III. 分 数 的 运 算 及 重 点 分 析
(i) 引 言
在 学 习 分 数 之 前 学 生 是 学 习 整 数 的 。 整 数 与 分 数 无 论 在 概 念 及 四 则 运 算 上 均 有 所 不 同 ， 学 生 受 整 数 的 概 念 及 运 算 所 影 响 而 导 致 他 们 在 分 数 运 算 上 有 下 列 的 错 误 ：
例 ：
• 当 比 较 同 分 子 、 异 分 母 的 分 数 时 会 得 3 1＞
2
1， 因 为 受 整 数 3＞ 2 的 影
响
• 5 2＋
5 3＝
5 5
3 2
+ + ＝
10 5
• 9 8－
3 1＝
3 9
1 8
−
− ＝ 6 7
• 4
3 ＋3 2
21＝ 5＋
2 4
1 3
+ + ＝
6 54
• 3
6× ＝2 3 2 66 × ＝
3 2
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(ii) 学 生 学 习 分 数 运 算 时 所 面 对 的 困 难 、常 犯 的 错 误 及 一 些 教 学 建 议
分 数 的 四 则 运 算 较 整 数 的 四 则 运 算 为 繁 复 ， 不 同 的 运 算 有 不 同 的 处 理 方 式 ， 现 分 述 如 下 ：
(a) 分 数 的 加 减 法
在 小 学 ，分 数 加 减 的 教 学 法 ，通 常 是 先 从 直 观 图 形 归 纳 同 分 母 分 数 相 加 减 的 法 则 ，然 后 引 导 学 生 通 分 ，接 着 按 照 同 分 母 分 数 加 减 的 法 则 进 行 计 算 异 分 母 分 数 的 加 减 ， 最 后 才 介 绍 带 分 数 加 减 的 法 则 。 在 教 学 过 程 中 ， 宜 留 意 下 列 数 点 ：
• 从 同 分 母 分 数 加 减 进 入 异 分 母 分 数 的 加 减 时 ，学 生 通 常 都 感 到 困 难 。 教 师 需 要 引 导 学 生 了 解 透 过 通 分 ， 将 异 分 母 分 数 化 为 同 分 母 分 数 才 可 进 行 加 减 。而 进 行 通 分 的 教 学 时 ，要 兼 顾 通 分 的 各 种 情 况 ，例 如 ： 两 个 分 母 互 质 、要 找 两 个 分 母 的 公 倍 数 等 。同 时 要 通 过 适 当 的 练 习 ， 让 学 生 充 分 理 解 通 分 的 概 念 及 熟 习 通 分 的 技 巧 。
• 带 分 数 的 加 减 法 则 较 为 繁 复 ， 因 为 它 既 牵 涉 到 整 数 的 加 减 法 则 ， 亦 牵 涉 到 分 数 的 加 减 法 则 ， 尤 其 是 在 分 数 不 够 减 的 情 况 下 ， 运 算 更 为 繁 复（ 例 如 ：
7 51－
5
3 ） ， 学 生 通 常 都 会 感 到 困 难 。 故 此 ， 建 议 教 师2 将 同 分 母 带 分 数 的 加 减 教 学 安 排 在 同 分 母 分 数 的 加 减 教 节 后 ，同 样 ， 将 异 分 母 带 分 数 的 加 减 教 学 安 排 在 异 分 母 分 数 的 加 减 教 节 后 。
另 外 ，学 生 在 进 行 分 数 加 减 的 运 算 时 ，最 常 犯 的 错 误 是 分 子 与 分 子 相 加 减 、 分 母 与 分 母 相 加 减 、 未 能 适 当 地 通 分 等 ， 教 师 宜 多 加 留 意 。 当 学 生 误 用 分 数 加 减 运 算 的 法 则 时 ， 教 师 应 实 时 加 以 纠 正 ， 并 将 正 确 的 法 则 再 次 讲 解 。 当 然 ， 要 让 学 生 正 确 地 掌 握 法 则 ， 适 当 的 堂 课 及 家 课 练 习 是 必 须 的 ， 可 参 阅 本 数 据 册 内 有 关 分 数 加 法 、 减 法 的 教 学 /活 动 示 例 。
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(b) 分 数 乘 法
在 小 学 里 ， 分 数 乘 法 的 一 般 教 学 程 序 ， 是 先 教 （ 1） 分 数 乘 以 整 数 ， （ 2）
整 数 乘 以 分 数 ， （ 3） 分 数 乘 以 分 数 ， （ 4） 带 分 数 的 乘 法 。 学 生 应 较 易 掌 握 分 数 乘 法 法 则 ， 但 对 乘 法 概 念 的 理 解 ， 则 感 到 十 分 困 难 。 分 数 乘 法 法 则 的 建 立 ， 主 要 是 透 过 简 单 的 例 子 ， 利 用 分 数 的 概 念 、 整 数 乘 法 的 法 则 、 折 纸 、绘 图 等 活 动 推 导 出 来（ 可 参 阅 本 数 据 册 内 有 关 分 数 乘 法 的 教 学 /活 动 示 例 ） 。
学 生 在 进 行 分 数 乘 法 的 运 算 时 会 经 常 犯 错 ，以 下 是 一 些 例 子 ，教 师 宜 多 加 留 意 ：
• 整 数 和 分 数 相 乘 时 ， 将 整 数 与 分 母 相 乘 。 例 ： 8 3× =1
8 3
1
× = 24
1 。
• 分 数 为 带 分 数 时 ， 没 有 把 带 分 数 化 为 假 分 数 便 直 接 把 整 数 与 整 数 相 乘 ， 分 数 与 分 数 相 乘 。 例 ：
5 23×
11 7 4 =
11 5
4 ) 3 7 2
( ×
× × = 55 1412。
• 不 懂 得 相 约 的 法 则 。 例 如 ： 整 数 和 分 数 相 乘 时 ， 将 整 数 与 分 数 的 分 子 相 约 ；或 分 数 与 分 数 相 乘 时 ， 分 子 与 分 子 相 约 ， 分 母 与 分 母 相 约 。 有 时 甚 至 不 是 用 同 一 个 因 子 相 约 。
例 ： 20
1 4 5 8
2 ×
4
1 2 4
=1
因 此 ， 教 师 宜 在 教 学 时 ， 先 让 学 生 清 楚 了 解 分 数 乘 法 法 则 的 推 导 过 程 ， 通 过 反 复 的 练 习 ， 再 让 学 生 牢 牢 掌 握 法 则 。 当 学 生 错 误 地 运 用 法 则 时 ， 教 师 应 实 时 加 以 纠 正 。
(c) 分 数 除 法
在 小 学 里 ， 分 数 除 法 的 一 般 教 学 程 序 是 （ 1） 分 数 除 以 整 数 ， （ 2） 整 数 除 以 分 数 ， （ 3） 分 数 除 以 分 数 。 分 数 除 法 法 则 的 建 立 ， 与 分 数 乘 法 的 法 则
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类 似 ， 都 是 通 过 简 单 的 例 子 ， 透 过 分 数 的 概 念 、 除 法 的 意 义 、 用 图 解 、 折 纸 或 观 察 规 律 的 方 式 将 法 则 推 导 出 来（ 可 参 阅 本 数 据 册 内 有 关 分 数 除 法 的 教 学 /活 动 示 例 ）。与 分 数 乘 法 一 样 ，学 生 应 较 易 掌 握 分 数 除 法 法 则 ，但 对 除 法 概 念 的 理 解 ， 亦 会 感 到 十 分 困 难 ， 所 以 教 师 在 教 学 过 程 中 ， 应 尽 量 引 导 学 生 自 己 探 求 及 理 解 法 则 的 推 导 过 程 。一 般 来 说 ，学 生 在 进 行 分 数 除 法 的 运 算 时 会 经 常 犯 错 ， 以 下 是 一 些 例 子 ， 教 师 宜 多 加 留 意 ：
• 两 分 数 相 除 时 ， 只 将 乘 号 改 为 除 号 ， 而 忽 略 将 除 数 的 分 子 及 分 母 颠 倒 。 例 ：
8 3÷
5 2=
8 3×
5 2。
• 两 分 数 相 除 时 ， 将 被 除 数 的 分 子 及 分 母 颠 倒 。
例 ： 8 3÷
5 2=
3 8×
5 2。
• 整 数 除 以 分 数 或 分 数 除 以 整 数 时 ， 不 懂 得 如 何 处 理 整 数 部 分 。
例 ： 2
1 5 1 2
5÷1 = × 或 8 3÷5=
8
3×5。
• 当 遇 上 带 分 数 时 ，不 懂 得 先 将 带 分 数 化 为 假 分 数 ，然 后 再 进 行 运 算 。 例 ： 8
3÷2 5 4=
8 3×2
4 5。
与 分 数 乘 法 一 样 ，要 避 免 学 生 错 误 地 运 用 分 数 除 法 的 法 则 ，教 师 必 须 先 让 学 生 清 楚 明 了 法 则 的 推 导 过 程 ，然 后 通 过 适 当 的 练 习 ，让 学 生 懂 得 如 何 应 用 法 则 ，及 将 法 则 牢 记 于 心 。当 学 生 误 用 法 则 时 ，教 师 亦 应 实 时 加 以 纠 正 。
在 讲 解 分 数 的 四 则 运 算 时 ，应 先 让 学 生 厘 清 分 数 的 概 念 ，然 后 才 介 绍 分 数 运 算 的 法 则 。数 学 概 念 是 学 习 数 学 基 础 知 识 最 重 要 的 部 分 ，若 在 学 习 的 过 程 中 ，学 生 能 正 确 地 理 解 数 学 的 概 念 ，这 不 但 能 有 效 地 帮 助 他 们 掌 握 数 学 的 基 础 知 识 ，同 时 更 能 帮 助 他 们 理 解 数 学 运 算 法 则 ，进 而 培 养 及 发 展 他 们 逻 辑 思 维 的 能 力 。 若 学 生 因 未 能 清 晰 掌 握 有 关 的 概 念 ， 便 会 导 致 有 如
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3 4 2 4
1+ = （ 分 子 加 分 子 ， 分 母 加 分 母 ） 的 情 况 出 现 。 因 此 ， 教 师 应 先 让 学 生 正 确 地 、 清 晰 地 及 完 整 地 掌 握 分 数 的 概 念 ， 然 后 才 进 入 分 数 的 运 算 。 分 数 四 则 运 算 的 顺 序 与 整 数 四 则 运 算 的 顺 序 相 同 ，但 由 于 分 数 四 则 运 算 涉 及 较 为 繁 复 的 法 则 ，学 生 容 易 混 淆 ，所 以 建 议 教 师 用 对 比 或 验 算 的 方 法 来 加 强 学 生 对 运 算 技 巧 的 认 识 及 训 练 ， 从 而 提 高 学 生 的 计 算 能 力 。
本 文 所 介 绍 的 ， 只 是 一 些 有 关 分 数 教 学 的 基 本 策 略 ， 希 望 能 对 教 师 有 所 帮 助 ； 至 于 如 何 令 学 生 更 有 效 地 学 习 分 数 ， 这 还 需 要 教 师 们 因 应 学 生 的 学 习 差 异 来 调 整 教 学 方 法 及 程 序 。
