1-2

高中數學(2)習作 A 1-2 廣義角與極坐標 11

1-2 廣義角與極坐標 廣義角與極坐標 廣義角與極坐標 廣義角與極坐標

基礎題基礎題 基礎題基礎題

1. 試求下列廣義角的同界角

θ

，且 0° ≤

θ

^＜360°

(1) 450° (2) －610° (3) －5°

解 解解

解 (1) 450°＝360°＋90°，∴同界角為 90°

(2) －610°＝（－2）×360°＋110°，∴同界角為 110°

(3) －5°＝（－1）×360°＋355°，∴同界角為 355°

2. (1) 若點（sin

θ

^，－cos

θ

^{）在第三象限內，則}

θ

^{是第幾象限角？}

(2) 已知點 P（tan

θ

^，cos

θ

）在第三象限內，則點 Q（sin

θ

^，cos

θ

^{）在第幾象限內？}

解 解解

解 (1) 因為點（sin

θ

^，－cos

θ

）在第三象限內，所以 sin

θ

^{＜0，－cos}

θ

^＜0 得 sin

θ

^＜0，cos

θ

^＞0，故

θ

^{為第四象限角}

(2) 因為 P（tan

θ

^，cos

θ

）在第三象限內，所以 tan

θ

^＜0，cos

θ

^＜0 得

θ

為第二象限角，因此 sin

θ

^＞0，cos

θ

^＜0

故點 Q（sin

θ

^，cos

θ

^{）在第四象限內}

3. 試求下列各三角比的值：

(1) sin（－390°） (2) cos（－240°） (3) tan（－135°）

解解解

解 (1) sin（－390°）＝sin（2×360°－390°）＝sin 330°

＝

2 2

1 ( 3 ) ( 1)

−

+ − ^＝ 1

−2

(2) cos（－240°）＝cos（360°－240°）＝cos 120°

＝

2 2

1 ( 1) ( 3 )

−

− + ^＝

1

−2

(3) tan（－135°）＝tan（360°－135°）＝tan 225°

＝ 1 1

−

− ＝1

高中數學(2)習作 A 1-2 廣義角與極坐標 12

4. 已知 1

sinθ = −3，且

θ

是第三象限角，試求 cos

θ

^{和 tan}

θ

^的值 解

解解

解 由 sin²

θ

+cos²

θ

=1^，可得 cos

θ

= ± −1 sin²

θ

∵

θ

是第三象限角 ∴cos

θ

^＜0

故得 cos

θ

^＝− −^{1 sin2}

θ

^＝

1 2

1 3

 

− − − 

  ＝－2 2 3

再由商數關係得

1

sin 3 1 2

tan cos 2 2 2 2 4

3

θ θ

θ

= = − = =

−

5. 已知直線 L 的斜角為 45°，並通過點（－1，2），試求 L 的方程式 解

解解

解 直線 L 的斜角為 45°，故其斜率 m＝tan 45°＝1

又 L 通過點（－1，2），故其直線方程式為 y－2＝1×（x－（－1））

即 y＝x＋3

6. 設有向角

θ

以原點 O 為頂點，以 x 軸的正向為始邊。若

θ

的終邊上有一點 P（3，－4）， 試求 sin（180°－

θ

^）＋sin（

θ

^{－90°）的值}

解 解解

解 OP= 3² + −( 4 )² =5

由定義得 4

sinθ =⁻5 ， 3 cosθ =5 因此 sin（180°－

θ

^）＋sin（

θ

^－90°）

＝sin

θ

＋sin（－（90°－

θ

^））＝sin

θ

^{－sin（90°－}

θ

^）＝sin

θ

^－cos

θ

＝ 4 3

5 5

− − ＝ 7

−5

高中數學(2)習作 A 1-2 廣義角與極坐標 13

7. (1) 已知 Q 點的極坐標為 [6，120°]，試求其直角坐標

(2) 若選定直角坐標之 x 軸正方向為極軸，原點作為極點，試求點 P（－2，2）的極坐標 解解解

解 (1) ∵r＝6，

θ

^＝120°

∴直角坐標為（x，y）＝（6 cos 120°，6 sin 120°）＝ 1 3

6 6

2 2

   

× − ×

   

 

 ， ＝( 3 , 3 3 )− (2) 設 P 點的極坐標為 [r，

θ

^{]，如右圖所示}

2 2

( 2 ) 2 8 2 2

r= − + = =

則 2 1

cos

θ

= 2 2⁻ = ⁻2 ， 2 1

sin

θ

=2 2 = 2 ，所以

θ

^＝135°

故 P 點的極坐標為 [2 2，135°]

進階題 進階題 進階題 進階題

8. 如右圖，各正方形的邊長都是 1，試求 cos∠CAB 的值 解解解

解 〈解法一〉

如右圖，CA= 3²+ =1² 10

cos∠CAB＝cos（180°－

θ

^）＝－cos

θ

^{＝ 3}

− 10 ＝ 3 10

− 10

〈解法二〉

定坐標系使 A（0，0），B（1，0），則 C（－3，－1）

由定義得 cos∠CAB＝cos（360°－∠CAB）

＝ 2 2

3 ( 3) ( 1)

−

− + − ＝ 3 10

− ＝ 3 10

− 10

高中數學(2)習作 A 1-2 廣義角與極坐標 14

9. 已知 4

tanθ = −3，且 cos

θ

^＋sin

θ

^{＜0，試求 3cos 1} 2 sin 1

θ θ

−

+ 的值 解解解

解 ∵tan

θ

^＜0

∴

θ

為第二象限角或第四象限角

① 若

θ

^{為第二象限角，tan 4} θ = 3

−

令（x，y）＝（－3，4）為終邊上一點，則 r= x²+y² = ( 3)− ²+4² =5 cos 3

5 x

θ = =r ⁻ ， 4

sin 5

y

θ = =r ，
3 4 1

cos sin 0

5 5 5

θ

+

θ

=^^{− }+ =

  ＞ ，不合

② 若

θ

^{為第四象限角，tan 4} θ = ⁻3

令（x，y）＝（3，－4）為終邊上一點，則 r= x²+y² = 3²+ −( 4 )² =5 cos 3

5 x

θ = =r ， 4

sin 5

y

θ = =r ⁻ ，
3 4 1

cos sin 0

5 5 5

θ

+

θ

= +^^{− }= −

  ＜ ，成立

故得

3 3 1

3cos 1 5 4

2sin 1 4 3

2 1

5

θ

θ

− = × − = − + − 

× +

 

10. (1) 若 0° ≤

θ

＜360° 且 2 cos²

θ

+3cos

θ

− =2 0^，試求

θ

(2) 已知 sin²

θ

−4 cos²

θ

=3sin cos

θ θ

^，且

θ

為第二象限角，試求 tan

θ

^的值 解解解

解 (1) 2 cos²

θ

+3cos

θ

− =2 0，
（2 cos

θ

^{－1）（cos}

θ

^＋2）＝0

1

cos 2

θ = 2或− （不合，由定義知∣cos

θ

^∣ ≤ 1）

1

2＝cos 60°＝cos（360°－60°）＝cos 300°，故

θ

＝60° 或 300°

(2) 〈解法一〉

2 2

sin

θ

−4 cos

θ

=3sin cos

θ θ

sin²

θ

−3sin cos

θ θ

−4 cos²

θ

=0

（sin

θ

^＋cos

θ

^）（sin

θ

^{－4 cos}

θ

^）＝0

sin

θ

^＋cos

θ

＝0 或 sin

θ

^{－4 cos}

θ

^＝0

sin

θ

^＝－cos

θ

或 sin

θ

^{＝4 cos}

θ

sin

tan = 1 4

cos θ θ

= θ − 或

又因為

θ

為第二象限角，所以 tan

θ

^{＜0，故 tan}

θ

^＝－1

〈解法二〉

將等式兩邊同乘以 1₂

cos θ ^，即

2 2

2 2

sin 4 cos 3sin cos

cos cos

θ θ θ θ

θ θ

− = ，

化簡得

sin 2 sin

4 3

cos cos

θ θ

θ θ

   

− =

   

   ，由商數關係得 tan²

θ

− =4 3 tan

θ

tan²

θ

−3 tan

θ

− =4 0，
（tan

θ

^{＋1）（tan}

θ

－4）＝0，
tan

θ

^{＝－1 或 4} 又因為

θ

為第二象限角，所以 tan

θ

^＜0

故 tan

θ

^＝－1