+ 41 BC AC AC BC BC AC CA 2 CB ′′ ′′ AC ++ 144 BC 14

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.11.05 班級

範 圍

2-2、3 空間坐標(2)、

空間向量 座號

姓 名 一、選擇題( 每題 10 分)

1. 在空間中，設三角形 ABC 的三頂點 A(1，1，1)，B(1，2，3)，C(3，3，0)，若△ABC 在 xy 平 面上之正射影為△A'B'C'，則

(1)△ABC 為 (A)直角 (B)銳角 (C)鈍角 (D)等腰直角 (E)正 三角形 (2)△A'B'C' 為 (A)直角 (B)銳角 (C)鈍角 (D)等腰直角 (E)正 三角形

【解答】(1) (A) (2) (C)

【詳解】

∵ A(1，1，1)，B(1，2，3)，C(3，3，0) ∴ A'(1，1，0)，B'(1，2，0)，C'(3，3，0)

(1)∵ AB= 0+1+4= 5 ， AC = 4+4+1= 3， BC = 4+1+9= 14 ∴

AB

²+AC²=BC² ⇒ △ABC 為直角三角形，但不是等腰三角形 (2)∵ A ′′B = 0+1+0= 1， C

A

′ =′ 4+4+0= 2 2 ， C

B ′

′ = 4+1+0= 5 ∴

A ′

′

B

²+B′C′²= 1 + 5 = 6 < 8 =A′C′² ⇒ △A'B'C'為鈍角三角形

2. 設兩平面E₁，E₂交於一直線L，平面E₁有一點A，A在平面E₂之正射影點B，自B作L的垂直線垂 足為C，若AB= 6， AC = 12，則

(1) BC=(A) 3 3 (B) 4 3 (C) 5 3 (D) 6 3 (E) 7 3 (2)兩平面之銳交角為(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° (E) 75°

【解答】(1) (D) (2) (B)

【詳解】

(1)∵ AB⊥ E² ∴ AB⊥ BC

⇒ ∠ ABC = 90°，由畢氏定理：BC²+

AB

²=AC²

∵ AB= 6， AC = 12 ∴ BC²= 12² − 6² = 108 ⇒ AB= 108 = 6 3 (2)∵ AB⊥ E2， BC ⊥ L於C ∴ 由三垂線定理知 AC ⊥ L於C

⇒ ∠ACB為此二面角的平面角，設為

θ

，則sin

θ

= AC AB =

12 6 =

2

1 ∴

θ

= 30°

3. 空間一點 P(1，− 2，3) (每小題 5 分)

(1) P 點到 xy 平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (2) P 點到 yz 平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (3) P 點到 x 軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (4) P 點到 z 軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13

【解答】(1) (C) (2) (A) (3) (E) (4) (D)

【詳解】

P(a，b，c) = P(1，− 2，3)，P 到 xy 平面的距離 = | c | = 3，P 到 yz 平面的距離 = | a | = 1

P 到 x 軸的距離

=

b

² +

c

² = 4+ = 13 ，P 到 z 軸的距離 =9

a

² +

b

² = 1+ = 5 4

4. (複選)空間中三點 A，B，C，下列何者使 A，B，C 三點共線？

(A) 2 3 0

____\ ____\

____\ K

=

− + OB OC

OA (B)3 0

____\ ____\

____\ K

= + +OB OC

OA (C)2 3 0

____\ ____\

____\ K

= +

− OB OC OA

(D) 0

3 2 3

4 3

1^{____\ ____\ ____\} K

=

−

+ OB OC

OA (E)^{____\ ____\ ____\} 3 1 3

2OB OC OA= +

【解答】(A)(C)(E)

【詳解】

(A) 2 3 0

____\ ____\

____\ K

=

− + OB OC

OA ⇒ ^{____\ ____\ ____\} 3 2 3

1OA OB

OC= + ∴ A，B，C 共線

(B)3 0 ⇒

____\ ____\

____\ K

= + +OB OC OA

____\ ____\

____\

3 1 3

1OB OC OA=− −

∵ 1

3 2 3 1 3

1− =− ≠

− ∴ A，B，C 不共線

(C)2 3 ^\ 0

\ ____

\ ____

____ K

= +

− OB OC

OA ⇒ ^{____\ ____\ ____\} 3 1 3

2OA OC

OB= + ∴ A，B，C 共線

(D) 0

3 2 3

4 3

1^{____\ ____\ ____\} K

=

−

+ OB OC

OA ⇒ ^{____\ ____\ ____\} 2 4 2

1OA OB OC= + ∵ 1

2 5 2 4 2

1+ = ≠ ∴ A，B，C 不共線

(E) ^\

\ ____

\ ____

____

3 1 3

2OB OC

OA= + ∵ 1

3 1 3

2+ = ∴ A，B，C 共線

【PS】設 A，B，C 為空間中三點，O 為任一點，

(1)若 ，則 A，B，C 共線 ⇔ x + y = 1

(2)若 ，則 A，B，C 共線 ⇔ x + y + z = 0

____\ ____\ ____\

OB y OA x OC

= +

0

____\ ____\

____\ K

= +

+

y OB z OC OA

x

5. (複選)設 A(6，− 4，4)，B(2，1，2)，C(3，− 1，4)，則下列敘述何者正確？

(A)^____BA^\ ⋅^____BC^\ = 18 (B) cos∠ABC = − 5

1 (C) sin∠ABC = 5 2

(D) A 到 BC 的距離為 3 (E) △ABC 面積 = 2 9

【解答】(A)(D)(E)

【詳解】

____\

BA

= (4，− 5，2)， = (1，− 2，2)

(A) = (4，− 5，2)．(1，− 2，2) = 4 + 10 + 4 = 18 (B)

____\

BC

____\ ____\

BC BA

⋅

____\ ____\

BC

BA

⋅ =BA⋅BCcos∠ABC ⇒ cos∠ABC =

5 2 3 5 3

18

____

____

____\ ____\

⋅ =

=

⋅

⋅

BC BA

BC BA

(C) sin∠ABC = 5 1

(D)(E)△ABC =

2 18 9 9 2 45 ) 1 2 (

1 2 2 ____\ ____\ 2 2

=

−

×

=

⋅

−

×BC BA BC BA

而△ABC = ( ) 2

1 BC (A 到 BC 的距離) = 2

9 ⇒ A 到 BC 的距離 = 3

二、填充題(每題 10 分)

1. 設P(2，1，7)，Q(3，a，5)，R(4，5，b)三點共線，則數對(a，b) = 。

【解答】(3，3)

【詳解】P(2，1，7)，Q(3，a，5)，R(4，5，b)

P，Q，R 三點共線

，即

____\ ____\

(3 2, 1, 5 7), (4 2, 5 1, 7)

PQ a PR b

⇒ = − − − = − − −

____\ ____\

/ /

PQ PR

⇒ 2

1 7 2 4

1 7

7 5 1 5

1 2

4 2

3 =

−

= −

⇒ −

−

= −

−

= −

−

−

b a

b

a ，a = 3，b = 3

2. 已知平行四邊形三頂點，A(1，2，3)，B(4，5，6)，C(− 5，8，7)，則D之坐標為 。

【解答】(− 8，5，4)；(10，− 1，2)；(− 2，11，10)；

【詳解】

如圖， (1− 5，2 + 8，3 +7) = ( x + 4，y + 5，z + 6)，

則 D(x，y，z) = (− 8，5，4)

同理

D(x，y，z) = (10，− 1，2)

D(x，y，z) = (− 2，11，10)

ABCD

⇒ .

ACBD

⇒ .

ABDC

⇒ .

3. 設A(1，− 3，5)與B(2，1，− 4)是空間中兩點，P是x軸上一點，求

PA

²+

PB 的最小值為

²

【解答】 2 103

【詳解】∵ P ∈ x軸 ∴ 設P(t，0，0)

PA

2+

PB

²= [(t − 1)² + (− 3)² + 5²] + [(t − 2)² + 1² + (− 4)² ] = 2t² − 6t + 56 = 2(t − 2 3)² +

2 103

當t =2

3時，

PA

²+

PB 有最小值為

² 2 103

4. 第一卦限中的點P(x，y，z)至x軸，y軸，z軸的距離分別為 2， 6 ， 6 ，則點P(x，y，z)的坐 標為 。

【解答】(2， 2 ， 2 )

【詳解】

P(x，y，z)投影至x，y，z軸之投影點坐標為P

_x = (x，0，0)，P_y = (0，y，0)，P_z = (0，0，z)

已知

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

= 6 6 2

z y x

PP PP PP

， ，由

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= +

= +

6 6 4

2 2

2 2

2 2

y x

z x

z

y

……c

……d

……e

c+d+e

　 2 ⇒ x² + y² + z² = 8 ……f

f−c得x² = 4，f−d得y² = 2，f−e得z² = 2 ∴

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

2 2 2

z y x

∵P在第一卦限P (2， 2 ， 2 )

5. 四角錐S - ABCD的底面ABCD為矩形，側稜

SA 垂直於底面ABCD且 SB =

13， SC= 425 ， SD = 20，則矩形ABCD面積為 平方單位。

【解答】80

【詳解】

SA 垂直平面 ABCD 於 A，

AB⊥ BC ，由三垂線定理可得∠SBC = 90°

∴ 於直角△SBC 中， BC=

SC

² −

SB

² = 16

SA 垂直平面 ABCD 於 A，

AD⊥ CD ，由三垂線定理可得∠SDC = 90°

∴ 於直角△SDC 中， CD=

SC

² −

SD

² = 5，矩形 ABCD 的面積 = 16 × 5 = 80

6. 已知點P的x，y，z坐標都相等，且P點與原點的距離為 6 ，求P點的坐標為 。

【解答】( 2 ， 2 ， 2 )或(− 2 ，− 2 ，− 2 )

【詳解】

設P(x，y，z) ⇒

⎩⎨

⎧

=

= + +

=

=

6 ) 6 ( ²

2 2

2

y z

x

z y

x

_……c

……d

將c代入d3x² = 6⇒x² = 2⇒x = ± 2，∴y = z = ± 2，故P( 2， 2， 2 )或(− 2，− 2，− 2 )

7. 如下圖，有一邊長為 1 的正立方體，今置頂點A於空間坐標系中的原點(0，0，0)，置頂點G於 正z軸上，則頂點C之z坐標為 。

【解答】 3 3

【詳解】

點之 z 坐標即為

C

AH

角 AΔ ，

長

直

GC

中

CH

⊥

AG

，母子相似

2 2

AC

=

AH

×

AG

⇒ =1

AH

× 3 AH=

1 =3 3

3，∴ C 點之 z 坐標為 3

3

8. 設點A(3，4，5)，B(− 1，2，1)，而點P在xy平面上移動，則△ABP的最小周長為 。

【解答】6 + 2 14

【詳解】xy 平面的方程式為 z = 0，

∴ 點 A(3，4，5)，B(− 1，2，1)在 xy 平面的同側

∵ A(3，4，5)對於 xy 平面的對稱點為 A'(3，4，− 5)

∴ PA+PB=PA′+PB≥A′B= 2 14

∴ △ABP 的周長 =AB+PA+PB≥AB+ 2 14 = 6 + 2 14 ，

∴△ABP 的最小周長為 6 + 2 14

9. 長方體相鄰三邊 OA ， OB ， OC 的長分別為 2，4，3，

(1)作

CH ⊥

AB於 H，求 OH = _________，與CH = _________。(2)△ABC 的面積=____________。

(3)點 O 到平面 ABC 的距離=____________。

【解答】(1) OH = ₂

AB

OB OA．

=

5

4 ， CH =

OC

² +

OH

² = 61 =5

5

305 (2)△ABC = 61 (3) 61 12

【詳解】圖中，(1) △OAB 中，∠AOB = 90°，OA= 2，OB = 4 因 OC⊥ OA，OC ⊥ OB ⇒ OC ⊥ 平面 OAB

又 CH⊥AB，故 OH⊥AB（三垂線定理）

∴ ¹

2

OH ．

AB=¹

2

OA． OB

⇒OH ．

2 2

2 4 2 4

×

+ =

5 28 =

5 4

又 CH=

CO

²+

OH

² =

5 3² +16 =

61 =5 5 305

(2) △ABC 的面積 = 2

1 AB． CH = 2

1 20 ．

61 = 61 5 (3)設點 O 到平面 ABC 的距離為 d，三角錐 OABC 的體積 =

3

1△ABC．d = 3

1△OAB． OC

∴ 61 d = 2

1．2．4．3，故 d = 61 12

10. 設 ABCD 是邊長 a 的正四面體（三角錐），則

其體積 = ，內切球半徑 = ，外接球半徑 = 。

（錐體體積 = 3

1底面積 × 高； :

R r

=3 :1）

【解答】 12 2

a

³，

12 6

a，

4 6

a

【詳解】

(1)因H為△BCD之重心 ∴ HD= 3

2 DM= 3 2×

2 3

a =

3 3

a

∴ AH= AD²−HD² = ^{2 2} 3 1

a a

− =

3

6

a ∴ 體積

= 3 1(

4

3

a

² )．(

3 6

a) =

12 2

a

³

(2)內切球球心O，內切球半徑r， ^{1 1 6}

4 4 3

r= AH = × a= 12

6

a

(3)外接球球心即內切球球心，設外接球半徑 = R ^{3 3 6} 4 AH 4 3 a

= = × = 6

4

a

11.設二向量 = (1，x − 1，2)，b = (− 1，0，3) (1) ，b的夾角 45°，求 x 的值__________。

(2) 承(1)若 2 + t 平分 ，b 之夾角，求實數 t 的值___________。

aK K

aK K aK

bK

aK K

【解答】(1) 1 (2) 2

【詳解】

aK= (1，x − 1，2)，b = ( − 1，0，3)

| | =

K aK

10 9 1

|

| 6 2 4

) 1 (

1+ x− ² + = x² − x+ bK = + =

， ，aK

．bK

= − 1 + 0 + 6 = 5 (1)由aK

．b^K= |aK

||bK|cos45°知，5 =

2 10 1 6

2 2

． + ．

− x

x

∴ 25 = 5(x² − 2x + 6) ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 (2)因為 = (1，0，2)， = (− 1，0，3)

2a+ t 平分a與 的夾角必|2 | = | tb aK

bK K bK K

bK

aK K

| = t |bK

|

2 10

20 3

0 1 4

0

2² + + ² =

t

² + + ² ⇒ =

t

⇒

t

=

12.設△ABC的三頂點坐標分別為A(− 1，5，2)，B(2，1，− 7)，C(− 4，3，3)，則 BC 上的中線長 為 。

【解答】5

【詳解】

中點 M(

2 ) 4 ( 2+ −

， 2 3 1+

， 2

3 ) 7

(− + ) = (− 1，2，− 2)，

中線長AM = 0²+3²+4² = 5

13.設 = (1，2，3)，若B之坐標為(− 1，1，− 1)，則 (1)A之坐標為

____\

AB

，(2)若|uK| = 126 且uK

與 ^\反向，則

____

AB

uK= 。

【解答】(1) (− 2，− 1，− 4) (2) (− 3，− 6，− 9)

【詳解】

(1)設 A(x，y，z)， = 即 A(− 2，− 1，− 4)

(2) | | =

____\

AB

( 1− −x,1− − −y, 1 z)=(1, 2, 3)⇒ uK

126= 3| |，又u與 反向，u

____\

AB

^K

____\

AB

^K= − 3^____

AB

^\ = − 3(1，2，3) = (− 3，− 6，− 9)

14.已知空間中相異兩點A(1，− 1，2)，B(7，2，− 4)，設P點在AB上，但不在AB上，且AP：PB= 3：1，則P點坐標為 。

【解答】(10，

2

7，− 7)

【詳解】P 為外分點

由分點公式 B(7，2，− 4) = ( 3

1 2x+

， 3 1 2y−

， 3 2 2z+

)，得 P 點之坐標為(10，

2

7，− 7)

15.如圖，長方體之長，寬，高各為 4，5，3，試求 AG 與FD的夾角的度 量

θ

= 。

【解答】π 2

【詳解】坐標化，

= (4，5，3)， = (− 4，5，− 3) cos

θ

= ±

____\

AG

____\

FD

|

|

|

|

____\ ____\

____\ ____\

FD AG

FD AG ．

= ±

50 50

9 25 16

．

− +

− = 0

∴ AG 與FD的夾角度量

θ

= 2 π

16.空間中有三點 P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)，則 (1)△PQR 之面積= ，

(2) P 點到直線 QR 的最短距離= 。

【解答】(1) 2

9 (2) 3

【詳解】

= (4，− 5，2)， = (1，− 2，2) (1) | | =

____\

QP

____\

QR

____\

QP 16+25+4= 3 5 ，|^____QR^\ | = 1+4+4= 3， ． = 4 + 10 + 4 = 18

∴ △QPR 之面積

____\

QP

____\

QR

2 2

____\ ____\ ____\ ____\

1 2

( )

2 QP QR QP QR

= − ⋅ =

2

1 _{2 2 2}

18 3 ) 5 3

( ． − =

2 1 81=

2 9

(2)設 P 到QR之最短距離= d， 則△QPR 之面積=

2

1．d．QR ⇒ 2 9=

2

1．3．d ⇒d = 3

17.設aK= (2，1，3)，bK= (1，− 2，4)，cK= (2，5，1)，已知(aK+ tbK

) ⊥cK，則實數t = 。

【解答】3

【詳解】

aK+ t = (2 + t，1 − 2t，3 + 4t)，(bK aK+ tbK

)．cK= 0 ⇒ 2(2 + t) + 5(1 − 2t) + (3 + 4t) = 0 ⇒ t = 3

18.設P是y軸上的點，且P到A (4，0，3)，B (3，2，0)兩點等距，則P點坐標為 。

【解答】(0，− 3，0)

【詳解】

設 P (0，y，0)，AB中點 M(

2 7，1，

2

3)， = (− 1，2，− 3)

∵ P 到 A，B 兩點等距離 ∴

____\

AB

PM⊥AB

⇒ (−

2

7，y − 1，−

2

3)．(− 1，2，− 3) = 0

⇒ y = − 3 ∴ P (0，− 3，0)

19.設uK= (2，1，− 1)，vK= (1，3，3)，且aK⊥uK

，aK⊥vK

，若aK= (− 6，p，q)，則數對(p，q) = 。

【解答】(7，− 5)

【詳解】

uK×vK= (

3 3

1 1 −

， 3 1 2

−1

， 1 3 1

2 ) = (6，− 7，5)

∵ aK⊥uK

，aK⊥vK

∴ aK= (− 6，p，q)//uK×vK= (6，− 7，5)，得(p，q) = (7，− 5) 20.設A(2，− 1，5)，B(5，4，3)，C(− 1，3，4)，則△ABC的重心坐標為 。

【解答】(2，2，4)

【詳解】

△ABC 的重心坐標為(

3

3 2

1 x x

x + +

， 3

3 2

1 y y

y + +

， 3

3 2

1 z z

z + + )

= ( 3 1 5 2+ −

， 3

3 4 1+ +

− ，

3 4 3

5+ + ) = (2，2，4)

21.△ABC中，A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(3，1，− 2)，∠B之外角平分線交AC於D，則D點坐標 為 。

【解答】(

4

19，1，

4 27)

【詳解】

A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(3，1，− 2)，

BA= 3， BC = 7

∵ D 是∠B 之外角平分線與直線 AC 之交點 ∴ DC

DA = BC BA=

7 3

∵ D，A，C 在一直線上，由外分點公式 D =

3 7

7

− (4，1，3) + 3 7

3

−

− (3，1，− 2) = ( 4

19，1，

4 27)

22.設三向量a^K= (1，2，

λ − 1)， = (4，1，−

bK

λ

)，

cK= ( − 1，2，

λ

+ 3)兩兩互相垂直，則實數

λ

之 值為 。

【解答】− 2

【詳解】

⊥ ⇒ (1，2，

λ

− 1)．(4，1，−

λ

) = 0 ⇒

λ

= 3 或

λ

= − 2

⊥ ⇒ (4，1，−

λ

)．( − 1，2，

λ

+ 3) = 0 ⇒

λ

= − 1 或

λ

= − 2

⊥ ⇒ ( − 1，2，

λ

+ 3)．(1，2，

λ

− 1) = 0 ⇒

λ

= 0 或

λ

= − 2 同時成立，

λ

= − 2

aK bK bK

cK cK

aK

23.設 iK= (1，0，0)，

K

j

= (0，1，0)， = (0，0，1)且kK

k j i

a

K K K K 2 2 − +

= ，

b

K

i

K K

j

−

= ，cK aK tbK +

= ，

(1)若aK⊥ ，則t = cK

。 (2)若(2a bK

K − ) //cK，則t = 。 (3)當 |c^K| 有最小值時，t = 。

【解答】(1) − 3 (2) 2

−1 (3) 2

−3

【詳解】

aK= (2，− 1，2)，b^K= (1，− 1，0)，cK=aK+tbK= (2 + t，− 1 − t，2) (1)aK⊥cK ⇒ aK

．cK= 0 ⇒ (2，− 1，2)．(2 + t，− 1 − t，2) = 0 ⇒ 2(2 + t) − (− 1 − t) + 4 = 0 ⇒ 9 + 3t = 0 ∴ t = − 3

(2)∵ 2 = 2(2，− 1，2) − (1，− 1，0) = (4，− 2，4) − ( 1 − 1，0) = (3，− 1，4) = (2 + t，− 1 − t，2) ∴ (2

b a K K −

b t a cK K K

+

= aK −bK) //cK ⇒

2 1 4

2 1 1 3

2 = ⇒ =−

−

−

=−

+t t t

(3)∵ | | =cK

9 6 2 4 ) 1 ( ) 2

( +

t

²+ − −

t

² + =

t

²+

t

+ =

2 ) 9 2 ( 3 2 2 9

) 9 2 ( 3

2

t

+ ² − + =

t

+ ² +

∴ 當 t = − 2

3時，|c^K| =

2 2 3 2 3 2

9 = = 為最小值

24.如圖，長方體ABCD-EFGH中，AB=4，AC =2， AE=3，則^____

AG

^\ ⋅

CH

^____\ = 。

【解答】− 7

【詳解】

建立空間坐標系，D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，H(0，0，3)

∴ G(0，4，3)， = ( − 2，4，3)， = (0，− 4，3)

∴ ． = ( − 2，4，3)．(0，− 4，3) = 0 − 16 + 9 = − 7

_____\

AG

____\

CH

____\

AG ^\

____

CH

25.如下圖所示，正立方體各邊（稜）長為 1，

(1)點P之坐標為 。

(2)對角線AR與

BS 的一個夾角為 θ

，sin

θ

之值為 。 (3)點R至平面BCP的距離為 。

【解答】(1) (− 1，1，1) (2) 3

2 2 (3)

3 1

【詳解】

(1)如圖，P (− 1，1，1)

(2) =aK ^____\ = (1，1，1)， = = (− 1，− 1，1)，c

AR

bK ____\

BS K

= − = (2，2，0) cos

θ =

____\

AR

^\

____

BS

|

||

| 2

|

|

|

|

|

| ^{2 2 2}

a b c b a

K K

K K K + −

=2 3 3 8 3 3

．

．

−

+ =

3

−1

∴ sin

θ

= 1−cos²

θ

= 3

2 2

(3) B(0，1，0)，C(0，0，1)，R(0，1，1)，設平面 BCP 方程式

π

： m

x + 1

y+ 1 z = 1

P(− 1，1，1)代入得 m = 1 ⇒ π

：x + y + z − 1 = 0 ∴ d (R，

π

) =

2 2

2 1 1

1

1 1 1 0

+ +

− +

+ =

3 1

26.如圖，ABCD - EFGH 是一正方體，四邊形 EFBG 是一矩形，對角 線 DG ，EB交於 O 點，求 cos∠BOG 及 cos∠BDG。

【解答】3 1，

3 6

【詳解】

(1)

____\

EB= (1，1，− 1)，DG^____\ = (1，1，1)，令∠BOG =

θ

，則

θ

為

____\

EB， DG^____\ 的夾角，∴ cos

θ

=

|

|

|

|

____\ ____\

____\ ____\

EB DG

EB DG ．

=

3 3

1 1 1

．

−

+ =

3 1

(2)令∠BDG =

φ

，則 cos

φ

=

|

|

|

|

____\ ____\

____\ ____\

DB DG

DB DG ．

=

3 2

1 1

． + =

2 =6 3

6

27.設aK= (1，0，2)， = (2，− 1，1)，求與a

bK K

，bK

同時垂直且長度 2 的向量。

【解答】 )

7 1 7 3 7

( 2 −

± ， ，

【詳解】

= (1，0，2)， = (2，− 1，1)的外積

× = ( aK

bK aK

bK

1 2

0 1 2 1

1 2 1 1

2 0

−

− ， ， ) = (2，3，− 1)為垂直aK 與bK

的一向量

|aK×b^K| = 4+9+1= 14 ∴ 垂直aK 與bK

的單位向量為 (2 3 1)

14 1

|

| =± −

×

± × ，，

b a

b a

K K

K K

而知垂直aK

與 且長度bK

2 的向量為 (2 3 1) 14

2 −

± ，， = )

7 1 7 3 7

( 2 −

± ， ，

28.設x，y，z ∈ R，若x² + y² + z² = 4，則x − 2y + 2z之最小值為 ，此時(x，y，z) = 。

【解答】− 6，(

3 4 3 4 3

2 −

− ， ， )

【詳解】

(x − 2y + 2z)² ≤ (x² + y² + z²)[1² + ( − 2) ² + 2²] = 4．9 = 36 ∴ x − 2y + 2z最小值為 − 6

此時 3

2 2

) 2 ( 1

6 2

2

1 ^{2 2 2}

= − +

− +

= −

− =

= y z

x ∴

3

−2

=

x ，

3

= 4

y ，

3

−4

= z

29.設空間中有二向量aK= (1，2，3)，b^K= (x，y，z)，已知|bK

| = 2 14，則aK

．bK

的最大值為 ， 此時的b^K為 。

【解答】(1) 28 (2)b^K= (2，4，6)

【詳解】已知| |bK

2 = x² + y² + z² = (2 14 )² = 56，aK

．bK

= x + 2y + 3z 由柯西不等式知(x + 2y + 3z)² ≤(x² + y² + z²)(1² + 2² + 3²) ⇒ (aK

．b^K)²≤ 56 × 14 ⇒ − 28 ≤ ． ≤ 28，得 ． 之最大值M = 28

此時設

aK bK

aK bK 1

x= 2 y=

3

z =

t，則x = t，y = 2t，z = 3t

28 =aK

．bK= x + 2y + 3z = t + 4t + 9t = 14t ⇒ t = 2，得x = 2，y = 4，z = 6，即 = (2，4，6) bK

30.設a，b，c均為正數且a + b + c = 9，則

c b a

16 9

4+ + 之最小值為 。

【解答】9

【詳解】

)2

4 3

( 2

c

b c a b

a

⋅ + ⋅ + ⋅ ≤[ 2 ² 3 ² 4 ² ( ) ( )

a

+

b

+

c

( ) ][( a)²+( b)²+( c)²]

⇒ ( 2 + 3 + 4 )² ≤(

c b a

16 9

4+ + )( a + b + c )

⇒ 9² ≤(

c b a

16 9

4+ + )．9 ⇒ 9 ≤

c b a

16 9 4+ +