對黃俊雄教授的一些追思

對黃俊雄教授的一些追思

楊重駿

筆者最早和黃教授結識是 1970 年代前 往數學所訪問的期間。 倆人主要研究領域同 屬複分析; 而黃教授的研究興趣涉及數學多 方面的領域, 如調和分析、 數論、 統計、 機率、

組合等等, 他先後已有上百篇的論文, 不少刊 載於有相當聲譽的國際性數學雜誌如美國數 學會的 Transcations, 及 Procedings, 德 國的 Math. Zeit, 英國的 Bulletin of Lon- don Math. Soc.

其它在台灣、 日本及東南亞的一些主要 數學刊物上也都有他的論文刊載。 黃教授是 台灣複分析界公認的佼佼者, 也因他的成就, 曾獲得台灣教育部學術獎。 另外, 黃教授在中 國大陸的複分析界也享有一定的聲譽。

黃教授的主要研究問題 — 黎曼臆測 及成果

從上面的成果簡介看來, 不難使人同意, 他的去世是台灣數學界的一大損失, 更可惜 的是他英年早逝且壯志未酬就離開了我們。

在台灣以至世界的數學界不少人都知道黃教

授在他最後十年的生涯中, 正致力在克服世 界公認三大難題僅剩的二大難題之一: 黎曼 臆測 (Riemann Hypothesis)^∗。 為了方便一 些讀者的閱讀及興趣, 我們先對該問題的產 生作一簡介。

在研究數論有關質數 (prime num- ber) 的種種分布理論中, 不可避免的是所謂 的 Riemann-Zeta 函數:

ζ(z) =

Y

p=1

1 1 − p^−zn

(1) 其中, pn 是指在按大小漸增排列的無窮質數 列 (2, 3, 5, . . . , ) 中第 n 個質數, z 表一實 數部 (Re z) 大於 1的複變數。 因任何一自然 數 n 可表成若干個質數的冪次乘積, 又若定

Fn(z) =

Y

n=1

(1 − 1 p⁻_n^z)

=

Y

n=1

(1 + p^−zn + p^−2zn + · · ·) (2) 不難看出當 z 為實數且 > 1 時, 可得

X

n=1

n^−z < FN(z) <

X

n=1

n^−z

*

,

1993

G. Wiles

44

因而可推得級數 ζ(z) = 1 + 1

2^z + 1

3^z + · · · + 1

n^z + · · · (3) 在 Rez > 1 時為絕對收斂, 因而為在 Rez >

1 的半複平面上的解析函數。 另一面為眾所 較熟悉的 Gamma-函數 Γ(z) 其積分表示為 對 Rez > 0 時

Γ(z) =

Z

0

e^−uu^z−1du. (4)

註: Gamma函數為滿足方程 Γ(z + 1) = zΓ(z), Rez > 0 的解析函數, 特別當 z 為正整數 n 時, Γ(n+1) = n, (n−1) · · · 2·1 即 n 階乘 (或 n!)。

現若在式 (4) 中以 u = nv 代入則可得 1

n^z = 1 Γ(z)

Z

0

c^−nvv^z−1dv, Rez >0.

(5) 由此可得

X

n=1

1 n^z = 1

Γ(z)

Z

0

v^z−1 e^v −1dv

− 1 Γ(z)

Z

0

v^z−1e^{−N v}

e^v−1 dv (6) 上式中, 兩個積分式子在 Rez > 1 時皆存 在, 且不難驗證式 (6) 中第二個積分, 在 N 趨向 ∞ 時趨向於 0, 於是我們可得 ζ(z) 的 一個積分表示式如下:

ζ(z) = 1 Γ(z)

Z

0

u^z−1

e^u−1du, Rez > 1.

(7)

由此式可證得:

由式 (3) 所定的函數 ζ(z) 可解析地延 拓到整個複平面, 以 z = 1 為極點具留數 (residue) 為 1 的亞純函數; 在整個複平面除 了極點外, 其它處到處解析的函數或其可表 為兩個整函數 (entire functions) 的商式者。

於是在整個複平面上函數 ζ(z) − 1

z −1

為一整函數且明顯具點 ζ = −2, −4, −6, . . . 為其零點者。

由進一步的分析可證得當 z < 0 時, ζ(z) 滿足

ζ(z) = 2(2π)^z−1sin πz

2 Γ(1 − z)ζ(1 − z)。

(8) 由此, 立即可推得上式在整個複平面上成立。

若在式 (8) 中以 1 − z 代 z, 便得最初由 Riemann(黎曼氏) 所導出的表式:

ζ(1 − z) = 2^1−zπ^−zcosπz

2 Γ(z)ζ(z) (9) 此式將函數 ζ 在點 z 與 1 − z 的值連系起 來, 特別可見由 ζ(z) 在半平面 Rez > ¹₂ 的 情況可推出其在半平面 Rez < ¹₂ 的情況。 因 對函數 ζ(z) 而言直線

Rez = 1

2 (10) 就是所謂的臨界線。

綜結以上, 我們可得有關 ζ(z) 的零點 訊息如下:

(1) 函數 ζ 在半平面 Rez > 1 上無零點。

(2) 在半平面 Rez < 0 上, ζ(z) 的零點為且 僅為 z = −2, −4, −6, . . . 。

從而可得結論除了點 −2, −4, −6, . . . 外, 其他 ζ(z) 的零點只可能在下面的帶狀式 中:

0 ≤ Rez ≤ 1。 (11) 點 z = −2, −4, −6, . . . 稱之為 ζ(z) 的平 凡零點, 進一步的分析可推得 ζ(z) 在帶狀域 (11) 中有無窮多個零點。

黎曼臆測 (Riemann hypothesis) 就是 猜測說: 所在條狀域 (11) 中的零點, 必位於 臨界線 (10) 之上。

黃俊雄的證明

記得多年前, 黃教授曾跟筆者談及覺得 他已不需要為了升等、 研究獎或資助, 而花時 間精力做些小的問題, 以便多積些論文。 他要 專心攻克像黎曼猜測這種具有重大歷史意義 的高難度問題, 也可以為中國的數學家爭取 到最大的榮譽。

現想當時他一定受到 1985 年轟動數學 界一個重大新聞的影響, 而作出的誓言。 該 新聞報導近 70年一直被頂尖複分析家所努力 想證明的, 當時世界三大難題之一的比伯巴 哈 (Bieberbach) 臆測, 卻被美國普渡大 學 (Prudue) 不負什麼盛名的迪布朗基教授 (de Brange) 所證明。 數學界是如何來肯定 這樣一個重大而艱難的證明呢?

原來迪氏曾專研該臆測多年, 在 1984 年時曾將他的證明論文投寄給該方面的一權 威, 卻遭到束之高閣的冷落。 後來迪氏有了個 機會參與了美俄兩方科學院的學術交流計劃, 就在 1985年四月前往俄國列寧格勒大學訪問 三個月。 他就把他的臆測的證明在一堆俄國

專家學者面前, 作了一系列的報導。 在這些優 秀權威學者的耐心聽講及挑剔下, 迪氏的證 明終於通過了檢驗, 而得到著名的俄國史提 克勒夫 (Steklev) 數學所所長 L. D. Fad- deev 的正式肯定, 及把迪氏的一篇約 12 頁 的簡單化的證明稿件通告了全世界的數學家。

很快地迪氏也得到了美國此方面權威人士的 喝采, 從此迪氏大名永垂數學史。

若這樣一成就發生在中國 (或華裔) 的 數學家身上, 那他不知要風光幾輩子, 恐怕從 此他就可以在中國的數學界呼風喚雨, 想要 安靜下來都不可能了。 然而迪氏不幸身在歐 美的社會, 他只能享到一時的盛譽, 過此之 後, 他仍像其他一些大師們一樣靜靜地繼續 做他們的研究, 更不會有人來膜拜他或請他 去當官, 來治校、 治國或釐定國家的科技發展 方針或方向。 也只有在這樣一種無學術權威 的自由空氣中, 學術才有不斷的新星, 出現創 造性的理論得到彰顯及突破。

要想攻克世界公認的難題者除了智力 外, 更需要時間及百折不撓的毅力。 黃教授 一向就是所裡公認為最認真最努力作研究的。

1990 年黃俊雄教授在日本京都召開的國際數 學家大會 (I.C.M.) 作了一個報告聲稱他對 黎曼臆測作出了否定的證明。 不幸這是一次 失敗對他不無打擊及一些負面的影響, 但他 並不灰心反而更加努力。

他每天幾乎都埋頭苦幹於書桌及圖書館 間。 他也沒什麼運動及消遺, 也不抽煙喝酒或 與朋友談天, 唱卡拉 O.K.。 經過好一陣子的 努力, 改進思考及不厭其繁的計算, 終於寫出 了一篇兩百多頁的證明 (不是反證了!) 並先

後投到一些數論及分析方面的權威雜誌。 據 告有些很快的就將稿件退回, 表示無意處理 (因一般人總覺得真能解決這一世界性難題的 一篇論文, 其機率太低了。 所以往往就不受 理, 以免浪費評審員的時間及精力!), 有些甚 至無回音。

筆者有次就建議黃教授何不妨學學迪氏 的行徑, 找一個有聲譽及行家的研究所把證 明作一系列的專題演講, 將他的證明取得肯 定或對其錯有所指正, 以期確定證明的可靠 性及完整性。

後來黃教授就與大陸上的一些專家們取 得了連繫, 並前往北京數學所作了為期兩週 的報告。 大陸數學所也的確聚集了一些權威 專家及研究生, 認真仔細地參與了他逐頁的 報告。 據說在進行到 100 頁左右時才有人指 出他計算上的錯誤。

回台灣後他又努力地把問題作了精簡的 證明及改正被指出的錯誤。 筆者也就在 1995 年間邀請他到香港科大數學系作一系列的報 告, 介紹他最新的證明。 當時筆者也邀集了系 裡一些年輕的教師及博士生好好地聽了他的 幾個報告。 在報告中我們也指出他證明中的 一些疑點及欠嚴格性的地方。 不過可以說他 大致都能自圓其說。

但總結說來, 他證明的細節很難像他那 樣, 經過長久及繁雜的計算或估計去核對。 但 最大的問題似乎在他證明的構思。 他是打從 假設對原 Riemann-Zeta 函數 ζ(z) 的零點 平行投到臨界線上。 這樣一個函數經過 ζ(z) 所滿足的關係式作解析延拓可得一個在整個 複平面為亞純的函數。 而此一新得函數卻在

臨界線右側的正實軸上的增長遠超過 ζ(z) 在該線段上的增長而得出矛盾, 因而證明原 臆測的錯誤。 但問題似乎是在這種重新建造 的函數, 能否利用 ζ(z) 的恆等關係式作全 面的延拓, 以及其中的一些增長估計似乎都 不是很可理解及嚴格證明的。 但至少說明了 黃俊雄教授對此問題作出了反證的嘗試, 而 且也不是很明顯的能指出他的錯誤點。 所以, 筆者說這是他的壯志未酬。 因為很可能經由 他的這種證明構想, 或許有人對此問題能作 出突破性的進展也未定, 他及數學所也從此 可揚名海內外。

對黃俊雄的追念及感言

據說平時黃俊雄教授沒有看醫生的念 頭, 偶而也曾問人表示過他覺得胸中悶悶的。

就在出事那天, 他不尋常地走出他的辦公室 去走廊的客廳, 看讀報紙。 那天回到家中, 他 吃過飯洗澡時只對他家人說了一句話“我不 行了”就倒了, 從此不起。

對於他的去世, 我們在這贊揚他, 追憶 他已都是太晚的事了。 因為這些對一個長眠 於地下的人, 已無法感受了。 但他如果地下有 知的話, 恐怕是希望他活著時的遭遇能從此 不再降臨到其他的同仁上。 希望這個社會能 儘量少做文人相輕之事及錦上添花, 趨炎附 勢。 相信他希望, 當他有良好表現時及失敗時 大家都能以平常心態來看待他。 可能的話, 對 他在攻克難關時, 同仁們能夠以熱誠來鼓舞 他及支持他。

國人不要仍舊是一盤散沙, 或習慣於在 封建的山頭及權威下討生活過日子。 也即不

要再結黨營私, 排擠不是同行或同支派的。 迪 氏已經給了我們一個很明顯的例子, 一個看 來默默無聞的人, 他有天可能是摘下數學史 上光亮星星的人。 而過去的歷史上也多是這 種類型的人。 希望黃俊雄教授的去世帶給國 人的深思及團結, 在講求心靈重造的今天, 其

實就是要回復大家那顆寧靜、 安份及淡薄名 利之心, 這樣社會才能充滿真正的歡樂及每 個人能享有其各自生命的意義及真理的追求 及光大學術研究。

—本文作者任教於香港科技大學—