談共識
楊照崑
一 . 前言
在一個人多口雜意見紛云的場合, 大家 都會覺得只有投票才可以達成共識。 「服從多 數」總算是一個合理的協調之道, 否則變成了
「服從少數」 更講不過去了。 可能您沒有想到 用投票來達成共識並不是一條平坦之路, 本 文的目的就在於探討用投票來達成共識的問 題, 我們先談一件 「選舉怪事」。
二 . 選舉怪事與亞諾定理
設某班有 21 個同學 (若加四個零就 可以成為某區有二十一萬選民) 計劃春假 自強活動, 有三個地方可去,“綠島”,“澎湖”, 或“阿里山”。 我們決定以投票來決定多數人 的意向, 一般投票的方式有好幾種, 現舉出最 常見的三種方式。
方案一: 各人寫出自己最喜歡去的地方, 最多票者當選。
方案二: 在第一方案中, 若沒有一個地 方超過半數, 則對二個最高票再投一次, 高票 者當選。(這是一個歐美常用的選舉方法, 可以 防止大多數人所贊成的政策被多個候選人分
散了票數。 以該班為例, 也許多數人樂水而少 數人樂山, 但因有二水一山, 因此山可能反而 得到較多的票, 但多數人可能寧可取水的第 二志願而不想爬山(註一))。
方案三: 因為第一, 第二志願的不同, 採 計方法。 每人依次寫出三個志願的次序, 第一 志願 3 分, 第二志願 2 分, 第三志願 1 分, 積 分和最高者當選。
現 假 定該 班 各 人 的 志 願 如 表 1 所 示。(A,B, C 依次代表綠島, 澎湖與阿里山)
表1 郊遊意願次序表
喜 好 人數
(x > y 表示對去 x 高於去 y) A > B > C 5 B > A > C 4 B > C > A 2 C > A > B 10 從表 1 很容易計算出若用方案一, C得 最高票, 若用方案二, 則由 C 與 B 再爭 一次, B 在第二次時得勝, 若用方案三計分, 則可算出 A, B, C 之積分分別為 45, 38, 43。A 當選。 沒有想到三種投票方案可得三種 不同之結果, 誰說自己是多數都是有理由的。
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由此看來, 用投票決定多數, 實與投票 方式有關, 那麼我們得先決定投票方式, 其 實誰有權決定投票方式, 誰就掌握了何者可 以當選。 因此我們不能讓班長一人來決定投 票方式, 要大家達成共識。 如何達成共識, 又 得投票不可, 可是投票方案有三種, 與郊遊地 點情形相同, 又無法達成共識, 民主之難甚矣 哉! 有人會說, 也許上述三種投票方案都不 完善, 可能有一種更完善的方法可以選出一 個叫人口服心服的得勝者。 這是一個難題, 因 為投票方式可以千奇百怪, 就像證明可不可 以三等分一角一樣, 不容易下定論。 我們如果 用 (1,12,13), 或 (1, 1, 0) 來代替 (3, 2, 1) 的 計分法, 會不會更合理? (註二) 但什麼算合 理呢? 我們想為一個合理的計票方案應滿足 下列四個基本原則。
原則一: 各票平等, 與投票人無關。
原則二: 候選人平等, 即在某情形下算 A 當選, 那麼若 B 在同樣的情形下, 應算 B 當選 。
原則三: 若在某種情形下, 我們認為 A > B, 則若有人改變主意, 但都是對 A 有 利或不變, 則仍是 A > B。 (例如有人改原票 C > A > B 成 A > C > B (對 A 有利), 或 A > B > C > D 成 A > B > D > C (對 A 不變), 則不會影響 A > B 之共識。)
原則四: 若在某種情形, 我們認為 A >
B, 若有人改變主意但都沒有影響他對 A 與 B 之秩序, 則仍應是 A > B。 (例如有人 改 A > B > C 成 A > C > B, 或改
B > C > A 成 B > A > C, 其中 A, 與 B 之秩序未改。)
亞諾 (Arrow) 在 1950 年證明若有二 個以上的候選人及一個以上的投票人, 則沒 有任何一種計票方案可以在任何情形滿足上 列四原則。 因這四個原則都很淺顯合理, 亞諾 定理自然是一個偉大的發現, 一般稱此定理 為亞諾不可能協調定理 (Arrow’s Impossi- bility Theorem(註三))。 本定理的證明主要 是找到矛盾的例子。 雖然加減乘除都不用, 推 理仍相當的繁, 有興趣的讀者可在參考資料 中找到。 但直觀的了解並不困難, 表 1 就可 以發現問題的關鍵所在。
在表 1, 如果有人說 A 該當選, 但您會 發 現主張 C > A 的有 12 人, 而 A > C 只有 9 人。 無論如何不能讓 A 壓倒 C。 但若 要 C 當選, 則主張 B > C 的有 11 人多 數, 不好意思說 C 比 B 更受歡迎, 但 B 亦 不能當選, 因認為 A > B 的竟有 15 人之 多。 想不到按多數原則, A > B 與 B > C 並不等於 A > C。 轉換律在服從多數上不能 成立。 因此下次您看到一群腦筋清楚, 談吐理 智的飽學之士為一件小事不能達成協議, 甚 至大打出手, 則不必驚奇。 也許在那種情形下 , 根本沒有達成協議的可能。 若他們連投票方 式也達不成協議, 亦不足為奇。 因為理智推不 翻數學的結果, 動口也好動手也好都不能使 對方心愉誠服。
數學既推不出一個合理的的投票法, 而 又不能不決定一種投票法, 怎麼辦呢? 理智 的盡頭只好碰運氣了。 就讓抽纖或骰子來決 定投票方式吧, 若一個候選人有絕對的優勢,
無論用那種“合理”的投票法, 他都會當選的。
否則就讓命運之神來決勝負。 至少這樣真的 可以做到勝不驕 (我贏得僥倖), 而敗不餒 (天 亡我也, 非戰之罪)。
不過若只有二個候選人, 則亞諾定理並 不適用 (原則三, 四均無用武之地), 我們就 來談談二個候選人的趣事。
三 . 神聖一票的價值
若只有 A, B 二個候選人, 則取多數 票不會引起爭議。 現在問題是值不值去投此 一票。 因為多我一票實在是杯水車薪, 濟得甚 事? 假定 A 可得 5000 票而 B 可得 5002 票, 相差雖如此之近, 而我的一票卻形同廢 票, 其實我的一票只有在 A, B 除我這一外 得票相等或差一票時, 才能起作用。 為簡便起 見, 假定有 N 個投票者, 我是其中之一, 且 N − 1 = 2m 為偶數 (註四)。 又假定 A 得 票之機率為 pA, 而 B 為 pB = 1 − pA。 因 此我的一票能發揮作用的或然率是 A, B 除 我之外可以得相同票之時, 此或然率為
p = 2m m
!
pmA(1 − pA)m。
當 m 很大時, 用 Stirling n! ≃ (2πn)12e−nnn 的近似法可得
p ≃ 2e−(N −1)(pA−pB)2/2
q
2π(N − 1)。 (1)
我們很容易看出在 pA− pB 不變時, N 愈 大則 p 愈小, 而在 N 不變時, |pA− pB| 愈 大則 p 愈小, 這是合情合理的結果, 因人愈 多, 我的一票效果愈小, 而二個候選人可能的
票差愈大, 則我一票的影響也愈小。 在一般情 形下, pA與 pB 我們不知道, 但 N 可以有個 底子, 因我們只能說 (在 |pA− pB| = 0 的 情形)
p ≤ √
2/
q
π(N − 1) (2) 設某選區有二十萬人, 則 p ≤ 0.0018, 也就是說平均投五百次票, 最多最多只有一 次能發揮作用 (而且要每次都 pA− pB ≃ 0 真是不太可能) 若二年投一次票, 我的一票 要有用多半要訴之來生了。 若從純經濟觀點 來看, 我之所以去投某人 (設為 A), 因 A 當 選會對我 (直接或間接) 比 B 對我的好處要 大。 設此利益為 C 元。 若去投票, 設我的花 費, 包括來回及排隊的時間, 車費或鞋底之磨 損, 為 e 元, 因我一票的期望值為 pc, 因此 只有在 pc > e 時才值得去投。 若 e = 10 元 (註五), 則 c 中須 ≥ 5, 555 元。 即 A 當選比 B 當選對我有 5,555 元以上的利 益, 才值得去投票。 當然, 若 A 是我的親朋 好友, 可能給我大於 5,555 元的利益 (雖然 似乎不道德), 但對一般人而言, 實難有此利 潤。 尤其是 pA ≈ pB, 兩人能力必定相似難 得有如此大的差別。 但若兩人實力懸殊, 譬如 說 pA ≥ 0.51 (還不太算一面倒), 代入 (1) 得 p ≤ 10−20, 從經濟上打算盤, 只有傻瓜才 去投票了。 不過話說回來, 若大家都是“聰明 人”, 則沒有人去投票, 那我就可以一票定江 山, 絕對值回投票的辛苦。 因此我們投票還得 看別人的動向, 式 (1), (2) 中的 N 其實是 實際去投票的人, 但根據一般的經驗,“聰明的 人”有限, 總有相當多的人去投票, N 不會太 小。 從經濟的觀點而言, 不投為上策 (註六)。既知道了公式 (1), 若又知道 N 很大,
|pA − pB| 怕不會很小, 若再去投票, 實在 像是在做傻事, 對不起數學, 但不去投, 似 乎又心裡不安, 我們如何自處? 從公式 (1) 看來, 由於 p 太小, 從 c 無論如何也難使 pc > e, 我們必須有一個與誰當選都無關 的值, 來使投票合理。 令此值為 d, 則只要 pc + d − e > 0 就值得去投票了, 這個 d 是什麼呢? 那就是去投票本身的價值, 與是 不是我支持的人當選無關。 顯然的, 「以數人 頭來代替打破人頭」 來轉移政權是人類文明 的里程, 支持這個想法的本身就不止十元了。
其實民主的真諦還更甚於 「服從多數」 與 「尊 重少數」。 梁啟超先生在七十年前談民主, 他 認為民主的大前題在於, 「所有團體中的人都 關心這個團體」。 花精力投票, 可以算是關心 的表現。 因此要使 pc + d − e > 0 就不會太 難。 下次若有人再說多投一票有何用, 我們也 知道如何用數學來回答他了;
「我去投票並不是為了誰當選, 而是 關心我們的社會。」
不是很漂亮嗎?
四 . 結尾的話
以往數學用到自然科學上, 像以前的物 理化學及現代的計算機科學都有很顯著的成 果, 可惜一用到社會科學上, 一個主要的定理 就是一個不可能的定理, 人類要學習和平相 處, 如何服從“多數”, 如何尊重少數, 還有一 段漫長的路要走。 不過在亞諾定理中我們也 看出數學的偉大, 在數學說不可能的時候, 沒 人能有辦法強求可能了。
註 釋:
註一: 這種投票方可以防止別人來擾亂陣 營, 譬如說我主張聯考, 有 45% 的贊 成票, 而我的對手主張各校自行招生有 55% 的票, 我是輸定了。 但我若叫兩個 朋友也故意去主張自行招生, 他們自然 沒有我的對手強, 但他們可以混淆對手 的票源。 若這兩個人可以合得 10% 以 上的票, 用第一種方案我就贏了, 用第 二種方案可以防止此弊。
註二: 同時圈選幾個候選人也是常用的一種 投票法, 即用 (1,1,0) 法來同時圈選二 個候選人。 這次二屆國大代表是採取第 一種方法, 但因各選區所要選的人數多 於一人, 也可以主張各人同時圈選可以 代表他的數人, 這樣結果會不一樣, 以 表 1 為例, 若我們要取二個地點, 若以 方案一, 則 B, C 當選, 但若每人圈二 地, 則 A, C 當選。
註三: Arrow’s Impossibility Theorem 的條件比我所寫的還要鬆, 一般所用的 是把 1。 投票者平等換成沒有獨裁者, 即各票不必平等, 但不可以有一個人說 什麼就是什麼 (這樣共識就是他的想法, 太容易了)。 而第二條也不必那麼嚴, 不 必被選者平等, 我可以要求某人只需較 少的票即可, 也就是說張三要 2/3 的 票才可人當選而李四 1/2 即可, 像某種 保障名額, 但必須每個人都有機會當選 (否則他的名字形同廢物)。 所以說 Ar- row’s Impossibility Theorem 的條件 是相當寬裕的。
註四: 若 N 為偶數, 我的一票可以把對方 票贏拉成同數票, 其計算在 N 大時幾 乎與 N 為奇數時沒有差別。
註五: 花費因人不同, 不幸的是愈聰明的人, 時間愈寶貴, 因此他的花費也愈大, 坐 計程車來回, 一百元是小事。
註六: 若從 Adam Smith 的經濟觀點看來, 我能省錢, 不但對我有利, 而且對整個 社會國家也有利, 因為大家都是一個有 效的生產者, 則國富矣。 (Adam Smith 即資本主義的始祖, 著有富國論 (The Wealth of Nations))。
參考資料
1. Arrow Impossibilly Theorem 最早發表 於 Journal of Political Economics, Vol.
58, 328-346, 1950。 一些詳細的討論可以在 下書中找到。
2. Thompson,J.R.EmpiricalModel Build- ing, Wiley and Sons, 1989。 公式 (1) 與 (2) 發表於 Owen, G. and Grofman, B.
“To vote or not to vote: The paradox of nonvoting”, Public Choice, 42, 311-25, 1984。
3. 有關這類的問題可看一本近著 Mueller, D.
C. Public Choice II, Cambridge Univer- sity Press, 1989。
—本文作者任教於美國佛羅里達大學統計系—
