高中物理資優生輔導班
高二力學
林中一老師 授課
第一、 二章緒論
§1.1 什麼是物理：
∆
物理學所探討的是自然界最基本層面的事，如物質的成分(原子→
電子、質子、中子→
夸克)、活動狀態、和交互作用〈強作用力、電磁力、弱作用力、萬有引力〉等。
原子核 夸克與 輕子之作用
統一場論就是想把此四種交互作用聯貫起來 以一種最簡單的基本交互作用來說明所有的力
∆
古典物理與近代物理之區分：〈a〉古典物理學〈1600∼1900 年〉：分為下列三部份
1. 古典力學：研究質點與流體之運動〈主要為牛頓力學〉
2. 熱動力學：探討溫度、熱傳導、分子聚集之性質。
3. 電磁學：電學、磁學、電磁波、光學。
〈b〉近代物理學〈1905∼ 〉：分為下列三部份
1. 特殊相對論：有關高速粒子運動行為的理論，使人類對空間、
時間以及能量的想法重新作修正，所以它可對牛頓運動定律作 修正。
2. 量子力學：有關次微世界中原子的理論
海森堡的矩陣力學 薛丁格的波動力學 狄拉克的微觀理論
此三者是量 子力學不同 之表達方式 而其基本原 理是等價的
3. 廣義相對論：有關重力與幾何空間相對的理論，所以它可對牛 頓萬有引力作修正。
§1.2 概念(concepts)、定律(原理) 、(Laws) 、模型(models) 、學說 (theories)
∆
概念乃是指一種觀念或一個物理量，可以用它來分析自然現象。例 如空間、質量、長度、加速度、力、能量、溫度、電荷等都是概念.。∆
定律(或原理)乃根據實驗或理論將各物理量間建立一數學關係式。∆
模型乃是物理系統的一種方便性類比表達。例如光具有二重性、熱 和電荷被看成像流體及波爾氫原子模型等。∆
學說(theory)乃是綜合原理、模型及基本假設而演繹出的一個特定 結果 。例如牛頓重力學說說明了蘋果為何掉到地上，行星為何繞著太陽運 動，潮汐為何發生，甚至有關地球的形成。
§1.3 單位〈units〉
∆
所有的物理量必須以一定的標準和單位表示才有它的意義。∆
最基本之三個物理：質量、長度和時間。〈1〉質量：在 SI 製中質量的單位是公斤 kilogram〈kg〉。
〈i〉1kg 最初是依一公升水在 4oC 時的質量所定。(缺點:水易有 雜質)
〈ii〉利用鉑--銥合金製造一質量 1kg 之標準原器，現存放在法 國賽弗爾(Sèvres)的國際度量衡中心。(缺點：不容易保存、
複製)
〈iii〉定一個碳原子(C-12)質量為 12u，而 1
µ
=1.6605402×
10-27kg〈2〉長度：在 SI 製中長度的單位是公尺(m)。
〈i〉在十八世紀時，定赤道至北極距離乘以 10-7為一公尺。
〈ii〉在 1960 年製造一鉑--銥合金棒，且定其上兩點刻痕的距 離為 1 公尺(其缺點是此棒會受冷縮熱脹之影響，及棒上 刻痕寬度會造成邊界問題)
〈iii〉定 Kr-86 所發出之極紅色光波長的 1650763.76 倍為 1m。
(其缺點是波長測量準確性之問題)。
〈iv〉1983 年定光在真空中於
299792458
1 秒內所走之距離為 1m。
〈3〉時間：在 SI 制中時間的單位是秒(S) 〈i〉最初定平均太陽日的
86400
1 倍為 1 秒。
〈ii〉1967 年定銫-133 原子振動週期的 9162631770 倍為 1 秒。
其精確度是經 30000 年後其誤差為 1 秒。
§1.4 十乘冪符號表示法和有效數字〈power of ten notation and significant figures〉
∆
15.3 為三位有效數字，15.624 為 5 位有效數字，0.002560 為 4 位有 效數字。但如 12000 則其有效數字不確定幾個，其有效位數在 2 位 到 5 位之間，若寫成 1.2×
104則為 2 位有效數字，寫成 1.200×
104則 有 4 位有效數字。π
其有效位數為無限多位。∆
各有效數字運算後，其有效位數之表示：〈i〉各有效數字經乘、除後其有效位數以乘數或被乘數中位數最少 的那一個為準
例： (6.387) 6.4 85
. 14
6 . 2 479 .
36 × = =
例：
5 243 ) 52 . 4 ( ) 88 . 242 (
) 6 . 17 1 . 0 8 . 13 2 . 0 ( ) 8 . 13 6 . 17 ( ) 1 . 2 8 . 13 ( ) 2 . 0 6 . 17 (
±
=
±
=
× +
×
±
×
=
±
×
±
〈ii〉各有效數字經相加、減後，其有效位數以位數最少的那一個為 準。
例：402.1+1.073=403.2
1.075
×
102-6.37×
10+4.18=(47.98)=48.0∆
科學記號表示法：例：地球到太陽的距離 149500000000m=1.495
×
1011m 鈉光波長 0.0000005896m=5.896×
10-7m0.00076300=7.6300
×
10-42.5 10 1 0
. 4
002 .
1 = × −
§1.5 參考系和座標系
〈1〉一物體“位置”的表示，需要有一參考系才有意義，而且此參 考系需具有具體性的，例如：一個桌面、一個房間、一艘船，
甚至地球本身等。
〈2〉當位置用一個含有一組空間及一定方向之軸所組成的座標系表 示時，才能被確定下來。
〈3〉綜合〈1〉〈2〉及下圖可得 P 點相對於參考系 O 點的位置
x j y
r i r j y i x
rv = v+ v= cosθv+ sinθv,其中tanθ=
§1.6 純量與向量〈Scalars and vectors〉
∆
純量：具有數字〈即大小〉、單位但沒有方向的量。例如：距離、功、位能、電量、電流等。
∆
向量：具有大小及方向的量 例如：位移、力、電場等。θ y
x r
P 點
O( 參考系)
∆
一物體之位置的變化稱為位移。見下圖所示。位移僅與起 點及終點之相對位置有關，而與所選擇路徑無關。位移的 大小由 P1，P2兩點間直線長度所決定，而其方向由θ
角所 決定。§1.7 向量的加法及減法
〈a〉
y
x Av
Bv
y
x Bv
Bv Av
B Av v
+
Bv Av Bv
− ) ( B A B
Av v v v
− +
=
−
Av
Bv Cv
x y
Av
Bv
Cv B
Av v +
C B Av v v
+ +
作圖法
θ P1
P2
路徑 2
路徑 1
計算法解析法
Bv
Bv
Av B Av v
+ φ
α θ
y
x
φ θ
φ α θ
φ θ
φ θ
φ φ
φ π φ
π
θ θ
cos cos
sin tan sin
) sin sin
( ) cos cos
(
) (
) (
sin cos
) sin(
) cos(
sin cos
B A
B A
j B
A i B
A
j B A i B A B A
j B i B
j B
i B
j B i B B
j A i A j A i A A
y y x
x y x
y x
−
= +
+ +
−
=
+ +
+
= +
+
−
=
− +
−
= +
=
+
= +
=
v v
v v
v v
v v
v v
v v v
v v
v v v
(b)
Bv
− Av θ
Bv B Av v
− )
( j y v
) (i x v Av
Bv 30o 45o 3m
2m
Bv x y
Av B Av v
+ Bv
θ
∆
例題：利用作圖法及計算法 求 Av Bv
+ 及Av Bv
− 。
[解]：
作圖法：
計算法：
∆
例題：一人朝 37o東偏北方向走 5m，再朝 60o北偏西走 10m，求其位移 大小及方向。
[解]：
o
o o
o o
m R
j i
j i
R
66 120 . 4 tan 8
) ( 26 . 9 8 ) 66 . 4 ( 18 66 . 4
) 30 sin 10 37 sin 5 ( ) 30 cos 10 37 cos 5 (
1
2 2
− =
=
= +
−
=
∴
+
−
=
+ +
−
=
θ −
之大小 位移
v
v v
v v v
N
E W
10m 60o 30o
5m 37o Rv
θ
o
o
v o
v v v
v v v
v v v
v v
v v
v v v
v
v v v
v v v
9 . 67
9 . 67 180 9
. 184 67 . 1
914 . tan 2 x
, 914 . 2 184 . 1
2 ) 2 2 2 3 1 ( 2 ) 2 2 2 3 3 (
23 . 01 1 . 4
086 . tan 0 x
086 . 0 01 . 4
2 ) 2 2 2 3 1 ( 2 ) 2 2 2 3 3 (
) 45 cos 2 30 sin 3 ( ) 45 cos 2 30 cos 3 (
45 sin 2 45 cos 2
30 sin 3 30 cos 3
1 1
應為 但此題由作圖法知
或 軸之夾角
與
軸之夾角 與
θ
θ θ
+
=
= +
− +
=
× +
× +
×
−
×
=
−
=
= +
+
+
=
×
−
× +
× +
×
=
− +
+
= +
∴
−
=
+
=
−
−
o o
o o
o o
o o
o o
B A j i
j i
B A
B A
j i
j i
j i
B A
j i
B
j i
A
§1.8 純量積(或點積)(Scalar product or dot product)
¬ 若Av與
B v
夾角為
θ
，則 Av 與B v
的純量積
A
v⋅ B
v≡ AB
cosθ
為一純量
- 若Av Axiv Ayvj Azkv + +
=
Bv Bxiv Byvj Bzkv + +
=
則
z z y y x x
z y x z y x
B A B A B A
k B j B i B k A j A i A B A
+ +
=
+ +
⋅ + +
=
⋅
) (
)
( v v v v v v
v v
例題：求Av =2iv+ vj+2kv，和Bv= −4iv+3vj間的夾角。
[解]：
3 1 15
5 3 ) 4 ( 2 1 2
0 2 ) 3 ( 1 4 cos 2
2 2 2
2
2 = =
+
− +
+
× +
−
× +
= ×
= ⋅ AB
B Av v θ
70.5o 3
cos 11=
=
∴θ −
例題：利用純量積導出餘弦定律。
θ cos 2 2 C
) B - A ( ) B - A ( C C : ] [
2 2
2 2
2
AB B
A
B B A A
B B A B B A A A
− +
=
+
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⇒
⋅
=
⋅
解
v v
v v v v v v v v
v v v v v v
Bv
Av
θ
θ Av
B A Cv v v
− Bv =
§1.9 向量積 (或叉積) (Vector product or cross product) (a) 若
A v
與
B v
之夾角為
θ
則A v
與
B v
之向量積 Av×Bv ≡ AB n∧v
θ sin
n∧v
為一單位向量，且n∧v⊥Av , nv∧⊥Ｂv，其方向用右手定則決定。
(b)
=
∧× B AB m
A
v v vθ
sinθ Bv
Av
Ｂ Ｂ Ｂ
或者
（ 則
若
z y x
z y x
x y y x z
x x z y
z z y
y z x z
z y x
y
z x y
x y
x
z z y
z x
z
z y y
y x
y
z x y
x x
x
z y x z
y x
z y x
z y x
A A A
k j i B A
B A B A j B A B A i B A B A
i B A j B A
i B A k
B A
j B A k B A k B A
k k B A j k B A i k B A
k i B A j j B A i j B A
k i B A j i B A i i B A
k B j B i B k A j A i A B A
k B j B i B B
k A j A i A A
v v v v v
v v
v v
v v
v v v
v v v
v v v
v v v
v v
v
v v v
v v
v
v v v v
v v v
v
v v v v
v v v v
=
×
− +
− +
−
=
+
− +
+
+ +
− +
− +
+ +
=
× +
× +
× +
× +
× +
× +
× +
× +
×
=
+ +
× +
+
=
×
+ +
=
+ +
=
) (
) (
) (
0 ) ( 0 ) (
) ( 0
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
) (
) k v
v j
i v
例題：求Av =3iv−2vj+kv 與 Bv =iv +4vj−2kv 的向量積
k j k j i
k j
i
k j i B A
v v v v
v
v v v
v v v v v
14 7 14 7 0
4 1
2 3 2 1
1 3 2 4
1 2
2 4 1
1 2 3 :
] [
+
= + +
=
+ −
− −
−
= −
−
−
=
×
解
例題：利用叉積導出正弦定律
θ β
α Bv
Av
π-α
B A Cv v v
−
=
) (
n
∧v表入紙面方向之單位向量B A
BC AC
n BC n AC
n BC
n AC
C B C A C B A C C
B A
β α
α β
α β
α π β
π
sin sin
sin sin
sin sin
0
) sin(
) sin(
0
) ( C : ] [
=
⇒
=
⇒
− +
=
⇒
−
−
−
=
⇒
×
−
×
=
×
−
=
×
−
=
∧
∧
∧
∧
解
v v
v v
v v v v v v v v v
v v v
§1.10 常用之積分
∫
= ++1. 1
1
n dx x x
n
n ...
! 2
) 1 1 (
) 1 .(
9 + = + +n n− a2+ na
a n
∫
dxx = n xl
.
2 例:若 x<<1
∫
sin( ) =−1cos( ).
3 ax
dx a
ax
x x x
2 1 1
2 ....
1 1 ) 1
( 2
1
−
=
+
−
= + − 則
∫
cos( ) =+1sin( ).
4 ax
dx a ax
∫
=− ++ 2 32 2 2 12
2 ( )
1 )
( . 5
a x dx a
x x
2 / 1 2 2 2 2 / 3 2
2 ) ( )
. (
6 a x a
x a
x dx
= +
∫ +
2 2 2
. 2
7 x a
a x
xdx = ±
∫ ±
|
| .
8 2 2
2
2 n x x a
a x
dx = + ±
∫ ± l
6 之證明如下:
2 2 2
2 2
3 3
2 2
/ 3 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
/ 3 2 2
1
1 sin 1 cos
sec sec )
(
sec )
tan 1 (
sec tan
) (
x a
x a
d a d a
a a a
x dx
a a
a x
d a
dx a
x a x
dx
= +
=
= + =
∴
= +
= +
⇒
=
= +
∫ ∫ ∫
∫
θ θ
θ θ θ
θ
θ θ
θ θ θ
令
7 之證明如下:
a n a x x a n
a x n x
a x a
a n x
n
d a d
a a
x dx
a a
a x
d a
dx a
x a x
dx
l l
l l l
− + + + =
= +
+ +
=
+
=
= + =
∴
= +
= +
⇒
=
= +
∫ ∫ ∫
∫
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
tan sec
sec sec sec
sec )
tan 1 (
sec tan
令
θ θ
θ θ θ θ
θ
θ θ
θ θ θ
對於不定積分此項不需要 10.∫BAudv =uv BA −∫BAvdu
10.之證明如下:
vdu uv
udv
udv vdu
uv
udv vdu
uv d
udv vdu uv
d
B A B
A B
A
B A B
A B A
B A B
A B
A
∫
−
=
∫
⇒
∫ +
∫
=
⇒
∫ +
∫
=
∫
⇒
+
= ) ( ) Q (
θ a
x
2 2
x a +
θ
a
x
2
2
x
a +
例: 求∫π0 xsin xdx=?
[解]﹔設u =x,dv=sin dx∴v=−cosx
π π
π
π π
π π π
= +
=
∫ +
=
−
∫
−
−
=
∴
∫
0 0
0 0 0
sin cos
) cos ( )
cos (
sin
x xdx
dx x x
x
xdx x
