(1)第2 單元 多項式 1.下列何者正確？(76 社) (1)若 a＋bi＝c＋di，則 a＝c，b＝d (2) 5＋4i＞3＋4i (3) 2＋i i

第2 單元 多項式 1.下列何者正確？(76 社)

(1)若 a＋bi＝c＋di，則 a＝c，b＝d (2) 5＋4i＞3＋4i (3) 2＋i²＞0 (4) |1－3i |＞| 2i | (5) (1＋i)¹¹＝－32＋32i

解：(1)加上 a，b，c，d 為實數的條件

(2) 5＋4i 與 3＋4i 為複數座標上兩點，故無法比較大小 答：(3)(4)(5)

2.複數(－2＋ 3 )i ⁴的實部為____。(76 社) 解：(－2＋ 3i)⁴＝－47－8 3i，∴實部為－47 答：－47

3.設 a，b，c 三數滿足







= + +

= + +

= + +

28 12 4

3 3 3

2 2 2

c b a

c b a

c b a

，令f (x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，若將 f (x)表成 x³＋l x²＋mx＋n，則 n＝______

，而方程式f (x)＝0 有一正無理根為______。(77 自)

解：(1)∵f (x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝x³－(a＋b＋c)x²＋(ab＋bc＋ac)x－abc

且由(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ac)，⇒ 16＝144＋2(ab＋bc＋ac)，得知 ab＋bc＋ac＝2

由a³＋b³＋c³－3abc＝(a＋b＋c)( a²＋b²＋c²－ab－bc－ac)，⇒ 28－3abc＝4(12－2)，∴得知 abc＝－4

∴f (x)＝x³－4x²＋2x＋4＝(x－2)(x²－2x－2)

(2) f (x)＝(x－2)(x²－2x－2)＝0，得 x＝2 或 x＝1＋ 3或x＝1－ 3，⇒正無理根為 1＋ 3 答：1＋ 3

4.設 a，b 為二實數，且 a ≠ 0，若方程式 ax³＋x²＋bx＋1＝0 之一根為 2＋ 2 ，求 a＋b 之值。(77 社) i 解：(1)∵ax³＋x²＋bx＋1＝0 為實係數方程式，

∴2＋ 2 ，2－i 2 為其二根且[x－(2＋i 2i)] [x－(2－ 2i)]＝x²－4x＋6

(2)由綜合除法得知ax³＋x²＋bx＋1 除以(x²－4x＋6)的餘式為(10a＋b＋4)x＋(－24a－5)

∴10a＋b＋4＝0 且－24a－5＝0，得 a＝－

24

5 ，b＝－

24

46，⇒ a＋b＝－

8 17

答：－ 8 17

5.已知三次方程式 4x³－20x²－29x－25＝0 在兩個連續正整數 n 與 n＋1 之間有一個根，求 n 的值：

(1) 2 (2) 3 (3) 5 (4) 6 (5) 4 (78 社) 解：令f (x)＝4x³－20x²－29x－25，如右圖

∵f (6)＝－55，f (7)＝164，∴f (x)＝0 有一根介於 6 與 7 之間，得知 n＝6 答：6

6.設 f (x)為一有理係數的四次多項式，已知 f (0)＝10 且 f (－1＋ 2)＝f (2－i)＝0，求 f (x)。(78 夜大) 解：∵f (x)為一有理係數多項式，∴其複數根成共軛，無理根也成對

∴－1＋ 2，－1－ 2，2－i，2＋i 為方程式的四根

設f (x)＝k[x－(－1＋ 2)][x－(－1－ 2)][x－(2－i)][x－(2＋i)]＝k(x²＋2x－1)(x²－4x＋5)

∵f (0)＝10＝k(－1)×5，∴k＝－2，⇒ f (x)＝－2(x²＋2x－1)(x²－4x＋5)＝－2x⁴＋4x³＋8x²－28x＋10 答：－2x⁴＋4x³＋8x²－28x＋10

5 6 7

－ － ＋

f (x) x

7.方程式 x³－3x²－17x－13＝0 的正根為_____。(79 社) 解：x³－3x²－17x－13＝(x＋1)(x²－4x－13)＝0

∴得知x＋1＝0 或 x²－4x－13＝0，∴x＝－1 或 x＝2－ 17或x＝2＋ 17，⇒正根為 x＝2＋ 17 答：2＋ 17

8.複數 z 為 1－ 3 i 之一平方根，且其實部為正，則 (80 自) (1) z 之實部為(1)

2

1 (2) 2

2 (3) 2

3 (4) 1 (5) 2

6

(2) z 之虛部為(1) 2

− 6 (2) 2

− 3 (3) 2

− 2 (4) 2

2 (5) 2

6 若z 為實係數方程式 x²＋αx＋β＝0 之一根，則

(3)α ＝(1)− 6 (2)− 3 (3)− 2 (4) 2 (5) 6 (4)β ＝(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 2 (5) 6 解：(1)設z＝x＋yi，∴z²＝(x²－y²)＋(2xy) i

⇒ x²－y²＝1 …○1 2xy＝－ 3…○2，且○1²＋○2得知 x²＋y²＝2

⇒ x＝ 2 6 或－

2

6 (不合)，y＝－

2

2 ，故z＝

2 6 －

2 2 i

(2)∵z＝

2 6 －

2

2 i 為實係數方程式 x²＋αx＋β＝0 之一根

⇒根據複數根成共軛性質得知，

2 6 ＋

2

2 i 也是方程式 x²＋αx＋β＝0 之一根

⇒ 兩根和＝－α＝(

2 6 －

2 2 i)＋(

2 6 ＋

2

2 i)，∴α＝－ 6

兩根積＝β＝(

2 6 －

2 2 i)(

2 6 ＋

2

2 i)＝2，∴β＝2 答：(1) (5)；(2) (3) ；(3) (1)； (4) (4)

9.求x³＋5x²－18x－18 與 x⁴＋7x³＋10x＋12 之最高項係數為 1 的最高公因式為_______。(80 社) 解1：利用輾轉相除法，求得最高公因式為x²＋8x＋6

解2：利用質因式分解法

∵x³＋5x²－18x－18＝(x²＋8x＋6)(x－3)

x⁴＋7x³＋10x＋12＝(x²＋8x＋6) (x²－x＋2)，∴最高公因式為 x²＋8x＋6 答：x²＋8x＋6

10.設 P(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，其中 a，b，c，d 皆為常數。若以 x²＋x＋2 除之，餘 x＋2；若以 x²＋x－2 除之，

餘3x＋4，則 (81 自) (1) a＝(1)

2

1 (2) 1 (3) 2 (4) 2

5 (5) 3

(2) b＝(1) 2

1 (2) 1 (3) 2 (4) 2

5 (5) 3

(3) c＝(1) 2

1 (2) 1 (3) 2 (4) 2

5 (5) 3

(4) d＝(1) 2

1 (2) 1 (3) 2 (4) 2

5 (5) 3

(5)若以x＋1 除之，則餘式為(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 5 (5) 7 解：(1)設 P(x)＝(x²＋x＋2)(Ax＋B)＋(x＋2)＝(x²＋x－2)Q(x)＋(3x＋4)

令x＝1，P(1)＝4(A＋B)＋3＝7

令x＝－2，P(－2)＝4(－2 A＋B)＝－2，⇒解得 A＝

2

1，B＝

2 1

∴P(x)＝(x²＋x＋2)(

2 1 x＋

2

1 )＋(x＋2)＝

2

1 x³＋x²＋ 2 5x＋3

(2)P(－1)＝－

2 1＋1－

2

5＋3＝1 答：(1)(1)；(2)(2)；(3)(4)；(4)(5)；(5)(1)

11.設k 為實數，且 y＝x²＋kx＋k 的圖形與直線 y＝x＋1 無交點，求 k 的範圍。(81 社) 解：根據題意，y＝x²＋kx＋k＝x＋1 沒有實數根

即x²＋(k－1)x＋(k－1)＝0 沒有實數根，∴判別式＝(k－1)2－4(k－1)＜0，得(k－1)(k－5)＜0，∴1＜k＜5 答：1＜k＜5

12.多項式(x⁵＋x²＋2x＋3)³除以(x⁴＋x＋1)所得之餘式為____。(81 社)

解：∵x⁵＋x²＋2x＋3＝x(x⁴＋x＋1)＋(x＋3)且(x＋3)³＝x³＋9x²＋2x＋27，其次數為 3 次＜x⁴＋x＋1 的次數

∴(x⁵＋x²＋2x＋3)³除以(x⁴＋x＋1)所得之餘式為(x＋3)³＝x³＋9x²＋2x＋27 答：x³＋9x²＋2x＋27

13.設f (x)＝x⁴＋2x³－3x，求 f (－0.999)的近似值。(至小數點後第三位)(81 夜大) 解：∵f (x)＝x⁴＋2x³－3x＝(x－1)⁴－2(x－1)³－(x－1)＋2

∴f (－0.999)＝2－(1－0.999)－2(1－0.999)³＋(1－0.999)⁴ 1.999 答：1.999

14.兩多項式 p(x)＝x⁵⁰－2x²－1 與 q(x)＝x⁴⁸－3x²－4 的最高公因式______。(82 自) 解：設其最高公因式為d(x)，∴d(x)|( x⁵⁰－2x²－1)×(1)－(x⁴⁸－3x²－4)×(x²)

⇒ d(x)| (3x⁴＋2x²－1)，⇒ d(x)| (3x²－1)(x²＋1)

但3x²－1 不是 p(x)的因式，x²＋1 是 p(x)的因式，也是 q(x)的因式，⇒ d(x)＝x²＋1 答：x²＋1

15.若a 與 a＋2 為異號兩實數，且均為方程式 x²＋| x |＋3k＝0 的解，則 k＝____。(82 社) 解：∵a 與 a＋2 為異號兩實數，∴得知 a＋2＞0，a＜0

當x＝a＋2 時，| x |＝x，代入方程式得(a＋2)²＋(a＋2)＋3k＝0

當x＝a 時，| x |＝－x，代入方程式得 a²－a＋3k＝0，⇒ (a＋2)²＋(a＋2)＋3k＝0＝a²－a＋3k，化簡得 a＝－1 代回a²－a＋3k＝0，∴k＝－1

答：k＝－1

16.若 z 為複數，且滿足 z＋

z

1＝1，則z ＋¹⁰¹ 1₁₀₁

z ＝_____。(82 社) 解1：∵z＋

z

1＝1，⇒ z²－z＋1＝0，得 z＝

2 3 1± i

＝ sin3 cosπ3 π

±i

∴z¹⁰¹＋ ₁₀₁1 z ＝(

sin 3 cosπ3 π

±i )¹⁰¹＋ ) ¹⁰¹ sin 3 (cosπ3 ± π ⁻

i ＝2

3 cos101π

＝1 解2：∵z＋

z

1＝1＝2cos θ，得知 θ＝

3

π ，∴z¹⁰¹＋ 1₁₀₁ z ＝2

3 cos101π

＝1 答：1

17.設f (x)＝x³＋ax²＋11x＋6，g(x)＝x³＋bx²＋14x＋8 的最高公因式為二次式，求 a，b 之值。

解：設最高公因式為H(x)，∴H(x)| x³＋ax²＋11x＋6，且 H(x)| x³＋bx²＋14x＋8 H(x) | (x³＋ax²＋11x＋6)－(x³＋bx²＋14x＋8)，即 H(x) |(a－b) x²－3x－2 …○¹

H(x) | 4(x³＋ax²＋11x＋6)－3(x³＋bx²＋14x＋8)，即 H(x) | x [ x²＋(4a－3b)x＋2] …○²

∵H(x)為二次式，∴由○¹ 取(a－b) x²－3x－2，由○² 取x²＋(4a－3b)x＋2

⇒ 1 b a−

＝4a 3b 3

−

− ＝ 2

−2

，解得a＝6，b＝7 答：a＝6，b＝7

18.已知兩多項式f (x)＝x³＋2x²＋3x＋k，g(x)＝x³＋4x²＋9x－k (其中 k≠0)的最高公因式是二次式，試求 k 之值及最高 公因式。

解：(1)設最高公因式為 H(x)，∴H(x)| x³＋2x²＋3x＋k，且 H(x)| x³＋4x²＋9x－k H(x) | ( x³＋2x²＋3x＋k)×1＋(x³＋4x²＋9x－k)×1，即 H(x) | 2x(x²＋3x＋6) (2)∵最高公因式是二次式，∴取 H.C.F＝x²＋3x＋6

⇒ (x²＋3x＋6)| f (x)，⇒ f (x)＝x³＋2x²＋3x＋k＝(x²＋3x＋6)(x－1)＋(k－6)，∴k－6＝0，即 k＝6 答：6

19.設多項式h(x)以 x²－1 除後餘式為 3x＋4，且已知 h(x)有因式 x；若 h(x)被 x(x²－1)除之餘式為px²＋qx＋r，

則p²－q²＋r²＝_____。(82 社)

解：設h(x)＝(x²－1)A(x)＋(3x＋4)＝xB(x)，且 h(x)＝x(x²－1)Q(x)＋(ax²＋bx＋c)＝x(x²－1)Q(x)＋a(x²－1)＋(3x＋4) 令x＝0 代入，∴h(0)＝0＝a(－1)＋4，得知 a＝4

⇒ 餘式＝4(x²－1)＋(3x＋4)＝4x²＋3x，∴p＝4，q＝3，r＝0，p²－q²＋r²＝16－9＋0＝7 答：7

20.若對於所有的實數x，不等式－(x＋1)²＜(a－2)x－a＜(x－1)²－1 恆成立，求實數a 的範圍。(82 社) 解：原不等式等同於－(x＋1)²＜(a－2)x－a 且(a－2)x－a＜(x－1)²－1

(1)由－(x＋1)²＜(a－2)x－a，⇒ x²＋ax＋(1－a)＞0，∵判別式＝a²－4(1－a)＜0，得－2－2 2＜a＜－2＋2 2 (2)由(a－2)x－a＜(x－1)²－1，⇒ x²－ax＋a＞0，∵判別式＝(－a)²－4a＜0，得 0＜a＜4

由(1)(2)，得 0＜a＜－2＋2 2 答：0＜a＜－2＋2 2

21.在(50＋49x＋48x²＋…＋2x⁴⁸＋x⁴⁹)(50x⁴⁹＋49x⁴⁸＋…＋3x²＋2x＋1)展式中 x⁴⁹項的係數為何？(82 夜大) 解：x⁴⁹項的係數＝50×50＋49×49＋48×48＋……＋2×2＋1×1＝

6 101 51 50× ×

＝42925 答：42925

22.已知 A(1，2)與 B(3，4)為兩定點，P(x，y)為直線 x＋2y＝3 上一點。問PA=PB時，P 的坐標為 。(83 推甄) 解：(1)∵P 在直線x＋2y＝3 上，如右圖，∴設 P(3－2k，k)

(2)∵PA=PB，∴ (3−2k−1)²+(k−2)² ＝ (3−2k−3)² +(k−4)²

⇒ 平方整理得 5k²－12k＋8＝5k²－8k＋16，∴k＝－2，故 P(7，－2) 答：(7，－2)

P B

A

x＋2y＝3

23.若函數 f (x)＝ax²＋bx＋c 的圖形如圖，則下列各數那些為負數？(83 推甄) (1) a (2) b (3) c (4) b²－4ac (5) a－b＋c

解：(1)∵圖形開口向上，∴a＞0 (2)∵頂點的 x 分量＝－

a b

2 ＜0，且 a＞0，∴b＞0 (3)∵圖形與 y 軸交點(0，c)在 y 軸負向上，∴c＜0

(4)∵圖形與 x 軸交於兩點，有兩相異實數根，∴判別式 b²－4ac＞0 (5)∵f (－1)＝a－b＋c＜0

答：(3)(5)

24.已知 p 為常數，若 x²＋px＋6 與 x³＋px＋6 的最低公倍式為四次式，則 p＝ 。(83 推甄)

解：(1)設 f (x)＝x²＋px＋6，g(x)＝x³＋px＋6，∵deg [f (x)，g(x)]＝4，deg ( f (x)g(x) )＝5，得知 deg ( f (x)，g(x) )＝1 (2)∵g(x)－f (x)＝x³－x²＝x²(x－1)，且 x 不是 f (x)的因式 (∵f (0)＝6≠0)

∴f (x)，g(x)的最高公因式(H.C.F.)為 x－1

⇒ f (1)＝1＋p＋6＝0，得 p＝－7 答：－7

25.若對所有實數x，3x²＋2ax－a≥ 0 均成立，則 a 之範圍為______。(83 自)

解：3x²＋2ax－a≥0 均成立的條件為，判別式(2a)²－4×3×(－a) ≤ 0，⇒ a(a＋3) ≤ 0，∴－3≤ a ≤ 0 答：－3≤ a ≤ 0

26.已知多項式 f (x)＝x⁴－5x³＋3x²＋19x－30，若 f (x)＝0 有一複數根 2＋i，且實數 a 滿足 f (a)＜0，試求 a 的範圍_____。

解：(1)∵f (x)＝x⁴－5x³＋3x²＋19x－30 為實係數多項式，有一複數根 2＋i，必有另一根 2－i 且 [x－(2＋i)] [x－(2－i)]＝x2－4x＋5

(2) f (x)＝x⁴－5x³＋3x²＋19x－30＝(x²－4x＋5)( x²－x－6)

⇒ f (a)＝(a²－4a＋5)(a－3)(a＋2)＜0，其中 a²－4a＋5 恆正，∴(a－3)(a＋2)＜0，得知－2＜a＜3 答：－2＜a＜3 (83 社)

27.已知二拋物線 x＝y²＋3y－2 與 y＝x²－kx＋19 有交點，其中有二個交點在直線 x＋y＝3 上，則 k 的值等於多少？

解：由







= +

+

−

=

− +

= 3

19 2 3

2 2

y x

kx x y

y y x

，得解x＝8，y＝－5，代入 y＝x²－kx＋19，得知 k＝－11

答：－11 (84 推甄)

28.已知二多項式，P(x)＝1＋2x＋3x²＋……＋11x¹⁰＝ ^k

k

x

∑

= 10 +

0

)

(1 ，Q(x)＝1＋3x²＋5x⁴＋……＋11x¹⁰＝

∑

= 5 +

0

) 2

1 2 (

k

x k

k ，

則P(x)和 Q(x)的乘積中，x⁹的係數為______。(84 推甄) 解：∵P(x)＝1＋2x＋3x²＋4x³＋……＋10x⁹＋11x¹⁰

Q(x)＝1＋3x²＋5x⁴＋7x⁶＋9x⁸＋11x¹⁰

∴P(x)Q(x)的 x⁹的係數＝2×9＋4×7＋6×5＋8×3＋10×1＝110 答：110

x y

0.5 1 -2 -1

•

29.設 m 為實數，若二次函數 y＝mx²＋10x＋m＋6 的圖形在直線 y＝2 上方，則 m 值範圍為何？(84 推甄) (1) m＞0 (2) m＞−2+ 29 (3) 0＜m＜−2+ 29

(4)−2− 29＜m＜−2+ 29 (5) m＞−2+ 29或m＜−2− 29 解：根據題意：mx²＋10x＋m＋6＞2，⇒ ∀x∈R，mx²＋10x＋m＋4＞0 (恆正)

∴滿足條件：開口向上m＞0 ……(1)

判別式＝100－4m(m＋4)＜0 ……(2)

由(2)得 m²＋4m－25＞0，得解 m＞−2+ 29或m＜−2− 29 但由(1) m＞0，故 m＞−2+ 29

答：(2)

30.右圖中 A，B，C，D，E 為坐標平面上的五個點，將這五點的坐標(x，y)分別代入 x－y＝k，問哪一點所得的值最大？

(1) A (2) B (3) C (4) D (5) E 解：如下圖，x－y＝k 表示斜率為1 的直線，

∴當x 值愈大，y 值愈小，使 k 愈大 答：(5) (84 推甄)

31.若多項式 f (x)＝2x³－4x²＋2x＋(2c＋4)，g(x)＝3x³－6x²＋2x＋(3c＋5)的最高公因式為一次式，則 c 之值為_____。

解：(1)設其最高公因式為 d(x)，∴d(x)| f (x)且 d(x)| g(x)

∴d(x)| [ 2x³－4x²＋2x＋(2c＋4)]×3－[3x³－6x²＋2x＋(3c＋5)]×2，⇒ d(x)| 2(x＋1)，∴得知 d(x)＝x＋1 (2)令 x＝－1，f (－1)＝－2－4－2＋(2c＋4)＝0，∴c＝2

答：2 (84 社)

32.設 f (x)為實係數三次多項式，且 f (i)＝0，i= −1，則函數y＝f (x)的圖形與 x 軸有幾個交點？(85 推甄) (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5)因 f(x)的不同而異

解：(1)∵f (x)為實係數三次多項式，且 f (i)＝0，∴f (－i)＝0，即 f (x)有 x＝i 與 x＝－i 兩個虛根 (2)而三次多項式 f (x)有三個根，故另一根為實數根，∴得知其圖形與 x 軸交 1 個點

答：(2)

33.坐標平面上 A(1，2)到直線 L 的垂足是 D(3，2)，問 A 對於 L 的對稱點是下列那一點？(85 推甄) (1) (－2，0) (2) (－1，0) (3) (2，0) (4) (2，2) (5) (5，2)

解：設A 對於 L 的對稱點是 B(x，y)

∵D 點是 A 與 B 的中點

∴3＝ 2 +1

x ⇒ x＝5

2＝ 2 +2

y ⇒ y＝2 答：(5)

34.設 D 點在 ∆ABC 的BC上，且∆ABD 的面積＝

3

2∆ADC 的面積，若 B 的坐標為(0，5)，C 的坐標為(7，0)，則 D 的 坐標為________。(85 推甄)

O A

• B

• C

• D

• E

•

x y

O A

• B

• C

• D

• E

•

x y

x－y＝0 k＞0 k＜0

•

A(1，2) D(3，2)

L B

解：(1)如圖，∵

3

=2

∆ =

∆

DC BD ADC

ABD 面積

面積 ，∴BD：DC＝2：3

(2)設 D(x，y)，∴(x，y)＝

3 2

) 5 , 0 ( 3 ) 0 , 7 ( 2

+

+ ＝(

5 14，3)

答：( 5 14，3)

35.設 f (x)與 g (x)為實係數多項式，以 x²－3x＋2 除 f (x)得餘式 3x－4，以 x－1 除 g(x)得餘式 5 且 g(2)＝－3。(85 社) (1)試求以 x－1 除 f (x)＋g(x)的餘式。 (2)試證 f (x)g(x)＝0 在 1 與 2 之間有實根。

解：(1)設 f (x)＝(x²－3x＋2)Q1 (x)＋(3x－4)，g(x)＝(x－1) Q2 (x)＋5

∴x－1 除 f (x)＋g(x)的餘式＝f (1)＋g(1)＝－1＋5＝4 (2)∵f (1)＝－1，f (2)＝2，g(1)＝5，g(2)＝－3

∴f (1) g(1)＝－5，f (2) g(2)＝－6 答：

36.設 a 為實數，i 表示虛數單位 −1，若

2 2 3

) 3 ( 5

) ( ) 2 1 (

i a

i a i

− +

− ＝

3

5，試求a 之值。(86 進修)

解：3

5＝ ₂

2 3

3 5

2 1

i a

i a i

− +

− ＝

) 9 ( 5

) 1 ( 5

2 3 2

+

⋅ +

⋅ a

a ＝

9 ) 1 ( 5

2 2

+ + a

a

⇒ a²＝3，∴a＝± 3 答：a＝± 3

37.設 f (x)＝x⁵＋6x⁴－4x³＋25x²＋30x＋20，則 f (－7)＝_____。(86 推甄) 解：利用綜合除法，如右表

答：6

38.設 f (x)為二次函數，且不等式 f (x)＞0 之解為－2＜x＜4，則 f (2x)＜0 之解為多少？(86 推甄)

(1)－2＜x＜4 (2) x＜－1 或 x＞2 (3) x＜－2 或 x＞4 (4)－4＜x＜8 (5) x＜－4 或 x＞8 解：如右圖，

∵f (x)＞0 之解為－2＜x＜4，∴f (x)＜0 之解為 x＜－2 或 x＞4

⇒ f (2x)＜0 之解為 2x＜－2 或 2x＞4，得知 x＜－1 或 x＞2 答：(2)

39.設 f (x)＝

∑

= 3 −

1

)2

(

n

n

x ＋

∑

= 10 −

8

)2

(

n

n

x 。若f (x)在 x＝a 處有最小值，則下列哪些是正確的？(86 推甄) (1) a 為整數 (2) a＜5.9 (3) a＞5.1 (4) a－4 ＜0.5 (5) a－6 ＜0.5

解：∵f (x)＝(x－1)²＋(x－2)²＋(x－3)²＋(x－8)²＋(x－9)²＋(x－10)²

∴x＝a＝

6

10 9 8 3 2

1+ + + + +

＝5.5 處有最小值。 (∵有 1，2，3，4，5，6 等偶數個數) 答：(2)(3)

40.設整系數方程式 x⁴＋3x³＋bx²＋cx＋10＝0 有四個相異有理根，則其最大根為____。(86 社) 解：根據牛頓定理，其可能之有理根為1，－1，2，－2，5，－5，10，－10

但是此四相異根之和為－3，乘積為 10，∴四根為 1，－1，2，－5，⇒ 最大根為 2 答：2

1＋6－4＋25＋30＋20

1－1＋3＋4 ＋2＋ 6

－7＋7－21－28－14 －7

－2 4

－ ＋

＋ A

B D C

41.設 m 為實數，若以 2x＋1 除 4x²－2mx＋5 與 8x⁵＋3mx²＋7 所得餘式相同，求 m 之值。(86 推廣) 解：設其餘式為k，∴(2x＋1)| 4x²－2mx＋5－k 且(2x＋1)| 8x⁵＋3mx²＋7－k

⇒ (2x＋1)|( 4x²－2mx＋5－k)×(－1)＋(8x⁵＋3mx²＋7－k)×1

⇒ (2x＋1)| 8x⁵＋(3m－4)x²＋2mx＋2

⇒ 以 x＝－

2

1代入8x⁵＋(3m－4)x²＋2mx＋2＝0，得知－

4 m ＋

4

3＝0，∴m＝3 答：3

42.設 f (x)為二次函數且不等式 f (x)＞0 之解為－2＜x＜4，則 f (2x)＜0 之解為 (86 推甄)

(1)－1＜x＜2 (2)x＜－1 或 x＞2 (3) x＜－1 或 x＞4 (4)－4＜x＜8 (5) x＜－4 或 x＞8 解：(1)∵f (x)＞0 之解為－2＜x＜4，∴設 f (x)＝k(x＋2)(x－4)，k＜0

(2) f (2x)＝k(2x＋2)(2x－4)＝4k(x＋1)(x－2)＜0，⇒ (x＋1)(x－2)＞0，得解為 x＜－1 或 x＞2 答：(2)

43.設 a 與 b 均為實數，且二次函數 f (x)＝a(x－1)²＋b 滿足 f (4)＞0，f (5)＜0，試問下列何者為真？(87 推甄) (1) f (0)＞0 (2) f (－1)＞0 (3) f (－2)＞0 (4) f (－3)＞0 (5) f (－4)＞0

解：根據題意：f (x)以 x－1＝0 為對稱軸，且 f (4)＞0，f (5)＜0，∴圖形如右 (4) f (－3)＜0

(5) f (－4)＜0 答：(1)(2)(3)

44.設 f (x)為一多項式。若(x＋1) f (x)除以 x²＋x＋1 的餘式為5x+3，則f (x)除以 x²＋x＋1 的餘式為 。(87 推甄) 解：設f (x)＝(x²＋x＋1)Q(x)＋(ax＋b)

∴(x＋1) f (x)＝(x＋1)[(x²＋x＋1)Q(x)＋(ax＋b)]＝(x＋1)(x²＋x＋1)Q(x)＋[ax²＋(a＋b)x＋b]

＝(x²＋x＋1)[ (x＋1)Q(x)]＋a(x²＋x＋1)＋(bx－a＋b)＝(x²＋x＋1)[ (x＋1)Q(x)＋a]＋(bx－a＋b)

⇒ 餘式 5x＋3＝bx－a＋b，∴b＝5，a＝2

⇒ f (x)＝(x²＋x＋1)Q(x)＋(2x＋5) 答：2x＋5

45.設 1－i 為 x²＋ax＋3－i＝0 的一根，則 a 的值為何？(87 推甄) (1)－3 (2)－2 (3)－1－i (4) 2 (5) 3

解：令x＝1－i代入x²＋ax＋3－i＝0，∴(1－i)²＋a(1－i)＋3－i＝0，⇒ (a＋3)＋(－a－3)i＝0，得解a＝－3 答：(1)

註：x²＋ax＋3－i＝0 不為實數係數方程式，不可假設另一根為 1＋i

46.設α、β、γ為 3x³－6x²＋(k²－1)x＋k＝0 之三根，若α³＋β³＋γ³＝7，則 k＝？(87 推甄) (1)－1 (2) 1 (3)－

2

3 (4)

2

3 (5) 0

解：∵α＋β＋γ＝2，αβ＋βγ＋αγ＝

3

2 −1

k ，αβγ＝－

3 k

由α³＋β³＋γ³－3αβγ＝(α＋β＋γ)(α²＋β²＋γ²－αβ－βγ－αγ)＝(α＋β＋γ)[(α＋β＋γ)²－3(αβ＋βγ＋αγ)]

⇒ 7－3(－

3

k )＝2[4－3(

3

2−1

k )]，⇒ 2k²＋k－3＝0，得解 k＝1 或 k＝－

2 3 答：(2)(3)

4 5

y

x x=1

-2 -3

47.在空間中，下列哪些點可與 A(1，2，3)，B(2，5，3)，C(2，6，4)三點構成一平行四邊形？(87 推甄) (1) (－1，－5，－2) (2) (1，1，2) (3) (1，3，4)

(4) (3，7，6) (5) (3，9，4)

解：如圖，利用平行四邊形對角線交於一點且互相平分性質 平行四邊形ABCP，∴P(1，3，4)

平行四邊形ACBQ，∴Q(1，1，2) 平行四邊形ABRC，∴R(3，9，4) 答：(2)(3)(5)

48.若多項式 x³＋4x²＋5x－3 除以 f (x)得商 x＋2，餘式為 2x－1，則 f (x)＝______。(87 社) 解：∵x³＋4x²＋5x－3＝f (x)( x＋2)＋(2x－1)，∴f (x)＝

2

) 1 2 ( 3 5 4 ²

3

+

−

−

− + +

x

x x

x

x ＝x²＋2x－1

答：x²＋2x－1

49.設 f (x)為二次以上的多項式，除以 x－1 餘 5，除以 2x＋1 餘 2，求 f (x)除以 2x²－x－1 的餘式？(87 進修) 解：根據題意f (x)＝(x－1)Q1(x)＋5＝(2x＋1)Q2(x)＋2

設f (x)＝(2x²－x－1)Q(x)＋(ax＋b)＝(x－1)(2x＋1)Q(x)＋(ax＋b)

∴f (1)＝a＋b＝5，且 f (－

2 1)＝

2

1a＋b＝2，解得 a＝2，b＝3，故餘式＝2x＋3 答：2x＋3

50.設α、β、γ 為方程式 2x³－4x²＋6x－1＝0 之三根，試求α²＋β²＋γ²之值。(87 進修) 解：由根與係數的關係得知α＋β＋γ＝2，αβ＋βγ＋αγ＝3

∴α²＋β²＋γ²＝(α＋β＋γ)²－2(αβ＋βγ＋αγ)＝2²－2×3＝－2 答：－2

51.設 a，b，c 為正整數，而 b，c 的最大公因數為 2，且(13x＋a)²＝(12x＋b )²＋(5x＋c)²對任意實數x 恆成立，

求a，b，c 之值。(87 自)

解：(1)∵(12x＋b )²＋(5x＋c)²＝169x²＋( 24b＋10c ) x＋( b²＋c² )＝(13x＋a)²為一完全平方式

∴判別式＝(24b＋10c )²－4 × 169 ( b²＋c² )＝0

⇒ 25b²－120bc＋144 c²＝0，即 (5b－12c)²＝0，∴得 5b＝12c (2)∵(b，c)＝2，∴設 b＝2h，c＝2k，(h，k)＝1 代入 5b＝12c

⇒ 5h＝12k，⇒ h＝12，k＝5，得 b＝24，c＝10，代回 169x²＋( 24b＋10c ) x＋( b²＋c² )＝(13x＋a)²

⇒169x²＋676x＋676＝(13x＋a)²，得a＝26 答：a＝26，b＝24，c＝10

52.三次方程式 x³＋x²－2x－1＝0 在下列那些連續整數之間有根？(88 推甄)

(1)－2 與－1 之間 (2)－1 與 0 之間 (3) 0 與 1 之間 (4) 1 與 2 之間 (5) 2 與 3 之間 解：設f (x)＝x³＋x²－2x－1，如右圖

∵f (－2)⋅f (－1)＜0；

f (－1)⋅f (0)＜0；

f (1)⋅f (2)＜0；

∴在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)等區間，f (x)＝0 都有實根 答：(1)(2)(4)

－2 －1 0 1 2 3

－1 1 －1 －1 7 29 f (x)

x

A

B

Q P

C R

53.一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方，海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心，由大王椰子樹向東走 12 步埋他的第一件珠寶；由大王椰子樹向東走 4 步，再往北走 a 步埋他的第二件珠寶；最後由大王椰子樹向東走 a 步，再往南走8 步埋他的第三件珠寶。事隔多年之後，海盜僅記得 a＞0 及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上。

那麼a＝_____。 (88 推甄)

解：(1)如右圖，設大王椰子樹為原點

則三件珠寶依序為A(12，0)，B(4，a)，C(a，－8) (2)∵A，B，C 三點共線，∴m_AB＝m_AC

⇒4 12 0

−

− a ＝

12 0 8

−

−

−

a ，⇒ (a－16)(a＋4)＝0，得知 a＝16 或－4(不合) 答：16

54.設一長方體的長、寬、高分別為 10 單位、8 單位、4 單位，則其任意兩項點間最長的距離為 單位。(88 社) 解：最長＝ 10²+8² +4² ＝ 180＝6 5

答：6 5

55.若 a，b 均為整數且方程式 x²－ax＋817＝0 與 x²－bx＋3553＝0 有一共同的質數根，則數對(a，b)＝_____。(88 社) 解：(1)∵x²－ax＋817＝0 與 x²－bx＋3553＝0 的整數根為 817 與 3553 的公因數，∴(817，3553)＝19，且 19 為質數

(2) x²－ax＋817＝(x－19)(x－43)，∴a＝19＋43＝62 x²－bx＋3553＝(x－19)(x－187)，∴b＝19＋187＝206 答：(62，206)

56.如下圖所示，FG是一條長4 公尺的鐵絲，C 是線段FG上的一點，將CG圍成另一個等腰直角三角形CDE，將CF 圍成另一個等腰直角三角形CBA。(88 社)

(1)試說明梯形 ABDE 的面積與 C 點的位置無關。

(2)求梯形 ABDE 的面積。

解：如右圖，設AB＝BC＝x，DE＝CD＝y

∴AB＋BC＋AC＋CD＋DE＋CE＝x＋x＋ 2x＋y＋y＋ 2y＝4

⇒ (2＋ 2)(x＋y)＝4，x＋y＝2(2－ 2) 梯形ABDE 的面積＝

2

1(AB＋DE)(BC＋CD)

＝2

1(x＋y)(x＋y)＝

2

1(x＋y)²＝ 2

1[2(2－ 2)]²＝12－8 2

⇒ 得知 ABDE 的面積為一常數，與 C 點位置無關 答：(1)略；(2) 12－8 2

57.已知 y＝x (x－1)(x＋1)之圖形如下圖所示。今考慮 f (x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，則方程式 f (x)＝0，(88 自) (1)有三個實根

(2)當 x＜－1 時，恰有一實根(有一實根且僅有一實根) (3)當－1＜x＜0 時，恰有一實根

(4)當 0＜x＜1 時，恰有一實根 (5)當 1＜x 時，恰有一實根

解：如圖，f (x)的圖形是由 y 的圖形向上平移 0.01，

(1) f (x)的圖形與 x 軸交於 3 點，故有 3 個實根

(2)當 x＜－1 時，f (x)的圖形與 x 軸交於 1 點，故有 1 實根 (3)當－1＜x＜0 時，f (x)的圖形與 x 軸不相交，故無實根 (4)當 0＜x＜1 時，f (x)的圖形與 x 軸交於 2 點，故有 2 實根 (5)當 1＜x 時，f (x)的圖形與 x 軸不相交，故無實根

答：(1)(2)

x y

-1 0 1

f (x) y

-2 ^{• • •} 2 ^• A(12,0)

•

• B(4,a)

C(a,-8)

•

x y

O

A

E

C D G F B

58.設方程式 x⁴－4x³－3x²＋ax＋b＝0 有一根為 1，其餘三根成等差，其中 a，b 為實數，求 a，b 之值。(88 進修) 解：設其餘三根為k－d，k，k＋d，∴四根之和＝1＝1＋(k－d)＋k＋(k＋d)，得知 k＝1

⇒ x⁴－4x³－3x²＋ax＋b＝(x－1)(x－1)Q(x)

利用綜合除法，得知Q(x)＝x²－2x－8，且 a＝14，b＝－8 答：a＝14，b＝－8

59.將行列式

x x x

2 1

2 1

2 1

展開得到多項式f (x)。下列有關 f (x)的敘述，何者為真？(89 推甄)

(1) f (x)是一個三次多項式 (2) f (1)＝0 (3) f (2)＝0 (4) f (－3)＝0 (5) f (5)＝0

解：

x x x

2 1

2 1

2 1

＝x³－7x＋6＝(x－1)(x－2)(x＋3)，⇒ f (1)＝0，f (2)＝0，f (－3)＝0

答：(1)(2)(3)(4)

60.設三次多項式 x³－17x²＋32x－30＝0 有兩複數根 a＋i 與 1＋bi，其中 a，b 是不為 0 的實數，試求它的實根為_____。

解：(1)根據「實係數多項式方程式，若有複數根必成共軛出現」，且此多項式為三次多項式

∴其兩複數根a＋i 與 1＋bi 互為共軛複數，⇒ a＝1，b＝1 (2)故 x＝1＋i 與 x＝1－i 為此三次多項式之兩根

以x＝1＋i 與 x＝1－i 為兩根之方程式為 x²－[(1＋i)＋(1－i)] x＋(1＋i)(1－i)＝0，即 x²－2x＋2＝0 (3) x³－17x²＋32x－30＝(x²－2x＋2)(x－15)＝0，∴第三根為 x＝15

答：x＝15 (89 推甄)

61.在某海防觀測站的東方 12 海浬處有 A、B 兩艘船相會之後，A 船以每小時 12 海浬的速度往南航行，B 船以每小時 3 海浬的速度向北航行。問幾小時後，觀測站及 A、B 兩船恰成一直角三角形？答：______小時。(89 推甄)

解：設x 小時後恰成一直角三角形，如右圖 OB2＝12²＋(3x)²＝144＋9x²

OA2＝12²＋(12x)²＝144＋144x² 在∆OAB 中，AB²＝OA²＋OB²

∴(15x)²＝(144＋144x²)＋(144＋9x²)，得 x＝2 答：2

62.王先生採收酪梨共獲 1080 粒，要打包裝箱上市。已知大箱一箱可裝 25 粒，小箱一箱可裝 8 粒；每個大箱子成本 60 元，每個小箱子成本 20 元，試問能將這 1080 粒的酪梨剛好裝完，所用箱子成本最少為 元。(89 社) 解：設使用大箱x 箱，小箱 y 箱，x、y 均為正整數

使用箱子成本＝60x＋20y 25 x＋8y＝1080，⇒ y＝

8 25 1080− x

＝135－

8

25x＞0，∴x 為 8 的倍數

x 0 8 16 24 32 40

y 135 110 85 60 35 10 60x＋20y 2700 2680 2660 2640 2620 2600

∴取x＝40，y＝10 時，成本最少＝2600 元 答：2600

東 12x 3x

A B O 12

63.設 a 為一非零實數，試問方程式 x³＋x²－x＋a＝0 的根可能的情形為何？(89 自)

(1)有三個負根 (2)有兩個負根和一個正根 (3)有一個負根和兩個正根 (4)有三個正根 (5)僅有一個實根

解：(1)將方程式 x³＋x²－x＋a＝0 改為方程組 y＝x³＋x²－x，且 y＝a

令y＝f(x)＝－x³－x²＋x ⇒ f ′(x)＝－3x²－2x＋1＝－( x＋1)(3x＋1)，如右圖 (i) f (x)在 x＜－1 時，遞減；

(ii) f (x)在(－1，

3

1) 時，遞增

(iii) f (x)在 x＞

3

1時，遞減

∴y＝f (x)在 x＝－1 時，有最低點(－1，－1)，在 x = 3

1時，有最高點 ( 3 1，

27 5 ) (2)將 y＝f (x)的圖形畫出來，討論 y＝f(x)與 y＝a 的交點數

(i) a＞

27

5 或a＜－1 時，恰有一實根

(ii) 0＜a＜

27

5 時，有二正根一負根 (iii)－1＜a＜0 時，有一正根二負根 答：(2)(3)(5)

64.設實係數二次方程式 x²＋x＋c＝0 的兩根 a，b 都不是實數，而且 a 1，

b

1也是此方程式的兩根，

則a²＋b²的數值為_______。(89 自)

解：(1) a，b 是方程式 x² + x + c＝0 的兩根，∴a＋b＝－1，ab＝c a

1， b

1是方程式x² + x + c＝0 的兩根，∴

a 1＋

b

1＝－1，

a 1×

b 1＝c

(2)∵－1＝

a 1＋

b 1＝

ab b a+

＝ab

−1

，∴ab＝1＝c (3) a² + b²＝(a＋b)²－2 ab＝(－1)2－2×1＝－1 答：－1

65.關於多項式 f (x)＝x⁴－15，下列選項何者為真？(89 社)

(1) f (x)＝0 在 1 與 2 之間有一實根 (2) f (x) = 0 在－2 與－1 之間有一實根 (3) f (x)＝0 沒有大於 2 的實根 (4) f (x) = 0 沒有小於－2 的實根 (5) f (x)＝0 有四個實根

解：∵f (x) = x⁴－15＝(x²)²－( 15)²＝(x²＋ 15)(x²－ 15)＝0，∴x＝±⁴15，且－2＜－⁴15＜－1，1＜⁴15＜2 答：(1)(2)(3)(4)

66.設 a，b，c 為實數。若二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c 的圖形通過( 0，－1 )且與 x 軸相切，則下列選項何者為真？

(1) a＜0 (2) b＞0 (3) c＝－1 (4) b²＋4ac＝0 (5) a＋b＋c ≤ 0 解：(1)∵圖形通過( 0，－1 )，且與 x 軸相切，如右圖

∴知拋物線開口必向下，因此a＜0，且 c＝－1 (2)頂點的 x 分量＝－

a b

2 ＞0 或－

a b

2 ＜0，∴b＞0 或 b＜0 (3)∵與 x 軸相切(交於 1 點，表示函數有重根)，∴b²－4ac＝0。

(4)∵開口向下及與 x 軸相切，∴當 x＝1 時，f (1)＝a＋b＋c≤0 答：(1)(3)(5) (90 推甄)

x y

(0,-1)

67.設多項式 f ( x )除以 x²－5x＋4，餘式為 x＋2；除以 x²－5x＋6，餘式為 3x＋4。則多項式 f ( x )除以 x²－4x＋3，

餘式為 。(90 推甄) 解：(1)根據題意，

f ( x )＝( x²－5x＋4 ) Q1 ( x )＋(x＋2)＝( x－4 )( x－1 ) Q1( x )＋(x＋2) f ( x )＝( x²－5x＋6 ) Q2 ( x )＋(3x＋4)＝( x－2 )( x－3 ) Q2 ( x )＋(3x＋4)

(2)設所求的餘式為 ax＋b，即 f ( x )＝( x²－4x＋3 ) Q3 ( x )＋(ax＋b)＝( x－3 )( x－1 ) Q3( x )＋(ax＋b) 令x＝1，∴3＝a＋b

x＝3，∴13＝3a＋b，解得 a＝5，b＝－2，∴餘式為 5x－2 答：5x－2

68.古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得 16 分，犯規後的罰踢，進一球得 6 分。請問下列哪些得分數 有可能在計分板上出現？ (90 推甄)

(1) 26 (2) 28 (3) 82 (4) 103 (5) 284 解：假設踢進x 球，罰踢 y 球，總得分數為16x＋6y

(1) 16x＋6y＝26 時，x＝0，1 代入都不合 (2) 16x＋6y＝28 時，得 x＝1，y＝2 (3) 16x＋6y＝82 時，則 0≤x≤5 且 y＝

6 16 82− x

＝13－3x＋

3 2 x+

，得x＝1，y＝11 或 x＝4，y＝3 (4) 16x＋6y＝103 時， (16∵ ，6)＝2 不是 103 的因數，∴無整數解

(5) 16x＋6y＝284 時，則 0≤x≤17 且 y＝

6 16 284− x

＝47－3x＋

3 1 x+

，得x＝2，5，8，11，14，17 時，y 均有解 即將x 以不同值代入，可得可能得分情形為：

x 1 4 7

y 2 3 2

總得分數 28 82 284

答：(2)(3)(5)

註：∵不定方程式ax＋by＝c 有整數解的充要條件為(a，b)| c

∴若設16x＋6y＝k，則(16，6) | k，得知 k 必為偶數

69.假設整係數方程式 x⁴＋ax³＋bx²＋cx＋40＝0 有四個相異的正整數根，則四根之和為 。(90 自) 解：(1)設 px－q 為方程式的根，則 p 1，q 40，取 p＝1，q 為正整數

∴方程式可能的一次因式為x－1，x－2，x－4，x－5，x－8，x－10，x－20，x－40 (2)∵四個相異的正整數根之乘積＝40＝1×2×4×5

∴四個相異的正整數根之和＝1＋2＋4＋5＝12 答：12

70.設平面上已有兩點 (0，0)，(a，b)，其中 a ≠ b 而且 a 與 b 皆不為零。現在要選第三點，使得以此三點為頂點之三 角形為等腰，則下列那些點可選為第三點？(90 自)

(1) (b，a) (2) (− b，a) (3) (a − b，b − a) (4) (0，2b) (5) (2a，0) 解：設O(0，0)，P(a，b)，Q(x，y)

(1)以 O 為頂點時，腰長＝OP＝OQ，∴a²＋b²＝x²＋y²，∴(1)(2)正確

(2)以 A 為頂點時，腰長＝OA＝AQ，∴a²＋b²＝(x－a)²＋(y－b)²，∴(3)(4)(5)正確 答：(1)(2)(3)(4)(5)

71.設 a，b，c 為實數，且二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c 滿足 f (－1)＝－3，f (3)＝－1，b²－4ac＜0，則 (90 社) (1) a＜0 (2) c＜0 (3) f (0)＜f (1) (4) f (4)＜f (5) (5) f (－3)＜f (－2)

解：(1)∵根據題意：b²－4ac＜0，且 f (－1)＝－3，f (3)＝－1，

∴圖形不與x 軸相交，開口向下，∴a＜0，如右圖

(2)圖形的頂點可能在 x＝－1，x＝3 之間(右圖上)，或在 x＝3 之右方(右圖下)

⇒ c＝f (0)＜0

(3)由圖形知 f (0)＜f (1)，f (－3)＜f (－2)，但 f (4)、f (5)無法判斷其大小 答：(1)(2)(3)(4)

72.試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述右圖較恰當？(91 學測) (1) ( x－2 )²－2 (2) 2sin ( x )＋2 (3) 2cos ( x ) (4)－0.5(x－2)²＋4 (5) 3－2^x

解：(1)圖形為開口向上之拋物線，與右圖不符

(2)sin ( x )具週期性，右圖的右半部無轉折點，顯然不符 (3)當 x＝

2

π ＞1 時，2cos ( x )＝0 與右圖不符 (5)當 x＝1 時，3－2^x＝1，與右圖不符

(4)開口向下，且當 x＝1 時，－0.5(x－2)²＋4＝3.5 也近似右圖 答：(4)

73.方程式 x⁴＋2x²－1＝0 有多少個實根？(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4 (91 學測補) 解1：令 y＝x² ≥ 0，則原式＝y²＋2y－1＝0，∴y＝－1± 2

得知y＝－1＋ 2，即y 有一正根，∴原方程式 x 有二實根 解2：利用配方法，x⁴＋2x²－1＝0 ⇒ (x²＋1)²＝2，∴ x²＋1＝± 2

若x²＋1＝ 2，則x 有二相異實根 若x²＋1＝－ 2，則x 有二相異虛根 答：(3)

74.方程式 x⁴－4x³－3x²＋x＋1＝0 在下列哪兩個整數之間有實數根？(91 指乙)

(1)－3 與－2 之間 (2)－2 與－1 之間 (3)－1 與 0 之間 (4) 0 與 1 之間 (5) 1 與 2 之間 解：設f (x)＝x⁴－4x³－3x²＋x＋1，如右圖，

∵f (0)⋅f (1)＝1×(－4)＝－4＜0

∴由勘根定理可知在0 與 1 之間，f (x)＝0 有實根 答：(4)

75.已知實數 x，y 滿足方程式 5x²＋4y²－10x＝0，欲求 x²＋y²的最大值，某人的解法如下：(91 指考乙參考) (1)由已知 5x²＋4y²－10x＝0 得 y²＝

4

1(10x－5x²)

(2)所以 x²＋y²＝x²＋ 4

1(10x－5x²)＝－

4 1x²＋

4

10x＝－

4

1( x－5)²＋ 4 25

(3)故當 x＝5 時，有最大值 4 25

請指出上述解法中，錯誤所在哪一行的號碼，若沒有錯誤請選(4)。

解：∵當x＝5 時，代回 y²＝ 4

1(10x－5x²)＝－

4

75，實數y 為無解 答：(3)

76.若 f (x)＝x³－2x²－x＋5﹐則多項式 g(x)＝f ( f (x) )除以(x－2)所得的餘式為：(92 學測 2) (1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11

－3 －2 －1 0 1 2 160 35 2 1 －4 －25 f (x)

x

-1 3

(1,0) •

• (0,1)

x y

解：g(x)＝f ( f (x) )除以(x－2)所得的餘式＝f ( f (2) )＝f (3)＝11 答：(5)

77.設 k 為一整數，若方程式 kx²＋7x＋1＝0 有兩個相異實根，且兩根的乘積介於 71

5 與 71

6 之間，則k＝？(92 學測 F)

解：(1)∵kx²＋7x＋1＝0 有兩個相異實根，∴判別式 D＝49－4k＞0，得 k＜

4 49

(2)兩根的乘積＝

k 1，得

71 5 ＜

k 1＜

71

6 ，∴k＜

5

71且k＞

6 71

(3)由(1)(2)得 4

49＜k＜

6

71，且k 為一整數，故 k＝12 答：12

78.關於三次多項式 f (x)＝x³－6x²＋1，試問下列哪些敘述是正確的？(92 學測補 10)

(1) f (x)＝0 有實根落在 0 與 1 之間 (2) f (x)＝0 有實根大於 1 (3) f (x)＝0 有實根小於－1 (4) f (x)＝0 有實根也有虛根 (5) f (x)＝10 有實根解

解：如下表，根據勘根定理得知在(－1，0)、(0，1)、(5，6)中各有一實數根

x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 …

f (x) … －31 －6 1 －4 －15 －26 －31 －24 1 50 … (1)∵f (0) f (1)＝1×(－4)＜0，∴在(0，1)中 f (x)＝0 有實根

(2)∵在(5，6)中 f (x)＝0 有實根，∴有實根大於 1 (3)如上表，不存在小於－1 的實根

(4)如上表，∵三次方程式只有三個根，且已有三個實數根，∴不存在虛根 (5)如上表，當 f (x)＝10，則 6＜x＜7，故有實根解

答：(1)(2)(5)

79.設多項式(x＋1)⁶除以x²＋1 的餘式為 ax＋b，則 a＝_____，b＝_____。(92 學測補 B) 解：(x＋1)⁶＝(x²＋2x＋1)³ ( 令 x²＋1＝0，∴x²用－1 代入 )

＝(－1＋2x＋1)³＝8x³ ( x²再用－1 代入 )

＝8x(x²)＝8x(－1)＝－8x

∴餘式為－8x＝ax＋b，得知 a＝－8，b＝0 答：a＝－8，b＝0

80.試問不等式(x²－4x＋2)(2x－5)(2x－37) ≤ 0 有多少個整數解？(92 學測補 D) 解：(1)∵x²－4x＋2＝0，則 x＝

2 8 16 4± −

＝2± 2

(2)∴(x²－4x＋2)(2x－5)(2x－37) ≤ 0 ，⇒ [x－(2＋ 2)][x－(2－ 2)](2x－5)(2x－37) ≤ 0 關鍵點在x＝2＋ 2，2－ 2，

2 5，

2

37，作圖如下

∴2－ 2≤ x ≤ 2

5或2＋ 2≤ x ≤ 2

37 (2－ 2＝0.~；2＋ 2＝3.~) 整數解有1，2 或 4，5，6，…，18，共有 17 個

答：17 個

| | | |

2＋ 2 2－ 2

2 5

2 37

＋ ＋

＋ － －

81.沈醫師認為身高 H(公尺)的人，其理想體重 W(公斤)，應符合公式 W＝22H²(公斤)，一般而言，體重在理想體重

±10%範圍內，稱為標準體重；超過 10%但不超過 20%者，稱為微胖；超過 20%者，稱為肥胖。微胖及肥胖都是過 重的現象。對身高H，體重 W 的人，體重過重的充要條件為：W＞cH²＋dH＋e，則(c，d，e)＝_____。(92 指考乙) 解：根據題意，高H 公尺的人理想體重為 22H²公斤，

則過重[包含微胖(超過 10%)與肥胖(超過 20%)]的充要條件為： ₂ ² 22

22 H

H

W－ ＞10%

⇒ W＞22H²＋22H²×10%＝24.2H²＝cH²＋dH＋e

⇒ c＝24.2，d＝0，e＝0 答：(24.2，0，0)

82.設 f (x)為三次實係數多項式，且知複數 1＋i 為 f (x)＝0 之一解。試問下列哪些敘述是正確的？(93 學測 11) (1) f (1－i)＝0 (2) f (2＋i)≠0 (3)沒有實數 x 滿足 f (x)＝x

(4)沒有實數 x 滿足 f (x³)＝0 (5)若 f (0)＞0 且 f (2)＜0，則 f (4)＜0 解：由虛根成雙定理知：方程式f (x)＝0 的三個根為 1＋i，1－i，實數根 α

(1)∵1－i 為方程式 f (x)＝0 的一根，∴ f (1－i)＝0 (2)∵2＋i 不是方程式 f (x)＝0 的一根，∴f (2＋i)≠0

(3)∵f(x)－x＝0 為 3 次實係數多項方程式，由虛根成雙定理知道方程式至少有一實根。因此至少有一實數 x 滿足 f (x)－x＝0 ⇒ f (x)＝x

(4)∵f (x³)＝0 為 9 次實係數多項方程式，由虛根成雙定理知道奇次數實係數方程式至少有一實根，因此至少有一 實數x 滿足 f (x³)＝0

(5)∵f (0)＞0 且 f (2)＜0，如右圖，根據勘根定理知：

0＜α ＜2，又因 y＝f (x)的圖形是連續不斷的，且方程式 f (x)＝0 恰只有一實數根，

即與x 軸恰有一交點(0，α )，因此 x＞2 的圖形恆在 x 軸的下方，故 f (4)＜0 答：(1)(2)(5)

83.設 a 為實數，令α、β為二次方程式 x²＋ax＋(a－2)＝0 的兩個根。試問當 a 為何值時，α－β 有最小值？(93 指乙) 解：(1)根據題意，∴α＋β＝a，αβ＝a－2 且判別式 D＝a²－4(a－2)＝(a－2)²＋4 ≥ 4，得知方程式有二實數根

(2) α－β ＝ (α +β)²−4αβ ＝ a²− a4( −2)＝ (a−2)²+4，即當a＝2 時，α－β 有最小值 2 答：a＝2

84.設方程式 x⁵的五個根為1，w1，w 2，w 3，w4，則( 3－w1) ( 3－w2 ) ( 3－w3 ) ( 3－w4 )＝

(1)81 (2)162 (3)121 (4)242 (93 指甲)

解：x⁵－1＝( x－1) ( x－w1 ) ( x－w2 ) ( x－w3 ) ( x－w4 )，又 x⁵－1＝( x－1) ( x⁴＋x³＋x²＋x＋1 )

∴( x－w1 ) ( x－w2 ) ( x－w3 ) ( x－w4 )＝x⁴＋x³＋x²＋x＋1

令x＝3，得( 3－w1 ) ( 3－w2 ) ( 3－w3 ) ( 3－w4 )＝3⁴＋3³＋3²＋3＋1＝121 答：(3)

85.已知整係數多項式 f (x)滿足 f (2) = f (4) = f (6) = 0，而且除了 x = 2，4，6 之外，f (x)的函數值恆正。下列選項有哪些 必定是正確的？(93 指甲)

(1) f (x)的次數至少為 6 (2) f (x)的次數為奇數 (3) f (1)為奇數 (4) f ′(4)＝0

解：根據題意，設f (x)＝(x－2)^2a(x－4)^2b(x－6)^2kQ(x)，a，b，k∈N，Q(x)＞0 (1)deg f (x) ≥ 6

(2) f (1)＝(1－2)^2a(1－4)^2b(1－6)^2kQ(1)可能為奇數或偶數 (3)∵f ′(4)＝

4 ) 4 ( ) lim (

4 −

−

→ x

f x f

x ＝

4 ) 0 ( ) lim (

4 −

−

→ x

f x f

x ＝

lim4

→

x [(x－2)^2a(x－4)^2b－1(x－6)^2kQ(x)]＝0 答：(1)(4)

86.若多項式 x²＋x＋2 能整除 x⁵＋x⁴＋x³＋px²＋2x＋q，則 p＝____，q＝____。(94 學測 A) 解：利用綜合除法，

∴餘式3－p＝0 且－2p＋q－2＝0，得 p＝3，q＝8 答：p＝3，q＝8

87.在坐標平面上，正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A(0，1)，B(0，0)，C(1，0)，D(1，1)。設 P 為正方形 ABCD 內部的一點，若∆PDA 與∆PBC 的面積比為 1：2，且∆PAB 與∆PCD 的面積比為 2：3，則 P 點的坐標為________。

(化成最簡分數) (94 學測 B) 解：如右圖，

(1)∵∆PDA：∆PBC＝1：2，且底等長，∴a：b＝1：2，得 P 點之 y 分量為 3 2 (2)∵∆PAB：∆PCD＝2：3，且底等長，∴c：d＝2：3，得 P 點之 x 分量

5 2

∴P 點坐標為(

5 2，

3 2)

答：(5 2，

3 2)

88.設複數 z＝1－i；若 1＋z＋z²＋……＋z⁹＝a＋bi，其中 a，b 為實數，則 a＝____，b＝_____。(94 學測 D) 解：1＋z＋z²＋…＋z⁹＝

z z

−

−

⋅ 1

) 1 ( 1 ¹⁰

＝ i i 32 1+

＝32－i 其中z＝1－i＝ )

2 1 2 ( 1

2 − i ＝ ))

sin( 4 4)

(cos(

2 π π

− +

− i

根據棣美弗定理z¹⁰＝[ ))

sin( 4 4)

(cos(

2 ₋π _{+ −}π

i ]¹⁰＝ ))

4 sin( 10 4 )

(cos( 10

2¹⁰ ₋ π _{+ −} π

i ＝－32i 答：a＝32，b＝－1

89.設x 為一正實數且滿足 x．3^x＝3¹⁸；若x 落在連續正整數 k 與 k＋1 之間，則 k＝______。(94 學測 H) 解：(1)∵x．3^x＝3¹⁸，得知x＜18 且 x＝3^a型式

(2)若a＝2，則 x＝9，x．3^x＝9．3⁹＜3¹⁸

若a＝3，則 x＝27(與 x＜18 不合)，得知 9＜x＜18 (3)當x＝15 時，x．3^x＝15．3¹⁵＜3¹⁸

當x＝16 時，x．3^x＝16．3¹⁶＞3¹⁸，故15＜x＜16，取 k＝15 答：15

90.小明玩戰爭網路遊戲，在螢幕上有一坐標平面，飛機 P 以等速直線前進，在坐標(－12，4)的位置被發現，經過 1 秒後到達坐標(－10，4)，再經 1 秒後，小明從原點選一方向發射一飛彈 R，假設 R 也以直線前進且速率跟 P 相同，

而且R 剛好擊中 P。試求 R 擊中 P 時的坐標(a，b)為( ____，_____ )。(94 指乙)

1＋1＋1＋ p ＋ 2 ＋ q

－1－2＋ 0 ＋ 2 ＋ (－2p－2) ＋0＋ 1 ＋(－p－1)

－1－2

1＋0－1＋(p＋1)＋(3－p)＋(－2p＋q－2)

C(1，0) A(0，1)

B(0，0)

D(1，1)

P(x，y) a

b d c

解：如右圖，P(－12，4)、1 秒後位置(－10，4)，再經 1 秒後位置(－8，4) 設k 秒後，R 擊中 P，則此時 P 點的坐標為 T(－8＋2k，4)

∵R 與 P 之速率相同，∴在∆RST 中，2k＝ (−8+2k)²+4² ，

⇒ k＝2

5，得知P(－3，4) 答：P(－3，4)

91.設一元二次整係數方程式ax²+bx c+ = 有一根為0 4+ 。若將此方程式的兩根與原點在複數平面上標出，則此三點3i 所圍成的三角形面積為：(1) 5 (2) 6 (3) 12 (4) 16 (5) 24 (95 學測 1)

解：根據實係數方程式複數根成共軛性質，得知4−3i也是一根。

令A(4+3i)，B(4−3i)，如右圖，

則∆OAB 之面積＝ 6 4 2

1× × ＝12 答：(3)

92.學生練習計算三次多項式f (x)除以一次多項式 g(x)的餘式。已知 f (x)的三次項係數為 3，一次項係數為 2。甲生在 計算時把f (x)的三次項係數錯看成 2(其它係數沒看錯)，乙生在計算時把 f (x)的一次項係數錯看成－2(其它係數沒看 錯)。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問g(x)可能等於以下哪些一次式？(95 學測 9)

(1) x (2) x－1 (3) x－2 (4) x＋1 (5) x＋2

解1：設f (x)＝3x³＋bx²＋2x＋d，且 g(x)＝a(x－k)，a，b，d，k 為實數，餘數為 R，則 甲生計算時k(x)＝2x³＋bx²＋2x＋d；乙生計算時 h (x)＝3x³＋bx²－2x＋d

2x³＋bx²＋2x＋d＝a(x－k) Q(x)＋R ⇒ 2x³＋bx²＋2x＋(d－R)＝a(x－k) Q(x) ….(1) 3x³＋bx²－2x＋d＝a(x－k) q(x)＋R ⇒ 3x³＋bx²－2x＋(d－R)＝a(x－k) q(x) ….(2) 由(2)－(1)：x³－4x＝a(x－k) [q(x)－Q(x)]，即知 x³－4x 是 x－k 的倍式

又x³－4x＝x(x－2)(x＋2) ⇒ ∴x－k 可能為 x 或 x－2 或 x＋2 解2：設f (x)＝3x³＋bx²＋2x＋d， b，d 為實數，

甲生計算時k (x)＝2x³＋bx²＋2x＋d；乙生計算時 h (x)＝3x³＋bx²－2x＋d，則 (1)若g(x)＝x，則甲得到的餘式＝f (0)＝d；乙得到的餘式＝h(0)＝d，正確

(2)若g(x)＝x－1，則甲得到的餘式＝k(1)＝4＋b＋d；乙得到的餘式＝h(1)＝1＋b＋d，不正確 (3)若g(x)＝x－2，則甲得到的餘式＝k(2)＝20＋b＋d；乙得到的餘式＝h(2)＝20＋b＋d，正確

(4)若g(x)＝x＋1，則甲得到的餘式＝k(－1)＝－4＋b＋d；乙得到的餘式＝h(－1)＝－1＋b＋d，不正確 (5)若g(x)＝x＋2，則甲得到的餘式＝k(－2)＝－20＋b＋d；乙得到的餘式＝h(－2)＝－20＋b＋d，正確 答：(1)(3)(5)

93.給定平面上三點(－6，－2)，(2，－1)，(1，2)。若有第四點和此三點形成一菱形(四邊長皆相等)，則第四點的坐標 為______。(化為最簡分數) (95 學測 C)

解：如圖，設A(－6，－2)，B(2，－1)，C(1，2)，p(x，y)

∵AB＝ 65＝AC，BC＝ 10，∴此菱形之邊長＝ 65 且p 點之x 分量：1＋2＝－6＋x，∴x＝9

p 點之y 分量：2＋(－1)＝－2＋y，∴y＝3 答：(9，3)

A(4+3i)

B(4−3i)

實軸 虛軸

O P 1

R k

k T

S

A(－6，－2)

C(1，2)

B(2，－1)

p(x，y)