高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.09.24 班級
範
圍 1-2 向量及其應用
座號
姓 名 一、選擇題(每題 10 分)
1. 設 2 =
α
+β
，α
，β
∈ R，若 A，B，C 共線，則α
+β
之值為 (A) 1 (B) −1 (C) 2 (D) − 2 (E)不能確定____\
PA
____\
PB
____\
PC
【解答】(C)
【詳解】2____
PA
\ =α
+β
⇒ =____\
PB
____\
PC
____\
PA 2
α ____\PB+
2
β ____\PC
∵ A，B，C 共線 ∴
2 2
β
α
+
= 1 ⇒α
+β
= 22. 如圖，已知
____\
AP= ____\
19
3 AB
+19
5
____\AC ，則△ABP 面積是△ACP 面積的 (A)
15
19
(B) 2 (C)2 3
(D)3 5
(E)5 8
倍【解答】(D)
【詳解】由 \
____
AP= ____\
19
3 AB
+19
5
____\ AC ，∵19 5
19 3 +
< 1 ∴ P，B，C 不共線 設____AD\ = t____\
AP=
19
3t
____\ AB+19 5t
____\AC ， ∵ B，D，C 共線 ∴
19 5 19
3 t + t
= 1 ⇒ t =8 19
∴ ____AD\ =
8 3
____\AB+
8 5
____\AC ⇒
BD
： DC= 5：3， 故5 3 ABP ABD BD ACP ACD CD
Δ = Δ = =
Δ Δ
二、填充題( 每題 10 分)
1. 若△ABC中，
AB
= 2， AC = 3， BC = 4 且∠ A的角平分線AD
交 BC 於D點，求(1) \ = + ，求數對
____
AD
r
____\
AB s \
____
AC ( , ) r s =
。(2) |____AD\ | = 。【解答】(1) (
5 3
，5
2
) (2)5
6 3
【詳解】
AB
= 2， AC = 3， BC = 4，內分比性質⇒
BD
： DC =AB
： AC = 2：3 ∴ ____AD\ =5 3
____\AB+
5 2
____\AC
⇒ | |
____\
AD 2 =
25
1
| 3 + 2 |____\
AB
____\
AC
2 =25
1
(9 | |____\
AB 2 + 12 ． + 4 | |
____\
AB
____\
AC
____\
AC
2) 又____AB\ ． \ = 2 × 3 × cosA = 6 ×____
AC 2 2 3
16 9 4
×
×
−
+
=4 9 16 2
+ −
= −2 3
故 | |
____\
AD 2 =
25
1
(9 × 4 + 12 × (−2
3
) + 4 × 9) =25
54
，即 |____AD\ | =5
6 3
2. △ABC中，D為 BC 上一點且 CD = 2
BD
，G為 AC 中點，若 \ = r____
GD
____\
AB
+ s____AC
\ ，r，s ∈ R，則數對(r，s) = 。
【解答】(
6 1 3
2 ， −
)【詳解】連接
BD
， CD = 2BD 1 2 BD
⇒ CD =
=
____\
GD
____\ ____\
3 1 3
2 GB + GC
=2
____\ ____\1 1
____\)
( ) ( 2
3 AB AG − + 3 AC
=2 (
____\1
____\) 1
____\3 AB − 2 AC + 6 AC
=3 2 3
2
____AB
\−
(2 1
____\AC
) + ____\6
1 AC
= ____\ ____\6 1 3
2 AB− AC
，∴(r，s) = (6 1 3
2 ， −
)3. 設H為△ABC之垂心，若 \．
AC
= 8，則 ．A____
AB \
____ ____\
AB
____\
H= 。
【解答】8
【詳解】若 H 為垂心，則 \
____
AH ．____AB\=
____\
AH ．____
AC
\ = ． = 8____\
AB \
____
AC
4. 設△ABC中，
AB
= 6，BC = 7，AC = 8，I為△ABC之內心，直線CI交AB
於D，則CI
___\= k \時，k =____
CD
。【解答】
7 5
【詳解】
CD 為角平分線，
AD
：BD
=CA ：CB = 8：7 ∴AD
=15
8 AB
=15
8
× 6 =5 16
AI
為角平分線， CI ：DI
= AC ：AD
= 8：5
16
= 5：2，故CI
___\=7 5
____\CD
，得 k =7 5
5. △ABC之三邊，a = BC = 3，b =CA = 5，c =
AB
= 7，(1) G為△ABC之重心 ⇒ ____
AG
\ = \_____
AB + _____
AC
\ 。 (2) I為△ABC之內心 ⇒ ____AI\= ____AB\ + _____AC
\。【解答】(1) ____
AG
\ =3 1
____\AB+
3 1
_____\AC
(2) A\____
I =
3 1
____\AB+ _____\
15
7 AC
【詳解】
(1)對於任意三角形 ABC，G 為△ABC 之重心 ⇒ ____
AG
\ =3 1
____\AB+
3 1
_____\AC
(2)△ABC 之三邊 a = 3，b = 5，c = 7I 為內心 ⇒ ____AI\=
c b a
b + +
____\
AB+
c b a
c + +
_____\
AC
=3 1
____\AB+ _____\
15
7 AC
6. 已知△ABC中，
AB
= 4，BC = 6，AC = 5，K為外心，若____AK\ = x____AB\+ y ，求(x，y) =____\
AC
。【解答】(
7 3
，35 16
)【詳解】
____\
AB ．
____\
AC
=2
1
(AB2+AC
2−BC
2) =2
1
(42 + 52 − 62) =2 5
____\
AK ．
____\
AB=
2 1
|____\
AB |2 = 8
____\
AK ．
____\
AC
=2 1
|____\
AC
|2 =2 25
____\
AK ． = (x + y )． = x | |
____\
AB
____\
AB
____\
AC
____\
AB
____\
AB 2 + y____
AC
\ ． = 8 ⇒ 16x +____\
AB
2
5
y = 8……c____\
AK ．____
AC
\ = (x + y )． = x ． + y____\
AB \
____
AC
____\
AC
____\
AB \
____
AC
| \ |____
AC
2 =2 25
⇒2
5
x + 25y =2
25
……d 解c，d得(x，y) = (7 3
，35 16
)7. △ABC中，
AB
= 6， AC = 8， BC = 2 13 ，又H為△ABC的垂心，若____AH\ = x + y ，則 數對(x，y) =____\
AB \
____
AC
。【解答】(
9 5
，6 1
)【詳解】
． =
____\
AB \
____
AC 2 1
(| |____\
AB 2 + | \ |
____
AC
2 − | \|____
BC
2 ) =2
1
(36 + 64 − 52) = 24H為垂心 ⇒ ____AH ．\ ____AB\=
____\
AH ．____
AC
\ = ． = 24____\
AB
____\
AC
____\
AH ． \= (x + y )． = x | |
____
AB \
____
AB \
____
AC
____\
AB \
____
AB 2 + y____
AC
\ ． = 24 ⇒ 36x + 24y = 24……c____\
AB
____\
AH ． \ = (x + y )． = x ． + y | |
____
AC
____\
AB \
____
AC
\____
AC
____\
AB \
____
AC
\____
AC
2 = 24 ⇒ 24x + 64y = 24……d 解c，d得數對(x，y) = (9 5
，6 1
)8. 在△ABC中，
AB
= 2， BC = 3，CA = 4 且BE
為 AC 上之中線，則BE
之長為 。【解答】
2 10
【詳解】
BE
為 AC 上之中線1 1 BD
⇒ CD =
，____\1
____\1
____2 2
\
BE = AB + A C
____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
| | | | | | (| | 2 | |
2 2 4 4
1 ( 2 )
4 2
1 10
[2 (2 3 4 ) 3 ]
4 4
BE BA BC BA BC BA BA BC BC
BA BC AC
BA BC
= + = + = + ⋅ +
+ −
= + × +
= + + − + =
\ 2
)
中線
BE
=2 10
9. △ABC中，已知 BC= 4，CA = 3，
AB
= 6，∠A的分角線交 BC 於T 點，求AT
之長 。【解答】
3 130
【詳解】
AT
為角平分線，BT
： CT =AB
： AC = 6：3 = 2：1，____\
1
____\2
____3 3
\
AT = AB + A C
____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\ ____\
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 2 1 1
| | | | | 2 | [| | 4 4| |
3 3 9 9
1[ 4 4 ]
9 2
1 6 3 4 130
[6 4 4 3 ]
9 2 9
AT AB AC AB AC AB AB AC AC
AB AC BC
AB AC
= + = + = + ⋅ +
+ −
= + × +
= + × + − + × =
2]
⇒AT=
3 130
10. 若G是△ABC的重心，且 GA= 3，GB = 4，GC = 5，則____
GB
\．GC
=____\
。
【解答】− 16
【詳解】
若G為△ABC之重心，則____
GA
\+ +GC
=____\
GB
____\
0
⇒ +GC
= −⇒ | +
GC
|____\
GB
____\ ____\
GA
____\
GB
____\
2 = |− \|
____
GA
2 ⇒ | \|____
GB
2 + |GC
\ |____ 2 + 2 \．
GC
= | |____
GB
____\ ____\
GA
2⇒ 42 + 52 + 2
GB
____\．GC
= 3____\
2 ⇒ ____
GB
\ ．GC
= − 16____\
11.設△ABC中，D，E，F三點分別在
AB
， BC ， CA 上，AD = DB
，BC =4BE，CF AF且 G是△DEF的重心，若 = x ，則(x，y) ==2
____\
AG
____\ ____\
AC
AB+ y 。
【解答】(
12 5
，36 7
)【詳解】
∵ G 為△DEF 的重心
∴ ____
AG
\ =3
1
(____AD\ + \____
AE+ ) =
____\
AF
3 1
[____\
2
1 AB
+( ____\4
3 AB
+ ____\4
1 AC
)+ ____\3 1 AC
]=
3 1
(____\
4
5 AB
+ ____\12
7 AC
)= ____\
12
5 AB
+ ____\36
7 AC
∴ (x，y) = (
12
5
，36
7
)12.△ABC中，M為 BC 之中點， AD____\ = 4____AB\， A
____\
E= 3____
AC
\，延長AM 交DE
於P，則(1)____AP\ = kAM____\ ⇒ k = 。(2) \
____
AP= ____AD\ + ____AE 。 \
【解答】(1) k =
7
24
(2)____\ ____\ ____\7 4 7
3 AD AE AP = +
【詳解】
M 為BC 之中點 ⇒ \
\ ____
\ ____
____
2 1 2
1 AB AC AM = +
設 \
\ ____
\ ____
\ ____
____
2 2 k AC k AB
AM k
AP = = +
= ____\ ____\3 1 2 4
1
2 k AE
k AD
．
． +
=8 k
____\AD+
6 k
____\AE
∵ D
，
P，
E 三點共線 ∴7 1 24
6
8 + k = ⇒ k =
k
故 \
____
AP \
\ ____
\ ____
\ ____
____
7 4 7
3 7
24 6 1 7
24 8
1 AD + AE = AD + AE
= ． ．
13.△ABC中，D是
AB
中點，E點在 AC 上，且AE
： EC= 2：1，CD 與BE
交於P點，(1)設
____\
AP= x____AB\+ y ，求數對(x，y) =
____\
AC
。 (2)求BP
：PE
= 。【解答】(1) (
4 1
，2
1
) (2) 3：1【詳解】
(1)
____\
AP= x____AB\+ y = x +
____\
AC
____\
AB
2 3
y____\
AE （∵
AE
： EC= 2：1）∵ B，P，E 三點共線 ∴ x +
2
3
y = 1……c____\
AP= x \+ y = 2x + y （∵
____
AB
____\
AC
____\
AD
____\
AC AD
：DB
= 1：1）∵ D，P，C 三點共線 ∴ 2x + y = 1……d 由cd得(x，y) = (
4 1
，2 1
)(2)
____\
AP=
4 1
____\AB+
2 1
____\AC
⇒ ____AP\=4 1
____\AB+
4 3
____\AE ⇒
BP
：PE
= 3：114.平行四邊形ABCD中，E在 CD 上，且 3 CD= 5
DE
，AE
與BD
交 於P點，若 \____
AP= x____AB\+ y ，則實數對(x，y) =
____\
AD 。
【解答】(
8 3
，8 5
)【詳解】
由 3 CD = 5
DE
，可知3 3
( )
5 5
DP DEP BAP
⇒ = = BP ∵ Δ ∼ Δ
DE DE
CD AB
⇒ =
故A \
____
P=
8 3
\AB+
____
8
5
____AD，得(x，y) = (\8 3
，8 5
)15. BCD 為平行四邊形，若A = 4，求 \．
____
AC
____\
= 3，BC BD
AB
之值_________。【解答】7
_
．
【詳解】
___
AC
\ ____\
BD= ( + )( ) = 2 − 2 = 42 − 32 = 7
16. A，B，C 三點不共線，
____\
AD
____\
AB
____\
AD−____AB\ |
____\
AD | |
____\
AB |
設 \
____
AP= 3 \+ 2 ，令
____
AB
____\
AC
____\
AP 交 BC 於 D，
x， 值_______________
【解答】
若 \
____
AD= x____AB\+ y____
AC
\ ，求 y 之 。 x =5
3
5
，y =
2
【詳解】
∵ \
____
AP= 3 + 2 ，設
3 2
____\
AB \
____
AC
____\ ____\ ____\ ____\
AD = t AP = t AB + t AC
，B D C , ,
共線3 2 1, 1 t t t 5
⇒ + = =
∴ ____AD\ =
5 3
____\AB+
5 2
____\AC
，∴ x =5 3
，y =5 2
17. x，y，z ∈ R，且 A，B，C 為不共線三點，若(x − y + 2) + (x + y − 4) = ，求 x，y。
=
− +
= 0 4
0 2 y
x ，解得 x = 1，y = 3
18. ABC中，
設 ____AB \
____\
AC 0
【解答】x = 1，y = 3
【詳解】
⎩⎨
⎧x− y+
△ = 1，∠CAB =
3
π ，滿足 \
____
= 2， AC AP
AB
= + ，− 1 ≤α
≤ 2，0 ≤β
≤ 3，求P點所在區域面積為
α
____AB\β
____AC
\。
【解答】9 3
【詳解】
．2．1．
2 3
=2 3
× 3 ×
2
1
．sin3
π =2
． AC
1
．
AB
△ABC =
所求之面積 = [2 − (− 1)]．(3 − 0)．(2△ABC) = 3 2 ×
