Precalculus，Ch2 數列與級數，Cheng‐Fang Su
2-2-1
2-2 無窮數列及其斂散性
主題一 無窮數列
1.無窮數列：一數列如果有無窮多項，就稱為無窮數列。
2.數列的表示法：一個無窮數列
a a
1, 2,
,a
n,
，若第 n 項的值為
a ，則此數列以｛
na ｝或｛
na
n}
n1表示之。【例】數列：
1, , , 1 1 , 1 ,
2 3 n
，則此數列可以表示為{ } 1
n 1n
。
【例】等差數列：－7，－2，3，8，…，則此數列可以表示為
{5 n 12}
n1。【例】等比數列：10，4，
8 16 ,
5 25
，…，此數列可以表示為{10( ) 2
1}
15
n n
。
主題二 無窮數列的收斂與發散
1.數列的極限：一個無窮數列｛
a ｝，當 n 趨近於無限大時，(記作 n
n )，若
a 的值能趨近於某一個定值
n
，我們說數列｛a ｝的極限為
n
，記作 lim nn
a
，讀作「當 n 趨近於無限大時，
a 的極限為
n
」。【例】數列｛
1
n
｝的極限為 0，亦可寫為lim 1 0
n
n
。【例】數列｛
n 1 n
｝的極限為 1，亦可寫為lim 1 1
n
n
n
。2.無窮數列的收斂與發散：
(1)收斂數列：若 lim n
n
a
，
為一定值，則｛a ｝稱為收斂數列(convergent sequence)。
n【例】數列｛ 6 ｝、｛
1
n
｝、｛n 1 n
｝、｛1
3
n ｝、｛30 1 2 k 1
｝均為收斂數列。(2)發散數列：若
lim
nn
a
不存在，則｛
a ｝稱為發散數列(divergent sequence)。
n【例】數列｛n2｝、｛－2n + 1000000000000000｝、｛(–1)n｝均為發散數列。
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2-2-2
主題二 數列極限的性質
設
an 及 b 均為收斂數列，且 cn ，則： R
(1) lim
R
(1)lim
n
c c
； (2)lim 1 0
n
n
；(3)
lim
nlim
nn
ca c
na
；(4)
lim(
n n) lim
nlim
nn
a b
na
nb
；(5)
lim(
n n) lim
nlim
nn
a b
na
nb
；(6)
lim(
n n) (lim
n)(lim
n)
n
a b
na
nb
；(7) 若lim n 0
n
b
，則 lim
lim lim
n n n
n
n n n
a a
b b
。
【例】試求出 2 3 2 lim 5 4
n n
n n
之值。
