為何會多出一個根呢 ?
連威翔
一、 前言
在建中通訊解題活動的歷年問題中, 第 48 期徵答題的第三題如下:
問題4803: △ABC 中, AD⊥BC 於 D 點, ∠A=45◦、BD = 3 、CD = 2, 求 △ABC 面積?
此問題的出處與公告解答, 請參考 [1]。
題目中提到 AD⊥BC 於 D 點, 表示其垂足 D 會落在 BC 上, 又 BD, CD 均正, 表 示 D 與 B, C 相異, 可知 △ABC 必然是銳角三角形。 因此, 上述問題的圖形可參考下圖:
圖1
此圖形是仿照 [1] 中公告解答的附圖所繪, 其中假設高 AD = h。
在 [1] 的解答中, 是先分別以圖 1 的 AB, AC 為對稱軸, 作 △ABD 與 △ACD的鏡 像: △ABE 與 △ACF , 接著再延長 BE 與 CF 並設兩者相交於 G, 而得下圖:
圖2
在圖 2 中, 因為
∠EAF = ∠EAD + ∠F AD = 2(∠BAD + ∠CAD) = 2× 45◦ = 90◦,
故 ∠EAF 為直角。 由於 ∠AEG, ∠AF G 兩者亦為直角, 得知四邊形 AEGF 的四個內角中 有三個直角, 因此其第四個內角 ∠EGF 亦為直角, 故 AEGF 為矩形。 又因為 AEGF 的兩 鄰邊 AE 與 AF 等長 (長度均為 h), 知四邊形 AEGF 四邊等長, 因此它是一個邊長 h 的正 方形。 這樣我們就知道
BG= GE − BE = AE − BD = h − 3, CG= GF − CF = AF − CD = h − 2.
因為圖 2 中 △BCG 為直角三角形, 由畢氏定理知 BG2+ CG2 = BC2, 即
(h − 3)2+ (h − 2)2= 25. (1) 上式可化簡得
(h − 6)(h + 1) = 0,
因此知 h = 6 或 h = −1。 其中 h = −1 不符所求, 得 AD = h = 6, 並可求出 △ABC 面 積為 15。
以上所介紹的解法, 基本上與 [1] 中的解法相同, 兩者都列出了方程式 (1), 只是上述解答 將過程寫得更詳細些。 不過, [1] 中的解答其內容並未提到 (1) 式有一個不合的根 −1。 我們可 以問, 此處所得的 h = −1 這個根有它的意義嗎? 答案是肯定的, 底下筆者將為大家介紹其意 義與由來。
二、 關於多出來的根
從第一節的討論, 可知 h = −1 是 (1) 式的兩根之一, 注意 (1) 式中有兩個平方式:
(h − 3)2 與 (h − 2)2。 因為平方式 a2 也可以寫成 (−a)2, 所以我們可將 (1) 式改寫為:
(−h + 3)2+ (−h + 2)2 = 25, (2) 且 h = −1 也是 (2) 式的根。 將 h = −1 代入 (2) 式後, 可知
(1 + 3)2+ (1 + 2)2 = 25. (3) 從 (3) 式的結果, 我們另外知道 h = 1 是底下 (4) 式的根:
(h + 3)2+ (h + 2)2 = 25. (4)
同理可將 (4) 式中的兩個平方式改寫, 得知 h = 1 是底下 (5) 式的根:
(−h − 3)2+ (−h − 2)2 = 25. (5) 將 h = 1 代入上式後得
(−1 − 3)2+ (−1 − 2)2 = 25. (6) 最後, 由 (6) 式可知 h = −1 是 (1) 式的根。
從以上的討論過程, 我們知道 「h = −1 是 (1) 式的根」 與 「h = 1 是 (4) 式的根」 這兩 件事等價, 可彼此互推。
接著, 我們不妨將問題 4803 的條件修改一下, 考慮底下的問題:
問題1: △ABC 中, AD⊥BC 於 D 點, ∠A=135◦、BD = 3 、CD = 2, 求 △ABC 面積?
注意問題 1 除了 ∠A = 135◦ 的條件外, 其餘條件都和問題 4803 相同。 其參考圖形如下:
圖 3 其中, 同樣假設高 AD = h。 問題 1 的解法如下:
解答1: 仿照第一節中求解問題 4803 時由圖 1 得圖 2 的方式對圖 3 做輔助線, 先分別以圖 3 的 AB 與 AC 為對稱軸, 作 △ABD 與 △ACD 的鏡像: △ABE 與 △ACF 。 接著作 BE 與 CF 之延長線, 假設兩者相交於 G, 可得下圖:
圖 4 在圖 4 中, 因為
∠EAD + ∠F AD = 2(∠BAD + ∠CAD) = 2× 135◦ = 270◦, 可知
∠EAF = 360◦− (∠EAD + ∠F AD) = 90◦,
故 ∠EAF 為直角。 此時, 仿照我們對圖 2 所作的討論, 同理可知圖 4 中四邊形 AEGF 為邊 長 h 的正方形。 這樣我們就知道
BG= BE + EG = BD + EA = h + 3, CG= CF + F G = CD + F A = h + 2.
因為圖 4 中 △BCG 為直角三角形, 由畢氏定理知 BG2+ CG2 = BC2, 即
(h + 3)2+ (h + 2)2 = 25. (7) 注意 (7) 式與本節一開始介紹的 (4) 式完全相同, 它可化簡為
(h + 6)(h − 1) = 0,
得兩根為 h = −6 或 h = 1。 但其中 h = −6 不符所求, 知 AD = h = 1, 並可求出 △ABC 的面積為 5
2, 解題完畢。
看完上面解答 1 的過程, 我們知道 h = 1 就是 (4) 式 (即 (7) 式) 的根。 而本節一開始 的那段討論, 告訴我們 「h = 1 是 (4) 式的根」 與 「h = −1 是 (1) 式的根」 這兩件事是等價 的, 從而我們知道, 問題 4803 解答中的 (1) 式之所以會多出 h = −1 這個根, 是因為問題 1 在解答過程中由圖 4 可推得 (4) 式 (即 (7) 式), 且 h = 1 是 (4) 式的一根。
而此時筆者也可另外問大家, 為何上述解答中的 (7) 式會多出 h = −6 這個根呢? 相信 在看過上面的討論後, 讀者應該可以自己設法找出答案。 答案是, 因為 「h = −6 是 (7) 式的 根」 與 「h = 6 是 (1) 式的根」 是等價的(請證明看看), 而後者早在第一節後半我們就已經知 道了。
三、 問題 4803 的另解
在第一節中, 筆者對問題 4803 的解法乃是參考 [1] 的解法而來。 在本節中, 筆者想對該 問題提出一個另解, 解法如下:
解答2: 圖 1 中, 以 AC 為對稱軸作 △ABC 的鏡像 △AB′C, 連接 BB′ 後, 將如下圖:
圖 5
假設 BB′ 交 AC 於 E, 因為 ABCB′ 為箏形, 可知 BB′⊥AC。
在圖 5 中, 因為
∠BAB′ = ∠BAC + ∠B′AC = 2 × 45◦ = 90◦, 故 ∠BAB′ 為直角。 此外, 因 △ABD, △ACD 為直角三角形, 可寫下
AB =√
h2+ 9, AC =√
h2+ 4.
因為 AB = AB′, 可知 △ABB′ 為等腰直角三角形, 而 △ABB′ 斜邊上的高 AE, 又將
△ABB′ 切成兩個等腰直角三角形 : △ABE 及 △AB′E, 因此可知 AE= BE = AB
√2 =
√h2+ 9
√2 , CE= AC − AE = √
h2+ 4 −
√h2+ 9
√2 . 由於 △BCE 為直角三角形, 可知 BE2+ CE2 = BC2, 因此有
√h2+ 9
√2
!2
+ √
h2+ 4 −
√h2+ 9
√2
!2
= 25.
上式整理後可得
2h2− 12 =√ 2 ×√
h2 + 4 ×√
h2+ 9. (8)
對 (8) 式的等號兩側取平方, 可知
(2h2− 12)2 = 2(h2+ 4)(h2+ 9). (9) 對 (9) 式再作化簡, 最終可得
(h2 − 1)(h2− 36) = 0. (10) 在已知 h > 0 的前提之下, 可知上式的解為
h= 1 或 h = 6. (11)
不過, 這兩個解都是符合圖 5 的解嗎?
且讓我們回到圖 5, 因為 ∠BAC = 45◦, 可知
∠BAD = ∠BAC − ∠CAD < ∠BAC = 45◦. 又因為 ∠ABD 與 ∠BAD 互餘, 利用上式可知
∠ABD = 90◦− ∠BAD > 90◦− 45◦ = 45◦.
因此有 ∠ABD > 45◦ > ∠BAD。 接著觀察△ABD, 由三角形大角對大邊的性質知 AD >
BD, 即 h > 3, 因此在 (11) 處的兩解中, h = 1 是不合的解, 應取 h = 6。 至此, 可再次可算 出 △ABC 面積為 15, 解題完畢。
看完上面的解題過程, 我們發現方程式 (10) 有一個多出來的根 h = 1, 經過第二節的探 討, 我們知道它應該與問題 1 的解 h = 1 有關。 底下, 我們不妨再次看問題 1, 給出其另解之 後, 再仿照第二節解答 1 完成後所給出的論述, 進行類似的探討。 問題 1 的另解如下:
解答3: 圖 3 中, 以直線 AC 對稱軸作 △ABC 的鏡像 △AB′C, 連接 BB′ 後, 將如下圖:
圖 6
假設 BB′ 交 AC 的延長線於 E, 因為 B, B′ 兩點對直線 AC 對稱, 可知 BB′ 垂直 AC 直 線於 E。
在圖 6 中, 因為
∠BAB′ = 360◦− (∠BAC + ∠B′AC) = 360◦− 2 × 135◦ = 90◦, 故 ∠BAB′ 為直角。 此外, 因 △ABD, △ACD 為直角三角形, 可寫下
AB =√
h2+ 9, AC=√
h2+ 4.
因為 AB = AB′, 可知 △ABB′ 為等腰直角三角形, 而 △ABB′ 斜邊上的高 AE, 又將
△ABB′ 切成兩個等腰直角三角形 : △ABE 及 △AB′E, 因此可知 AE= BE = AB
√2 =
√h2+ 9
√2 , CE= CA + AE =√
h2+ 4 +
√h2+ 9
√2 .
由於 △BCE 為直角三角形, 可知 BE2+ CE2 = BC2, 因此有
√h2 + 9
√2
!2
+ √
h2+ 4 +
√h2+ 9
√2
!2
= 25.
上式整理後可得
2h2− 12 = −√ 2 ×√
h2 + 4 ×√
h2+ 9. (12) 對 (12) 式的等號兩邊取平方, 可知
(2h2− 12)2 = 2(h2+ 4)(h2+ 9). (13) 對 (13) 式再作化簡, 可得
(h2 − 1)(h2− 36) = 0. (14) 在已知 h > 0 的前提之下, 可知上式的解為
h= 1 或 h = 6.
為了確定上述 h 的兩解何者正確, 回到圖 6 後, 因為 ∠BAC = 135◦, 可知
∠ACD = 180◦− ∠BAC − ∠ABC < 180◦− ∠BAC = 45◦. 又因為 ∠ACD 與 ∠CAD 互餘, 利用上式可知
∠CAD = 90◦− ∠ACD > 90◦− 45◦ = 45◦.
因此有 ∠CAD > 45◦ > ∠ACD。 接著觀察△ACD, 由三角形大角對大邊的性質知 AD <
CD, 即 h < 2, 因此上述 h 的兩解中, h = 6 是不合的解, 應取 h = 1。 至此, 可再次算出
△ABC 面積為 5
2, 解題完畢。
此時, 若回頭比較解答 2 與解答 3, 可發現解答 3 中的 (13) 式就是解答 2 中的 (9) 式。
而正因為如此, 才使得方程式 (14) 的根 h = 1 也出現在方程式 (10) 的根裡面; 同時, 也讓方 程式 (10) 的根 h = 6 也出現在方程式 (14) 的根裡面。
讀者應該有注意到, (8), (12) 兩式剛好只差了一個負號, 但因為接下來都對兩者之等號兩 側取平方, 所以就得到相同的 (9), (13) 兩式。 這也讓兩處得到同樣的方程式 (10), (14) 與同 樣的兩根。
四、 結語
透過本文前兩節的探討, 我們便明白了問題 4803 解答之中方程式 (1) 的根 h = −1 的 由來。 而比較第三節中的兩個另解, 我們也知道解答 2 中方程式 (10) 其不符所求的根 h = 1
剛好是解答 3 中符合所求的解。 日後當我們解題時, 若發現方程式有不合題意的根, 不妨思考 看看它的由來, 也許它來自於另一個相關問題。
以上就是筆者簡單的心得分享, 希望讀者喜歡。 文章最後, 筆者要感謝建中通訊解題主辦 單位, 因為有問題 4803, 才有本文的誕生。
參考資料
1. 問題 4803, 建中通訊解題 48 期
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&
id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37
—本文作者投稿時任職適園有限公司 (人力派遣)—
