一個困擾牛頓的積分問題張海潮

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一個困擾牛頓的積分問題

張海潮

2006年₉月_, 項武義先生在臺大數學系演講「三體問題」。演講開始時_, 項先生先提到密度均勻的球體對球體外一點 _P 的 ₍萬有₎ 引力可以看成是質量全部集中在球心後_, 球心對 _P 點的引力。眾所周知_, 這是一個有相當難度的積分問題_, 並且是一個當年困擾牛頓的問題。許多文獻都談到這是牛頓遲遲不願發表萬有引力原理的原因之一。舉例言之_{, 1962} 年出版_, 由D. Halliday 和 _{R. Resnick} 合著的物理教科書在₃₁₉頁有這樣一段評論_:

His results were not published until 1687, however, when his Principia Mathe- matica(註一)appeared. The reason is thought to be that he was not satistied at first that he could prove his basic assumption about the earth’s acting as a mass particle for objects outside it. Before he could solve this problem exactly, Newton had to invent calculus.

這一段話除了說明牛頓延遲出版 _Principia 的原因_, 更明言牛頓必須發明微積分才能精準解決這個微量求和的積分問題。

Halliday和 _Resnick 緊接著在同書₃₃₁頁處理這個積分問題_, 處理的方式與曹亮吉教授在所著的微積分教科書 ₍台北歐亞出版社₁₉₉₀₎中呈現的一樣_, 有興趣的讀者請參考 ₍註二₎。

1. 項武義提出的證明

項先生在演講當天對牛頓的結論給了一個有別於曹先生書中的證明。但是由於項先生的目的只是先行證明為什麼在討論二體、三體或多體問題時可以把星球看成一點_, 所以證明有些簡略。項先生所言大抵如下_:

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圖一

如圖_, 不妨假設只積一個半徑為₁的球面₍或球殼_),剖面是一個圓_{OP = p,} 另取_p^′ 點_,使 OP^′ = ¹_p,不難看出 _{△OP Q}和_△OQP^′ 相似_, 因此 _∠OQP^′ = ∠OP Q = α。

現考慮在 _Q 點的面積元素 _{dA, dA} 對 _P 的引力是 ₍差一個常數_{) dA/r}²_, 又因球對稱_, 只需考慮沿 _OP 的向心方向_,所以是 _{dA cos α/r}²。

由於 _∠OQP^′ _{= α,} 由 ₍微觀的₎ 投影關係 _{dA cos α} 可以看成是以 _P^′ 為心_, 沿 _P^′_Q 方向的面積元素_, 因此有

dA cos α = dσ · P^′Q²

式中 _dσ 代表半徑為₁的球面面積元素。又由相似三角形的比例關係而有 P^′Q/r = 1

OP 或

P^′Q²/r²= 1 p² 因此

dA cos α/r² = dσ · P^′Q²/r²= dσ/p² 所以

Z

dA cos α/r²= Z

dσ/p² = 1 p²

Z

dσ = 1 p² · 4π 定理證畢。

項先生的證明雖然簡略_,但是因為從幾何入手_,直觀上比較自然_,唯一需要多所著墨的是從微觀投影關係得出的等式

dA cos α = dσ · P^′Q²

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2. 嚴格的證明

如圖 ₍單位球面₎

圖二

要計算的積分是 _{(ϕ, θ} 是球面坐標 0 ≤ ϕ ≤ π, θ 省略, 0 ≤ θ ≤ 2π, OP = p, OP^′ = ¹_p, P Q = r, OQ = 1)

Z 2π θ=0

Z π ϕ=0

cos α

r² sin ϕ dϕ dθ = 2π Z π

ϕ=0

cos α

r² sin ϕ dϕ 因為

r

P^′Q = OP 1 = p 積分式變成

2π p²

Z π ϕ=0

cos α

P^′Q² sin ϕ dϕ

在被積分的式子裡_, 不難看出 _{sin ϕ = P}^′_{Q sin ω,} 因此如果能夠證明 cos α dϕ = P^′Qdω

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再將此代入積分_, 就可以得到 2π

p² Z π

ϕ=0

P^′Q²sin ω dω P^′Q² = 2π

p² Z π

ϕ=0

sin ω dω = 4π p²

此處注意到 cos α dϕ = P^′Qdω 其實是說明以 _P^′_Q 為半徑對應的弧長 _P^′_Qdω 和_dϕ 之間的微觀投影關係_,易見此一等式和上一節中的微觀面積投影關係dA cos α = dσP^′Q² 等價。₍註三₎

上述一維的微觀投影關係 cos α dϕ = P^′Qdω 如果要嚴格的證明_,必須利用極限求出 dω/dϕ = ^cos_P_′_Q^α。

現在_, 在圖二中_, 作_∆ϕ 和 _∆ω 的對應圖

圖三

並由 _Q 向_P^′_Q^′ 作垂線段_, 垂足為 _A, 則 P^′Q∆ω

∆ϕ = P^′Q∆ω QA

QA QQ^′

QQ^′

∆ϕ 當 _Q^′ _{→ Q}時_,

(1) 注意到 _OQ^′ 是半徑_{, Q}^′ _{→ Q} 時_{, α}^′ _{+ ∠QQ}^′_{A →} ^π₂_{, α}^′ _{→ α,} 所以 _QA/QQ^′ ₌ sin ∠QQ^′A → cos α。

(2) QQ^′/∆ϕ → 1, 因為 _OQ^′ _{= OQ =}半徑 _{= 1}。 (3) P^′Q∆ω

QA = P^′Q∆ω

P^′Q sin ∆ω → 1。 (1) (2) (3) 相乘得到

P^′Q∆ω

∆ϕ → cos α, 亦即 _P^′Qdω = cos α dϕ.

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3. 《原理》的幾何證明

前文提到_Halliday 和_Resnick對牛頓積分問題的評論_,評論指出只有利用微積分_,才能嚴格證明「密度均勻的球體對球體外一點的 ₍萬有₎ 引力可以看成是質量全部集中在球心」。

回到₁₆₈₇年出版的《自然哲學之數學原理》_, 在第十二章的命題_71, 牛頓談到_:

《在相同的條件下_, 球面外的小球受到指向球面中心的吸引力反比於小球到該中心距離的平方》₍中譯本₁₈₂頁₎。

本命題只論球面_, 因為球面的情形比球體的情形更為基本_; 奇妙的是_, 牛頓在證明本命題的時候_, 大部分的想法均源自幾何_, 只有在討論某些微量之間的比例時_, 才隱約用到求極限的方法_;想來牛頓之所以避免使用微積分可能是因為在《原理》出版的時代_,微積分並非顯學。

身為微積分發明人之一的牛頓_,為了提高《原理》一書的可讀性_, 採取了當時科學家共通的語言_—歐氏幾何。

本文在此不擬複製《原理》命題₇₁的證明_, 但是願意以微積分的語言重現牛頓的幾何想法_, 請看圖四 ₍圖中, P Q = r, OQ = 1, OR⊥QS, OR = l, OP = p, ∠QOR = β)。

圖四積分的式子如前_:

Z cos α sin ϕ dϕ r²

牛頓的想法是將_{α, ϕ, r}以_l 表達_,並找出相關的微量關係_,因此必須先將_l 變化到_{l + ∆l,} 如圖五。₍圖中 _OR^′_⊥Q^′_S^′_{, OR}^′ = l + ∆l, OR^′ 和 _QS 交於 _{F )}

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圖五

作 _QT^′ 垂直 _{P Q}^′_, 垂足為 _T^′。以下的論證多從比例入手_; 論證中涉及取極限 _Q^′ _{→ Q} 之後方能成立的等式皆以近似等號 _≈ 表示_; 論證分為五個步驟。

(一_{) ∠QQ}^′_T^′ 在近似之下是一個弦切角_, 因此 _∠QQ^′_T^′ _{= π − ∠QQ}^′_{O − ∠OQ}^′_R^′ _≈ π − ^π2 − ∠OQF = ^π2 − (α + ϕ) = β(圖四₎

所以有_QT^′ _{= QQ}^′_{sin ∠QQ}^′_T^′ _{≈ QQ}^′sin β ≈ ∆ϕ sin β(圖五_),或_{∆ϕ ≈ QT}^′_{/ sin β}。 (二_{) QT}^′_{/F R}^′ = P Q/P F , 但是因為 _{F R}^′ ≈ ∆l, P F ≈ P R

所以有 _QT^′ _{= F R}^′(P Q/P F ) ≈ ^{P Q}_{P R}∆l = _{p cos α}^r ∆l(圖五₎。 (三) sin ϕ = r sin α = rl/p(圖四₎。

(四_{) sin β =}^√_{1 − l}²₍圖四₎。

(五₎ 將₍一_{), (}二_{), (}三_{), (}四₎ 的結果代入積分式_, 得到 cos α sin ϕ dϕ

r² ≈ cos α ∆ϕ r²

rl

p (根據₍三_{) )}

≈ l cos α rp

QT^′

sin β (根據₍一₎₎

≈ l cos α rp

r p cos α

∆l

sin β (根據₍二_{)) =} ¹ p²

l∆l sin β = 1

p²

√l∆l

1 − l² (根據₍四₎₎。從 ₍一₎ 至 ₍五₎ 的討論可知 ^R ^cos^{α sin ϕ dϕ}_r₂ ₌ _p¹₂ ^R √^{l dl}

1−l² 易見 ^R √^{l dl}

1−l² 是一個定值_, 所以積分與 _p² 成反比₍註四₎。

最後補充一點_, 上式的右邊^R √^{l dl}

1−l² 應該解釋為 ^R₀¹ √^{l dl}

1−l² 的兩倍_,這是因為 _ϕ 對到_l

是二對一的緣故_; 計算 _p²₂ ^R₀¹ √^{l dl}

1−l², 得值 _p²₂_, 所以 _2π^R ^cos^{α sin ϕ dϕ}_r₂ ₌ ⁴_p^π₂_, 表示球面的引力確可以看成「質量全部集中在球心」。₍註五₎

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註一_. 牛頓在₁₆₈₇年出版《自然哲學之數學原理》(The Mathematical Principles of Nat- ural Philosophy 或_Principia)。出版時的標題為 Philosophiae naturalis principia mathematica.

中譯本於₂₀₀₅年₂月由台北大塊文化出版_,譯者是王克迪先生。有關本文談到的問題請見中譯本第十二章《球體的吸引力》。

註二_. 曹亮吉在所著微積分 15.24 ∼ 15.25 呈現的計算如下 ₍圖中 _{ρ, ϕ, θ} 是球坐標 _{0 ≤} ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π, OP = p, P Q = r, OQ = ρ):

半徑為_R, 密度為_1,總質量為_M 的球體對球外一點_{P (}質量_m)的萬有引力是₍差上一個萬有引力常數₎

Z R 0

Z π 0

Z ²π 0

cos αm

r²ρ²sin ϕ dθ dϕ dρ = 2πm Z R

0

Z π 0

cos α

r² ρ²sin ϕ dϕ dρ 由於 _{α, r} 和_{ϕ, ρ} 有關_,無法直接積分。利用餘弦定律_, 並且暫時把_ρ 看成常數 ₍也就是說先對一層球殼積分₎

cos α = p²+ r²− ρ²

2pr , 及 2pρ cos ϕ = p²+ ρ² − r² 由後一式得

2pρ sin ϕ dϕ = 2rdr 或 _{sin ϕ dϕ =} ^r pρdr 代入原積分式得

2πm Z R

0

ρ² dρ Z p+ρ

p−ρ

p²+ r²− ρ² 2pr

1 r²

r pρ dr

=πm p²

Z R 0

ρ dρ Z p+ρ

p−ρ

p²+ r²− ρ² r² dr

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=πm p²

Z R 0

ρ dρ

r − p²− ρ² r

r=p+ρ r=p−ρ

=πm p²

Z R 0

4ρ²dρ

=πm p² · 4

3R³ = Mm p² 註三_. 如果 cos α dϕ = P^′Qdω,則

cos α dA = cos α sin ϕ dϕ dθ

= P^′Q sin ϕ dω dθ

= P^′Q P^′Q sin ω dω dθ

= P^′Q²sin ω dω dθ 式中 sin ω dω dθ 就是第二節中的 _dσ。

註四_. 《原理》證明的關鍵在於由 ₍一₎、₍二₎ 兩個步驟得出的結論

∆ϕ sin β ≈ r p cos α∆l

此式相當於微分關係式 _{dϕ sin β =} _{p cos α}^r _dl,以下是嚴格的證明 ₍圖四₎

由l = cos β = p sin α,得dl = − sin β dβ = p cos α dα,但因 (α + ϕ) + β = ^π₂,所以sin β(dϕ + dα) = − sin β dβ = p cos α dα 或sin β dϕ = (p cos α − sin β)dα = r dα, 又因為 ^r

p cos αdl = _{p cos α}^r p cos α dα = r dα,可得 _{sin β dϕ =} ^r

p cos αdl,微分關係式得證

歡迎讀者比較_“幾何的_”證明 ₍如₍一₎ 、₍二₎₎ 和_“微分的_”證明 ₍如本註四₎。註五_. 積分的目的是要求總量 _I,方法是以微量 _dI 求和而寫下積分式

Z dI

若要計算上式_, 必須選擇適當的參數 _t, 再將積分式表為 Z dI

dtdt

亦即從 ^dI_dt 得回 _I, 此一過程稱為微積分基本定理。本文的註二選擇 _r 為積分參數_, 但在本文第三節中重現《原理》的計算過程則是選擇 _l 為積分參數_,兩者各擅勝場。

—本文作者為台大數學系退休教授_—

一個困擾牛頓的積分問題 張海潮