第六章 控制系統的時域設計
6-1 導言
在本章中要討論一些控制系統的時域設計方法，時域設 計涉及被設計系統的時域性質的利用。為了設計，將用到前 幾章中有關穩定性及根軌跡等的題材。
6-2 PID 控制器
下圖為一附有量測元件之工業自動控制器之方塊圖，
其中工業自動控制器包括有一誤差檢出器及一放大器，量測 元件則為一能將輸出變數轉變為另一適合之變數，如位移、
壓力電氣訊號等，以便與參考之輸入訊號加以比較之裝置。
量測元件位於閉迴路系統之反饋路徑上，輸出之反饋信號需 與參考之輸入訊號具有相同之單位。放大器則放大一引動誤 差訊號之功率，藉以引動一驅動器，通常放大器也會將引動 誤差訊號積分或微分以得一更佳之控制信號。至於驅動器則 為一能依控制信號而改變機器輸入訊號大小之元件，以使反 饋信號能與參考輸入訊號相對應。
誤差檢出 誤差修正 機械部份
- - 引動誤差
由設備而來
工業自動控制器與量測元件之方塊圖
工業自動控制器多以電力或加壓之流體如油或空氣等 為其動力來源，使用何種控制器則依機器之性能與操作情況 而定，依其控制動作可區分為下列幾種：
1. 比例控制器(P) 2. 積分控制器(I)
3. 比例＋積分控制器(PI) 4. 比例＋微分控制器(PD)
5. 比例＋積分＋微分控制器(PID) 放大器
量測元件
至驅動器 參考輸入
6-2-1 比例(P)控制器
對於一比例控制器，其輸出 m(t)與引動誤差信號 e(t)間 之關係為
m(t)＝Kp e(t) 以拉氏轉換式表之則為
M(s) ＝ Kp E(s)
其中 Kp稱為增益值。此種控制器之方塊圖如下圖所示。
＋ E(s) M(s)
-
(a) 比例控制器之數學方塊圖 (b) 比例控制器功能方塊圖 6-2-2 積分(I)控制器
對於積分控制器，其輸出 m(t)之改變率正比於引動誤差 信號 e(t)即
dm(t)/dt ＝ Ki e(t) 或 m(t)＝ Ki
e(t)dt其中 Ki 為一可調變之常數。積分控制器以拉氏轉換式表之
則為
M(s)/ E(s) ＝ Ki /s
此種控制器之方塊圖如下圖所示。
＋ E(s) M(s)
-
(a) 積分控制器之數學方塊圖 (b) 積分控制器功能方塊圖
Ki/s 積分
控制器
Kp 比例
控制器
6-2-3 比例＋積分(PI)控制器
對於一比例＋積分控制器，其輸出
m(t)＝Kp e(t)＋(Ki )
e(t)dt比例＋積分控制器以拉氏轉換式表之則為 M(s)/ E(s) ＝ Kp ＋Ki / s
其中 Kp稱為增益值，Ki 積分常數，此種控制器之功能方塊 圖如下圖(a)所示，數學方塊圖如下圖(b)所示。
(a) PI 控制器 (b) PI 控制器 之功能方塊圖 之數學方塊圖
6-2-4 比例＋微分(PD)控制器
對於一比例＋微分控制器，其輸出
m(t)＝Kp e(t)＋Kd × dt
) t ( de
比例＋微分控制器以拉氏轉換式表之則為 M(s)/ E(s) ＝ Kp＋Kd s
其中 Kp稱為增益值，Kd 表微分常數，此種控制器之功能方 塊圖如下圖(a)所示，下圖(b)則表示此控制器的數學方塊圖。
注意微分控制動作永不能單獨使用，因其控制動作僅於暫態 過程中方有效。
比例+積分
控制器 Kp ＋Ki / s
(a) PD 控制器 (b) PD 控制器 之功能方塊圖 之數學方塊圖 6-2-5 比例＋微分＋積分(PID)控制器
對於一比例＋微分＋積分控制器，其輸出 m(t)＝Kp e(t)＋Kd ×
dt ) t (
de ＋Ki
e(t)dt比例＋微分＋積分控制器以拉氏轉換式表之則為 M(s)/ E(s) ＝ Kp ＋Kd s＋Ki /s
其中 Kp稱為增益值，Kd 表微分常數，Ki 表積分常數，此種 控制器之功能方塊圖如下圖(a)所示，，下圖(b)則表示此控制 器的數學方塊圖。
(a) PID 控制器圖之功能方塊圖
(a) PID 控制器圖之功能方塊圖
比例+積分+微分 控制器 比例+微分
控制器 Kp＋Kd s
Kp ＋Kd s＋Ki /s
6-3 微分控制對回授控制系統時域響應之影響
下圖是一個回授控制系統方塊圖，它有一個轉移函數 為 Gp(s)的二階系統與一個 PD 控制器。PD 控制器的轉移函 數為：
Gc(s) ＝ Kp＋Kd s 整個系統的開迴路轉移函數為：
整個系統的閉迴路轉移函數 Gs(s)為：
p 2 n d
2 n n 2
d p 2 n
d 2 n p 2 n n
2
d p 2 n s
K s
) K 2
( s
) s K K (
s K K
s 2 s
) s K K ( )
s ( G 1
) s ( G )
s ( R
) s ( ) C s ( G
0 d n
d 2 n n n
p
2 K 1
, K 2
2 ,
1 K if
d d
nK K
2
1
上式顯然說明微分控制等於是在系統中加入阻尼量，系 統增加的阻尼比與微分常數成正比。因此，微分控制對回授 控制系統暫態響應的影響，係降低其步級響應的超越量，且 微分控制可測量 e(t)的瞬時斜率，能預測未來的大超越量，
而在超越量確實發生之前作適當的校正，並提昇系統的穩定 度，且不影響系統的暫態敏捷性。
以上一章的飛機姿態控制系統為例來說明，一個二階飛 機姿態控制系統的模型如 P.115 頁之圖，系統的前向路徑轉 移函數如 P.117 之數學方塊圖所述，其為
) . s
( s ) K s (
G 361 2
4500
設定以下之性能規格：
1. 單位斜坡輸入之穩態誤差≦0.000443 2. 最大超越量≦5%
3. 上升時間 tr≦0.005 秒 4. 安定時間 ts≦0.005 秒
為滿足穩態誤差的最大值，K 值應設為 181.17。不過如 此的 K 值，系統阻尼比為 0.2，且最大超越量為 52.7%，單 位階級響應如 P.118 的圖所示。考慮加入一 PD 控制器於系 統的前向路徑，使系統的阻尼與最大超越量可以改善，且單 位斜坡輸入的穩態誤差可以保持在 0.000443。上式的 PD 控 制器在 K=181.17 時，系統的前向路徑轉移函數變成
) . s
( s
) s K K
( )
s (
) s ) (
s (
G p D
e y
2 361 815265
閉迴路轉移函數為
P D
D p
r y
K s
) K .
( s
) s K K
( )
s (
) s (
815265 815265
2 361
815265
2
斜坡誤差常數為
P P
v s . K
. ) K
s ( sG lim
K 2257 1
2 361 815265
0
單位斜坡輸入的穩態誤差為 ess=1/Kv=0.000443/KP。
PD 控制器對閉迴路轉移函數造成的影響如下：
1. 加一個 s=- KP / KD的零點於閉迴路轉移函數。
2. 增 加 阻 尼 項 ， 即 分 母 s 項 之 係 數 由 361.2 變 成 361.2+815265KD。
特性方程式可寫為
0 815265
815265 2
2 (361. KD )s KP
s
為滿足穩態誤差之需求(性能規格 1)，可設定 KP=1，則系統 的阻尼比為
D
D . . K
.
K
. 0 2 451 46
84 1805
815265 2
361
由上式知，KD對阻尼有正的影響，若希望有臨界阻尼即 ζ=1，則由上式可得 KD=0.001772。在此可以利用根軌跡的 方法，針對特性方程式找出 Kp和 KD值變化所造成的影響，
首先令 KD=0，特性方程式變成
0 815265
2
2 361. s KP
s
當上式中的 Kp由 0 到≩變化時，其根軌跡如下圖所示，
當 Kp≨0 時，特性方程式變為
815265 0 2
361
815265 1
1 2
P D
eq s . s K
s ) K
s ( G
當 Kp=常數而 KD 改變時，特性方程式的根軌跡線可用 Geq(s)的極－零點架構來建構，如下圖所示，其中 Kp=0.25 和 Kp=1。由根軌跡圖可以看出當 KD值增加時，PD 控制器可以 改善系統阻尼值。
下圖所示為系統無 PD 控制及 Kp=1 和 KD=0.00177 時的 單位步級響應比較圖，以 PD 控制之響應，其最大超越量為 4.2%。目前例子雖然是以臨界阻尼來選定 KD 值，但最大超 越量則由閉迴路轉移函數的零點 s=- Kp/KD 所引起。下表為 KP=1，KD=0.0005，0.00177 和 0.0025 時，最大超越量、上升 時間和安定時間的結果。由下表的結果可知在 KD≧0.00177 時，性能需求均能滿足。
姿態控制系統之 PD 控制的單位步級響應性能表 KD tr(秒) ts(秒) 最大超越量(%)
0 0.00125 0.0151 52.2 0.0005 0.0076 0.0076 25.7 0.00177 0.00119 0.0049 4.2
0.0025 0.00103 0.0013 0.7
6-3-1 積分控制對回授控制系統時域響應之影響
PID 控制器的積分部份，會產生一個與控制器輸入的時 間積分成比例的訊號。下圖顯示一個回授控制系統方塊圖，
它有一個轉移函數為 Gp(s)的二階系統與一個 PI 控制器。PI 控制器的轉移函數為：
Gc(s) ＝ Kp＋Ki /s
) 2 s ( s
) K s K ) (
s ( G ) s ( G ) s ( G
n 2
i p
2 n p
c
積分控制明顯的影響是系統的階次(order)增加了一次，
更重要的是系統的型式(type)也增加一。因此，原來無積分控 制的系統，其穩態誤差被改善了一階，也就是說若已知輸入 的穩態誤差為常數，則積分控制可以將它降為零。然而因系 統提高一階，它可能較原來的系統更不穩定。PI 控制將穩態 誤差改善了一階，響應的上升時間會變更慢，如下圖所示。
因為本質上 PI 控制器是個可以衰減高頻信號的低通濾波器 (low-pass filter)。
6-4 相位前引與相位落後控制器之時域設計
PID 控制器代表控制系統補償中，利用微分與積分運算 的控制器中最簡單的形式。一般而言，我們認為控制系統中 控制器的設計是濾波器設計的問題，我們就可以掌握很多種 類的問題。因設計時常用根軌跡圖，以轉移函數的極點及零 點來描述控制器較為方便。以濾波器的觀點來看，我們已指 出 PD 控制器是高通濾波器，而 PI 控制器是低通濾波器，PID 控制器是帶通濾波器，此依控制器的參數而定。高通濾波器 常稱為相位前引控制器，因系統在某些適當的頻率引入正 相，而低通濾波器也稱為相位落後控制器，因引入的相位是 負的，在第七八兩章(頻域分析與設計)將會更進一步探討。
其轉移函數為
z1
) s s (
G
上式中若 p1＞z1則控制器為高通或相位前引控制器，
若 p1＜z1則控制器為低通或相位落後控制器。通常串聯的相 位前引控制器可以改善上升時間和阻尼，但會增加閉迴路系 統的自然頻率。另外，適當的應用相位落後控制器，可以改 善超越量及相對穩定性，卻總是產生較長的上升時間。所 以，每一個控制器設計都有其優點、缺點和限制，有很多系 統並不能由任一種設計得到滿意的改善。因此在需要時，就 會自然地考慮利用綜合落後前引的控制器，使得兩種設計的 優點皆被利用到。簡單的落後前引的控制器的轉移函數可以 寫成
s ) T 1
s bT )(1
s T 1
s aT (1
) s ( G
2 2
1 1
c
其中 a＞1(前引)而 b＜1(落後)。下圖顯示有落後前引控 制器的系統的單位步級響應。顯然此系統改善後的上升時間 和超越量均優於有相位落後控制器的系統。
6-5 次迴路迴授控制
前面幾節討論的所有控制規劃已利用了串聯控制 器。雖然串聯控制器是最常用的，因其製作上簡易，但有時 因系統的特性會有某些優點或原因，我們會將控制器置於次 迴路中，如轉速計直接耦合到直流馬達，並不只為了速度指 示的目的，且常將轉速計的輸出訊號回授以改善閉迴路系統 的穩定度。
利用致動信號的微分以改善閉迴路系統的阻尼值的原 理，用於輸出信號也可達相同效果。也就是說將輸出信號的 微分回授，與系統的致動信號代數相加。實用上若輸出變數 是機械位移，轉速計可將機械位置轉換為與此位移的微分成 比例的電氣訊號。下圖顯示此類系統的方塊圖，此系統有一 個第二路徑將輸出的微分回授，轉速計的轉移函數表示為 Kts，Kt為轉速計常數。考慮此系統的轉移函數為：
) 2 s ( ) s s ( G
n 2 n
p
s K )
2 s ( s s K ) s ( G 1
) s ( G E
) C s ( G
t 2 n n
2 n
t p
p
ps
系統的閉迴路轉移函數可寫成
2 n t
2 n n 2
2 n
ps ps
s ) K 2
( s ) s ( G 1
) s ( G R
C
0 t n
t 2 n n n
1 2 K 1
, K 2
2
顯然轉速計回授的影想為增加閉迴路系統的阻尼值，由 於 Kt 與阻尼比ζ出現在同一項中。這方面比率回授控制與 PD 控制的影響完全相同。下圖說明使用串聯補償與回授補 償的比較，即在前向路徑和回授路徑中使用相同的相位前引 控制器的差別
