高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.10.06 班級 普三 班
範 圍
Book5-chap1
機率與應用 座號
姓 名
一、單選題
1. 兩軍交戰，甲軍的裝甲車隊從下圖的 P 點循捷徑駛向 Q 點，
而且每一捷徑路線被選取的機率相等，今乙軍擬在 A，B，C，
D，E 五個地點之一埋伏偷襲，問該選擇何地點較好？
(A) A 地 (B) B 地 (C) C 地 (D) D 地 (E) E 地 Ans： (C)
解析：裝甲車隊循捷徑自P駛向Q，可有
！
！
！ 3 5
8
× = 56 種路線
∵ 由P → A → Q之走法有
！
！
！ 2 3
5
× × 1 = 10 種 由P → B → Q之走法有
！
！
！
！
！ 3 4 2 2
4 ×
× = 24 種 由P → C → Q之走法有
！
！
！
！
！ 2 3
5 2 3
× × = 30 種 由P → D → Q之走法有
！
！
！
！
！ 2 2
4 3 4
× × = 24 種 由P → E → Q之走法有 1 ×
！
！
！ 2 3
5
× = 10 種
∴ 甲軍由P → A → Q的機率為 56 10
由P → B → Q的機率為 56
24；由P → C → Q的機率為 56 30
由P → D → Q的機率為 56
24；由P → E → Q的機率為 56 10
故乙軍選擇在C地埋伏較好
2. 某市為了籌措經費而發行彩券。該市決定每張彩券的售價 100 元；且每發行一百萬張彩 券，即附有壹仟萬元獎1 張，壹佰萬元獎 9 張，拾萬元獎 90 張，壹萬元獎 900 張。假 設某次彩券共發行五百萬張。請問：當你購買一張彩券時，你預期會損失多少元？
(A) 37 元 (B) 43 元 (C) 47 元 (D) 53 元 (E) 63 元 Ans： (E)
解析：獎金可能值 x = 1000，100，10，1（萬元）
其對應機率列表如下
x（萬元） 1000 100 10 1
機率 p 1000000 1
1000000 9
1000000 90
1000000 900
∴ 買一張的期望值
E(X)=1000×
1000000 1 900
1000000 10 90
1000000 100 9
1000000
1 + × + × + × =
10000
37 （萬元）=37（元）
故買一張100 元就損失了 100 − 37 = 63（元）
3. 欲比較高三甲、乙、丙、丁四個班級數學的差異程度，已知甲班數學成績平均 70 分，
標準差為15 分；乙班數學成績平均 60 分，標準差 10 分；丙班數學成績平均 65 分，標 準差14 分；丁班數學成績平均 65 分，標準差 8 分。則下列那一個班程度較整齊？
(A)甲班 (B)乙班 (C)丙班 (D)丁班 (E)不能判斷 Ans： (D)
解析：
甲班的變異係數CVs(甲) = 70
15 × 100％ = 21.43％
乙班的變異係數CVs (乙) = 60
10× 100％ = 16.67％
丙班的變異係數CVs (丙) = 65
14× 100％ = 21.54％
丁班的變異係數CVs (丁) = 65
8 × 100％ = 12.31％
∵ CVs (丙) > CVs (甲) > CVs (乙) > CVs (丁)
∴ 丁班的變異係數最小，故丁班程度比其他班級的程度整齊
4. 某位律師專門接受車禍案件的委託訴訟，收費方式兩種。一種是事前收定額 4 萬元，事 後不再收費；另一種是事前不收費，若勝訴則收取事前約定的金額，但若敗訴就分文不 取。現在該律師接下一個案件，而與委託人商議收費方式。有兩種結果：
(1)如果委託人提議勝訴後支付 12 萬元時，該律師寧願事前收費。
(2)如果委託人提議勝訴後支付 16 萬元時，該律師願意接受事後收費。
則該律師估計此案件勝訴的機率 p 之範圍為 (A) 12
1 16
1 < p< (B)
8 1 12
1 < p< (C)
4 1 8
1< p< (D)
3 1 4
1< p< (E)
3 1 10
3 < p<
Ans： (D)
解析：在(1)方式中，勝訴的期望值為 12p 萬元，而他選擇事前的 4 萬元，表示 12p < 4⇒p <
3 1
在(2)的付費方式中，勝訴的期望值為 16p 萬元，
而他不選擇事前的4 萬元，表示 16p > 4 ⇒ p >
4
1，因此 4 1< p <
3 1
二、多重選擇題
1. 如圖，由 O 以下均有分支管相接，由此管之入口 O 放入一球時（球 在各分支處，球道選擇機率均等），今計算出球由出口 A，B，C，
D 出現的機率分別為 P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，則下列何者為真確？
(A) P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1 (B) P(A) = P(D) = 4 1
(C) P(B) = P(C) = 4
1 (D) P(A) = P(D) = 8
1 (E) P(B) = P(C) = 8 3
Ans： (A)(D)(E)
解析：
P(A) = ( )
8 1 2 1 2 1 2
1× × = = P D P(B) =
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1× × + × × + × × = ( ) 8
3=P C
P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1
2. 某一社區的住戶中，經過調查的結果：訂閱甲報的有 60％，訂閱乙報的有 36％，訂閱 丙報的有32％，且同時訂閱甲、乙兩報的有 30％，同時訂閱乙、丙兩報的有 10％，同 時訂閱甲、丙兩報的有12％，至少訂閱甲、乙、丙三報中的一報的有 80％。今由社區 中任選一住戶，則下列何者為真確？
(A)甲、乙、丙三報都訂的機率為 25
1
(B)訂乙、丙兩報，不訂甲報的機率為 50
3
(C)只訂甲報，不訂乙、丙兩報的機率為 50 11
(D)甲、乙、丙三報都不訂的機率為 25
4
(E)只訂閱一種報紙的機率為 25
9
Ans： (A)(B)(C)(E)
解析：設 A 表訂閱甲報的事件，B 表訂閱乙報的事件，C 表訂閱丙報的事件，則 P(A) = 5 3， P(B) =
25
9 ，P(C) = 25
8 ，P (A∩B) = 10
3 ，P (B∩C) = 10
1 ，P(A∩C) = 25
3 ，P(A∪ ∪B C) = 5 4
(1)三報都訂的機率為 P(A B C)
由 P(A∪B C ) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A
∩ ∩
∪ ∩B ) − P(A∩C ) − P(B∩C ) + P(A B C )
⇒
∩ ∩ )
10 ( 1 25
3 10
3 25
8 25
9
= 53 5
4 + + − − − +P A∩B∩C
∴ P(A∩B∩C ) =
25 1 25 19 5
4− =
(2)訂乙、丙兩報，不訂甲報的機率為
P(A′∩B∩C ) = P(B C ) − P (A∩ ∩B∩C ) =
50 3 25
1 10
1 − = (3)只訂甲報，不訂乙、丙兩報的機率為
P(A∩B'∩C' ) = P(A) − P(A B ) − P(A∩ ∩C ) + P(A∩B∩C )=
50 11 25
1 25
3 10
3 5
3− − + = (4)甲、乙、丙三報均不訂的機率為
P(A′∩B'∩C') = 1 − P(A∪B∪C) = 1 − 5 1 54 = (5)只訂閱一種報紙的機率為
P(A∩B'∩C' ) + P(A'∩B∩C' ) + P(A'∩B'∩C ) =
25 9 50 18 50
0+ 7 = = 5011 +
3. 甲、乙兩人比賽桌球，依過去的經驗，一局比賽甲勝乙的機率為 3
2，乙勝甲的機率為 3 1； 今欲作一次比賽三局中，先勝兩局者為勝，則下列那些是正確的？
(A)乙在第一局，第二局連勝的機率為 9
1 (B)第一局甲勝，第二局乙勝的機率為 9 2
(C)比賽的結果，甲勝的機率為 27
16 (D)比賽的結果，乙勝的機率大於 9
2 (E)在比賽的
結果，乙勝的機率的條件下，乙連勝兩局的機率為 7 5。 Ans： (A)(B)(D)(E)
解析：(A)第一局、第二局乙都勝的機率 = 3 1×
3 1=
9 1
(B)第一局甲勝，第二局乙勝的機率 = 3 2×
3 1=
9 2
(C)比賽結果甲勝的情況如下：(依勝的次序排列) c甲甲 d甲乙甲 e乙甲甲 所以甲勝的機率=
3 2×
3 2+
3 2×
3 1×
3 2+
3 1×
3 2×
3 2=
27 4 4 12+ + =
27 20
(D)比賽的結果乙勝的機率 = 1 − 27 20=
27 7
(E)比賽的結果乙勝的條件下，乙連勝兩場的機率(條件機率)=
27 7 3
1 3 1 3 2 3 1 3
1× + × ×
=7 5
4. 數學老師陳老師本學期教甲、乙兩班學生。甲班有學生 30 人，乙班有學生 20 人，某次 測驗結果：甲班成績之算術平均數為70 分，中位數為 68 分；乙班成績之算術平均數為 60 分，中位數為 61 分。又甲班標準差為 10 分；乙班標準差為 8 分。陳老師想將兩班學 生共50 人之成績合併統計，則根據上述統計量，下列敘述何者為真？
(A)合併之算術平均數高於 70 分 (B)合併之算術平均數介於 60 至 70 分之間 (C)合併之中位數低於 61 分 (D)合併之中位數介於 61 至 68 分之間 (E)合併之標準差低於 8 分
Ans： (B)(D)
解析：甲、乙兩班的人數、算術平均數、中位數及標準差分別列於下表 班級 人數 算術平均數 中位數 標準差
甲 30 70 68 10
乙 20 60 61 8
則兩班合併後
(1)設兩班的算術平均數為X ，甲 X乙，人數為n甲，n乙，
則兩班合併後的算術平均數為X =
乙 甲
乙 乙 甲 甲
n n
X n X n
+ +
已知X乙 < X 甲 ⇒ n甲X乙 < n甲X ，n甲 乙X乙 < n乙X 甲
⇒ n甲X乙+ n乙X乙 < n甲X 甲 + n乙X乙 < n甲X 甲 + n乙X 甲
⇒ (n甲 + n乙) X乙 < n甲X + n甲 乙X乙 < (n甲 + n乙) X 甲
⇒ X乙 <
乙 甲
乙 乙 甲 甲
n n
X n X n
+
+ < X ，即甲 X乙 <X <X 甲
故合併後算術平均數必在兩班各自平均數 60 至 70 分之間 (2)中位數必在兩班中位數之間，即介於 61 至 68 分之間
(3)標準差主要是看資料的離散性，兩組資料中標準差較小的其資料離散程度較小，標準 差較大的其資料離散程度較大。因為兩組資料合併後，其離散程度會比原先離散程度 較小的部分資料來得大，故合併後的標準差會比標準差較小的那組資料來得大
∴ 合併後的標準差大於8 分
5. 某校學生對教師教學評鑑是否教學優良，非常同意得 5 分、同意得 4 分、尚可得 3 分、
不同意得2 分、非常不同意得 1 分。陳老師擔任某班數學課程教師，共有 40 位學生對 老師之評鑑，非常同意有28 人、同意有 8 人、尚可有 4 人、不同意有 0 人、非常不同 意有0 人。若男生的平均分數為 4.75 分，女生的平均分數為 4.5 分，請問男生有幾位？
(A) 16 位 (B) 20 位 (C) 24 位 (D) 28 位 (E) 32 位 Ans： (A)
解析：設男生有 x 位，則女生有 40 − x 位
∵ 男生的平均分數為4.75 分，女生的平均分數為 4.5 分
∴ 總分 = 4.75x + 4.5 × (40 − x) = 28 × 5 + 8 × 4 + 4 × 3
⇒ 0.25x + 180 = 184 ⇒ 0.25x = 4 ∴ x = 16，故男生有 16 位
三、 填充題
1. 某公司出產的燈泡由A廠與B廠製造的依序佔 40％與 60％。已知A廠生產的產品中有 1.5
％的瑕疵品，B廠生產的產品中有 1.8％的瑕疵品，某日運貨部門收到一件瑕疵品，則此 瑕疵品由A廠生產的機率為 。
Ans：0.357
解析：公司在某日收到一件退貨的瑕疵品的機率= 40％× 1.5％+ 60％× 1.8％= 0.0168 此瑕疵品是由 A 廠生產的機率 =
0168 . 0
5 . 1
40％× ％= 0.357
2. 班上同樂會中，有一種丟硬幣遊戲，其規則：出現正面繼續丟，出現反面就出局，今有
4 名學生，每人各玩一局，求 4 人中至少一人連續丟二次後還可以繼續丟下去的機率
，而4 人中，至少有一人連續五次後，還可繼續丟下去的機率為 。 Ans：
256
175，1 − ( 32 31)4
解析：(1)每個人連續丟兩次後可以再丟的機率為 4
1，即不能丟第三次的機率為 4 3
所以 4 人中，至少一人連續丟兩次後，可以再丟的機率為 1 − (4 個人都不能再丟的機率) = 1 − (
4
3)4 = 1 − 256
81 = 256 175
(2)同(1)的作法，4 個人中，至少一人連續五次後可再丟的機率 = 1 − ( 32 31)4
3. 甲、乙、丙三個人投籃的命中率依次分別是 0.6，0.8，0.4，今三個人各投籃一次，且投 籃時互不影響，則甲、乙兩人中恰一人投進的機率 = ，甲、乙、丙三人中恰
兩人投進的機率 = 。 Ans： 0.44，0.464
解析：乙兩人恰一人投進的機率 = 0.6 × 0.2 + 0.4 × 0.8 = 0.44
三人中恰兩人投進的機率= 0.6 × 0.8 × 0.6 + 0.6 × 0.2 × 0.4 + 0.4 × 0.8 × 0.4 = 0.464
4. 某公司生產的省電燈泡由甲廠、乙廠、丙廠生產的比例是 40％、35％、25％，根據統計，
甲廠、乙廠、丙廠生產的瑕疵品分別佔各廠生產品的比例為1.3％、1.2％、1.5％，若將 公司生產的燈泡集中在倉庫裡，從中任取一個燈泡，則取到瑕疵品的機率為何？ ； 若從中取得的燈泡是瑕疵品，則此燈泡是甲廠生產的機率為 。
Ans： 0.01315，0.3954
解析：(1)取到瑕疵品的機率 = 40％× 1.3％+ 35％× 1.2％+ 25％× 1.5％ 0.01315 (2)條件機率 =
01315 . 0
1.3 40％× ％
0.3954
5. 投擲公正的硬幣三次，則至少兩次正面的機率為 ；若已知至少兩次正面出 現，則恰好是兩次正面出現的機率為 。
Ans：
2 1，
4 3
解析：(1)三次中至少兩次正面的情況，有兩次及三次兩種其機率分別為 3(
2 1)2(
2 1)及(
2 1)3
所以至少兩次正面的機率為 8 3+
8 1=
2 1
(2)在至少兩次正面的條件下，恰兩次正面的機率 = 2 18 3
=4 3
6. 擲三枚均勻的銅板一次，則至少出現一個正面的條件下，三個都是正面的機率 = ， 而恰有兩個正面的機率 = 。
Ans：
7 1，
7 3
解析：擲三枚銅板，至少出現一次正面的機率 = 1 − 8 1=
8 7
三次都正面的機率 = 8
1，所以條件機率 = 8 7 8 1
=7 1
恰兩次正面的機率 = 3(
8 1) =
8
3，所以條件機率 = 8 78 3
=7 3
7. 已知甲、乙、丙、… 等十個學生中有三個女學生，則甲、乙兩人都是女學生的機率 =
。 Ans：
15 1
解析：十個學生中，有三個女學生的可能情況有 C103 種 = 120 種
而甲、乙兩人都是女學生的情況有 8 種，所以 10 個學生中已知有 3 個女學生，而 甲、乙都是女學生的條件機率 =
120 8 =
15 1
8. 某次民意調查，從隨機抽樣的 300 人中，得到對三位臺北縣縣長候選人的支持率，如下 表所示：
候選人 甲 乙 丙
支持率 25％ 30％ 45％
現在從這300 人中任選兩人，則這兩人支持同一候選人的機率為 。 Ans：
598 211
解析：在接受調查的300 人中，支持候選人甲、乙、丙的人數分別是 75、90、135 從300 人中選出兩人，選法有 44850
2 299
300 300
2 = × =
C 種
又選出兩人支持同一候選人的選法有 = 2775 + 4005 + 9045 = 15825 種 故兩人支持同一候選人的機率為
135 2 90 2 75
2 C C
C + +
598 211 44850 15825 =
9. 胖豪記錄他一個月以來每天零用錢的花費，作成次數分配表如下：
金額（元） 0～20 20～40 40～60 60～80 80～100
日數 3 8 10 5 4
試求(1)算術平均數為 ，樣本標準差為 。(2)變異係數為 。 Ans： (1) 49.33 元；23.77 (2) 48.19％
解析：取A = 50，組距h = 20，
h A di xi −
=
組 別 組中點 xi 次數 fi xi− A di fidi fidi 2
0～20 10 3 −40 −2 −6 12 20～40 30 8 −20 −1 −8 8 40～60 50 10 0 0 0 0 60～80 70 5 20 1 5 5 80～100 90 4 40 2 8 16
總 計 30 − 1 41
(1)算術平均數 = + ∑ = +
= 30
1 30
50 20
i fidi
n A h
x × ( − 1) 49.33（元）
標準差S = 1( ) ]
1[
1 2 2
∑ − ∑
− i i fidi d n
n f
h = ( 1) ]
30 41 1 29[
20 1 − − 2 = ) 30 41 1 29( 20 1 −
=
870
20 1229 23.77
(2)變異係數CVS = x
S × 100％ = 33 . 49
77 .
23 × 100％ = 48.19％
10. 某馬達製造商擬出售十個馬達，可能完全售出或完全被退回，買主約定其驗貨方式為
「從十個馬達中任意選取兩個馬達檢查之，若驗出一個有缺陷，則整批被退回，否則即
被接受」。今每一個馬達成本700 元，售價 950 元，若此批馬達中只有一個馬達有缺陷，
求此製造商獲利的期望值為 元。
Ans： 600 元
解析：令每個馬達獲利 x，則 x 的可能值為 250 或 − 700，其對應機率列表如下
x 250 − 700
機率 p 10
2 9 2
C C
10 2
9 1 1 1
C C C
∴ E(X) = 250 × 10
2 9 1 1 1 10
2 9
2 ( 700) C
C C C
C + − × = 250 ×
45 ) 9 700 45 (
36+ − × = 200 − 140 = 60（元）
故製造商獲利的期望值為 10 × 60 = 600 元
11. 老師將 16 枝相同的原子筆分給甲、乙、丙、丁、戊、己等六位小朋友，其中有兩位各 分得5 枝，有兩位各分得 3 枝，而有兩位沒有分到，則共有 種分法。又在這 種分法下，戊與己兩位都得5 枝的機率為 。
Ans： 90，
15 1
解析：(1)從 6 人中先選出 2 人，各給 5 枝筆，再從剩下 4 人選 2 人，各給 3 枝筆，最後所 剩下的 2 人沒有分到因 16 枝筆相同，故分法有 種
(2)在此分法下，戊、己各得 5 枝，則此兩人先各給 5 枝筆，分法 1 種，再從另外 4 人選出 2 人各給 3 枝筆，分法有 種
故戊與己兩位都獲得 5 枝的機率為
2 90
2 4 2 6
2 ×C ×C = C
4 6
2 = C
15 1 90
6 1
2 2 4 2 6 2
4
2 = =
×
×
× C C C
C
12. 擲一枚公正硬幣四次，A表第二次出現正面的事件，B表至少兩次出現正面的事件，則 P(A | B) = 。
Ans：
11 7
解析：P(B)表二次正面，三次正面，四次正面的機率和= C × (42 2
1)4 + C (43 2
1 )4 + C (44 2 1)4 =
16 11
P(A∩B)表第二次正面，第一、三、四次中有一次或二次或三次正面的機率
=2
1[C13× ( 2
1)3 + C32× ( 2
1)3 + C × (33 2 1)4] =
16
7 ，所以P(A | B) =
) (
) (
B P
B A P ∩
=11 7
13. 某位同學在第二次段考中，六科平均 80 分，其中有五科成績為 80，80，80，86 及 68，
則這六科成績的變異係數為 。 Ans： 7.6％
解析：設第六科成績x，則x = 6 × 80 − (80 + 80 + 80 + 86 + 68) = 86 因此，標準差SX =
[
Σ( 80)2]
5
1 xi − =
[
62 62 ( 12)2]
5
1 + + − =
216 = 6.57 5 所以，變異係數 =
x
SX × 100％=
86 57 .
6 × 100％= 7.6％
14. 由高三 1000 名學生中，隨機抽得樣本 50 名的數學成績，其最高分 92 分，最低分 18 分，第一四分位數為30 分，中位數為 44 分，第三四分位數為 58 分，則可估計高三 1000
名學生的平均數學成績為 。 Ans： 46.75 分
解析：依題意，最低分18 分，第一四分位數 30 分，中位數 44 分第三四分位數 58 分，最 高分92 分，知有
4
1的學生成績在18～30 之間，有 4
1的成績在30～44 之間，有 4 1的成
績在44～58 之間，有 4
1的成績在58～92 之間，故平均成績
=4 1×
2 92 58 4 1 2
58 44 4 1 2
44 30 4 1 2
30
18+ + × + + × + + × + = 4
1(24 + 37 + 51 + 75) = 46.75 分 15. 班上在一次抽考後，有九位同學他們的成績分別為 30，40，60，50，70，80，60，90，
60，若使用簡單隨機抽樣，從九個同學的分數中取出三個分數，形成一個樣本，取出三 個分數之中位數為60 的機率為 。
Ans：
42 23
解析：取到的三個分數的中位數為60 分的取法有三種情形 c三個都是 60，取法有 C33= 1 種
d三個 60 取二個，另外 30，40，50，70，80，90 取一個的取法有 C 種 e三個 60 取一，30，40，50 三個取一，70，80，90 三個取一，取法
∴ 取到三個分數的中位數為60 分的機率為
6 18
1 3
3× C =
3 27
1 3 1 3
1 C C =
C． ． 種
42 23 84 46 27 18 1
9 3
= + =
+ C
16. 重複測量一物件的長度九次（以公尺為單位），其數值X分別為 3.43，3.46，3.41，3.45，
3.44，3.48，3.46，3.47，3.45，將這九個數值各乘以 100 之後，再減去 340 得到新的數 值Y，(1)變數Y的算術平均數Y= ，樣本標準差SY = 。
(2)變數X（物件長度）測量的平均數X = ，樣本標準差Sx= ， 變異係數CVS = 。
Ans： (1) 5，2.12 (2) 3.45，0.0212，0.61％
解析：設九個物件的長度 X 各乘以 100 之後再減去 340，其結果為 Y 則 Y = 100X − 340
∴ X 3.43 3.46 3.41 3.45 3.44 3.48 3.46 3.47 3.45
Y 3 6 1 5 4 8 6 7 5
則(1) 9
=1
Y (3 + 6 + 1 + 5 + 4 + 8 + 6 + 7 + 5) = 5
SY = (4 1 16 0 1 9 1 4 0) 8
) 1 8 (
1 9 2
1 − = + + + + + + + +
∑=
i yi y =
36 = 2.12 8 (2)∵ Y =100X −340 ∴ ( 340) 3.45
100
1 + =
= Y
X
∵ SY = S(100X − 340) = 100SX ∴ SX = 0.0212
100 12 . 2 100SY = = 故變異係數CVS = ％＝ 100％ 0.61％
45 . 3
0212 .
100 0 × =
X × SX
17. 某社團有 50 位同學，其中女生有 20 位，用簡單隨機抽樣法，抽出三位同學，若每人 被抽中的機會相等，則第一次抽到男生，第二次、第三次均抽到女生的機率為
。 Ans：
196 19
解析：設 A 表第一次抽到男生的事件，B 表第二次抽到女生的事件，C 表第三次抽到女生 的事件，則 P (A∩B∩C) = P (A)P(B | A) P (C | A∩B)=
48 19 49 20 50
30× × = 196
19
四、 計算題
1. 世界盃棒球錦標賽，共有 12 隊參賽，先抽籤均分成四組進行預賽，各組的第一名才有 資格進入決賽爭奪冠軍，求亞洲三強中華、日本、南韓在預賽均不同組之機率。
Ans：
440 9
解析：∵抽籤均分成四組來進行預賽的可能情形 種
3 3 6 3 9 3 12
3 C C C
C × × ×
亞洲三強中華、日本、南韓在預賽均不同組的可能情形有 種
∴
3 3 5 2 7 2 9
2 C C C
C × × × 亞洲三強在預賽均不同組的機率為
440 9 20 84 220
10 21 36 C
C C C
C C C C
3 3 6 3 9 3 12 3
3 3 5 2 7 2 9
2 =
×
×
×
= ×
×
×
×
×
×
×
2. 某服飾公司在北部地區有 60 個專櫃，在某個月分，統計各銷售專櫃銷售的套裝之套數，
整理得下列的次數分配表：
套數 x 42~46 47~51 52~56 57~61 62~66 67~71 72~76
專櫃數 f 4 20 23 5 3 3 2
(1)試問專櫃售出的套裝數 x 是連續變數或離散變數？
(2)試作次數分配直方圖。
(3)試求套裝銷售套數超過 61 套的專櫃之機率？
Ans： (1)離散變數 (3) 15
2
解析：(2)
(3) P(銷售超過 60 套的專櫃) = 60
3 + 60
3 + 60
2 = 60
8 = 15
2
3. 丟三枚骰子，若已知點數和大於 14，求三點數都是偶數的條件機率？
Ans：
5 1
解析：點數和大於14 的情況有點數和為 15，16，17，18 四種情況 點數和 15 的機率為
216
10 ，點數和16 的機率為 216
6
點數和 17 的機率為 216
3 ，點數和18 的機率為 216
1
所以點數和大於 14 的機率為
216 1 3 6
10+ + + = 216
20
在點數和大於 14 的情況下，點數都是偶數的機率為 216
4
因此，條件機率 = 216
20 216
4
=20 4 =
5 1
4. 某種火箭命中目標之機率為 0.6，若每次射擊彼此無關，今連續發射 n 枚火箭，欲使命 中目標的機率超過0.998，求 n 的最小值。
（其中log 2 = 0.3010，log 3 = 0.4771）
Ans： 7
解析：∵ 每次命中目標之機率為0.6，∴ 不中之機率為 1 − 0.6 = 0.4
⇒ n次發射均不中之機率為(0.4)n，∴ 至少命中一次的機率為 1 − (0.4) n 欲使 1 − (0.4) n > 0.998 ⇒ (0.4) n < 0.002，
取log ⇒ n(log4 − 1) < − 3 + log2⇒ (1 − 2 log 2) n > 3 − log 2
∵ log 2 = 0.3010 ∴ ( 1 − 0.6020) n > 3 − 0.3010
⇒ n >
398 . 0
699 .
2 6.8 ∴ n ≥ 7，故n的最小值為 7
5. 某一瓷器藝品公司，在某個星期中，其有 50 件優良作品，依九個優良等級分類，得下 列的分布圖形：
(1)試直觀的說明分布圖形所呈現的現象。
(說明優良等級與作品數的關係)
(2)試寫出作品的優良等級次數分配百分比及累積 次數百分比表，並作出累積次數百分比的多邊圖 (即折線圖)。
(3)作出次數分配圓形圖。
Ans： (1)此分布呈現著隨著優良等級的提昇，優良作品的量逐步減少的現象 (2)
等級 次數 百分比 累積百分比
1 16 32 32
2 12 24 56
3 9 18 74
4 4 8 82
5 3 6 88
6 2 4 92
7 2 4 96
8 1 2 98
9 1 2 100
(3)
6. 某年某地區大學舉辦線性代數學力測驗，統計其中大二、大三兩個年級參賽者的成績如 下：
試利用上面兩個成績分布，說明那個年級的學生的成績分布較接近常態分布？為什麼？
Ans： (1)三年級的成績分布較接近常態分布
(2)因為分布圖略呈鐘鈴型狀且集中量在中間，左右略有對稱性，左右兩端逐趨於 0 7. 甲、乙兩人投籃命中率分別是 0.6，0.8，今每人各投二球，求兩人共投進二球的機率？
Ans： 0.2704
解析：兩人共投進二球的情況有甲進二球，甲、乙各進一球及乙進二球三種，其機率分別 為(0.6)2(0.2)2，C C12 12(0.6)(0.4)(0.8)(0.2)及(0.4)2(0.8)2，所以兩人共進二球的機率為：
(0.6)2(0.2)2 + 4(0.6)(0.4)(0.8)(0.2) + (0.4)2(0.8)2 = 0.2704
8. 設 A，B 為兩事件，P(A) = 3
1，P(A∪B) = 12
7 。 (1)當 A，B 為互斥事件時，求 P(B) =？
(2)當 A，B 為獨立事件時，求 P(B) =？
Ans： (1) 4 1 (2)
8 3
解析：(1)因 A，B 為互斥事件，故 A∩B =φ ，P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
12 7 =
3
1+ P(B) − 0，P(B) = 12
3 = 4 1
(2)因 A，B 為獨立事件，故 P(A∩B) = P(A)P(B) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
12
7 = 3
1+ P(B) − 3
1P(B)，故 P(B) = 12
3 × 2 3=
8 3
9. 某人使用一儀器測量一高塔 50 次，所得的數值資料如下表所示：
測量值 78 單位長 79 單位長 80 單位長 81 單位長 82 單位長
次 數 5 10 15 15 5
根據此表的資料推測：
(1)如果再用此儀器測量此高塔一次，則測得的高超過 80 單位長的機率為何？
(2)如果再用此儀器測量此高塔三次，則測得的高的平均值為 80 單位長的機率為何？
Ans： (1) 0.7 (2) 0.153 解析：
(1)測量一次的結果，塔的高度超過 80 單位長的機率=
50 5 15 15+ + =
10
7 = 0.7(含塔高為 80 單位的情況)
(2)測量一次的結果，得塔為各單位長的機率如下：
塔 高 78 單位 79 單位 80 單位 81 單位 82 單位 機 率 10
1
10 2
10 3
10 3
10 1
欲使測量三次塔高而得塔高的平均值為80 單位的情況如下：
c 78，80，82，其機率 = 6(
10 1 ×
10 3 ×
10 1 ) =
1000 18
d 79，80，81，其機率 = 6(
10 2 ×
10 3 ×
10 3 ) =
1000 108
e 80，80，80，其機率 = ( 10
3 )3 = 1000
27
所以，所求機率 = 1000
18 + 1000
108 + 1000
27 = 1000
153 = 0.153
10. 袋中有 1 到 24 號球各 1 個(共 24 個球)，任取一球，Ak表示球號為k的倍數的事件，問 A2，A3，A4三事件是否為獨立事件？
Ans： 相關 解析：P(A2) =
24 12 =
2
1，P(A3) = 24
8 = 3
1，P(A4) = 24
6 = 4
1，P(A2∩A3) = 24
4 = 6
1= P(A2)P(A3)；
P(A3∩A4) = 24
2 = 12
1 = P(A3)P(A4)； P(A2∩A4) = 24
6 = 4
1≠ P(A2)P(A4) = 8 1
∴ A2，A3，A4三事件非獨立事件
11. 設甲班英文成績的平均為 75 分，標準差為 15 分；乙班英文成績的平均為 85 分，標準 差為17 分，問那一班的成績比較平均？
Ans： 兩班差異相同
12. 交通部觀光局調查外來華籍旅客的資料，有關外籍旅客對臺灣以外的地區最感滿意的地 區意見，其結果如下圖所示：
試問：(1)有特別喜歡的地區的旅客所佔之機率為何？
(2)最滿意的地區的旅客超過 10％的機率的地區有那些？其機率總和為何？
Ans： (1) 73.26％；(2)香港，泰國，新加坡，40.45％
13. 高二某班有 45 位學生，在第二次期中考後成績經統計的結果，得算術平均數為 75 分，
標準差為12，後來發現有兩位同學的成績登錄錯誤，其中甲的成績為 85 分，誤記為 65 分，乙的成績為75 分，誤記為 95 分，試求這次考試成績正確的標準差及變異係數。
Ans： 標準差 11.6，變異係數 15.47％
解析：設 A 表甲、乙兩人以外的同學的成績和，B 表甲、乙兩人以外的同學的成績的平方 和，那麼：⎪⎩⎪⎨
[ ]
⎧
=
− + +
+ +
=
×
12 ) 75 ( 45 95 44 65
1
) 95 65 ( 45
75
2 2
B 2
A
，因此
所以這次考試成績正確的平均數 =
⎩⎨
⎧
+
−
× +
×
=
+
−
×
=
) 95 65 ( 75 45 12 44
) 95 65 ( 45 75
2 2 2
B 2
A
45
1 (A + 85 + 75)=
45
1 [75 × 45 − (65 + 95) + 85 + 75]
即正確的平均數 x = 75(與已知的平均數相同) 而正確的標準差 = (Σ 45 )
44
1 2 2
x
xi − = ( 85 75 45 75 ) 44
1 B+ 2 + 2 − × 2
= (44 12 85 75 65 95 ) 44
1 × 2 + 2 + 2 − 2 − 2
= 122 −9.09= 11.6
因此，正確的標準差 = 11.6 變異係數 =
x SX
× 100％ = 75
6 .
11 × 100％ = 15.47％
14. 某公司統計近六年內的內外銷實績，得到下面的資料：
試問：(1)那一年度的內銷或外銷的實績最高？
(2)那一種實績(內銷或外銷)是逐年遞增的？
Ans： (1) 88 年外銷的實績最高 (2)內銷的實績逐年遞增 15. 某企業公司的員工國籍分析結果，如下圖所示，試問：
(1)此公司的員工中，除中華民國之外，其餘所 佔的機率為何？
(2)此公司的員工中，亞洲的國籍所佔的機率為 何？
Ans： (1) 0.39 (2) 0.85
解析：(1)中華民國之外的員工所佔的機率= 0.04 + 0.08 + 0.03 + 0.07 + 0.05 + 0.12 = 0.39 (2)亞洲國籍的員工所佔的機率= 0.12 + 0.05 + 0.07 + (1 − 0.39) = 0.85
16. 某校高二某次數學段考成績統計表，如下圖：
(1)試求這次段考數學成績的標準差及變異係數。
(2)試求此段考成績的四分位差。
Ans：(1)標準差為 14.76，變異係數為 29.5％ (2)四分位差為 21.49 解析：
整理下列的統計資料：xi各組中點
組別 xi fi xi fi xi− x (xi− x )2 (xi− x )2fi 累積人數 15~25 20 20 400 − 30 900 18000 20 25~35 30 40 1200 − 20 400 16000 60 35~45 40 60 2400 − 10 100 6000 120 45~55 50 100 5000 0 0 0 220 55~65 60 70 4200 10 100 7000 290 65~75 70 50 3500 20 400 20000 340 75~85 80 10 800 30 900 9000 350
總和 350 17500 76000
平均數 = 350 17500= 50
(1)所以標準差 = (xi x)2 fi 349
1 Σ − = (76000) 349
1 = 14.76
變異係數 = x SX
× 100％=
50 76 .
14 × 100％= 29.5％
(2)第一四分位數Q1： 4
1× 350 = 87.5
所以Q1在35~45 這一組裡，利用內插法求之
35 45
1 35
−
−
Q =
60 120
60 5 . 87
−
− ，
因此Q1 = 35 + 10 × 60
5 .
27 = 39.58
第三四分位數Q3： 4
3× 350 = 262.5，所以Q3在55～65 這一組裡，利用內插法求之
10
3 −55
Q =
70 5 .
42 ，所以Q3 = 55 + 10 × 70
5 .
42 = 61.07 所以四分位差Q.D. = Q3 − Q1 = 61.07 − 39.58 = 21.49
17. 投擲二粒公正骰子，A 表示第一粒骰子出現偶數點的事件，B 表示第二粒骰子出現奇數 點的事件，C 表示二粒骰子點數和為偶數的事件。
(1) A，C 是否為獨立事件？ (2) B，C 是否為獨立事件？
Ans： (1)獨立 (2)獨立 解析：(1) P(A) =
36 3×6=
2
1，P(C) = 36 18=
2 1
A∩C =｛(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)｝
P(A∩C) = 36
9 = 4
1= P(A)P(C)，所以 A 與 C 為獨立事件 (2) P(B) =
36 3 6× =
2
1，B∩C =｛(1，1)，(3，1)，(5，1)，(1，3)，(3，3)，(5，3)，(1，5)，
(3，5)，(5，5)｝，P(B∩C) = 36
9 = 4
1= P(B)P(C)，所以 B 與 C 為獨
