三 1. 積分的觀念: 黎曼和與定積分

三 1. 積分的觀念: 黎曼和與定積分

1.2 (1) 計算y = c, x軸與x = a, x = b 圍成的面積, 若直接從圖形計算長方形的面積, 則很容 易得出, 面積=長×寬=(b-a)c=c(b-a). 若利用黎曼和取極限的方法, 則先將[a, b]區間等分 成N段, 各段之端點由左到右為 x0 = a < x₁ = a +^b−a_N < x₂ = a +^2(b_N^−a) <· · · < xN = a + ^{N (b}_N^−a) = b. 然後將面積A割成A = ∑N

i=1A_i, 其中Ai是x = xi−1, x = x_i, x軸, y = c所圍成的面積. 任取ξ ∈ [xi, x_i+1]中, 其函數值f(ξ) = c.

∴∑N

i=1f (ξi)M xi =∑N

i=1cM xi = c∑N i=1

b−a

N = c(b− a).

所以不論分成幾段, 其黎曼和皆為c(b − a), 則取極限後(N → ∞)其值依然為c(b − a).

因此∫_b

acdx = c(b− a).

(2) 計算y = x, x軸與x = a, x = b 圍成的面積.

(法一): 利用梯形面積公式

⇒面積=¹₂(a + b)(b− a) = ¹₂(b²− a²).

(法二): 若利用黎曼和取極限

先將[a, b]區間等分成N段, 各段之端點由左到右為

x₀ = a < x₁ = a + ^b−a_N < x₂ = a + ^2(b_N^−a) <· · · < xN = a + ^{N (b}_N^−a) = b.

然後將面積A割成A = ∑N

i=1A_i, 其中Ai是x = xi−1, x = x_i, x軸, y = x所圍成的面積.

1.先取ξi = x_i = a + ^i(b_N^−a)(右端點), 由於x在[a, b]上遞增, 所以在此分割中, 這是所有可能 的黎曼和裡 (依不同ξi選擇的方式) 最大的情況:

∑N

i=1f (ξ_i)M xi =∑N

i=1(a +^i(b_N^−a))^b−a_N =∑N

i=1(^a(b_N^−a) +^i(b_N^−a)2 ²)

= a(b− a) +^(b−a)_N2² · ^{N (N +1)}₂ = a(b− a) +^{N +1}_2N (b− a)².

所以面積= limN→∞a(b− a) +^{N +1}_2N (b− a)² = a(b− a) + ¹₂(b− a)² = ¹₂(b²− a²).

2.取ξi = x_i−1 = a + ^{(i−1)(b−a)}_N (左端點), 由於x在[a, b]上遞增, 所以在此分割中, 這是所有 可能的黎曼和裡 (依不同ξi選擇的方式) 最小的情況:

∑_N

i=1f (ξ_i)M xi =∑_N

i=1(a + ^{(i−1)(b−a)}_N )^b−a_N =∑_N

i=1(^a(b_N^−a)+^{(i−1)(b−a)}_N2 ²)

= a(b− a) +^(b−a)_N2² · ^(N−1)N₂ = a(b− a) +^N_2N⁻¹(b− a)².

所以面積= limN→∞a(b− a) +^N_2N⁻¹(b− a)² = a(b− a) + ¹₂(b− a)² = ¹₂(b²− a²).

所以, 對於一般的ξi介於xi−1, x_i之間, xi−1 ≤ ξi ≤ xi: 最小黎曼和≤∑N

i=1ξi M xi ≤最大黎曼和. 因此由夾擠法得∫b

axdx = ¹₂(b²− a²).

1

(3) 計算y = x², x軸與x = a, x = b 圍成的面積.

先將[a, b]區間等分成N段, 各段之端點由左到右為

x₀ = a < x₁ = a + ^b−a_N < x₂ = a + ^2(b_N^−a) <· · · < xN = a + ^{N (b}_N^−a) = b.

然後將面積A割成A = ∑_N

i=1A_i, 其中Ai是x = xi−1, x = x_i, x軸, y = x所圍成的面積.

1.先取ξi = x_i = a + ^i(b_N^−a)(右端點), 由於x在[a, b]上遞增, 所以在此分割中, 這是所有可能 的黎曼和裡 (依不同ξi選擇的方式) 最大的情況:

∑N

i=1f (ξ_i) M xi = ∑N

i=1(a + ^i(b_N^−a))^{2 b−a}_N = ∑N

i=1(a² + ^2ai(b_N^−a) + ^i2(b_N^−a)2 ²)· ^b−a_N =

∑N

i=1(^a2(b_N^−a)+^i(2a)(b_N2^−a)2+^i2(b_N^−a)3) = a²(b−a)+(2a)(b−a)^{2 N (N +1)}_2N2 +(b−a)3 N (N +1)(2N +1)

6N³ .

所以面積= limN→∞

(

a²(b − a) + (2a)(b − a)^{2 N (N +1)}_2N2 + (b − a)3 N (N +1)(2N +1) 6N³

)

= a²(b − a) + (2a)(b − a)² · ¹₂ + (b− a)³ · ¹₃ = a²(b− a) + a(b − a)² + ¹₃(b− a)³ = (b− a)(a²+ ab− a²+¹₃(b− a)²) = ¹₃(b− a)(a²+ ab + b²) = ¹₃(b³− a³).

2.同理, 取ξi = x_i−1 = a + ^{(i−1)(b−a)}_N (左端點), 由於x在[a, b]上遞增, 所以在此分割中, 這是 所有可能的黎曼和裡 (依不同ξi選擇的方式) 最小的情況:

∑N

i=1f (ξ_i)M xi =∑N

i=1(a + ^{(i−1)(b−a)}_N )^{2 b−a}_N = a²(b− a) + (2a)(b − a)^{2 (N −1)N}_2N2 + (b− a)3 (N −1)N (2(N −1)+1)

6N³ .

所以面積= limN→∞

(

a²(b− a) + (2a)(b − a)^{2 (N −1)N}_2N2 + (b− a)3 (N −1)N (2(N −1)+1) 6N³

)

= ¹₃(b³− a³).

所以, 對於一般的ξi介於xi−1, xi之間, x²i−1 ≤ ξ²i ≤ x²i: 最小黎曼和≤∑_N

i=1ξ_i² M xi ≤最大黎曼和. 因此由夾擠法得∫_b

ax²dx = ¹₃(b³− a³).

1.4 (1) ¯f = _b−a¹ ∫_b

acdx = _b−a¹ c(b− a) = c (2) ¯f = _b−a¹ ∫_b

axdx = _b−a¹ (¹₂(b²− a²)) = ^a+b₂ (3) ¯f = _b−a¹ ∫b

ax²dx = _b−a¹ (¹₃(b³− a³)) = ^a2+ab+b₃ ²

1.9 因為∫b

a f (x)dx = (b− a) ¯f

圖形放大成兩倍, 則寬度變為兩倍(b − a) → 2(b − a), 高度也變為兩倍 ¯f → 2 ¯f . 所以(b − a) ¯f → (2(b − a))(2 ¯f ) = 4(b− a) ¯f = 4∫_b

a f (x)dx 所以面積變成原來的四倍.

1.10 ∵ _1+a¹ 2 6 _1+x¹ 2 6 1, ∀x ∈ [0, a]

∴∫a 0

1

1+a²dx6∫a 0

1

1+x²dx6∫a 0 1dx

⇒ _1+a¹ 2(a− 0) 6∫a 0

1

1+x²dx6 1(a − 0) ⇒ _1+a^a2 6∫a 0

1

1+x²dx6 a.

2

1.11 不會.

∵ sin x² 6 1

∴∫₁

0 sin x²dx 6∫₁

0 1dx = 1.

1.12 ∵ (1 + x²)¹³ 6 (1 + ^x₃²)

(∵ (1 + x²)6 (1 + ^x₃²)³ )

∴∫1

0(1 + x²)¹³dx6∫1

0(1 + ^x₃²)dx =∫1

0 1dx +¹₃∫1

0 x²dx = 1 + ¹₃ · ¹³⁻⁰₃ ³ = ¹⁰₉ .

1.14 ∵ m 6 f(x) 6 M

∴ m(b − a) =∫_b

am6∫_b

a f (x)6∫_b

a M = M (b− a)

=⇒ _b−a¹ m(b− a) 6 _b−a¹ ∫_b

af (x) 6 _b−a¹ M (b− a)

=⇒ m 6 ¯f 6 M.

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