1 計算多重積分的訣竅
本文主要以概念性的方式來談積分，不嚴格證明‧如有不嚴謹處，請多包含‧
我們先從雙重積分開始談‧假設R是平面上的有界區域，我們希望計算連續函數f (x, y)在R上
的積分： ∫∫
R
f (x, y)dA.
計算雙重積分最重要的關鍵是想辦法把雙重積分轉成單變數的積分問題來做‧假設R是平面的矩 形區域
R ={(x, y) ∈ R2: a≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.
通常我們把R記為[a, b]× [c, d].那麼我們可以把雙重積分寫為
∫∫
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dA =
∫ d c
(∫ b a
f (x, y)dx )
dy =
∫ b a
(∫ d c
f (x, y)dy )
dx.
能夠這樣拆解的想法就是利用黎曼和的概念‧我們把[a, b]切割成一些小區間a = x0< x1<· · · <
xn = b，把[c, d]切割成c = y0< y1<· · · < ym= d.於是平面區域就被切割成一些小矩形 Rij ={(x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi, yj−1≤ y ≤ yj}.
並記P ={(xi, yj) : 0≤ i, ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}，我們稱P 為平面區域[a, b] × [c, d]的一個分割‧於是 重積分就可以寫成以下黎曼和在∆x, ∆y→ 0的極限：
R(f, P ) =∑
i,j
f (x∗i, y∗j)∆xi∆yj,
其中∆xi= (xi− xi−1)且∆yj = (yj− yj−1)而∆x = max{∆xi: 1≤ i ≤ n}且∆y = max{∆yj: 1≤ j≤ m}且(x∗i, y∗j)∈ Rij‧ 這時候我們先對j求和，在對i,:
R(f, P ) =
∑n i=1
∑m
j=1
f (x∗i, yj∗)∆yj
∆xi
利用積分的定義：
∫∫
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dA = lim
(∆x,∆y)→(0,0)R(f, P )
= lim
(∆x,∆y)→(0,0)
∑n i=1
∑m
j=1
f (x∗i, y∗j)∆yj
∆xi
= lim
∆x→0 lim
∆y→0
∑n i=1
∑m
j=1
f (x∗i, yj∗)∆yj
∆xi
= lim
∆x→0
∑n i=1
lim
∆y→0
∑m j=1
f (x∗i, yj∗)∆yj
∆xi.
利用黎曼和的定義，我們知道
lim
∆y→0
∑m j=1
f (x∗i, yj∗)∆yj=
∫ d c
f (x∗i, y)dy
如果我們令ϕ(x) =
∫ d c
f (x, y)dy,則
∫∫
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dA = lim
∆x→0
∑n i=1
ϕ(x∗i)∆xi=
∫ b a
ϕ(x)dx.
於是我們得到
∫∫
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dA =
∫ b a
(∫ d c
f (x, y)dy )
dx.
同理我們可以証明
∫∫
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dA =
∫ d c
(∫ b a
f (x, y)dx )
dy.
較複雜平面區域怎麼辦？我們必須先決定對何變數積分，把問題簡化成單變數積分的問題‧
1.1 先對y積分，再對x積分
假設我們希望先對y變數積分，再對x變數積分，我們必須決定x的範圍，然後固定x時，決定y的 上下限‧假設a≤ x ≤ b且當固定x時，y的上下限為g1(x)≤ y ≤ g2(x)，則積分為
∫∫
R
f (x, y)dA =
∫ b a
(∫ g2(x) g1(x)
f (x, y)dy )
dx.
範例 1.1 假設 D ={(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, x2≤ y ≤ 2x}.求積分
∫∫
D
(x2+ y2)dA
我們可以把積分寫為
∫∫
D
(x2+ y2)dA =
∫ 2 0
∫ 2x x2
(x2+ y2)dydx.
1.2 先對x積分，再對y積分
我們決定y的範圍再決定x的範圍‧假設c ≤ y ≤ d‧固定y時，x的上下限為因為y而改變，於 是h1(y)≤ x ≤ h2(y)‧因此積分為
∫∫
R
f (x, y)dA =
∫ d c
(∫ h2(y) h1(y)
f (x, y)dx )
dy.
範例 1.2 假設D ={(x, y) : −2 ≤ y ≤ 4, y2/2− 3 ≤ x ≤ y + 1}‧求積分
∫∫
D
xydA.
我們可以把積分改寫為 ∫∫
D
xydA =
∫ 4
−2
∫ y+1
y2 2 −3
xydxdy.
2 三重積分
利用類似的想法，我們也可以來計算三重積分
∫∫∫
D
f (x, y, z)dV.
我們可以利用對某個變數先積分後，將三重積分變成二重積分來計算‧舉例來說，假設區 域D是由
D ={(x, y, z) : (x, y) ∈ R, f1(x, y)≤ z ≤ f2(x, y)} 所組成‧那麼我們可以先對z積分：
∫∫∫
D
f (x, y, z)dV =
∫∫
R
(∫ f2(x,y) f1(x,y)
f (x, y, z)dz )
dA.
如果我們令ϕ(x, y) =
∫ f2(x,y) f1(x,y)
f (x, y, z)dz則三重積分變為二重積分的問題：
∫∫∫
D
f (x, y, z)dV =
∫∫
R
ϕ(x, y)dA.
接著再利用前面一節提到的將三重積分再次化減為雙重積分‧舉例來說：
範例 2.1 若D ={(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2, 0≤ z ≤ y}，求
∫∫∫
D
f (x, y, z)dV.
解答：令R ={(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}則原積分等於
∫∫∫
D
f (x, y, z)dV =
∫∫
R
(∫ y 0
f (x, y, z)dz )
dA.
再利用R我們更可以化為：
∫∫∫
D
f (x, y, z)dV =
∫ 1 0
∫ x2 0
∫ y 0
f (x, y, z)dzdydx.
我們當然並不一定要先對z積分‧我們也可以先對x積分，或先對y積分‧這些方式都與前面 類似‧例如，我們想先對x積分，我們就將區域D寫為
D ={(x, y, z) : (y, z) ∈ R, h1(y, z)≤ x ≤ h2(y, z)} 此處R為y, z平面上的一個平面區域‧於是積分就可以改寫為
∫∫
D
f (x, y, z) =
∫∫
R
(∫ h2(y,z) h1(y,z)
f (x, y, z)dx )
dA.
同理，我們想先對y積分，我們將區域D寫為
D ={(x, y, z) : (x, z) ∈ R, g1(x, z)≤ y ≤ g2(x, z)}, 此處R是x− z平面上的區域‧於是積分可以改寫為
∫∫
D
f (x, y, z) =
∫∫
R
(∫ g2(x,z) g1(x,z)
f (x, y, z)dy )
dA.
範例 2.2 計算積分
∫∫∫
D
zdV 其中D是由x = 0, y = 0, z = 0與x + y + z = 1的平面劃分出來的區 域‧
將D寫為
D ={(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}.
於是積分為 ∫∫∫
D
zdV =
∫ 1 0
∫ 1−x 0
∫ 1−x−y 0
zdzdydx.
範例 2.3 計算
∫∫∫
D
√
x2+ z2dV,其中D是由y = x2+ z2與y = 4所畫出來的區域‧
將D寫為
D ={(x, y, z) : 0 ≤ x2+ z2≤ 4, x2+ z2≤ y ≤ 4}.
因此積分可以改寫為
∫∫∫
D
√
x2+ z2dV =
∫∫
{x2+z2≤4}
(∫ 4 x2+z2
√ x2+ z2
) dA.
3 n重積分
利用類似的想法，我們可以來計算n重積分其中n≥ 1:
∫
· · ·
∫
D
f (x1,· · · , xn)dVn,
當n≥ 3時，我們就用dVn來表示n維度區域的體積‧我們的做法是，對某個變數先積分，讓原本
的n重積分變為n− 1重積分‧例如，我們對xn變數積分，我們將區域D寫成
D ={(x1,· · · , xn−1, xn) : (x1,· · · , xn−1)∈ Rn−1, g1(x1,· · · , xn−1)≤ xn≤ g2(x1,· · · , xn−1)} 其中Rn−1為x1− · · · − xn−1曲面上的區域‧則n重積分可以寫為
∫
· · ·
∫
D
f (x1,· · · , xn)dV =
∫
· · ·
∫
Rn−1
(∫ g2(x1,··· ,xn−1) g1(x1,··· ,xn−1)
f (x1,· · · , xn)dxn )
dVn−1
範例 3.1 求4維球體體積B4={(x, y, z, w) : x2+ y2+ z2+ w2≤ 1}.
解答：令B3={(x, y, z) : x2+ y2+ z2≤ 1}‧則 B4={(x, y, z, w) : (x, y, z) ∈ B3, −√
1− x2− y2− z2≤ w ≤√
1− x2− y2− z2}.
所以
V (B4) =
∫∫∫∫
B4
dV4
=
∫∫∫
B3
(∫ √1−x2−y2−z2
−√
1−x2−y2−z2
dw )
dV3
= 2
∫∫∫
B3
√1− x2− y2− z2dV3.
