34 代數整數與整係數質多項式

(1)

34 代數整數與整係數質多項式

一個複數稱為代數整數是指：可以找到一個首項係數為 1，而且其它係數都是整數的多項式

1

1 1 0

( ) ,

, , ,

n n

f x x a x a x a

a a a



   



 

其中為整數

滿足 ( ) 0f   。使得上述條件成立的最低次多項式（首項係數限為 1） ( )f x 用符號M_( )x

表示，並稱此為的最小多項式。例如：  2時，因為 2²  2 0，所以

2

2( ) 2.

M x x 

定理 34.1 若M_( )x 是代數整數的最小多項式則

(1) M_( )x 是整係數質多項式。

(2) 若整係數多項式 f x 滿足 ( )

( ) 0 f   則M_( )x 整除 ( )f x 。

【證明】

(1) 利用反證法，假設M_( )x 不是質多項式，則可令 ( ) ( ) ( ) M_ x g x h x 其中 ( ), ( )g x h x 的次數不為零。由

( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0.

M_  g  h  g   或 h  

這與M_( )x 是最小的整係數多項式矛盾。因此M_( )x 是整係數質多項式。

(2) 設 f x 被( ) M_( )x 除之，餘式為 ( )r x ，商是 ( )q x ，則我們得到

(2)

( ) ( ) ( ) ( ), f x M_ x q x r x

其中 deg ( ) degr x  M_( )x 或者 ( )r x 是零多項式。由此得到 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) ( )

( )

.

f M q r r

r x

M x f x



    

    

 



式

∣

零多項

例題 34.1 假設實數

3 3

4 2.

  

試證是一個代數整數，並求最小多項式M_( )x 。

【證明】由立方差的公式

3 3 2 2

( )( )

a b  ab a abb 得到

 



²



3 3

34 32 ( 43  32) 34 32 3 43 32 . 因此是方程式

3 6 2 0

x  x 

的一個根。又根據一次因式檢驗法（或者第 29 節艾森斯坦判別法）知道x³6x2是一個質多項式，所以最小多項式

( ) 3 6 2.

M_ x  x  x 設

2 2

cos sin .

7 7

r  i 

 

由隸莫弗定理知道

7 6 5 4 3 2

1 ( 1)( 1) 0.

r   r r  r r  r r   r 因為r1，所以

(3)

6 5 4 3 2

1 0.

r       r r r r r 設

6

2 5

3 4

2 4

3 5 6

2 cos2 , 7 2 cos4 ,

7 2 cos6 ,

7 ,

. r r

r r

p r r r

q r r r

 

 

 

   



   



  



   



   



例題 34.2 試完成下列問題：

(1) 試求以實數  , , 為三根的三次方程式。

(2) 求 ₂

2cos7

( ) M _ x 。

(3) 試求以複數 ,p q 為兩根的一元二次方程式。

(4) [1963 IMO] 證明：

2 3 1

cos cos cos ,

7 7 7 2

2 4 6 7

sin sin sin .

7 7 7 2

  

   



   



【證明】

(1) 因為

6 5 4 3 2

1,

2( ) 2,

2 1,

r r r r r r

  

  



         

        所以三次方程式為x³x²2x 1 0。

(2) 因為x³x² 2x1是一個質多項式，所以

(4)

3 2 2cos2

7

( ) 2 1.

M _ x x x  x

(3) 因為

6 5 4 3 2

1, 3 2, p q r r r r r r

pq r r r r r r

        

       

所以二次方程式為x²   x 2 0。 (4) 由x²   x 2 0的公式解知道：

1 7 1 7

{ , } , .

2 2

i i

p q     

  

 

因為

2 4

2 4 8 2 4 8

cos cos cos sin sin sin

7 7 7 7 7 7

2 3 2 4 6

cos cos cos sin sin sin

7 7 7 7 7 7

1 7 2 2 , p r r r

i

     

  

   

       

   

   

        

   

   所以(4)成立。

習題 34.1 試 (1) 求

3 5( ) M _ x 。

(2) 證：若 3 5是方程式

1

1 1 0 0

n n

a x a _ x ^  a xa  的一個根，其中a a_n, _n_₁, ,a₀是整數，則證明

0 1 1

11 (∣a   a a_n_ a_n).

(5)

習題 34.2 設 cos20^isin 20^。試證是一個代數整數，並求最小多項式M_( )x 。

習題 34.3 試求三次方程式

3 3 1 0

x  x  的根。

動手玩數學

下圖是一個房子形的蛋糕，底部與兩邊的長度是 2 單位，而屋頂的斜長為 2 單位。蛋糕師父想將此蛋糕切兩刀之後變成三塊，而此三塊恰可拼成一個等腰直角三角形蛋糕。

你能幫蛋糕師父解決他的煩惱嗎？

挑戰題

設

2 2

cos sin 17 17 r_  _i  且令

2 4 8 9 13 15 16

3 5 6 7 10 11 12 14

, .

r r r r r r r r





        



       



(1) 試求以 , 為兩根的一元二次方程式。

(6)

(2) 試求 , 的值。

(3) 試求 ₁, ₂的值，其中

4 13 16

1

2 8 9 15

2

, . r r r r

r r r r



    



   



(4) 試求 ₁, ₂的值，其中

3 5 12 14

1

6 7 10 11

2

, .

r r r r



    



   



(5) 試求 ¹⁶ 2 2cos17 x_{ }r r _ 

的值。

高斯證明正十七邊形可以尺規作圖

2cos2 17



68 12 17 16 34 2 17 2( 1 17) 34 2 17 1 17 34 2 17

8 8

      

   



尺規作圖問題

與代數整數相關的問題有相當古老的尺規作圖問題。所謂尺規作圖問題是指去判別一個複數（常常是實數），在僅給定“沒有刻度的直尺、圓規及單位長度”的情形下：是否可在平面上作出此複數來。如果此數可作出來則稱此數為可尺規作圖的數。至於那些數是可尺規作圖的數，一直是很難的問題。直到十九世紀的初期，數學家才得到完整的瞭解。例如若代數整數是個可尺規作圖的數則的最小多項式的次數必需是 2 的某次方才行；因此像

(7)

3 5 2 2 2, 3,cos 20 sin 20 ,cos sin

7 7

i  i 

  

等此三數都是不可尺規作圖的數。由 cos20^isin 20^是一個不可尺規作圖的數得到角 60^是不可被三等分的。這解決了古代作圖題的三大難題之一的三等分角問題。也就是說：給定任意的一個角，我們不見得能把它給三等分，只有在很特殊的角的情形才能夠 辦到（例如：當 n 是 3 的倍數時，則 n^角是可尺規作圖的；也就是說，9 的倍數的整數角是可以三等分的）。