單元

單元 _5: 函數

( 課本 x 1.4)

一 _. 函數

函數乃一種描述自變數 (independent variable) 與應 變數 (dependent variable) 間的關係_, 且滿足每一自 變數僅對應到 ₍被指派到₎ 一個應變數的值_, 如圖示_.

二 _. 定義域

使得函數有定義的所有自變數的值所形成的集合_, 稱為此 函數的定義域_.

三 _. 值域

應變數所產生的所有值的集合_, 稱為此函數的值域_. 例如_{, (a)} 方程式

x + y = 1 相當於

y = 1 x

故_, 可視為 _x 為自變數_{, y} 為應變數的函數_, 且 定義域 _{= ( 1; 1)}

以及

值域 _{= ( 1; 1)}

(b) 方程式

y = p

x 1

可視為自變數為 _x, 應變數為 _y 的函數_, 且 定義域 _{= [1; 1)}

以及

值域 _{= [0; 1)}

(c) 數學式

y =

( 1 x;p x < 1 x 1; x  1 可視為自變數為 _x, 應變數為 _y 的複合函數

(compound function), 因為應變數乃由二個 ₍或多 個₎ 公式所形成_. 由應變數 _y 的形成方式_, 得

定義域 _{= ( 1; 1)}

再根據應變數 _y 的公式_, 當

x < 1 時_,

y = 1 x > 0 以及當

x  1 時_,

y = p

x 1  0 得

值域 _{= [0; 1)} (d) 方程式

x + y² = 1 的圖形如下_. 由

x = 0 得

y = 1 或 ₁

乃兩個不同的 _y 值_, 故不符合函數的定義_, 而無法將 _y 表示成 _x 的函數_. 或由鉛垂線檢定法 (vertical line

test): 圖形可將 _y 表成 _x 的函數若且為若每一鉛垂線 最多與圖形有一個交點_, 知

x + y² = 1 不會是一個 _x 的函數_.

四 _. 一對一函數

每一應變數的值僅由一個自變數的值所產生_{, (}亦即_, 不同 自變數的值對應到不同的應變數的值₎ 的函數_, 稱為一對 一函數_.

例如_, 函數

y = 1 + x² 不是一對一函數_, 因為

y = 2 可由

x = 1 與 ₁

得到_, 如圖示_. 或由水平線檢定法 (horizontal line test): 函數是一對一若且為若每一水平線最多與圖形有 一個交點_, 知

y = 1 + x²

不是一對一函數_, 如圖示_.

五 _. 函數表示法

舉例說明_, 數學式

f(x) = 5 x 3

表示 _x 為自變數_{, f(x)} 為應變數的值_, 如 f(2) = 5 2

3 = 1

例 _1.

f(x) = x² 4x + 7 試求

f(x +
x) f(x)

x

稱作差商 (dierence quotient).

<解_> 首先_, 根據函數的表示法_,

f(x +
x) = (x +
x)² 4(x +
x) + 7

= x² + 2x
x + (
x)² 4x 4
x+7

故

f(x +
x) f(x)

x = 2x
x + (
x)² 4
x

= 2x +
x 4
x

六 _. 函數的組合

舉例說明_, 令

f(x) = 2x 3 且

g(x) = x² + 1 則

(i) 加法_:

(f + g)(x) ^def= f(x) + g(x)

= x² + 2x 2

(ii) 減法_:

(f g)(x) ^def= f(x) g(x)

= x² + 2x 4

(iii) 乘法_:

(fg)(x) ^def= f(x)g(x)

= 2x³ + 2x 3x² 3

= 2x³ 3x² + 2x 3

(iv) 除法_:

f g

!

(x) ^def= f(x) g(x)

= 2x 3 x² + 1 (v) 合成_: 合成函數

(f  g)(x) ^def= f(g(x))

= f(x² + 1)

= 2(x² + 1) 3

= 2x² 1 如圖示_. 合成函數

(g  f)(x) ^def= g(f(x))

= g(2x 3)

= (2x 3)² + 1

= 4x² 12x + 10

如圖示_. 因此_, 一般而言_,

f  g 6= g  f

七 _. 反函數

二函數 _f 與 _g 互為反函數若對所有 _g 的定義域中的 _x, f(g(x)) = x

且對所有 _f 的定義域中的 _x,

g(f(x)) = x

如圖示_. 通常將 _f 的反函數 _g 表示成 _f ¹_.

註 _1.

f(x) = 2x 的反函數

f ¹(x) = x 2 因為 _"乘 _2" 與 _"除 _2" 互為逆運算_.

(b) 函數

f(x) = 1 3x 的反函數

f ¹(x) = 3x 因為 _"除 _3" 與 _"乘 _3" 互為逆運算_. (c) 函數

f(x) = x + 4 的反函數

f ¹(x) = x 4 因為 _"加 _4" 與 _"減 _4" 互為逆運算_. (d) 函數

f(x) = 2x 5 的運算過程為

乘 _2, 減 ₅ 故其逆運算為

加 _5, 除 ₂

得反函數

f ¹(x) = 1

2(x + 5) (e) 函數

f(x) = x³ 的反函數

f ¹(x) = p³ x

因為 _"3 次方_" 與 _"3 次方根_" 互為逆運算_. (f) 函數

f(x) = 1 x 的運算過程為

顛倒_, 亦即_, 取倒數 故其逆運算為

再顛倒一次_, 亦即_, 再取一次倒數 得反函數

f ¹(x) = 1 x

註 _2.

註 _3.

為何如此_? 若函數非一對一_, 如圖示_, 則至少存在二數 x₁ 6= x₂

使得

f(x₁) = f(x₂) = y₁

因此_, 無法定義 _f ¹_(y1), 因為有二值 _x1 或 _x2 可選_, 無論選誰_, 都無法擺平_, 不符合函數的定義_.

例 _2.

f(x) = p

2x 3 的反函數 _f ¹_(x).

<解_{> (i)} 直觀法_: 因為函數 _f 的運算過程為 乘 _2, 減 _3, 開根號

故其逆運算為

平方_, 加 _3, 除 ₂ 得反函數

f ¹(x) = x² + 3 2 且 _f ¹ 的定義域為

x  0

就是 _f 的值域_, 以及 _f ¹ 的值域為

3

2; 1^ 亦是 _f 的定義域_, 因為

2x 3  0 , x  3 2 (ii) 由定義_, 如圖示_, 得

f(x) = f(f ¹(y)) = y 故

求 _f ¹_(y) 乃相當於

由 _{f(x) = y} 解 _x

因此_,

(1) 令 _{y = f(x),} 得 y = p

2x 3; y  0

(2) 解 _x: 兩邊平方_, 得

y² = 2x 3; y  0 由此得_,

x = 1

2(y² + 3); y  0 亦即

f ¹(y) = 1

2(y² + 3); y  0 (3) 將 _y 換成 _x, 得

f ¹(x) = 1

2(x² + 3); x  0

驗證_: 首先_, 對於 _{x  0,} f(f ¹(x)) =

vu

ut2 x² + 3 2

!

3 =

q

x² = x

又對於 _{x } ³

2,

f ¹(f(x)) = (p

2x 3 )² + 3

2 = 2x

2 = x 因此_, 根據反函數的定義_,

f ¹(x) = 1

2(x² + 3); x  0 確實為

f(x) = p

2x 3; x  3 2 的反函數_.