 面 积 的 近 似 值(求和),并且分割 越细,面积的近似值就越精确.当分割无限变细时,这个近似值就无 限逼近所求曲边三角形的面积S.

下面是“以直代曲”的第1种方案的具体操作过程.

(1)分割

把区间[0,1]等分成n个小区间:

0,1n

􀭠

􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁 , 1n,2n^􀭠􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁 ,…,i-1n ,in^􀭠􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁 ,…, n-1n ,nn^􀭠􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁 ,

每个小区间的长度为

Δx = in -i-1 n =1

n.

过各区间端点作x 轴的垂线,从而得到n 个小曲边梯形.它们的 面积分别记作

ΔS¹,ΔS²,…,ΔSⁱ,…,ΔSⁿ. (2)以直代曲

对区间 i-1 n ,in

􀭠

􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁 上的小曲边梯形,以区间左端点i-1n 对应的函

数值f i-1

形面积近似代替小曲边梯形的面积,即

ΔSⁱ≈fi-1

(3)作和

因为每个小矩形 的 面 积 是 相 应 的 小 曲 边 梯 形 面 积 的 近 似 值,所 以n 个小矩形面积之和就是所求曲边梯形面积S 的近似值,即

S = ΔS¹+ΔS²+ … +ΔSⁿ

=

∑

≈

∑

=

∑

= 1n³[0²+1²+2²+ … + (n-1)²].

(4)逼近

当分割无限变细,即 Δx→0(亦即n→+∞)时,

n1³[0²+1²+2²+ … + (n-1)²]→S.

而当n→∞时,

n1³[0²+1²+2²+ … + (n-1)²]→13.

由此可知,S = 13,即所求曲边三角形的面积是1 3.

以上计算曲边梯形面积的过程可以用流程图表示(图1 5 3):

分割 → 以直代曲 → 作和 → 逼近

图1 5 3

阅 读

方法1(近似数值方法)

使用Excel制作图1 5 4.

图1 5 4

由图1 5 4可见,当n→+∞时,

n1³[0²+1²+2²+ … + (n-1)²]→ 13.

方法2(利用求和公式)

根据1²+2²+ … +n²= 16n(n+1)(2n+1)有 1n³[0²+1²+2²+ … + (n-1)²]