撕郵票問題

撕郵票問題

陳美如

一. 前言

有一次筆者到郵局寄信, 因為要寄的 信很多, 服務小姐給了我一大張未撕開的郵 票, 正當我很有耐心將郵票一張一張撕開的 時候, 腦中突然浮現一個這樣的問題: 怎樣 撕才最省時呢? 不過, 仔細一想便覺得這 個問題“不成問題”, 因為要把一大張未撕開 的郵票一張一張分開, 就是要把各郵票之間 的“連結線”撕開, 而“連結線”的總和是固定 的, 並不隨撕開的方式而有所改變, 因此並不 存在特別省時的方法。 這時心裡覺得有一點 無奈,“但是說不定有某一種撕開的方式所需 撕裂次數是最少的呢?” 一個新的想法又浮 現腦海, 正是“山窮水盡疑無路, 柳暗花明又 一村”, 這一問竟為我開啟了一趟“撕郵票之 旅”。

二. 關於一頁 m × n 的郵票

通常撕開相連的郵票時, 會一次把整頁 郵票沿某直線撕成兩小頁, 我們將稱這樣的 撕裂動作為“一次”, 現在讓我們來試著將一

頁4 × 6 郵票撕開成一張張單張郵票的幾種 撕法。

第一種撕法:

圖1

然後再把每一排撕 5 次成為一張張單張的郵 票, 因此共需要撕 3 + 5 × 4 = 23 次。

第二種撕法:

圖2

再把每一小頁 2 × 3 的郵票撕一次成兩 張 1×3 的郵票, 最後再逐一撕兩次成單張郵 票, 因此共需要撕 3 + (2 × 2 + 1) × 4 = 23 次。

當然, 由這個例子的兩種撕法都需要 23 次來看, 聰明的讀者一定已經猜到以下意外 的結果: 任何一頁m × n 的郵票被完全撕開

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所需撕裂的次數與撕開的方式無關且其次數 恰為 mn −1 次。 有興趣讀者不妨試著證明 看看!

三. 關於一頁不規則形狀的郵 票

如果給我們的是一頁如圖 3 的郵票, 不 同的撕法是否仍有相同的撕裂次數呢? 以下 是兩種撕開的方法, 其所需撕裂的次數都是 9 次

圖3

第一種撕法:

再分別撕開, 共需 4 + 2 + 2 + 1 = 9 次。

第二種撕法:

請注意撕完第二次後的圖形 (按照我們 所謂撕一次的定義: 將一整頁郵票沿某直線 撕裂成兩小頁為止), 最後再將每小頁一一撕 成單張郵票共需 4 + 2 + 3 = 9 次。 相信各 位讀者也已經猜到以下的結果: 一般而言, 一 頁 n張的郵票所需撕裂次數是 n −1 次, 與 撕開的方式無關。

四. 看似平常最奇絕—一頁內 部有洞的郵票

在前面所觀察到的結果, 只能適用於一 頁完整沒有洞的郵票, 對於如 (圖 4)、(圖 5)、(圖 6) 的郵票就不適用了。

圖4 圖5 圖6



在討論如何撕開 (圖4)、(圖5)、(圖6) 的 郵票之前, 我們必須先對所謂的洞給出明確 的定義。

定義一: 將一頁未撕開郵票的邊緣描繪 在白紙上, 如果所描出來的圖形形成 m + 1 個彼此不相連的封閉折線, 那麼我們說此頁 郵票包含 m 個洞。

依此定義, 先前第二、 三節討論的都是 包含 0 個洞的郵票, 而 (圖 4) 的郵票, 則可由 圖 (4-1) 看出是包含 1 個洞, 至於 (圖 5) 和 (圖6) 的郵票, 則分別可由 (圖5-1) 和 (圖6- 1) 看出是分別包含 1 個洞及 2 個洞的郵票。

圖4-1 圖5-1 圖6-1 同樣的, 我們也要為所謂“撕一次”下一 個明確的定義。

定義二: 設 A 和 B 為定義一中封閉 折線上的兩點 (可能在同一折線上, 也可能分 別在不同的折線上), 且 A 到 B 的直線段都 是郵票之間的連結線而且不再經過任何折線, 則從 A 撕到 B 的動作稱為“撕一次”。

現在讓我們來撕開 (圖 4) 的郵票, 當然 這與定義二符合。

由圖形中我們可以觀察到原本一頁有洞

的 8 張郵票, 經過隨意的撕一次之後, 變成了 一頁沒有洞的 8張郵票, 在此我們可以想像成 撕一次是將郵票與洞撕開了, 如下圖所示:

接著就是撕開一頁沒有洞的 8 張郵票, 其撕開的次數為 7 次, 且與撕開的方法 (或過 程) 無關; 因此, 將 (圖 4) 郵票撕開的次數總 共為 8 次。 同樣的, 讀者可以試試撕開 (圖 5) 郵票, 其撕開的次數為 17 次, 恰與郵票的張 數相同。 為了更充分說明定義二, 我們以 (圖 6) 的郵票為例子來說明也可以從郵票內部撕 郵票。

接著就是撕開一頁沒有洞的 17 張郵票, 因此撕開 (圖 6) 的郵票需要 2 + (17 − 1) = 18 次。

現在讓我們撕一頁較為複雜的郵票, 如 (圖 7) 有 42 張郵票,4 個洞。

圖7

撕第 1 次後,

撕第 2 次後,

撕第 3 次後,

撕第 4 次後,

最後再把沒有洞的部分撕開成一張張單 張的郵票, 則我們總共需要撕 4+(42−1) = 45 次。

由前面幾個例子, 我們不難猜到下面的

結果:

定理: 假設有一頁具有 m 個洞的 n 張 郵票, 則完全撕開所需的撕裂次數與撕開的 方法 (或過程) 無關, 皆為 n + m − 1 次。

證明: 現有一頁具有 m 個洞的 n 張 郵票, 記為 n^m; 若 m = 0, 則只記為 n。

撕第一次時, 若起點和終點分別在兩個相異 的折線上, 則撕一次以後, 這一頁郵票就變成 了一頁具有 m − 1 個洞的 n 張郵票, 記為 nm−1, 連同撕的動作可記為 n^m = n_m−1⊕0 , 其中“⊕”表示撕一次, 而“0”表示減少一個 洞; 若撕的起點和終點在同一封閉折線上, 則 撕一次以後, 這一頁郵票就分離成兩個小頁 郵票, 但總洞數沒有改變, 假設分別為具有 m¹ 個洞的 n¹ 張郵票與具有 m − m¹ 個 洞的 n − n¹ 張郵票, 分別記為 n¹m1 與 (n − n¹)_m−m1 , 連同撕的動作記為 n^m = n¹

m1 ⊕(n − n¹)_m−m1。 由於郵票的張數及洞 數是有限的, 所以我們的撕開次數也是有限 的。 因為郵票必須完全的被撕開成一張張單 張的郵票, 所以依此方式來記錄撕開郵票的 過程, 不難得到:

n_m= n_m−1 ⊕0 = · · · = 1 ⊕ · · · ⊕ 1 ⊕ 0

⊕ · · · ⊕0 ⊕ 1 ⊕ · · · ⊕ 0 ⊕ · · · ⊕ 0 或 = n¹m1 ⊕(n − n¹)m=m¹ = · · · = 1

⊕ · · · ⊕1 ⊕ 0 ⊕ · · · ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ · · ·

⊕0 ⊕ · · · ⊕ 0

或 = n¹m1 ⊕(n − n¹)_m−m¹ = · · · = 1

⊕ · · · ⊕1 ⊕ 0 ⊕ · · · ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ · · ·

⊕0 ⊕ · · · ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ · · · ⊕ 1 (∗)

因為不管怎麼撕 n 張郵票, 撕開後必須有 n 張單張郵票, 也就是在(∗)中“1”的個數必須 為 n ; 另外, 在撕開的過程中, 每少一個洞 我們的紀錄中就多一個“0”, 所以在(∗)中必 有 m 個“0”; 最後, 我們可以得到, 在(∗)中 共有 n 個“1”與 m 個“0”, 而且“⊕”共有 n+ m − 1 個, 也就是說, n^m 的撕開次數 為 n + m − 1 次。 值得一提的是: n^m 被分 拆成 n 個 1與 m 個0相加的型式的過程並不 影響最後 “⊕” 的個數, 因此, 我們得到的撕 開次數與撕開的方法 (或過程) 無關。

五. 可以更自由的撕郵票嗎?

前面談的撕郵票方式都只限於“直線撕

開”, 如果允許“折線撕開”又如何呢? 也就 是先前的定義二放寬成“從 A 到 B 的撕開 線可以是彎曲折線, 但都是郵票間的連結線 而不經過封閉折線”, 那麼是否還有規則可循 呢? 很幸運的, 答案仍然是“一頁 m 個洞的 n 張郵票完全被撕開所需的撕裂次數與撕開 的方法 (或過程) 無關, 皆為 n+m−1 次。”有 興趣的讀者或可證明看看哦!

後記: 這個問題是在蕭守仁老師的課堂 上聽到的, 經過一番苦思並與蕭老師幾次的 討論, 才慢慢形成這篇文章, 在這裡特別要感 謝蕭老師耐心的指導。

—本文作者畢業於彰化師大數學系—