三 4. 積分的應用
4.7(3) (法一):
面積=∫1
0
√x− (−√
x)dx +∫4
1
√x− (x − 2)dx = 2∫1
0
√xdx +∫4
1
√x− x + 2dx
= 2· 23x32|10 +23x32 − 12x2+ 2x|41 = 92. (法二):
面積=∫2
−1(y+2)−y2dy = 12y2+2y−13y3|2−1 = 12(4−1)+2(2−(−1))−13(8−(−1)) = 92.
4.7(7) 面積=∫0
−1(y3− y2)− (2y)dy +∫2
0(2y)− (y3− y2)dy
= (14y4 −13y3− y2|0−1) + ((y2− 14y4+ 13y3)|20) = 125 +83 = 3712.
4.8(2) 曲線長=∫1
0
√1 + ((x2/3)0)2dx =∫1
0
√
1 + 49x−2/3dx
但此積分不容易計算, 所以另尋方法。 由於反函數與原函數對稱於直線y = x, 所以長度一樣。
因此找出其反函數, 然後計算反函數的曲線長度也可。
此函數之反函數為y = x3/2, x = 0, x = 1.
所以, 曲線長=∫1 0
√1 + ((x3/2)0)2dx =∫1 0
√
1 + 94xdx (令u = 1 +94x)= 49∫ 13
4
1 u1/2du = 278u32|1134 = 278 (13√813− 1) = 1327√13 −278.
4.8(4) 曲線長=∫1
−1
√
1 + ((ex+e2−x)0)2dx =∫1
−1
√
1 + (ex−e2−x)2dx =∫1
−1
√
1 + e2x+e4−2x−2dx
=∫1
−1
√
(ex+e2−x)2dx =∫1
−1ex+e−x
2 dx = 12(ex− e−x)|1−1 = e− e−1.
4.13(3) 體積=∫2
0 π(x2)2dx =∫2
0 πx4dx = 15πx5|20 = 325π.
4.13(6) 體積=∫1
0 π(sec2x− tan2x)dx =∫1
0 π· 1dx =∫1
0 πdx = π.
4.15 把金字塔橫切成 N 塊, 所以金字塔體積≈∑N
i=1(第i薄正方形柱體體積) 將薄正方形邊長 A 寫成高度 t 的函數, 所以得到A(t) = ah(h− t), 0 ≤ t ≤ h 所以金字塔體積≈∑N
i=1(第 i 薄正方形柱體體積)=∑N
i=1(A2(t))∆ti (黎曼和).
所以金字塔體積=∫h
0 (ah(h− t))2dt = ah22
∫h
0 (h− t)2dt = ah22 · 13h3 = 13a2h.
1
4.17(2) (殼形法):
體積=∫1
0 2πx((2− x2)− x2)dx = 4π∫1
0 x− x3dx = 4π(12 −14) = π.
(圓盤法):
體積=∫1
0 π(√
y)2dy +∫2
1 π(√
2− y)2dy = π∫1
0 ydy + π∫2
1 2− ydy
= (
π(12y2)|10) +
(
π(2y− 12y2)|21)
= π2 +π2 = π.
4.17(4) (殼形法):
體積=∫1
0 2πy(y2− (3y2− 2))dy = 4π∫1
0 −y3 + ydy = 4π(−14 + 12) = π.
(圓盤法):
體積=∫0
−2π(
√x+2
3 )2dx +∫1
0 π (
(
√x+2
3 )2− (√ x)2
) dx
= π3 ∫0
−2x + 2dx + 2π3 ∫1
0 1− xdx
= π3 (1
2x2 + 2x|0−2) + 2π3
(
x− 12x2|10)
= π3 · 2 + 2π3 · 12 = π.
2
