記數法的歷史及其對教學的啟示
胡 重光
摘要: 兒童對進位、 退位難以理解, 是因為“位值”的概念不科學。 考察記數法的歷史 可以發現, 記數法的發展經歷了一個由不用計數單位, 到採用計數單位, 再到省略計 數單位的“否定之否定”的過程; 計數單位是理解“十進位值制記數法”的關鍵; 記數法 與記量法是一致的。 小學整數記數法和計算的教學如果按照“數碼—記量法和量的計 算—保留計數單位的多位數及其計算—省略計數單位的多位數及其計算”的步驟進 行, 將使兒童很容易理解, 並節省大量的教學時間。
關鍵詞: 記數法, 位值制, 計數單位, 記量法。
記數法是最基本的數學知識之一, 它是整數和表示為小數的有理數的集合的基礎, 整數和 小數的四則運演算法則都是基於記數法的。
目前世界通用的“十位進位值制記數法”非常巧妙: 只用 10 個符號就可以把無論多大的數 記下來, 十分簡捷, 又便於計算, 因此為世界各國所採用, 成為整個數學的基礎。
通常認為, 這種記數法的最基本的特點就是採用了“位值原則”。 所謂“位值原則”, 裘光明 主編的 《數學辭海》 所下的定義是: “同一個數字由於它在所記的數裏的位置不同, 所表示的數 也不同。 也就是說, 每一個數字除了本身的值以外, 還有一個‘位置值’。” [1] 美國數學教學法專 家 J. W. 海敦斯 (J. W. Heddens) 說: “位值原則使十進命數法遠遠優於其他任何命數法。”[2]
“位置值”也簡稱“位值”。 然而, 不幸的是, 如此重要的“位值”卻是一個兒童很難理解的概念, 中 外都是如此。 J. W. 海敦斯在談到位值時說: “對於兒童來說, 這是一個抽象的、 很難理解的概 念。” [2] 為了幫助兒童理解這一概念, 小學數學教學採用了多種直觀教具、 學具, 如中國的“數 位器”、 美國的“位值箱”等。 即使如此, 兒童仍常常出現把“一十五”寫成“105”, 把 37 + 25 的 結果算成 512 之類的錯誤, 在整數、 小數加減法學習中的主要錯誤也出在“進位”和“退位”上。
多年來我們一直認為這一困難是無法改變的, “位值”本來是兒童難以理解的。 但是“位值”
這一概念並不是從這一記數法產生時就有的, 而是到近代才提出的, 其目的也是為了說明為什
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麼同一數字位於不同的“數位”就有不同的值。 既然這一概念如此難理解, 那麼我們能否給出另 一種更容易理解的說明呢? 甚至我們有理由懷疑, “位值”的概念是否科學、 合理。
記數法是人類最古老的文明之一, 它的演進經歷了漫長的歷史時期。 J. 皮亞傑 (J. Piaget) 有一個重要的觀點: 兒童思維的發展和科學的發展之間存在著類似的發展過程 [3]。 因此, 考察 一下記數法產生和發展的歷史, 或許會對我們有所啟發。
人類最初的記數法, 按使用的符號的性質, 可大致分為三類。 第一類是用專門的符號來記 數的, 古埃及、 巴比倫和瑪雅人的記數法都屬於這一類。
埃及:
巴比倫:
巴比倫人的文字是刻在泥板上的, 因此呈楔形, 歷史學家稱之為“楔形文字”。 有趣的是 1 和 60 的符號只有大小的不同。 古埃及的記數法是以 10 為基的, 巴比倫的記數法則是以 60 為基 的。 瑪雅人的記數法的主要特點是使用了一個專門代表 20 的符號, 形狀像一個人的面部, 並且 是以 20為基的。 所有這些符號都是特別造出來用於記數的。
第二類是用現成的字母來記數, 古希臘、 羅馬、 印度的記數法都屬於這一類。
希臘字母有 27個, 古希臘人用頭9個字母代表1到9的數, 中間9個字母代表10到90的數, 末 9 個字母代表 100到 900的數。
古羅馬人的記數法現在還常用來標順序, 他們只用 7 個大寫字母記數, 並有一套記數規則:
相同的字母排在一起表示相加; 較小的數排在較大的數的左邊表示相減, 排在右邊表示相加; 在 一串數字的右下方加一個 m, 則表示把這個數擴大 1000倍。 例如 29635 用古羅馬記數法寫成:
XXIXmDCXXXV。
M. 克萊因 (M. Kline) 的 《古今數學思想》 上載有西元前三世紀後印度的一套記數符號:
他認為“這一組記號的出色之處是它給 1 到 9 的每個數都有單獨的記法”, 並推測“這種寫法也 許是由於以該數名稱的第一個字母來代替它而產生的。” [4] 如果他的推測正確, 則這種記數法 也屬於第二類。
這兩類記數法的一個共同特點是, 都用重複書寫某一個符號的方法來表示更大的數。 例如 要表示 500, 就要把表示 100 的符號寫 5 次。 這種方法有兩個大缺點: 一是書寫很長, 很大的數 幾乎難以記數; 二是計算非常困難, 即使專家也很難掌握。
第三類是中國古代的記數法。 中國古代的記數法在國外的數學史著作中介紹不多, M. 克 萊因的 《古今數學思想》 完全忽略了中國數學, 他認為“他們的工作對數學思想的主流沒有重大 影響。” [4] 但是, 就記數法來說, 他忽略的恰好是最重要的一種。
據錢寶琮的研究[5], 殷墟甲骨文中有以下 13 個記數符號:
前面四個是專門的記數符號, 五、 六、 七、 八、 九都是假借字, 即借用漢字來表示數。 如 原是“午”字。 百、 千二字來歷不明, “萬”字是“蠆”的初字, 像一個蠍子。 “6”和“100”都有兩種 寫法。
十、 百、 千、 萬的倍數的記法如下:
20、30、40 的記法是將表示 10 的符號重寫, 與第一類記數法的記法相同。 但 50、70、50∼80 的記 法則與第一類記數法不同, 明顯是兩個符號的合文。 對比前面的100、1000的記法可看出, 幾百、
幾千、 幾萬的記法也是合文, 即用 1∼9的數字與表示百、 千、 萬的符號合起來記數, 寫成一個單 字, 但讀起來還是兩個音節, 例如殷墟甲骨文“八日辛亥 伐, 人 人”中的數字是二千 六百五十六。
與前兩類記數法比較可以發現, 中國古代的記數法與古埃及的記數法雖同為十進, 但在古 埃及記數法中, 十、 百、 千、 萬的符號是數字, 而在中國古代記數法中, 這些符號是計數單位。
中國古代的記數符號分為兩類: 數字符號和單位符號。 10 以上的數要用兩種符號結合起來記, 如“500”記為“五百”不用把“百”的符號連寫五次。 這樣, 不但記數很簡單, 而且計算時只要對相 同計數單位的量數作計算就可以了, 所有的計算都歸結為 10 個數碼的計算, 十分簡便。 在甲骨
文中, 數字符號和單位符號是合寫在一起的。 以後的記數法已不用合文, 例如記 8620 為 “八千 六百二十”。 除了沒有“零”外, 與現代漢語的記法已沒有什麼區別。
中國很早就有了系統的計數單位, 《國語 · 鄭語》 記載史伯對鄭桓公說: “合十數以訓百體, 出千品, 具萬方, 計億事, 材兆物, 收經入, 行 極。” [6] 其中十、 百、 千、 萬、 億、 兆、 經、 都 是十進的計數單位。 後來又將萬、 億、 兆、 經、 等大單位改為萬進。 採用這種記數法, 很自然地 把一個數位的各計數單位按從大到小的順序排列, 很有規律。
約到西元前二世紀之後, 中國的記數法又有了新的發展, 出現了算籌記數法。 這種記數法 由於採用小竹棍來擺數位, 其記數符號與以前的很不相同, 並有縱式和橫式兩種, 記數時縱式和 橫式交替使用:
縱式 橫式
1 2 3 4 5 6 7 8 9
它的一個重大進步是省略了計數單位。 例如八萬六千零二十一用算籌擺出來是 , 百位上是空位, 不放算籌。 把它與 86021 比較可以發現, 算籌記數除了沒有數碼 0 之外, 與現在 的十進位值制記數法只有符號不同這一個差別。 可以說, 它就是一種十進位值制記數法。[註]
算籌記數法還有一個優點: 由於大於“5”的數字都包含表示“5”的符號, 所以 20 以內的進 位加法很容易計算, 而對於現代十進位值制記數法來說, 這是小學數學的難點。
由算籌記數法又發展出珠算 (珠算產生的年代已很難確定, 中國有關算盤的記載最早出現 在三世紀前後的 《數術記遺》 一書), 珠算的記數法與算籌記數法基本相同, 但計算速度極快, 是 中國古代最優秀的計算工具, 不但至今仍在使用, 它在數學教育上的價值更是寶貴的、 難以替代 的。
回顧記數法的發展過程我們看到, 記數法經歷了最初不用計數單位, 進而採用計數單位, 最 後又省略計數單位這樣一個“否定之否定”的發展過程。 計數單位的使用使記數法科學化, 而此 後的省略計數單位不但沒有失去計數單位的作用, 而且使記數法大大簡化了, 達到了完美的地 步。 可以說, 計數單位在記數法的發展中起到了決定性的作用。
進一步還可發現, 記數法與記量法是一致的, 計數單位相當於計量單位。 例如長度的記量 就是先確定一系列長度單位: 毫米、 釐米、 分米、 米· · · 以及相鄰單位的進率。 如果規定最小 單位為釐米, 相鄰單位的進率為 10, 則記 10 米以下的長度時, 也可以像省略計數單位一樣省略 長度單位, 例如 3米 5分米 5釐米記為 355也是清楚明白的。
註:算籌記數,古人有規定: “一縱十橫,百立千僵。 千、 十相望,萬百相當。 滿六以上,五在上方。 六不積算,五不單張。” (《夏侯 陽算經》)即用算籌擺數時,縱式和橫式要交替使用。 因算籌用空位表示零,有時不夠明顯。 但若看到兩縱式或兩橫式相鄰,就知其間有 一空位了。
這時, 若要把兩個長度相加, 只要對好“位”, 就像兩個整數相加一樣。 如果兒童明白了這些 規則, 他們就懂得了 355 這個長度中為什麼兩個 5 所代表的長度不相同, 也不會把 1 分米 5 釐米 寫成 105。
以上的事實和分析啟示我們, 計數單位是理解多位數記數法和四則運算法則的關鍵。 由此 我們可以得出, 多位數的認識和四則運算的教學應按以下步驟進行:
1. 首先學習 0 至 9 的數碼。
2. 其次學習進率為 10 的常見量的記量法, 例如貨幣、 長度。 記量法比記數法更為具體, 是 看得見、 摸得著的, 又與兒童的生活實際緊密聯繫, 因此兒童更易理解。 並且學習記量法也為數 碼及其計算提供了應用的實例, 使兒童看到數的用處, 增強他們的學習興趣。
3. 再次是學習保留計數單位的多位數及其計算。 例如 35 應先寫作 3 拾 5 個, 在計算時也帶 著計數單位進行。
4. 最後, 在兒童對這種帶單位的數及其計算已熟悉後, 再學習省略單位的多位數及其計 算。
有了第二和第三步的學習, 兒童將很容易理解所謂“位值”和“進位”、“退位”。 實際上“位 值”的概念也就不需要了, 而“進位”和“退位”就相當於名數的“聚”和“化”。 原來的抽象性完全 不存在了, 變得具體、 簡單、 明白了。 這一改變使整數記數法及其計算的教學真正科學、 易懂, 能節省大量時間。 既然“位值”已是不必要的概念, “十進位值制記數法”的名稱也應改變, 比較 恰當的名稱或許應該是“省略計數單位的十進記數法。”
參考文獻
1. 裘光明, 數學辭海 (第一卷), 山西教育出版社, 太原, 2002.
2. J. W. 海敦斯著, 程子明, 陳夫義等譯, 美國現代小學數學, 華中師範大學出版社, 武漢, 美國, 1989.
3. J. 皮亞傑, R. 加西亞著, 薑志輝譯, 心理發生和科學史, 華東師範大學出版社, 上海, 2005.
4. M. 克萊因, 古今數學思想 (第一卷), 上海科學技術出版社, 上海, 美國, 1979.
5. 錢寶琮, 中國數學史, 科學出版社, 北京, 1964.
6. 國語 · 鄭語, 上海書店1987年版, 第186頁.
—本文作者現任教湖南省第一師範學校教育科學研究所—
