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“C43N1” — 2019/3/5 — 11:30 — page 1 — #1
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本期訪談 Maria Chudnovsky 教授。 她研究結構圖論, 探討各種特殊性質所 對應的圖形結構。 2002 年, 她與合作者證明強完美圖猜想屬實, 之後繼續探討完美 圖的一般性結構, 並設計演算法以測試圖形是否完美。 近年來她也致力為完美圖的 著色提出具體方案。
組合學者與其他領域的數學家有不同的工作方式。 在一般數學領域, 學者從理 論出發, 之後或可找到問題來應用理論。 組合學者反其道而行; 他們從具體的問題 起步, 而後試圖找到解決問題的方法, 有時或可因此而創建出理論。
Timothy Gowers 教授寫過一篇文章討論數學中的兩種文化: 有解決問題者, 有理論建設者。 他的論點是: 我們需要兩者。 如他所言, 組合學的組織原則不及核 心數學的明確。 組合學的重要想法出現的形式, 通常不是精確陳述的定理, 而更常 是具有廣泛適用性的一般原則。
組合學的一大困擾, 在於它難以融入現有的數學理論。 組合學者普遍希望獲得 主流數學的助力, 好讓解題工具不局限於組合方法。 儘管助力極少出現, 但整體情 勢正在改變。 一方面, 組合學者總盡可能地借用其他數學分支的工具。 另一方面, 現 今電腦當道, 組合學的重要性已無庸置疑; 要讓程式有效運行, 必須事先設計演算 法, 而其本質正是組合學。 如今組合學的地位大幅提升, 不時獲其他領域的數學家 關注, 重大結果的根基也往往是組合學的想法。 Gowers 教授所謂的兩種文化, 正在 交相作用, 可望改變全景。
周長相同的平面封閉曲線中, 圓圍出的面積最大。 等周界不等式的諸多證明途 徑, 提供審視此事實的各種觀點。 林琦焜教授回顧等周界不等式的歷史緣起, 藉由 變分法、 傅氏級數、 複分析等工具提出五種證明, 各自精采漂亮。
在二維, 等周界問題成為: 圍出相同體積的封閉曲面中, 何者的面積最大? 由 變分法得知解曲面的均曲率為常數。 那麼, 什麼情況下它會是球? 什麼情況下它不 會是球? 解是否唯一? 「常均曲率曲面」 一文討論了這些問題。
柱面試管內, 液體與空氣以毛細曲面為界面, 以特定的接觸角與管壁相交。 無 重力時, 毛細曲面的均曲率為常數; 有重力時, 其均曲率是曲面高度的仿射函數。 視 毛細曲面為底面上函數 f 的圖形; 若管壁為楔形, 函數 f 在尖角是否有界? 是否 連續? 沿各方向趨近尖角時, 函數 f 會取得怎樣的極限? 它們如何取決於接觸角 及尖角的大小? Kirk Lancaster 教授講述相關研究成果。
1872 年, Weierstrass 宣告處處連續但處處不可微的函數存在, 日後這種函 數被用來描述布朗運動。 降低正則性來看, 是否存在處處有極限但處處不連續的函 數? 張海潮教授的文章討論這個問題。
本期封面改版, 由王姵鈞小姐構思設計。
梁惠禎 2019 年 3 月 1
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“C43N1” — 2019/3/5 — 11:30 — page 2 — #2
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第 四 十 三 卷
第 一 期
有朋自遠方來一一
專訪 Maria Chudnovsky 教授 · · · ·· · · ·· · · · ·· · · 3 不存在處處有極限 , 處處不連續的函數 · · · · 張海潮 16 等周長不等式 · · · · 林琦焜 19
有稜邊的毛細曲面 · · · · Kirk E. Lancaster 38 常均曲率曲面 · · · · 梁惠禎 48
平面凸六邊形中央兩相鄰交叉對角線長度乘積
一般化方程式 · · · 李輝濱 55
「一道面積比公式的另證」 的回響 :
用三角形的 A.S.A. 面積公式 · · ·· · · ·· · · 陳建燁 74
互質畢氏數三元樹 · · · · 賴昱維 80 對一道普特南數學競賽題的省思 · · · · 鐘文體 89
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