黎曼的級數重排定理的一些省思

黎曼的級數重排定理的一些省思

王九逵 · ^胡門昌 · ^張清煇

交錯調和級數P^∞

1 (−1)^{n−1 1}_n 條件收斂到 log 2。 依黎曼的級數重排定理, 固定任意 u, v,

−∞ ≤ u ≤ v ≤ +∞, 則有 P^∞

1 (−1)^{n−1 1}_n 的重排 C, 其部分和的數列以 u 為下極限, v 為上極限。 黎曼的級數重排定理的證明需要計算部分和, 實際執行有相當程度困難。 參考文獻 1 改用計算項數的方法, 舉出收斂到非原來和的例子。 本文延續該方法, 做出重排 C, 其部分和 的數列以 u 為下極限, v 為上極限。 文中出現的重排任意二正項都維持原來的先後次序, 只是 間隔可能改變。 負項部分也一樣。 假設 T 是這樣的重排, 設 T 的第 k 個正項段的最後一項是

1

2pk−1; 第 k 個負項段的最後一項是 −₂¹_qk, 則 T 由其首項 (1 或 −¹₂) 及兩個嚴格遞增的正整 數序列 p1, p2, p3, . . . 及 q1, q2, q3, . . . 完全決定。 我們用 Sn(T ) 表示 T 的前 n 項和。

假設 T 的首項為 1, 則當 pk+ qk ≤ n ≤ pk+1+ qk+1 時,

min{Spk+qk(T ), Spk+1+qk+1(T )} ≤ Sn(T ) ≤ Sqk+pk+1(T ) 故

lim inf Spk+qk(T ) ≤ lim inf Sn(T ) ≤ lim sup Sn(T ) ≤ lim sup Sqk+pk+1(T ).

如果

lim Spk+qk(T ) = u, lim Sqk+pk+1(T ) = v, 則

lim inf Sn(T ) = u, lim sup Sn(T ) = v.

若是 T 的首項為 −1

2, 則當 pk+ qk≤ n ≤ pk+1+ qk+1 時,

Spk+qk+1(T ) ≤ Sn(T ) ≤ max{Spk+qk(T ), Spk+1+qk+1(T )}

如果

lim Spk+qk(T ) = v, lim Spk+qk+1(T ) = u,

39

則

lim inf Sn(T ) = u, lim sup Sn(T ) = v.

底下分 A: −∞ < u ≤ log 2, v < +∞; B: −∞ < u, log 2 ≤ v < +∞; C: −∞ < u <

v = +∞; D: −∞ = u < v < +∞ 及 E: −∞ = u = v 或 u = v = +∞ 或 −∞ = u, v = +∞ 五種情況說明如何確定首項及一組 p1, p2, p3, . . . 及 q1, q2, q3, . . ., 使對應的重排其 部分和的數列以 u 為下極限, v 為上極限。 對任意 w, u ≤ w ≤ v, 我們也舉出一個收斂到 w 的 {Sn(T )} 的子序列。 即此重排的部分和的極限點集為 [u, v]。 在此先說明 B, D 二情況我們 取首項為 −¹₂, 其餘情況首項取為 1。

A. u = log 2 − 1

2log t, v = u +1

2log d, 1 ≤ t < +∞, 1 ≤ d < +∞ 。

取 p1 = 1, q1 = [t]; p2 = [dp1+ 1], q2 = [tp2]; . . .; pk+1 = [dpk+ 1], qk+1 = [tpk+1]。 顯然 pk+1 ≥ pk+ 1, 於是 qk+1 = [tpk+1] ≥ [tpk+ t] ≥ [tpk] + 1 = qk+ 1。 所以 p1, q1; p2, q2; . . .; pk, qk; . . . 確實定義一個重排 T ([x] 表不超過 x 的最大整數)。

因 qk≥ pk 且 k → ∞ 時 pk → ∞, 於是

k→∞lim Spk+qk(T ) = lim

k→∞

n1 + 1

3 + · · · + 1 2pk− 1

−1 2+ 1

4+ · · · + 1 2qk

o

= lim

k→∞

n1 − 1 2+ 1

3− 1

4 + · · · + 1

2pk− 1 − 1 2pk

o

− lim

k→∞

n 1

2pk+ 2 + · · · + 1 2qk

o

= log 2 −1 2 lim

k→∞

n 1

pk+ 1 + 1

pk+ 2 + · · · + 1 [tpk]

o

= log 2 −1 2 lim

k→∞

1 pk

n 1

1 + 1/pk

+ 1

1 + 2/pk

+ · · · + 1 [tpk]/pk

o

= log 2 −1 2

Z t 1

1

xdx = log 2 − 1

2log t = u 又

Sqk+pk+1(T ) = Spk+qk(T ) +n 1

2pk+ 1+ 1

2pk+ 3+· · ·+ 1 2pk+1− 1

o 於是

k→∞lim Sqk+pk+1(T ) = lim

k→∞Spk+qk(T ) + lim

k→∞

n 1

2pk+ 1 + 1

2pk+ 3 + · · · + 1 2pk+1− 1

o

= u + lim

k→∞

n 1

2pk+ 1 + 1

2pk+ 3 + · · · + 1 2[dpk+ 1] − 1

o

= u + 1 2 lim

k→∞

2 pk

n 1

2 + 1/pk

+ 1

2 + 3/pk

+ · · · + 1

(2[dpk] + 1)/pk

o

= u + 1 2

Z ²d 2

1

xdx = u + 1

2log d = v 對任意 λ, 1 ≤ λ ≤ d, 令 ˜pk+1 = [λpk+ 1], 則

k→∞lim Sqk+ ˜pk+1(T ) = lim

k→∞Spk+qk(T ) + lim

k→∞

n 1

2pk+ 1 + 1

2pk+ 3 + · · · + 1 2˜pk+1− 1

o

= u + 1 2log λ 故此重排的部分和的極限點集為 [u, v]。

B. v = log 2 + 1

2log t, u = v − 1

2log d, 1 ≤ t < +∞, 1 ≤ d < +∞.

取 q1 = 1, p1 = [t]; q2 = [dq1 + 1], p2 = [tq2]; . . .; qk+1 = [dqk+ 1], pk+1 = [tqk+1]。 即 A 中之 pk, qk 互換。設對應之重排為 R, 而 A 中之重排為 T , 則

Spk+qk(T ) + Spk+qk(R) = 1 + 1

3+ · · · + 1 2pk− 1

−1 2 +1

4 + · · · + 1 2qk

 +

1 + 1

3 + · · · + 1 2qk− 1

−1 2+ 1

4+ · · · + 1 2pk

 於是

k→∞lim



Spk+qk(T ) + Spk+qk(R)

= 2 log 2 得

k→∞lim Spk+qk(R) = 2 log 2 − lim

k→∞Spk+qk(T )

= 2 log 2 − (log 2 − 1

2log t) = log 2 + 1

2log t = v 同理

k→∞lim Spk+qk+1(R) = 2 log 2 − lim

k→∞Sqk+pk+1(T )

= 2 log 2 − (log 2 − 1

2log t +1

2log d) = v − 1

2log d = u 對任意 λ, 1 ≤ λ ≤ d, 令 ˜qk+1 = [λqk+ 1], 則 lim

k→∞Spk+˜qk+1(R) = v − ¹₂log λ 。 故此重排 的部分和的極限點集為 [u, v]。

C. v = +∞, u = log 2 − 1

2log s, +∞ > s > 0.

當 sk < 2 時, 取 pk = qk = k。 當 sk ≥ 2 時, 取 pk = k!, qk = [spk]。 先驗證 {pk} 及 {qk} 是嚴格遞增。 當 s(k + 1) < 2 時, 顯然 pk+1 = qk+1 > pk = qk。 當 sk < 2 ≤ s(k + 1) 時, pk+1 = (k + 1)! > k = pk, qk+1 = [s(k + 1)!] ≥ 2k > k = qk。 當 2 ≤ sk 時, pk+1 = (k + 1)! > k! = pk, qk+1 = [s(k + 1)!] > [s · k!] = qk 。

再來計算 lim

k→∞Spk+qk(T )。 當 s ≥ 1 時, qk ≥ pk 。 又 k → ∞ 時 p_k→ ∞。 於是

k→∞lim Spk+qk(T ) = lim

k→∞

n1 + 1

3 + · · · + 1 2pk− 1

−1 2+ 1

4+ · · · + 1 2qk

o

= lim

k→∞

n1 − 1 2+ 1

3− 1

4 + · · · + 1

2pk− 1− 1 2pk

o

− lim

k→∞

n 1

2pk+ 2 + · · · + 1 2qk

o

= log 2 −1 2 lim

k→∞

n 1

pk+ 1 + 1

pk+ 2 + · · · + 1 [spk]

o

= log 2 −1 2 lim

k→∞

1 pk

n 1

1 + 1/pk

+ 1

1 + 2/pk

+ · · · + 1 [spk]/pk

o

= log 2 −1 2

Z s 1

1

xdx = log 2 − 1

2log s = u 當 1 > s > 0 時, qk < pk。 於是

k→∞lim Spk+qk(T ) = lim

k→∞

n1 + 1

3+ · · · + 1 2pk− 1

−1 2 +1

4 + · · · + 1 2qk

o

= lim

k→∞

n1 −1 2 +1

3 − 1

4+ · · · + 1

2pk− 1 − 1 2pk

o

+ lim

k→∞

n 1

2qk+ 2 + · · · + 1 2pk

o

= log 2 + 1 2 lim

k→∞

n 1

[spk] + 1 + 1

[spk] + 2 + · · · + 1 pk

o+ 0

= log 2 + 1 2 lim

k→∞

1 pk

n 1

[spk]/pk+ 1/pk

+ 1

[spk]/pk+ 2/pk

+ · · · + 1 1

o

= log 2 + 1 2

Z 1 s

1

xdx = log 2 − 1

2log s = u 又

Sqk+pk+1(T ) = Spk+qk(T ) +n 1

2pk+ 1 + 1

2pk+ 3 + · · · + 1 2pk+1− 1

o 對任意正整數 N,

lim inf

k→∞ Sqk+pk+1(T ) = lim

k→∞Spk+qk(T )+lim inf

k→∞

n 1

2pk+1+ 1

2pk+3+ · · · + 1 2(k+1)pk−1

o

= u+lim inf

k→∞

n 1

2pk+1+ 1

2pk+3+· · ·+ 1 2(k+1)pk−1

o

≥ u + 1 2 lim

k→∞

2 pk

n 1

2 + 1/pk

+ 1

2 + 3/pk

+ · · · + 1 (2Npk+1)/pk

o

= u + 1 2

Z ²N 2

1

xdx = u + 1 2log N

因 N 可任意大, 得 lim

k→∞Sqk+pk+1(T ) = +∞。

對任意 λ ≥ 1, 令 ˜pk+1 = [λpk], 則 lim

k→∞Sqk+ ˜pk+1(T ) = u + 1

2log λ。 故此重排的部分和的 極限點集為 [u, +∞]。

D. u = −∞, v = log 2 + 1

2log s, +∞ > s > 0.

由 B 之討論及 C 之結果, 知只要將 C 中之 pk, qk 互換即可。

E. −∞ = u = v, 或 u = v = +∞ 或 −∞ = u, v = +∞.

E1. 取 pk= k, qk = k(k + 1)/2 則 Sqk+pk+1(T ) =

1 + 1

3 + · · · + 1 2k + 1



−1 2 +1

4 + · · · + 1 k(k + 1)



= 1 −1

2 +1 3 − 1

4+ · · · + 1 2k + 1



− 1

2k + 2+ 1

2k + 4+ · · · + 1 k(k + 1)

 當 k > 2N + 1 時,

− 1

2k + 2 + 1

2k + 4 + · · · + 1 k(k + 1)

< −1 2

 1

k + 1+ 1

k + 2 + · · · + 1 k + kN

 於是

lim sup

k→∞

Sqk+pk+1(T ) ≤ log 2 −1 2 lim

k→∞

 1

k + 1 + 1

k + 2 + · · · + 1 k + kN



= log 2 − 1

2log(N + 1) 對應之重排 T 滿足 lim

n→∞Sn(T ) = −∞。

E2. 取 pk= k(k + 1)/2, qk= k 則 lim

n→∞Sn(T ) = +∞.

E3. 取 pk = k · [(k − 1)!]², qk = (k!)² 則 p1 = q1 = 1, pk+1 = (k + 1)qk, qk = kpk。 於是 Sqk+pk+1(T ) =

1 + 1

3 + · · · + 1 2pk+1− 1

−1 2+ 1

4+ · · · + 1 2qk



= 1 + 1

3 + · · · + 1 2(k + 1)qk− 1



−1 2 +1

4 + · · · + 1 2qk



= 1 −1

2 +1 3 − 1

4+ · · · + 1

2(k + 1)qk− 1 − 1 2(k + 1)qk



+ 1

2qk+ 2 + · · · + 1 2(k + 1)qk



k→∞lim Sqk+pk+1(T ) = log 2 + 1 2 lim

k→∞

1 qk

 1

1 + 1/qk

+ · · · + 1 1 + kqk/qk

= +∞

對任意 λ ≥ 1, 令 ˜pk+1 = [λqk] 。 當 k > λ 時, qk ≤ ˜pk+1 < pk+1。 於是

k→∞lim Sqk+ ˜pk+1(T ) = lim

k→∞

1 −1 2 +1

3 −1

4 + · · · + 1

2[λqk] − 1 − 1 2[λqk]



+ lim

k→∞

 1

2qk+ 2 + · · · + 1 2[λqk]

= log 2 + 1 2log λ.

而

Spk+qk(T ) = 1 + 1

3 + · · · + 1 2pk− 1

−1 2+ 1

4+ · · · + 1 2qk



= 1 + 1

3 + · · · + 1 2pk− 1

−1 2+ 1

4+ · · · + 1 2kpk



= 1 − 1

2+ 1 3− 1

4+ · · · + 1

2pk− 1− 1 2pk

− 1

2pk+ 2 + · · · + 1 2kpk



k→∞lim Spk+qk(T ) = log 2 − 1 2 lim

k→∞

1 pk

 1

1 + 1/pk

+ · · · + 1 1 + kpk/pk



= −∞

對任意 λ ≥ 1, 令 ˜qk = [λpk], 則 lim

k→∞Spk+˜qk(T ) = log 2 − 1

2log λ。 故此重排的部分和的極 限點集為 [−∞, +∞]。

參考文獻 1 也討論交錯 p 級數 P^∞

1 (−1)ⁿ⁻¹ 1

n^p, 0 < p < 1。 參考該文及以上作法也可 得重排 P^∞

1 (−1)ⁿ⁻¹ 1

n^p 的結果。

參考文獻

1. 王九逵, 胡門昌。 交錯 p 級數的重排。 數學傳播季刊, 39(4), 44-48, 2015。

—本文作者王九逵及胡門昌為中央大學數學系退休教授, 張清煇為中央研究院數學研究所研究

員_—